Tích phân padic và các ứng dụng 1

Gần đây đã có một số tác giả xây dựng được các tích phân p-adic và sử dụng chúng như là các các phép biến đổi Mellin-Mazur để nội suy các hàm giải tích p-adic và một số ứng dụng thú vị k

Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SỨ PHẠM TP Hồ CHÍ MINH

LÒI CẢM ƠN

Luận văn được thực hiện hoàn thành tại trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố HồChí Minh do công sức nghiên cứu, tham khảo tài liệu của bản thân dưới sự hướng

dẫn tận tình,chu đáo của PGS.TS Mỵ Vinh Quang Bằng những kiến thức mà

tập và thực hiện luận văn

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đối với quý thầy PGS.TS Bùi Tường Trí, PGS.TS Lê Hoàn Hoá, TS Trần Huyên và TS Đậu Thế cấp, quý thầy đã trực tiếp trang

Lý Tự Trọng Thành Phố Hồ Chí Minh nơi tôi đang công tác đã tạo điều kiện

Nguyên Thị Câm Thạch

MỤC LỤC

Trang phụ bìa 1

Lời cảm ơn 2

Mục lục 3

Danh mục các ký hiệu 4

MỞ ĐẦU 5

Chương 1 CÁC KIẾN THỨC cơ BẢN VỀ TRƯỜNG SỐ P-ADIC 6

1.1. Chuẩn trên một trường 6

1.2. Xây dựng trường số p-adic 11

1.3. Tính chất tô pô của p 17

1.4. Trường số phức và hàm chỉnh hình p-adic 23

Chương 2 XÂY DỤNG Độ ĐO VÀ TÍCH PHÂN P-ADIC .25

2.1 Không gian các hàm hằng địa phương 25

2.2 Độ đo p-adic 28

2.3 Một số độ đo thường dùng 32

2.4 Tương tự p-dic của tích phân Riemann 33

2.5 Điều kiện khả tích 35

Chương 3 TÍCH PHÂN SCHNIRELMAN VÀ CÁC ÚNG DỤNG 45

3.1 Một số kết quả về lý thuyết tích phân Cauchy trong giải tích phức45 3.2 Tích phân Schnirelman 46

3.3 Lóp (p[D) 56

KẾT LUẬN CỦA LUẬN VẢN 64

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU

ordpa B(a,r) B[a,r]

D(a,r)

<* + (pN)

H

^N, {xa,N}ư)

: Trường số p-adic: Trường số phức p-adic: Chuẩn p-adic

: Số mũ củap trong sự phân tích a thành thừa số nguyên

tố

: Hình cầu mở tâm a bán kính r trong hoặc : Hình cầu đóng tâm a bán kính r trong hoặc : Mặt cầu tâm a bán kính r trong hoặc

MỞ ĐẦU

Giải tích p-adic là một trong các hướng mới mà đang phát triển nhanh củangành Đại số và Lý thuyết số Gần đây đã có một số tác giả xây dựng được các tích

phân p-adic và sử dụng chúng như là các các phép biến đổi Mellin-Mazur để nội

suy các hàm giải tích p-adic và một số ứng dụng thú vị khác trong việc nghiên cứu

hàm p-adic Mục tiêu chính của luận văn là xây dựng tích phân Schnirelman vànghiên cứu một số ứng dụng của tích phân Schnireman để nghiên cứu các hàmchỉnh hình p-adic.Luận văn gồm 3 chương

Chương 1: CÁC KIẾN THỨC cơ BẢN VỀ TRƯỜNG SÓ P-ADIC

Trong chương này, chúng tôi trình bày cách xây dựng trường số p-adic vàtrường số phức p-adic Sau đó, chúng tôi đưa ra một số tính chất cơ bản vềtrường số p-adic nhằm phục vụ cho chương 2 và chương 3

Chương 1 CÁC KIẾN THỨC cơ BẢN VÈ TRƯỜNG SỐ P-ADIC

Trong phần này chúng tôi trình bày cách xây dựng trường số p-adic và một số tínhchất pô tô của nó Cách xây dựng trường số p-adic đã được nhiều tác giả trình bày

với nhiều phưcmg pháp khác nhau Ở đây chúng tôi trình bày cách xây dựng trường

số p-adic bằng phưong pháp giải tích của N.KOBLITZ Vì theo chúng tôi đây là

2i) |.xy| =|jt||y| \/x,yeK

3i) \x + y\ <1*1 +\y\ \/x,yeK

Ví dụ 1 Trường các số , , với giá trị tuyệt đối thông thường thỏa mãn các

điều kiện của định nghĩa nên giá tri tuyệt đối là chuẩn trên , , và ta gọi làchuẩn giá trị tuyệt đối, ta ký hiệu I I

