Đánh giá tiên nghiệm của nghiệm hệ bất phương trình vi phân hàm và các ứng dụng của chúng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HỒ CHÍ MINH Nông Thị Thùy Nga ĐÁNH GIÁ TIÊN NGHIỆM CỦA NGHIỆM HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM VÀ CÁC ỨNG DỤNG CỦA CHÚNG LUẬN VĂN THẠC

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HỒ CHÍ MINH

Nông Thị Thùy Nga

ĐÁNH GIÁ TIÊN NGHIỆM CỦA NGHIỆM HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM VÀ CÁC

ỨNG DỤNG CỦA CHÚNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2015

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HỒ CHÍ MINH

PGS.TS NGUYỄN ANH TUẤN

Thành phố Hồ Chí Minh – 2015

LỜI CẢM ƠN

Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS.TS Nguyễn Anh Tuấn – Khoa Toán Tin – Trường Đại học Sư phạm TP.Hồ Chí Minh, người thầy kính yêu đã nhiệt tình giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn, tôi xin kính gửi lời cảm ơn sâu sắc và chân thành nhất tới thầy

Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến Quý Thầy Cô Trường Đại học Sư phạm TP.Hồ Chí Minh đã truyền đạt cho tôi những kiến thức quý báu và cần thiết để tôi nâng cao trình độ chuyên môn, phương pháp làm việc hiệu quả trong quá trình học tập cũng như trong giảng dạy

Tôi xin cảm ơn Ban giám hiệu, Ban chủ nhiệm khoa Toán – Tin và Phòng Sau đại học – Trường Đại học Sư phạm TP.Hồ Chí Minh đã giúp đỡ và tạo điều kiện cho tôi trong thời gian học tại trường

Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến Quý Thầy Cô ở Thư viện của trường Đại học Sư phạm TP.Hồ Chí Minh đã giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn tại trường

Xin gửi lời cảm ơn đến quý Thầy trong Hội đồng chấm luận văn đã dành thời gian quý báu để đọc, chỉnh sửa, góp ý và phản biện cho tôi hoàn thành luận văn này một cách hoàn chỉnh nhất

Cuối cùng xin chân thành cảm ơn gia đình và bạn bè đã luôn quan tâm và động viên giúp tôi hoàn thành luận văn này

TP Hồ Chí Minh, tháng 9 năm 2015

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

MỘT SỐ KÍ HIỆU 5

Chương 1 CÁC ĐỊNH LÝ VỀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM 6

1.1 Giới thiệu bài toán 6

1.2 Mối liên hệ giữa hệ bất phương trình vi phân hàm và nghiệm bài toán biên tuyến tính 7

Chương 2 ĐÁNH GIÁ TIÊN NGHIỆM CỦA NGHIỆM HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM 30

2.1 Giới thiệu bài toán 30

2.2 Bổ đề về bất đẳng thức tích phân và vi phân 31

2.3 Đánh giá nghiệm của hệ bất phương trình vi phân hàm 34

Chương 3 ỨNG DỤNG CỦA VIỆC ĐÁNH GIÁ NGHIỆM HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM 40

3.1 Giới thiệu bài toán 40

3.2 Đánh giá nghiệm của hệ phương trình vi phân đối số chậm (3.1), (3.3) 42

3.3 Đánh giá nghiệm của hệ phương trình vi phân đối số chậm (3.2), (3.3) 51

3.3.1 Định lý về sự bị chặn của nghiệm không mở rộng được 51

3.3.2 Định lý về sự bị chặn của nghiệm hệ bất phương trình vi phân hàm tổng quát 61

