Tuygn tap bao cao Hoi nghj KHCN "30 nam Phu khi Viet Nam Co'''' hoi moi, thach thiic moi" 6 8 7 LY THUYET FRACTAL VA CAC UNG DUNG TRONG NGANH CONG NGHIEP DAU KHI Tran Xuan Dao XNLD Vietsovpetro TOM TAT T[.]
Trang 1Tuygn tap bao cao Hoi nghj KHCN "30 nam Phu khi Viet Nam: Co' hoi moi, thach thiic moi" 6 8 7
LY THUYET FRACTAL VA CAC UNG DUNG TRONG NGANH CONG NGHIEP DAU KHI
Tran Xuan Dao
XNLD Vietsovpetro
TOM TAT
Trong thdp nien 70 ciia thi ky XX, nhd todn hoc Mandelbrot vd Hausdorf dd dua ra
nhimg ly thuyit v&i khdi niem m&i goi la ly thuyet Fractal dugc dira tren nguyen ly Synergetic Tir khi xudt hien, ly thuyit Fractal dd nhanh chdng dugc img dung rdng rdi trong cdc Hnh vuc khoa hoc khdc nhau Cdc nhd khoa hoc da dp dung thdnh cdng ly thuyet hinh hoc Fractal trong
viec nghiin cim vd ddnh gid mdt cdch dinh lugng trgng thdi ddng hoc ciia hi thdng cdng nghe
trong ngdnh cdng nghiep ddu khi nhu he ddng hoc cdng nghi khoan, via - gieng, ndng luong
md, cdng nghi van chuyin ddu khi, v.v v&i muc dich tdi uu cdc thdng sd cdng nghi nhdm dam
bdo tinh dn dinh vd bin ddng hoc ciia hi thdng Ngodi ra, ly thuyit hinh hoc Fractal cho phep
md phdng cdc nip udn, mil ne do rdng v.v ciia ddt da thdng qua kit qud nghiin cim khu vuc
di phdt triin cho todn md Vdi ndi dung bdo cdo khoa hoc ndy, tdc gid mudn trinh bdy mdt sd
kit qud khi ung dung ly thuyit Fractal trong ngdnh cdng nghiep ddu khi
FRACTAL - THU NGUYEN PHA D
Khai niem Fractal dugc nha toan hoc nguoi Phap Bemoit Mandelbrot dua ra vao nam
1975 va voi c6ng trinh "Hinh hoc fractal ciia tu nhien" 6ng da nhan duge giai thuang toan hoc
Wolf Prize Chi trong vai thap nien eu6i eiia the ky 20, Fractal da tra thanh mot trong nhung de
tai thai su n6ng h6i eiia toan hoe hien dai va dugc iing dung rong rai vao nhieu nganh khoa hoe
ky thuat, sinh hoc, sinh thai, y khoa, kinh te dieu khien hoe, hoi hoa, v.v [2, 6]
Mandelbrot nhan thay thuang co nhieu y kien eho rang duong nhu thir nguyen la dac
tinh ben trong (noi tai) eua vat the, be mat, hay duong cong la kh6ng diing Thue ra, thir
nguyen eiia d6i tugng phu thuoc vao nguoi quan sat, chinh xac hon la phu thuoc vao m6i
lien he eiia d6i tugng voi the gioi ben ngoai
Ban chat ciia van de eo the lam sang t6 tir vi du true quan sau day Hay tuong tugng
rang chiing ta dang quan sat mot cuon chi Neu khoang each giij-a ta va cuon chi kha Ion thi
cuon chi duge ta nhin thay nhu la mot diem, tire la no hoan toan kh6ng the hien dugc bat eir
cau triie nao ben trong, nghTa la d6i tugng hinh hoe voi thir nguyen Oelit (cam nhan true quan)
bang 0 Den gan cuon chi mgt khoang each nao do, chiing ta se thay no nhu la mot cai dia
phang, nghia la d6i tugng hinh hoe voi thir nguyen bang 2 Den gan each cuon ehi vai buoc,
chiing ta se thay no co dang hinh eau, nhung kh6ng thi phan biet timg sgi chi - cuon chi tro
thanh d6i tirtmg hinh hoc voi thir nguyen bing 3 Khi din gin cuon chi hon nua ehiing ta se
thiy ring no tao thanh tir sgi ehi nghia la thir nguyen Oelit ciia cuon ehi tro thanh bang 1
Culi ciing, neu nhir kha nang phan biet ciia mit chiing ta e6 thi phan biet timg ngu\ en tu