Ví dụ 2 Cho K là một trường tùy ý Ánh xạ I I được xác định :

0

nê u X * 0nếu X = 0

Là một chuẩn trẽn trường K và được gọi là chuẩn tầm thường

và được gọi là mêtric tương ứng với chuẩn I I.

Tô pô sinh bởi mêtric tương ứng được gọi là tô pô tương ứng của chuẩn I I

1.1.4. Các tính chất cơ bản

• |1| =|-1| = 1 suy ra |-x| = |x|

• |0| = 0

1.1.5. Định nghĩa hai chuân tương đương

Hai chuẩn II và I trên trường K được gọi là tương đương nếu tô pô cảm sinh hai mêtric tương ứng của chúng là như nhau Kí hiệu I I ~| I

h lý

Giả sử I , I I là hai chuấn trên trường K, các mệnh đề sau là tương đương:

|x| < 1 <=>|x| < 1 với mọi xe K |xj < 1 |jcj < 1 với mọi xe K Tồn tại hằng số dương c > 0 sao cho |x| J = |x|c với mọi xeK {xnỊ là dãy Cauchy đối với I I J<=> {x(ỉ} là dãy Cauchy đoi vói I |2

5 - I H I,

<1

Suy ra lhayịx^ > 1

Điều này vô lý vì |JC| < 1 Vậy |JC| < 1

2) 1) Chứng minh tương tự như trên

1)=>3)

Giả sử|jc| < 1 <=> |JC| < 1 với mọi x e K Ta xét hai trường họp sau :

• Trường họp 1 : Neu có một trong hai chuẩn tầm thường thì ta chứng

minhchuẩn còn lại cũng tầm thường

Thật vậy: Gỉa sử chuẩn I I tầm thường thì với mọi X e K , x * 0, ta có |x| = 1

Do đó nếu ta lấy dãy {rn} c và rn > a, Vn mà « thì từ bất đẳng thức trên ta

được: \x\2<ba Hoàn toàn tương tư, nếu lấy r = — e và r < a thì ta có 1*1 > ba

Nên nếu ta lấy dãy {rn} c= và rn < a, v« mà rn -» a thì ta có 1*1 > ba

Vậy |*|2 =ba Do đó 1*1 =aa = (b'°ẽh“Ỵ = (bay°ẽha = |*|2 với c = logba>0.

Từ giả thiết 1*1 <1 suy ra 1*1" -> 0 đối với chuẩn| I

Nên Ị*"Ị^O theo chuẩn I I Mà dãy hội tụ phải là dãy Cauchy

Do đó {xn }là dãy Cauchy đối với I I ,từ giả thiết ta suy ra {*„ }là dãy Cauchy

đốivới I I Điều này có nghĩa (*"+1 -*") -» 0 đối với chuẩn I I hay *"(*-l) -» 0 đối

với chuẩn I 1 Do đó |*"| |l-*l -» 0

Vì chuẩn I |2 không tầm thường nên |l - *|2 * 0 suy ra I*” I -»0 hay |x|2 <1

3)=>5)

Giả sử tồn tại hằng số dương c > 0 sao cho 1*1 J= |*|c với mọi * e K

Khi đó ta có: ổ1(a,r) = |*GẨy |*-ứ| <rj = Ixeỉcị |*-ứ| c <r|

Do đó: A E ĨỊ o V a E A : 3B/(a,r)dA (vì A là tập mở)

oVa E A: 3 5,

A £ To •

( a,rc

V J

d A

12' Vậy r, = ĩ2 nên theo định nghĩa ta có I

5)=>1)

Giả sử |JC| < 1 suy ra |*"| -> 0 Do I I ~ I I nên |*"| -> 0 Vậy 1*1 <

1

1.1.7. Định nghĩa chuân phi Archimede.