KẾT LUẬN 69

TÀI LIỆU THAM KHẢO 71

M Ở ĐẦU

1 Lý do ch ọn đề tài

Các phương trình vi phân hàm đã xuất hiện từ thế kỉ XVIII như một công cụ toán học cho những bài toán trong vật lí và hình học Tuy nhiên, cho đến cuối thế kỉ XIX chúng mới chỉ được biết đến trong các áp dụng cụ thể và chưa có nghiên cứu một cách hệ thống về chúng Đầu thế kỉ XX, sự quan tâm dành cho phương trình vi phân hàm tăng lên, đặc biệt là đối với các ứng dụng trong cơ khí, sinh học và kinh tế Ở thời điểm đó, các nhà toán học đi theo hướng nghiên cứu này đã xây dựng nên các lý thuyết định tính cho phương trình vi phân hàm

và những lý thuyết đó vẫn còn tồn tại cho đến ngày nay Vào thập niên 1970, những phát kiến lớn trong việc xây dựng lý thuyết bài toán biên cho phương trình vi phân hàm đã được đề xuất và là nền tảng cho các kết quả về hệ phương trình vi phân đối số chậm Tuy nhiên, vẫn còn nhiều khó khăn trong việc nghiên cứu về phương trình, bất phương trình vi phân hàm ngay cả trong trường hợp tuyến tính

Trong những năm gần đây những nỗ lực nghiên cứu này đã thành công trong trường hợp của một số bài toán biên cho phương trình vi phân hàm Đặc biệt là trong các công trình của các tác giả Ivan Kiguradze, Bedrich Puza và Zaza Sokhadze, những điều kiện tinh vi đảm bảo cho tính giải được và giải được duy nhất của một lớp rộng các bài toán biên cho phương trình vi phân hàm đã được phát hiện

Một trong những phương pháp chính của việc nghiên cứu bài toán biên cho phương trình vi phân hàm là đánh giá tiên nghiệm của nghiệm hệ bất phương trình vi phân hàm, hệ phương trình vi phân đối số chậm, đối số lệch và các kỹ thuật về bất đẳng thức đạo hàm

Tôi chọn đề tài này làm nội dung nghiên cứu của luận văn nhằm học tập và phát triển đề tài của mình theo hướng này

2 Mục đích của đề tài

Nghiên cứu, đánh giá tiên nghiệm của nghiệm hệ bất phương trình vi phân trong lý thuyết bài toán biên Trên cơ sở những đánh giá đó, ta xây dựng các điều kiện đủ cho tính giải được, tính bị chặn, tính ổn định của nghiệm hệ phương trình vi phân hàm phi tuyến

3 Đối tượng nghiên cứu

Nội dung chính của luận văn là trình bày lại kết quả nghiên cứu của Ivan Kiguradze, Bedrich Puza và Zaza Sokhadze, cụ thể là:

Chương 1 trình bày lại một phần kết quả của tài liệu [12], đưa ra các định lý

chặn, l và diag(σ 1 , , σn)p là toán tử tuyến tính dương, p p, 0 :C I( , n)→L I( , n)

g  +× → + f  +× →  i= n là các hàm thỏa điều kiện

Carathéodory địa phương; g0i∈L loc( +),g0i ≥ ∀ ∈ 0, t + (i= 1, , )n ;

4 Phương pháp nghiên cứu

Tổng hợp các kết quả về tính chất của nghiệm hệ bất phương trình vi phân hàm với các điều kiện biên khác nhau Ứng dụng các đánh giá tiên nghiệm của các bất phương trình này để xem xét tính bị chặn, tính ổn định, tính ổn định tiệm cận của hệ phương trình vi phân đối số chậm và đối số lệch Ngoài ra, tìm hiểu các tài liệu liên quan đến vấn đề được quan tâm

5 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài nghiên cứu

Đề tài là tài liệu tham khảo cho sinh viên, học viên cao học, nghiên cứu sinh khi nghiên cứu về hệ bất phương trình vi phân hàm và lý thuyết ổn định cho hệ phương trình vi phân đối số chậm để ứng dụng vào vật lý, sinh học, kinh tế…

6 N ội dung luận văn

Luận văn gồm ba chương:

Chương 1 Các định lý về hệ bất phương trình vi phân hàm

Trong chương này, ta sẽ đánh giá nghiệm của bài toán biên tuyến tính thông qua các kết quả về hệ bất phương trình vi phân hàm

Chương 2 Đánh giá tiên nghiệm của nghiệm hệ bất phương trình vi phân hàm

Trong chương này, ta xét tính giải được của bất phương trình

( ) 1

và đánh giá nghiệm của nó

Chương 3 Ứng dụng của việc đánh giá nghiệm hệ bất phương trình vi phân hàm

Ứng dụng việc đánh giá tiên nghiệm của nghiệm hệ bất phương trình trên để xem xét tính bị chặn, tính ổn định của nghiệm hệ phương trình vi phân đối số chậm

• L I( ) là không gian các hàm x I: →  khả tích Lebesgue

• L loc( )I là không gian các hàm x I: →  khả tích Lebesgue trên mọi tập con compắc của I

Chương 1 CÁC ĐỊNH LÝ VỀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

HÀM

1.1 Gi ới thiệu bài toán

Xét bài toán biên tuyến tính cho hệ phương trình vi phân

Định nghĩa 1.2 Cặp (p, l) được gọi là thuộc tập hợp 1 , , n

Ta sẽ tìm điều kiện để (p,l) thuộc 1 , , n

l

b a

dx

q t dt

=

=∫ Φ  =

Ta có: x t′( )= Φ( ) ( )t q t − Φ( ( )t −E q t) ( ) ( )=q t

dx dt

Giả sử (1.8) thỏa mãn, y và z là nghiệm bất kì của bài toán (1.3), (1.4) và (1.5), (1.6) Theo định lý 1.1.1 ([9], trang 13), bài toán (1.1), (1.2) có duy nhất nghiệm x

Định nghĩa 1.6 Toán tử tuyến tính v C I: ( , n)→L I( , n) (v C I0 : ( , n)→ n)gọi là dương nếu v x( )∈L I( , n+) (v0( )x ∈ n+) với mọi x∈C I( , n+)

Khi đó, (1.8) thỏa mãn khi và chỉ khi bài toán

Do (1.13) ta có: diag(σ 1 , , σn)p x( )( )t ≥diag(σ 1 , , σn) ( )( )p x t và l ( )x ≥l x( ).Khi đó, từ (1.11), (1.13) ta có

Nếu c= 0, q( )t ≡ 0 thì theo giả thiết, bài toán thuần nhất (1.10), (1.20) có nghiệm

Vậy bài toán (1.14), (1.15) không có nghiệm không âm khác tầm thường.□

Định nghĩa 1.8 Ma trận Y∈ C I( , n n× ) gọi là ma trận cơ bản của bài toán (1.10), (1.20) nếu Y t′( )= p Y( )( )t hầu khắp nơi trên I và l Y( )=E

Định nghĩa 1.9 Toán tử tuyến tính bị chặn : ( , n) ( , n)

g L I  → C I  gọi là toán

tử Green của bài toán (1.10), (1.20) nếu với mỗi q∈L I( , n) thì vecto hàm

( ) ( )( )

Định nghĩa 1.10 Ma trận hàm đo được G I I: × → n n× gọi là ma trận Green của bài toán (1.10), (1.20) nếu

g q t =∫G t s q s ds Giả sử p0 :C I( , n)→L I( , n) là toán tử tuyến tính bị chặn mạnh,

Bổ đề 1.12 Giả sử bài toán (1.170), (1.180) chỉ có nghiệm tầm thường và tồn tại ma trận n n

Vậy bài toán (1.21), (1.22) chỉ có nghiệm tầm thường.□

Bổ đề 1.13 Giả sử x=( )x i i n=1 ∈C I( , n) và p0, l0 được biểu diễn

( )

( )

( )

( ) ( ) ( )

'

1 '