Trang 2688 Ly thuygt Fractal va cac ung dung trong nganh cong nghj£j2jlauj<jli
nghia la tham nhap vao ben trong sgi ehi, chung ta se thay timg diem eiia cuon chi thanh timg nguyen tir nghia la tra thanh doi tugng hinh hoe eiia thir ngu>'en pha
NTiung nlu thir nguyen phu thuoc vao dieu kien eu the thi no eo the duge chon lira mot caeh khae nhau Toan hoe da dua ra mot loat cac dinh nghia khae nhau ciia thii- nguyen Viee chon lira dinh nghia thir nguyen hgp ly nhat phu thuoc vao van de la chiing ta mu6n sir dung dinh nghla nay lam gi (Tinh hu6ng voi sir lua chon thir nguyen hoan toan tuong tu tinh hu6ng voi eau hoi: ""Co bao nhieu ngon tay tren hai canh tay ciia t6i: 3 + 7 hay 2 + 8 ?*" Khi ma chimg ta khong nghT den viee mang gang tay thi eau tra loi nao cung dimg nhu nhau Nhung ehi khi can phai mang gang tay thi eau ti-a loi eho eau hoi nay tro nen ehi eo mot la: "5 + 5")
Mandelbrot de nghi sir dung nhu mot thuoc do "tinh kh6ng deu dan" (do eat gay do
g l ghi, do kh6ng d6ng nhat, v.v ) de xac dinh thir nguyen pha theo de xuat eiia Bezikovich - Hausdof va goi la Fractal Fractal (tir moi cua Mandelbrot) - la d6i tugng hinh hoc voi thir nguyen phan s6 ciia Bezikovich - Hausdorf
Thir nguyen pha eiia Bezikovich - Hausdof lu6n lii6n kh6ng nh6 hon thu- nguyen Oelit va trimg voi Oelit khi doi tugng hinh hoe la chinh tae (duong thang duong cong, mat phang va vat the duge giang day trong sach giao khoa hien dai ciia hinh hoe Oelit) Su khae biet giira thir nguyen pha eiia Bezikovich - Hausdof va Oelit la "s6 du eiia thir nguyen" eo the diing lam thuoc
do sir khae biet eiia cae vat the hinh hoe voi vat the chinh tac Vi du, quy dao phang ciia hat Braoning e6 thir nguyen theo Bezikovich - Hausdof bang 1, lan hon 1 nhung nh6 hon 2: quy dao nay thuong kh6ng phai la duong cong phang nhung eiing chua phai la hinh phang Thir nguyen pha ciia viing hap dan Lorens Ion ban 2, nhung nh6 hon 3: viing hap dan Lorens kh6ng phai la mat phang tron, nhung ehua phai la vat the hinh kh6i [3,4]
De de hieu hon, Mandelbrot dua ra vi du ve do chieu dai bo bien khiic khuyu ciia Nauy tren ban d6 De thuc hiec c6ng viec nay, diing phuong phap 6 luai co kich thuoc 5
de do chieu dai bo bien, tuong img voi gia tri 5, chieu dai bo bien Nauy dirge xac djnh L(5) = N(5).5, trong d6 N(5) la s6 6 luoi Giam kich thuoc 6 luoi 5, s6 lugng N(5) ty le nghich voi kich thuoc 6 luoi va gia tri L(5) se tiem can va dat dugc gia trj kh6ng d6i LN-Xay dung m6i tuong quan log L(6) va log (5) (Hinh 1) cho thay khi giam gia tri 5, gia tri chieu dai do duge tang va tiem can den mot gia tri kh6ng d6i Tir day co the xac dinh
chieu dai do dugc th6ng qua c6ng thirc gan dung sau:
-0
K
3 I • •
-2 - •
- 1 - J
.5 0 0.5 1 1.5 2 2
log (5)
5
Hinh 1: Moi tuong quan giua log L(5) va log (5)
Trang 3Tuygn tap bao cao Hoi nghj KHCN "30 nam Phu khi Viet Nam: Co hoi moi, thach thiic moi" 689
Doi vai cac duong cong chuin thi a = LN khi 8 dat din gia tri nh6 nhit va D = 1 Con
d6i vai ba biin ciia Nauy, tir Hinh 1, gia tri D dugc xac dinh gin bang 1,52 Dae thii phire