Cho K là một trưòng Chuân I I trên trường K được gọi là chuânphi Archimede trên trường K nếu với mọi x,ye K :\x + y\< max||x| ,|y|j

1.1.8. Ví dụ về chuẩn phi Archimede.

Ví dụ 1.

Chuẩn tầm thường trên K là chuẩn phi Archimede.

Ví dụ 2 Neu K là trường hữu hạn thì mọi chuẩn trên K đều tầm thường, vì vậy nó

là chuẩn phi Archimede

1.1.9. Mệnh đề (nguyên lý tam giác cân).

Cho {JC7Ỉ} là dãy Cauchy Neu X -Ị> 0 khi n —> 00 thì \x I là dãy dừng.

1.1.12. Định lý (Điều kiện tưong đưoĩig của tỉnh phi Archimede )

Cho I I là một chuấn trên trường K, các mệnh đề sau là tưong đưoĩig:

I I là chuấn phi Archimede.

2ì) |2|<1 3i) |w|<l,Vwe 4i) là tập bị chặn.

Khi đó\ I là một chuân phi Archimede trên trường và được gọi là chuânp-adic

1.2.4. Định lý (Oxtropxki)

Mọi chuấn không tầm thường I I trên trường đều tưong đưong với I I với p là trên

Ta xét các trường họp xảy ra đối với chuẩn \2\

Trưòĩig họp 1 : Nếu \2\ > 1 thì từ điều kiện tương đương của tính phi Archimede

tasuy ra I I không là chuẩn phi Archimede

Lấy n e N, giả sử n =ữ0 +ax2 + + as2s, trong đóO<ứ, <1 và2s <n<2s+1

Ta viết \2\ = 2a với a = log2\2\

Khi đó ta có :

<1 + 2" + + 2'v"

<na.c

Suy ra \n\ < na c với mọi n e

Nên với mọi kG tacổ ịnk ị ^>\n\<naẢfc

Cho k -> 00 ta được ịn I < na Mặt khác, do 2* < rt < 2S+1 nên ta có |2Í+11 = |/| + 2S+1 -«1 < |n| + |2'?+l -nị

Suy ra \n\ > 12S+11 -12"+1 -n\ > 2(s+ì)a -(2(x+l) -n)a ( vì từ chứng minh trên cho ta -\nị > -na nên -|2'í+1 -rị > -(2S+1 -nỴ)

< 2sa.c (vì tống trong dấu ngoặc hội tụ nên đặt c = 1+— + +—— )

-Với xe , X > 0 ta viết X = —, m,ne , n * 0 thì ta có :

Trưòĩig họp 2 : Neu|2| < 1 thì I I là chuẩn phi Archimede

Từ giả thiết\l\ < 1 theo điều kiện tuơng đương của tính phi Archimede ta có\n\ < 1

với mọi n e Do| I là chuẩn không tầm thuờng nên tồn tại nữ e sao cho KI < 1.

Gọip là số tự nhiên bé nhất thỏa |/?| < 1 và p * 0 Khi đó p là số nguyên tố.

Thật vậy, giả sử p là họp số thì p = Pị.p2 với Pị,p2 là số tự nhiên và 1 < Pị,p2 <

Khi đó \p\ =|/?j||jơ2| < 1 nên suy ra |/?j| < 1 hoặc |p2| < 1 (điều này mâu thuẩn

chọn p) Gọi q là số nguyên tố khác p Ta chứng minh \q\ =1.

Vì \n\ < 1 với mọi n e nên \q\ < 1 Giả sử \q\ < 1 vì (qk,pk) = 1 nên tồn tại m,n e sao cho mpk +nqk = 1.

Ta có 1 = |l| = Impk + nqkị <\m\ịpk I + |«|K| < ịpkị + \qk\

Cho k -» 00 ta đuợc 1 < 0, điều này vô lý Vậy \q\ = 1.