2 0

Vậy x(t) = 0 hay bài toán (1.170), (1.180) chỉ có nghiệm tầm thường và cặp

[ , ] 1

Vậy, G t s0( ), xác định như trên là ma trận Green của bài toán (1.170), (1.180)

Do đó, nếu (1.27) thỏa mãn thì (1.20) cũng thỏa, trong đó σi(i= 1, ,n) là hàm cho bởi (1.28) Do đó, theo chú ý 1.11 ta có điều phải chứng minh.□

Chú ý 1.14 Ta thấy, nếu có i0 ∈{1, ,n} và s0∈I thỏa

Suy ra χ[ ]a t, ( )s − δi( )s ≥ 0 ⇒ χ[ ]a t, ( )s = 1 Do đó b0 ≤ ≤t b.

Nếu σi0( )s = − 1, s ∈(a b0 , 0)∩I0 thì g i0( )t s, ≤ 0 (t∈I)

Suy ra χ[ ]a t, ( )s − δi( )s ≤ 0 ⇒ χ[ ]a t, ( )s = 0 Do đó a≤ ≤t a0

Nhưng điều này vô lí vì σi0 không phụ thuộc vào t Ta có điều mâu thuẫn.□

Định lý 1.15 Giả sử toán tử p và l được biểu diễn

Hệ quả 1.16 Giả sử

n n

p C I  →L I  i= n là toán tử tuyến tính dương

Hơn nữa, tồn tại số không âm µik(i k, = 1, ,n) sao cho

( )( ) ( ( )( ) ) 1 ( ) ( )

, l

n n

i a

ζ ζ δ

Và

0 01 1 , , 0n n ,

Y t ≤diag γ γ γ γ ∀ ∈t I (1.47)Thật vậy:

Y t Λ +∫ G t s Ρ s ds≤ γ l = + µ = ∀ ∈

Do đó, (1.34) thỏa mãn, trong đó H là ma trận cho bởi (1.41)

Vậy, theo định lý 1.15, (1.8) thỏa mãn.□

Bài toán này có nghiệm x t( )≡ −( )δij i n=1.

Trong đó thành phần thứ j là âm trên I Vì vậy, ( ) 1 , ,

rΛ +diag γ γ Ρ t dt<

Điều kiện (1.50) thỏa mãn

Khi đó, (1.8) thỏa mãn khi và chỉ khi

( ) 1 1, ,( )

b

i i a

Ta có:

( 1 ) ( )

b n a

b n

b

i i a

γ ∫ < nên điều kiện (1.49) thỏa mãn

Theo hệ quả 1.18, điều kiện (1.51) là điều kiện đủ để (p,l) thuộc 1 , , n

I

Chứng minh điều kiện cần:

Trong trường hợp bài toán thuần nhất có dạng

( ) ( ) ( )1

1

1 1

, ,

n n

1 1

, ,

n n

1 1

n n

, ,

1 1

σ σ

i i

b

i i a

p s ds

γ γ

a b

b

j j a

Gọi xj là thành phần thứ j của nghiệm, khi đó

( ) ( 2 1) ( ) 0

b

x b = ησ α − ∫ p s ds<

Chương 2 ĐÁNH GIÁ TIÊN NGHIỆM CỦA NGHIỆM HỆ BẤT

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM 2.1 Giới thiệu bài toán

Cho I là khoảng hữu hạn hoặc vô hạn Trên I ta xét hệ bất phương trình vi phân hàm

x t =C +∫q s ds suy ra x khả vi hầu khắp nơi trên I và

( ) ( ),

x t′ =q t ∀ ∈t I

Ta có

( ) 0 ( )

0

t t

x t =C +∫q s ds là nghiệm bài toán ( ) ( )

dx t

q t dt

( ) ( ) ( )

0

t t

dy t

P s ds q t dt

dy t

P s ds q t dt

Vậy ta có điều phải chứng minh.□

2.3 Đánh giá nghiệm của hệ bất phương trình vi phân hàm

Định lý 2.5 Cho I = [a,b], a b, ∈ , khi 1 .