tap ciia bo biin dugc bilu diln th6ng qua khai niem Fractal voi thir nguyen pha D Tuong
tu khi xac dinh chilu dai bo biin nuoc Anh, gia tri thii nguyen fractal D gan bang 1,3 Qua
day c6 thi thiy ring gia tri thu nguyen pha D ciia bo bien Nauy Ion hon bo bien nuoc
Anh, tire la mirc do g6 ghi I6i lom eua ba bien Nauy Ion hon cua nuoc Anh That vay, qua
vi du tren, co thi thiy gia tri thu nguyen pha D (Fractal) lu6n phan anh mire do kh6ng
d6ng nhat tir hinh thi, ciang nhu ban chat phirc tap cua d6i tugng dang nghien eiru [6, 8]
THUYET FRACTAL
Trong cong nghiep dau khi, cac d6i tugng nghien cim la cac quy trinh c6ng nghe
khoan, khai thac, van chuyen dau khi, v.v la nhung he th6ng khep kin va lu6n t6n tai sir
chuyen d6i nang lugng tir trang thai nay sang trang thai kbac va nguge lai Day chinh la
nhtrng trang thai dong hoc phan anh dung ban chat ciia he th6ng voi cac mirc do phirc tap
kbac nhau Trang thai dgng hgc ciia he th6ng la he qua ciia mgt tap hgp cac tham s6 tham
gia va tao nen trang thai ciia he th6ng do Nen viec nghien cuu trang thai dong hoc ciia d6i
tugng nghien cuu giir mot vai tr6 bet sue quan trong trong qua trinh dieu khien chiing Tir
ket qua nghien cim trang thai dong hoc se cho phep xac dinh dugc d6i tugng nghien ciru
dang a trong trang thai ben dong hoc hay noi mot each kbac la 6n dinh, can bang dong
hoae bi roi vao trang thai bat 6n dinh, mat tinh ben dong, v.v de xac dinh diing thai
diem hieu chinh cac tham s6 c6ng nghe hay thay d6i ky thuat - c6ng nghe cho phii hgp
ban
Bang ly thuyet Fractal, ma cu the la ly thuyet hinh hoc Fractal de nghien ciru va
danh gia mot each dinh lugng ve trang thai dong hoc hay ban chat ciia he th6ng c6ng
nghe De de hieu ban, trong khu6n kh6 bao cao khoa hgc nay, chiing t6i se trinh bay cu
the ket qua nghien cuu ciia minh trong qua trinh khao sat va danh gia he th6ng cong
nghe khoan th6ng qua khao sat s6 lieu thuc te ciia cac gieng da khoan, mu6n biet nhtrng
s6 lieu nay co chira nhtrng th6ng tin dac trung ve cac dac diem dong hoc cua qua trinh
khoan gieng hay khong Hay noi each khae, qua trinh dang dugc nghien eim dien ra mot
each diu dan hay h6n loan, bi ap dat hay ngau nhien De tra lai cau hoi nay can xac dinh
thu nguyen Fractal (theo nghTa Hausdorf) cua qua trinh, gia tri tich phan lien ket va thir
nguyen kh6ng gian pha
Ggi - chu6i dij lieu dau ra cua mot th6ng s6 c6ng nghe nao do (nhu Vco hoc,
Heboong, Vhiep, v.v ) theo chieu sau gieng khoan Ro rang la ngoai th6ng s6 nay, nhieu
thong s6 khae ciing tham gia vao qua trinh d6 (3 day chiing toi kh6ng sir dung mot m6
hinh cu the nao, vi vay khi mu6n phuc h6i lai dong lire cua qua trinh tren ea so mot quan
he duy nhat da biet la Xo (x) Voi muc dich nay, can khao sat kh6ng gian pha dugc tao bai
cac bien {Xk}, k = 0, , n-1, va xac dinh thu nguyen t6i thieu ciia kh6ng gian pha (n)
Th6ng tin ban dau Xo (x), de tien cho tinh toan, dugc triln khai thanh cac chu6i voi
cac buoc chuyen dich tang dan, cac buac chuyin dich nay dugc xac dinh nhu la boi sl ciia
gia tri tre v cho truoc nao do (v = m.Dx, a day m la s6 nguyen, e6n Dx - la khoang each