Lấy me , 0, xét sự phân tích thành tích các thừa số nguyên tố của m như

K\=\pa Aa' • \Piai ••• \Pk

-Với xe , x< 0 thì -X > 0 nên ta có : |x| =|-x| =|-x|c =|x|cI I I I I I p I I pVậy |x| = |x| c với mọi X e Theo điều kiện tưontig đưong của chuẩn trong truờng

hợp 2 này ta có I I I I Định lý đã được chứng minh

1.2.5. Xây dựng trường số số p-adic p

Từ định lý Oxtropxki ta thấy chuẩn không tầm thường trên là giá trị tuyệt đối

thông thường I I , hoặc là chuẩn phi Archimede I I Mặt khác, ta biết rằng làm đầy đủ theo| I ta được trường số thực Vậy làm

đầy đủ theo I I ta sẽ được trường mới mà ta gọi là trường các số p-adic p

Phép nhân: {x„ị{yn} = {x„.yn}

Khi đó, ta có thể chứng minh các phép toán trên được định nghĩa tốt và không phụ

thuộc vào phần tử đại diện

Hơn nữa, ( ,+,.) là một trường với các phần tử đặc biệt được xác định như sau :

Phần tử không : {0}

Phần tử đơn vị: {1}

Phần tử đối của {xn} là {-xn)

Phần tử nghịch đảo của {x„} * 0 được chỉ ra như sau :

Vì {xrt} là dãy Cauchy mà {xn} * 0 nên X -/>0 khi 00.

Thì {yn} là dãy Cauchy và {yn} = {xn} -Trường gọi là trường số p-adic Chuẩn trẽn p xác định như sau :

Với x = {x„}e , ta đinh nghĩa : |x| = lim|xj (*)

Khi đó, ta dể dàng kiểm tra định nghĩa trên là họp lý, thỏa các điều kiện của chuẩn

Vậy I I xác định theo công thức (*) là chuẩn trên p Mặt khác, ánh xạ j: -> ; được xác định theo qui tắc với a G thì j(a) = {a}

là một đơn cấu trường Nên ta có thể xem là trường con của

Do vậy với a e , ta có thể đồng nhất a với ỹ(ứ) = {ứ}e và ta có:

0 khi n< N 1/ xnkh i n> N

1.2.6. Định nghĩa đồng dư trong

Với a,be ta nói a = &(modpN) nếu \a-b\ < P~N.

Từ định nghĩa ta có nhận xét: nếu a,b e thì định nghĩa đồng dư trong sẽ trùng

với định nghĩa đồng dư thông thường trên tập họp số nguyên

1.2.7. Vành các sổ nguyên p-adic

Tập hợp ,=ịae pỉ\a\ <lỊ cùng với phép toán cộng và nhân trong p lập

thành một vành Vành này được gọi là vành các số nguyên p-adic

Tập hợp tất cả các phần tử khả nghịch của vành p là

;=Ịxe p/-e ,j = Ịxe p/|^=lỊ={xe p/x#0(mod/?)}

1.2.8. Biếu diễn p-adic của sổ X trong }

Với mỗi số xe , thìx viết được dưới dạng :x = b0 +bịP+ +bnp" +

Trong đó 0 < bị < p -1 với ỉ = 1,2,3,

Công thức này được gọi là biểu diễn p-adic của X trong p

Nấu X e không thỏa mãn điều kiện |x| < 1 thì |jd = pm với m e

Tađặt x=x/7mthì |x'| =|x./>m| =|x||pm| - pm p~m =1 nên x'e

Do đó theo chứng minh trên ta có : x' =b0 +bịP+ + bnpn +

Suy ra X = ^ = b0.p~m + bx.p~m+ì + +bm+ bm+ì.p +

Bằng cách đánh lại chỉ số cho thích hợp ta có biểu diễn của X có dạng:

x = c_mp m+c_m+Ịp m+x+ +c0+cìp + +cnpn+

1.3. Tính chất tô pô của

Vì tô pô trong là tô pô cảm sinh bởi chuẩn phi Archimede nên nó có nhiều tínhchất khác lạ so với tô pô thông thường

Trong mục này chúng tôi sẽ trình bày một số tính chất tô pô cơ bản của nhằmphục vụ cho chương 2 và chương 3

1.3.1. Định nghĩa hình cầu, mặt cầu trong

Cho ữ G và r là số thực dương ta định nghĩa :

• Hình cầu mở tâm a bán kính r là tập họp B(a,r) = jx e p : ịx - aị < r j

• Hình cầu đóng tâm a bán kỉnh r là tập họp B [ a,r] = ịxep:\x-a\p<r]Ị

• Mặt cầu tâm a bán kỉnh r là tập họp D(a, r) = jx e p :ịx — a\ = rj

Từ định nghĩa ta thấy ơ là hình cầu đóng tâm 0 bán kính bằng 1 và * là mặt cầutâm 0 bán kính bằng 1

1. Mọi hình cầu, mặt cầu trong p đều là những tập vừa mở, vừa đỏng.

2. Hai hình cầu bất kỳ trong p hoặc lồng nhau hoặc rời nhau.

3. Mọi hình cầu, mặt cầu trong p đều có vơ số tâm Mọi hình cầu đều có vơ

so bán kỉnh.

Theo nguyên lý tam giác cân, ta có: \y- a\) = \b- a\ f

Nên \y-a\ >r.Hay ye \B(a,r).

Suy ra S(b,r)a p\B(a,r).

Vậy \ B(a, r) là tập mở Hay B(a,rj là tập đóng.

Tưong tự, ta cũng có B[a,r] = |jce p'.\x-a\ <rỊ

minh chúng phải lồng nhau.

Giả sử r<s,ta cần chứng minh Bị(a,r) czB2(b,s).

Thật vậy từ giả thiết Bi(a,r)n B2(b,s)*0 Suy ra tồn tại c e B\(a,r)G\B2(b,s)

Đối với hình cầu đóng, chứng minh hoàn toàn tương tự

3. Mọi hình cầu, mặt cầu trong đều có vô số tầm Mọi hình cầu đều có vơ so bán kỉnh.

• Chứng minh mọi hình cầu, mặt cầu đều có vô số tâm

Bây giờ với ae pvầ r e ,r> 0 ta xét một điểm ố bất kỳ b*a trong hình cầu

mở B(a,r)~ Ịxe ^rỊx-ứỊ <rỊ

Ta có \b - a\ <r (do cách chọn b)

Mặt khác nếu X G B(a, r) thì |x - a\} < r Khi đó

|x-ò| =\(x-a) + (a-b)ị < maxị \x-a\ ,\a-b\ |<r

Do đó xeB(b,r) Nên ta có B[a,r) c= B[b,r)

Ngược lại, chứng minh tưoug tự như trẽn ta cũng có: B(a,r)cz B(b,r)

Vậy B(a,r) = B(b,r)\ởi mọi b eB(a,r)

Nói cách khác B[a,r) có vô số tâm.

Bằng cách chứng minh tương tự ta cũng có B[a,r] và D(a,r) có vô số tâm.

• Chứng minh mọi hình cầu đều có vô số bán kính

Trước hết, ta xét hình cầu mở B(a,r) Như ta đã biết hàm chuẩn I I chỉ nhận các giá

trị trong tập I p"/ne Ị u {0} nên tồn tại n e sao cho: pn <r< pn+i

Ta chứng minh B(a,s) = B(a,pn+I) với mọi s thỏa pn <s< pn+i

Thậtvậy, vớimọi xeB(a,s) ta có \x-a\ < S < p"+1 Do đó X <= B(a,pn+Ì).

Nên ta có ổ(a,5)cz B^a,pn+'^

Ngược lại, với mọi y eB(a,pn+l>J ta có \y-a\ < pn+x Suy ra \y-a\ < pn <s Hayy e B(a,s) và do đó ta có B^a,pn+l^d B(a,s)

Vậy B(a,s) - B(a,pn+Ì)

Suy ra với bất kỳ hình cầu B(a,r) với r thỏa p" <r< pn+x ta đều có B(a,r) =

B(a,pn+1)

Do đó B{a,r) = B(a,s) với mọi s,r thỏa p" <s,r< pn+i.

Điều này có nghĩa là mọi hình cầu mở B(a,r) có vô số bán kính.

Đối với hình cầu đóng B[a, r] luôn tồn tại n sao cho pn < r < pn+x.

Ta sẽ chứng minh B[a,s] = #[<2,//'] với mọi s thỏa pn <s< pn+'

Thật vậy, với mọi x<EB[a,s] ta có \x-a\ <s mà pn <s<pn+'

Nên |x-ứ| < pn Suy ra X e B\J 2,P” J Ngược lại, với mọi y eB^a,pn J ta có \y-a\ < pn < s Suy ray e ^[<2,5]

Do đó = B^a,pn J

Vì vậy với pn <r< pn+ì, ta cỏ: Bịa,r] = i?[<2,/?"].

Nên với mọi s thỏa pn <s < pn+' thì B[a,r] = È[a,s\

Vậy hình cầu đóng B[a,r\có vô số bán kính.

4. Ta chứng minh p chỉ cỏ một so đếm được các hình cầu và mặt cầu.

Theo (3) ta có mọi điểm trong hình cầu, mặt cầu đều là tâm của nó Dùng tính chấtnày ta sẽ chứng minh chỉ có một số đếm được các hình cầu và mặt cầu

Thật vậy, lấy bất kỳ a e với re , r > 0.

Theo (3) tồn tại n e sao cho B(a,r) = B(a,pn)

Nên M-{B(a,r)/re ,r > 0} = Ịz?(a, pn)/n e Ị là tập đếm được.

Vậy mọi hình cầu trong đều có dạng B(b,p") trong đỏ be và n e , do đó số

hình cầu trong là tập đếm được

Tương tự, ta cũng chứng minh được mọi hình cầu đóng, mặt cầu trong D đều là

Xét các phần tử a0n (n = 1,2,3, , p -1) ta thấy các phần tử này nhận các giá trị

Tồn tại tập K0 vô hạn các phần tử x0n của dãy {xn} sao cho số hạng đầu tiên trong

khai triển p-adic của mồi phần tử đều bằng bo.

Trong tập K0 các phần tử x0n có số hạng thứ 2 trong khai triển p-adic là aXn với

« = 0,1,2, ,(/7-1) nhận các giá trị trong tập hữu hạn {0,1,2, ,p-\) Vậy phải tồn tại bx e {0,1,2, , p -1} được nhận giá trị vô hạn lần.

Do đó tồn tại tập Kx vô hạn các phần tử xXn của dãy {x0n } sao cho số hạng thứ 2

trong khai triển p-adic của các phần tử đó bằng nhau và bằng bị.

Như vậy, với mỗi m e tồn tại tập Km vô hạn các phần tử xmn của tập Km_ị sao cho

số hạng thứ m trong khai triển p-adic của các phần tử đó bằng nhau và bằng

bm e {0,1,2, ,p-\).

Đặt b = bữ + bxp + b2p2 + + bmpm + bm+xpm+x +

Như vậy ta đã xây dựng được K0 => Kx => => Km =>

Với các phần tử x0„ e Kữ,eKx , ,xmn eKm,

nên x0 + là tập compact chứa x0 Do đó với mọi x0 G

compact chứa x0 nên compact địa phương

đều tồn tại lân cận

Khoảng trong ; là hình cầu đóng tâm a bán kính — v ớ i N G .

Kí hiệu: a + (p N) = B

Từ mệnh đề 1.3.2 ta thấy khoảng là tập vừa mở vừa đóng, hai khoảng bất kỳ hoặc

lồng nhau hoặc rời nhau và không gian mêtric t có một cơ sở gồm các tập mở có

Khi đó, X được viết dưới dạng x = a + bpN +qpjV+1

Hay X - a + ( b + qp)pN e a + {pN).

Vì vậy suy ra a + ( p N ) = \ ^ a + b p v + ( p N + x )

h=0

2 Với mọi tập mở u trong ; giả sử ư là tập compact.

Do u là tập mở trong ,nên u là họp của các khoảng /.: u - U/

Mặt khác, hai khoảng bất kỳ trong hoặc lồng nhau hoặc rời nhau nẽn ta có thể

giả sử u = U/,, trong đó / n ỉ j =0 nếu i* j.

Do ơ là tập compact nên tồn tại J hữu hạn sao cho ư = IK

iej

Ngược lại, giả sử u = ỊJ/f, trong đó I là tập hữu hạn và/; nỉj = 0 nếu i* j Do

iel

là tập compact và Ij là tập đóng nên lị là tập compact Vậy u là tập compact.

Tổng quát: Tập mở u trong 0 là compact nếu và chỉ nếu nó được viết dưới

dạng

họp hữu hạn rời nhau của các khoảng lị.

Thật vậy, chiều thuận là hiển nhiên Ngược lại, giả sử u là hợp hữu hạn rời nhau

của các khoảng lị và Iị = a + (pN).

Do là tập compact nên lị là lân cận compact của a trong

Vậy u = |J/, là tập compact trong n

PN-1

Đặc biệt: = u a + (pN), với mọi số tự nhiên N

a=0

Gọi a e và Irr(a, p ,*)= xn +axxn '+ + an_ịX + an là đa thức bất khả quy với hệ

Người ta chứng minh được rằng n không đầy đủ.

Do không đầy đủ nên rất khó xây dựng giải tích trên nó Nhu cầu cần được giảiquyết là tìm một bao đủ của , được ký hiệu =

Quá trình xây dựng 0 từ B tương tự như quá trình xây dựng ơ từ

k >

p

Trường số n xây dựng được gọi là trường số phức p-adic.

1.4.2. Định nghĩa hình cầu, mặt cầu trong

Cho a e và r là số thực dương Ta định nghĩa :

• Hình cầu đóng tâm a bán kỉnh r là tập họp B [ a , r ] ~ |z e Ị\z-a\ < rị

• Hình cầu mở tâm a bán kỉnh r là tập họp B (ữ,r) = Iz e Ị\z-a\ < r|

• Mặt cầu tâm a bán kính r là tập họp Z)(a,r) = |ze /\z~a\; “rỊ

+

0 Q

n=-<x>

Chương 2 XÂY DựNG Độ ĐO VÀ TÍCH PHÂN P-ADIC

Trong chương này chúng tôi trình bày một số khái niệm cơ bản như: không gian cáchàm hằng địa phương, từ đó đi xây dựng độ đo p-adic Sau đó chúng tôi xây dựng

tương tự p-adic của tích phân Riemann, khảo sát một số ví dụ cụ thể và điều kiện

khả tích của các hàm liên tục làm cơ sở cho chương 3

2.1. Không gian các hàm hằng địa phương

Trong mục này, chúng tôi trình bày khái niệm hàm hằng địa phương trên không

Đe chứng minh điều này ta lấy xe /“' (a) suy ra /(x) = a Do/ là hàm hằng địa phuơng nên tồn tại lân cận ux của X sao cho /{ux) = {ữj, do

đó Uxd f~' (ứ) bởi vậy /_1 (a) là tập mở.

Mặt khác, do Y là TỊ không gian nên tập {ữ} là tập đóng, mà/là hàm số liên tục nên

ví dụ về hàm hằng địa phuơng khác Sau đây là một ví dụ

Lấy xe } khi đó có các khả năng sau xảy ra:

-Nếu j(x) = l thì X G Ư Ta chọn U x =ơ,khiđó ỵ ( U x ) = { \ )

- Nếu z{x) - 0 thì X e \u Ta chọn U x = p\u khi đó U x là lân cận mở của X

Vậy X là hàm hằng địa phuong.

Từ ví dụ trên cho ta thấy hàm đặc trung của tập mở compact U i - là hàm hằng

địa phuơng Dựa vào các hàm đặc trung này ta có thể mô tả tất cả các hàm hằng địaphuơng trên Cụ thể ta có mệnh đề sau

Giả sử X là một tập mở compact của Khi đó tập các hàm đặc trưng của

thì X là hàm hằng địa phương.

vàUvMo}

các hàm hằng địa phương Hay nói cách khác f : X - > p là hàm hằng địa phương nếu và chỉ nếu f là một tố họp tuyến tính của các hàm đặc trưng của các tập mở compact trong X.

Chứng minh

Chiều thuận, gỉa sử /:X -» D là hàm hằng địa phương Khi đó, với mỗi jcel đều tồn tại một lân cận ux của X sao cho /(ơx) là tập chỉ gồm một điểm.

Ta có X = u u Mặt khác X là tập compact nên ta có thể viết X dưới dạng họp

Khi đó: Xu (x) = 1 và Xu (*) = 0 với mọi ỉ * k Do đó 'YsữịXụ (x) = ak.

j=i

Mặt khác f ( u k ) = { a k} nên suy ra /(x) = a k.

Bởi vậy ta có f ( x ) = ịẩ aiXui (x)

i=lNgược lại, giả sử / là một tổ họp tuyến tính của các hàm đặc trưng của các tập mở

compact trong X, nghĩa là:

f M = X a‘Xv (x) V(^l Xu là hầm đặc trưng của tập mở compact Uị trong X.

i= 1 Khi đó với X e X có các khả năng sau xảy ra:

- Nếu XỂ Ui với mọi ỉ e {1,2, ,«} thì xeArxÚí/,.

- Nếu tồn tại i sao cho X e Uị thì không mất tính tổng quát ta giả sử

{1,2, ,«} = /u J sao cho xeUịVỞi /e/và x e ư ị V Ớ i Ì G J .

Do đó X Ể u Đặt ư ' = X \ỊJt/., khi đó U ' là tập mở và X e U '

Đặt U x = ^ním thì u là lân cận của X Khi đó với mọi y e ư thì y e u với

\isỉ / mọi i e I nên X u (T) = 1 với i e l và x u (y) = 0 với i e J

Từ công thức của /(x) suy ra f ( y ) = a với mọi y e ư x Hay /(ơx) = ÌGỈ iela.}.Vậy / là hàm hằng địa phuơng

Cho p là một độ đo p-adic trên X và với mọi tập mở compact u trong X Nếu ta

đặt p^Xu ) = p{u) thì p cỏ thế mở rộng thành một - phiếm hàm tuyến tính từ -không gian véc tơ của các hàm hằng địa phương trên X đến p.

Ngược lại, cho p là một -phiếm hàm tuyến tỉnh từ -không gian véc tơ của các hàm hằng địa phương trên X đến t và với mọi tập mở u compact trong X, nếu

đặt p(u) = p (ỵu) thì p là một độ đo p-adic trên X

Ta xây dựng ánh xạ ỊU từ -không gian véc tơ của các hàm hằng địa phương trên

Xđến p như sau:

Với mỗi / là hàm hằng địa phương trên X thì theo mệnh đề ở mục 2.4.1 ta

có f — ^Jaiỵu với ỵu là hàm đặc trưng của tập mở compact Uị trong X.

(=1

Đặt//(/) = z aiB {u,!) thì ta chứng minh được JJ là một } -phiếm hàm tuyến tính

i=1

từ -không gian véc tơ của các hàm hằng địa phương trên X đến p Nghĩa là nếu

/và g là các hàm hằng địa phương trên X và a e t ta cần chứng minh:

Nên //(/ + g) = // V '=1 +Y,PjXBi =ỴJaiB{Ai) + Ỵ J P j B { B j ) = B ự ) + B { g )ý=i / Í=1 7=1

Vậy Ị I là một - phiếm hàm tuyến tính từ } -không gian véc tơ của các hàm hằng địa phương trên X đến p

Ngược lại, giả sử ụ là một - phiếm hàm tuyến tính từ - không gian véctơ của các hàm hằng địa phương trên X đến và với mọi tập mở compact u trong X

thoả // (Z u ) = // (£/) thì ụ là một độ đo p-adic trên X.

Trước tiên ta chứng minh: Nếu AVA2 là các tập con mở compact trong X và

Trường họp 2: X Ệ Ảị u A1 thì X Ệ Aị và X Ệ A2 nên ta có:

Z A u A 2 { x ) = ° ’ Z A Ì { X ) = 0 , Z A 2 { x ) = 0.

Do đó Z A U A 2 ( x ) = Z A ( X ) + Z A 2 ( x )

-Bởi vậy với mọi XE X ta đều có ZAUA2 ( X ) = Z A ( X ) + Z A , (*) •

Hay ZAUA2 = ZA + XA2'

Tổng quát: Nếu Aj, A2, ,Ak là các tập mở compact đôi một không giao nhau

trong

X và A = M A từ kết quả chứng minh trên ta suy ra: ZA = ỵ^ZA

giao nhau trongX Khi đó Zu =Ỳ*Zul

Suy ra p là một độ đo p-adic trên X.

v b=0 v

Theo định nghĩa độ đo, đế // trở thành độ đo trên tập compact Xa ta cần phải cho giá trị p(u) với mọi tập mở compact u aX Nhưng thực tế, ta có thể sử

dụngphương pháp khác bằng cách sử dụng mệnh đề sau:

Mọi ánh xạ p từ tập các khoảng a + ỊpN) c= X đến p thỏa

M a + ự j ) = ỵ M ( a + b p » + ( p ™ j )

Cỏ thế thác triến một cách duy nhất đến một độ đo p-adic trên X.

Trước hết ta có thể kiểm tra p ( ư ) không phụ thuộc vào việc phân chia u thành

cáckhoảng