khi 1

i i

i

a t b

σ σ

=



Các điều kiện (2.2), (2.3) thỏa mãn

Khi đó, với mọi nghiệm không âm ( )n1

Trường hợp σ =i 1(i= 1, n): với mọi t∈( , ]a b thì sign t t( − i)=sign t a( − )= > 1 0

Do đó, với mọi nghiệm không âm ( )n1

i i

u = của hệ (2.1), ta có

( ) 1

Điều kiện (2.3) thỏa mãn

Trong mỗi trường hợp đó, nghiệm ( )n1

1 0

Điều kiện (2.3) thỏa mãn

Khi đó, với mọi nghiệm không âm ( )n1

Chương 3 ỨNG DỤNG CỦA VIỆC ĐÁNH GIÁ NGHIỆM HỆ BẤT

g +×  → + f +×  →  i= n là các hàm thỏa điều kiện

Carathéodory địa phương;

( )

r loc

q ∈L + để g t x( , ) ≤q t r( ) hầu khắp nơi trên  +, với n

x∈  thỏa x ≤r Định nghĩa 3.2 Cho I = [ , )a b nếu −∞ < < ≤ +∞a b , I = [ , ]a b nếu

−∞ < < < +∞ Vectơ hàm ( )x i n= :I→ n gọi là nghiệm của bài toán (3.1), (3.3)

(hoặc bài toán (3.2), (3.3)) trên I nếu x i∈Cloc( ) ( )I ,x a i =c0i(i= 1, , )n và hầu khắp

nơi trên I thỏa phương trình (3.1) (hoặc (3.2)), trong đó

x = không thỏa điều kiện trên gọi là không mở rộng được

Định nghĩa 3.4 Nghiệm tầm thường của hệ (3.1) (hoặc hệ (3.2)) gọi là ổn

định đều nếu với mọi ε > 0, tồn tại δ > 0 sao cho với mọi

n

i C a i

=

<

Định nghĩa 3.5 Nghiệm tầm thường của hệ (3.1) (hoặc hệ (3.2)) gọi là ổn

định tiệm cận đều nếu với mọi ε > 0, tồn tại δ > 0 sao cho với mọi a∈ +,c0i∈  ,

Các điều kiện trên thỏa với i k, = 1, ,n

Khi đó, nghiệm không mở rộng được của bài toán (3.1), (3.3) xác định trên

u = là nghiệm không âm của hệ (2.1) với σi = 1, I = [a,b]

Đặt h h ik, i như trong (2.2) với t i =a

1 exp ( )

a i t

i i

i C a b i

Khi đó, nghiệm không mở rộng được của bài toán (3.1), (3.3) xác định trên

[a, +∞) và triệt tiêu tại vô cùng

i a

x x

y y

i1

t

n i

in a

y y

Khi đó, nghiệm tầm thường của hệ (3.1) ổn định đều

= Khi đó ( 0 ( , ))

1

n

i i C a i

=

<

∑

Vậy nghiệm tầm thường của hệ (3.1) ổn định đều □

Hệ quả 3.9 Giả sử trên n

Từ (3.34) ta có: ( ) exp 0( ) , 0 ,( 1, , )

t ik

Vậy nghiệm tầm thường của hệ (3.1) ổn định tiệm cận đều.□

Hệ quả 3.10 Giả sử với i k, = 1, ,n ta có

Từ (3.38), tồn tại γ >0 sao cho 0 ≤ −t tik( )t ≤ γ h.k.n trên + ,(i k = 1, ,n)

Từ (3.9), tồn tại số η>1 sao cho

( ) 1, ( )ik n i k, 1

r Lη < Lη = ηl = (3.40) Thật vậy: giả sử li(i= 1, ,n) là các giá trị riêng của ma trận L thì li(i= 1, ,n) là nghiệm phương trình: det(L− lE)= 0

Suy ra: :1 1 , i=1, ,n

η = ∀ với ϕi(i= 1, ,n) là các giá trị riêng của ma trận Lη và ϕ η li = i < ∀ 1, i=1, ,n.