Trang 4690 Ly thuyet Fractal va cac iing dung trong nganh cong n g h i f p j j u j ; ^
giija cac gia tri kl tilp) Dieu nay cho phep kit hgp cac dilm trong kh6ng gian pha, dimg each Xi mot khoang, kh6ng vugt qua gia tri "r" cho truoc nao do va tinh gia tri ham lien ket sau:
' 7 = 1
6 day: q la ham "Heviside" q(x) = 0 khi x <= 0, va q(x) =1 khi x > 0 Tilp theo, xay dung mli quan he In C(r) voi In r voi cac gia tri kbac nhau ciia N, theo d6 xac dinh thir nguyen ciia kh6ng gian pha n, va dac trung cua qua trinh dong lire hgc - thu nguyen Fractal (D)
D I xac dinh ban chit va muc do phirc tap ciia he dong hoc trong khi khoan, chiing t6i da tinh dugc gia tri thu nguyen Fractal (D) va thu nguyen kh6ng gian pha (n) thai gian lam viec cua cho6ng theo cac gieng khoan do cac hang khae nhau khoan tren mo Bach Ho
va R6ng Trong do, gia tri thir nguyen pha Fractal D cua cac gieng nay dao dgng trong khoang 1,15 - 1,64, dieu nay noi len rang ve nguyen ly c6 the dieu khien dugc cac h6n loan nay
Khi xem xet gia tri thir nguyen kh6ng gian pha n cua thai gian choong lam viec lai bien thien rat phii hgp vai ket qua nghien ciru theo ly thuyet tham hga - Catastrof, cu the la gia tri n = 3 - 25 kha 6n dinh trong khoang khoan den noc mong Khi khoan trong mong gia tri n da tang vgt len 80 - 100, chi ra rang c6ng nghe khoan hien thai kh6ng bao dam do 6n dinh dong hoc ciia qua trinh khoan hay noi mgt each kbac la quy trinh cong nghe hien thoi kh6ng con phii hgp vai dieu kien hien tai va ket qua cua no la hieu qua lam viec cua cho6ng thap va quT dao thiet ke ciing nhu phuong vi gieng khoan kh6ng 6n djnh
Ket qua nghien cuu va tinh toan dugc the hien trong Hinh 2, 3
Van de nay c6 the giai quyet bang each ap dung cac cbl do khoan mai va hoan thien
bo khoan cu day
1300 1800 2300 2800 3300 3800 4300 4800
100
80
60
40
-
20-0 - •s
1300
-._,
'
^
1800
_ _|_
V*
u
2300
H
-^•^•*
2800
:
\
1
\
1
3300
' \
3800 4300 4800
Hinh 2: Dien bien ciia thii- nguyen D Hinh 3: Dien bien cua thu- nguyen khong theo chieu sau gieng khoan 427 gian pha (n) theo chieu sau gieng 427
Tuong tu, khi nghien cuu he thong c6ng nghe ciia duong 6ng van chuyen dau khi a
mo Bach H6, kit qua tinh toan thir nguyen pha D = 1,01 ^ 1,37 va thu nguyen kh6ng gia pha n = 9 ^ 22 (Hinh 4), cac gia tri thir nguyen nay lu6n thay d6i theo thai gian Chinh su bien thien nay cho phep chiing ta xac dinh dung thai dilm ma 6 d6 cac th6ng so c6ng nghe
Trang 5Tuygn tap bao cao HQi nghj KHCN "30 nam Phu khi Viet Nam: Co' hoi moi, thach thiic moi' 691
kh6ng e6n phii hgp khi ma D hoae n eo su dot biin bat thuong hay vugt ra ngoai tam kiem soat [1, 2]
Nghien cim va danh gia trang thai dong hoc ciia tang san pham th6ng qua cac s6 lieu san lugng khai thac hang thang, kit qua tinh toan cac thir nguyen pha Fractal D va thir nguyen kh6ng gian pha n tir nam 1988 cho din 12-2004 dugc trinh bay trong Hinh 5 Tir ket qua nay c6 the dua ra cac nhan xet sau: Tir ngay dua tang san pham vao khai thae din thang 2-1992 trang thai dong hoc ciia tang san pham co tinh 6n dinh cao, nhung din thang 3-1992, via mat di trang thai 6n dinh v6n co cua no, gia tri n tang vot tir 4 len 20 va hien tugng nay keo dai den thang 11-1993 Tinh 6n dinh cua via dugc tang din theo thai gian
va kha binh In tir 9-1994 cho din 7-1995
^"^ ^<• o'^V^ ^° V* N^ s-^ <<^ ^<''«' y -^^ ^^^ ^°%j?^ <^ N=s^ s ^ s-^ ^ ^ ^%^* d^ ^ ^^ ^^
•Thii nguyfin khdng gian pha n -Thii nguySn pha D
Hinh 4: Dien bien cua thir nguyen pha D v^ khong gian pha n theo thdi gian cua h^
thong cong nghe van chuyen dau khi & mo Bach Ho
0\ — m in
P h a n bo t h e o t h a i gjan
- • — T h u n g u y e n k h o n g gjan p h a n — T h i i nguyen p h a D
Hinh 5: Dien bien cua thu nguyen pha D va thu nguyen khong gian pha n cua san lu-ffng
khai thie tang mong mo Bach Ho theo thoi gian
Trang 6692 Ly thuygt Fractal va cac iing dung trong nganh cong nghiep dau khi
Tir thang 8-1995 din 10-1996, trang thai dgng hoc cua via lai mot lin ntra mat di tinh In dinh ciia no, nhung lan nay mirc do phirc tap hon vol n = 26 va D = 1,197 Tir
10-1996, trang thai dong hoe ciia via co tinh 6n dinh tang din din thang 12-1998, nhung sau
do lai roi vao trang thai mat can bang (12-1998 - 3-2000) va lin nay gia tri n da tang vot len 27, D = 1,235 Tii 3-2000 din 5-2002, dong thai cua via tra lai In dinh ban, nhung tir thang 6/2002 din 2/2005, via lai mot lan ntra rai vao trang thai mit tinh In djnh ciia no (n
= 25 - 26, D = 1,163) Qua kit qua khao sat trang thai dong hoc ciia ting san pham mong m6 Bach H I tren co so ly thuyit hinh hoc Fractal cho thay tir ngay dua vao khai thac c6 4 giai doan 1/1992 - 3/1992, 7/1995 - 10/1995, 12/1998 - 3/1999 va 5/2002 - 6/2002 ma a
do CO su thay dii trang thai dong hoc kha ro net ve tinh 6n dinh tren quan diem ben dong
iTNG DUNG CUA LY THUYET FRACTAL TRONG CAC KHOA HOC TRAI D A T
Ciing nhu phin tren da de cap, viec khao sat dia mao, hinh dang bo bien, he th6ng s6ng ng6i, dii nui, day bien hay mot vat the nao do, v.v th6ng qua thir nguyen pha D dugc tinh toan va xac dinh theo mot duong d6ng mirc dac biet cua ban d6 dia hinh voi cac gia tri thay d6i cu the Ngoai ra, trong thap nien cu6i cimg cua the ky 20, viec img dung ly thuyet Fractal het sire rong rai trong nganh c6ng nghiep dau khi, ma nhat la trong c6ng tac khao sat m6i truong r6ng phirc tap chira dau khi trong da tram tich cQng nhu trong da mong granit nirt ne
Cac c6ng trinh khoa hoc ciia Hewett T.A., Krohn C.E., Xie H., Turcott D.L., Sakin X.X, v.v cho thay viee img dung ly thuyet hinh hoc Fractal da mang lai nhting ket qua ngoai mong dgi trong ITnh vuc dau khi, nhu viec xac dinh thir nguyen Fractal d6i voi cat ket
va thay rang gia tri thir nguyen nay phu thuoc vao timg loai cat ket Hinh hoc Fractal la mot e6ng cu hiiu ich trong khao sat cac khe nirt, dirt gay voi kich thuoc thay d6i tir micro cho den macro Ciing nhu viec img dung Fractal trong khao sat cac u6n nep phuc tap ciia mo quang quaczit sat trong b6n triing Krivorozie a Ukraina Mo quang quaczit a day phan lop mbng, bj u6n thanh nhieu cap, tir nep Ion cua ca mo den vi nep voi bien do vai mm Cac gia tri thir nguyen pha dugc xac dinh dua tren cac mat cat cau true dia chat va dugc sir dung de phan loai, xay dung cac he s6 do u6n khiic, chi s6 mirc do tham do de khao sat mo va xac dinh khoang each thich hgp giua cac 16 khoan tham do cho timg loai mo theo cac mirc do phuc tap khae nhau voi cac muc dich tham do va khai thac khae nhau [7, 9, 10, 11, 12] Ngoai ra, ly thuyet Fractal con dugc img dung trong khao sat do r6ng, do tham, nhung tham s6 quan trong trong dia chat thiiy van, dia nhiet, v.v Cting nhu trong nghien cuu nhijng van de c6 tinh chat co ban trong phuong phap tham do dien va dac biet nhat la trong nhung d6i tugng voi cac dao dong nh6 [3]
KET LUAN
Ly thuyet Fractal la mot c6ng cu toan hoc hit sire moi me, thu nguyen pha Fractal chi la mot tham so hinh hoc nhung da dugc ap dung rong rai vao cac nganh khoa hgc khae nhau, nhat la trong ITnh vuc diu khi Cimg voi hinh hoc Oelit, ly thuyet Fractal da tro thanh mot c6ng cu de m6 ta, nghien cuu cac doi tugng va hien tugng tu nhien phuc tap va
Trang 7Tuygn tap bao cao Hoi nghj KHCN "30 nam DSu khi Viet Nam: Co hoi moi, thach thiic moi" 693
mang lai nhilu kit qua hit sire kha quan trong cae nganh hep nhu dia mao, dja chat, dia
vat ly, phat triln m6, khoan, khai thac, van chuyin, v.v
Nghien cuu va tilp can dii tugng bing ly thuyet Fractal trong danh gia ban chat ciia
he thong da thi hien nhimg uu dilm vugt troi, cho phep xac dinh duge ea dinh tinh lan
dinh lugng vl ban chit ciia dii tugng nghien cim trong kh6ng gian da chieu
Nhimg ket qua dat dugc khi ung dung ly thuyet Fractal trong ITnh vue dau khi cua
nhiJng nam gan day da mo ra nhtrng huong nghien cim moi va nhtrng phuong phap mai
trong xir ly s6 lieu, tai lieu va th6ng tin thu nhan dugc trong cac quy trinh c6ng nghe voi
ket qua co do tin cay cao
TAI LIEU THAM KHAO
1 Tran Xuan Dao, 2000 Cdch tiip can m&i phdn tich co chi bin ddng hoc quy trinh khoan da mdng nut ne eua md Bgch Hd Bao cao khoa hoc tai Hoi nghi Dau khi the
gioi lan thii 16 tai Calgary, Canada, 6/2000
2 Tran Xuan Dao, 2000 Cdc nguyen ly Synergetic di hodn thiin vd ndng cao hiiu qud
cua td hgp cdng nghi khoan cdc giing ddu vd khi tgi thim luc dia Viet Nam Bao cao
khoa hoc tai Hgi nghi C6ng nghe cac nuoc ASEAN lan thir 18, CAFEO 2000, Ha Ngi,
11/2000
3 Ng6 Van Buu, 2001 Fractal trong cdc khoa hoc Trdi ddt Tuyen tap cong trinh khoa
hoc, Tap 36, Ha Noi, 11/2001
4 Hoang Tuy, 2000 Hinh hoc Fractal Bai giang tai Vien Toan hoe Ha Noi, thang
3-4/2000
5 Kanisa S.P., Rurdiumov S.P., Malinheskii G.G., 1997 Synergetic vd du dodn tuong lai Matxcova, NXH Khoa hgc {tiing Nga)
6 Feder J., 1991 Fractal Matxcova, NXB Mir {tiing Nga)
7 Sakin X.X., Xavina I.G., 2000 Phdn tich Fractal trir lugng thiic & md Deputat Dia
chat va tham do, S6 I
8 Mandelbrot B.B., 1982 The fractal geometry of nature San Francisco
9 Hewett T.A., 1994 Fractal methods for fracture characterization AAPG Bull., Tulsa,
Oklahoma, USA
10 Turcott D.L., 1997 Fractals and chaos in geology and geophysics Cambridge
11 Krohn C.E., 1988 Fractal measurements of sandstone, shales and carbonates
Geophysics, Res 93, B4
12 Xie H., 1993 Fractal in rock mechanics Rotterdam & Brookfield, VT A.A Balkema