Vậy ta có (3.40)

Chọn ε > 0 sao cho (1 +ε)exp( )ε <η

Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử ( ) 1,

t o t

γ +

Khi đó, từ (3.35) ta có: ( ) 0( )

ε ε

γ ε

và điều kiện (3.9) được thỏa mãn Khi đó mỗi nghiệm không mở rộng được của bài toán (3.2), (3.3) xác định trên [a, +∞) đều bị chặn và được đánh giá bởi công thức

u t ≤ + α ∫β s u s ds với mọi t∈I , trong đó các hàm số thực u, β liên tục trên I , β không âm và α ∈ + Khi đó

ta có đánh giá sau

( ) exp ( )

t a

u t ≤ α  β s ds

∫  với mọi t∈I Chứng minh định lý:

Từ (3.48) suy ra tồn tại b0 >a sao cho

b a

≤

∑  với mọi a≤ ≤t b

Từ bất đẳng thức trên và (3.55) ta có được đánh giá (3.14)

Tiếp theo ta xét trường hợp b>b0 Theo phần chứng minh ở trên ta được

với mọi t∈[ ]a b, (i k, = 1, ,n), trong đó I =[b b0 , ]

Ta có bất đẳng thức sau đây với i k, = 1, ,n

ik ik oi k

Từ đánh giá trên, cùng với (3.55), (3.60) và (3.65) suy ra

Vậy đánh giá (3.14) được thỏa mãn Định lí được chứng minh.□

3.3.2 Định lý về sự bị chặn của nghiệm hệ bất phương trình vi phân hàm

Hơn nữa, điều kiện (3.9), (3.48), (3.49) thỏa mãn Khi đó, mỗi nghiệm không

mở rộng được của bài toán (3.66), (3.3) xác định trên [a, +∞), bị chặn, thỏa

(3.50), trong đó ρ là hằng số dương phụ thuộc vào g0i,g ikj,l ik

(i k, = 1, , ;n j= 1, ,m)

Định lý này chứng minh tương tự như định lý 3.11

Hệ quả 3.13 Giả sử tồn tại các số không âm l ik, γ và các hàm không âm

Các điều kiện (3.9), (3.22), (3.47) thỏa mãn

Khi đó, nghiệm không mở rộng được của bài toán (3.2), (3.3) xác định trên

γ +

i a

Hệ quả 3.14 Giả sử tồn tại số l ik ≥ 0 và hàm không âm g ik∈L loc( )+

(i k, = 1, ,n) sao cho trên n

→+∞ > (i= 1, ,n) và điều kiện (3.9) thỏa mãn

Khi đó, nghiệm tầm thường của hệ (3.2) ổn định đều

Việc chứng minh hệ quả này tương tự như chứng minh hệ quả 3.8, nhưng trường hợp này ta áp dụng định lý 3.11

Hệ quả 3.15 Giả sử tồn tại số l ik ≥ 0 và hàm không âm g ik∈L loc( )+

(i k, = 1, ,n) sao cho trên n

  (3.47), (3.67), (3.82) thỏa mãn Hơn nữa, (3.9)

và (3.35) thỏa mãn, trong đó g t0( )= min{g0i( )t :t= 1, ,n}

Khi đó, nghiệm tầm thường của hệ (3.2) ổn định tiệm cận đều

Theo hệ quả 3.14, nghiệm tầm thường của hệ (3.2) ổn định đều Theo hệ quả 3.13, nghiệm không mở rộng được của bài toán (3.2), (3.3) xác định trên [a, +∞)

và thỏa (3.8) Vậy ta có điều phải chứng minh

Ví dụ 3.16 Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính: