Đa thức đối xứng và ứng dụng

Trong chương trình phổ thông, chúng ta đã làm quen với khái niệm đa thức từ bậc trung học cơ sở, từ những phép cộng, trừ, nhân đa thức đến phân tích đa thức thành nhân tử; dùng sơ đồ Ho

Chuyên đề

ĐA THỨC ĐỐI XỨNG VÀ ỨNG DỤNG

MÃ: TO01

LỜI MỞ ĐẦU

Đa thức là một trong những khái niệm trung tâm của toán học Trong

chương trình phổ thông, chúng ta đã làm quen với khái niệm đa thức từ bậc trung học cơ sở, từ những phép cộng, trừ, nhân đa thức đến phân tích đa thức thành nhân tử; dùng sơ đồ Horner để chia đa thức và giải các phương trình đại

số

Bên cạnh đa thức một biến ta cũng gặp nhiều bài toán liên quan đến đa thức nhiều biến Trong phạm vi chuyên đề này, xin xét đến một lớp đa thức đối xứng theo các biến và ứng dụng của nó vào việc phân tích đa thức thành

nhân tử, giải phương trình và hệ phương trình hoặc chứng minh đẳng thức và bất đẳng thức, Dựa trên những đa thức đối xứng cơ sở và định lí Viéte, xin đưa ra những ví dụ cơ bản nhất minh họa cho nội dung chuyên đề này

I - LÝ THUYẾT

1 Định nghĩa

Cho một đa thức nhiều biến P x x( 1 2, , ,x n) Đa thức này được gọi là

đa thức đối xứng nếu với mọi hoán vị các số i i1 2, , ,i n của các số 1,2, ,n

đều thỏa mãn đẳng thức sau ( 1, , ,2 ) ( 1 2, , , )

Ví dụ : Đa thức sau đây là đối xứng P x y z( , , ) (= +x y y z z x)( + )( + )

vì dễ dàng kiểm tra những đẳng thức sau đúng

( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )

P x y z =P x z y =P y x z =P y z x =P z x y =P z y x( , , ) Nhưng đa thức P x y z( , , )=xy yz+ không đối xứng vì

P x y z =xy yz xy xz P z y x+ ≠ + =Ngoài ra: tổng, hiệu và tích của những đa thức đối xứng là một đa thức đối xứng

2 Đa thức đối xứng cơ sở

a) Với đa thức hai ẩn có hai đa thức đối xứng cơ bản:

Như vậy, nếu P là một đa thức n biến bất kì thì đa thức ( 1, , ,2 n)

P δ δ δ là một đa thức đối xứng Điều ngược lại vẫn đúng mỗi đa thức đối xứng có thể biểu diễn như đa thức của những đa thức đối xứng cơ sở

3 Biểu diễn đa thức đối xứng qua các đa thức đối xứng cơ sở

Như ta đã biết rằng: mọi đa thức đối xứng có thể biểu diễn như đa thức của những đa thức đối xứng cơ sở và sự biểu diễn này là duy nhất Dưới đây

là phần trình bày về phương pháp biểu diễn đa thức đối xứng qua các đa thức đối xứng cơ sở

a) Đối với đa thức hai ẩn thì việc biểu diễn không gặp khó khăn, chẳng

- Trước hết ta biểu diễn đa thức ba ẩn dưới dạng đầy đủ là:

Ví dụ 1 Biểu diễn đa thức sau theo những đa thức đối xứng cơ bản:

P x y z =x + y +z

Giải Hạng tử cao nhất của đa thức là x3 có bộ số mũ là (3;0;0) Viết tất cả các bộ số mũ (3;0;0 ; 2;1;0 ; 1;1;1) ( ) ( )

Giả sử có x3+ y3+ =z3 k1 1δ δ δ3 0 0 0 0− 2− 3 +k2 1δ δ δ2 1 1 0 0− 2− 3 +k3 1δ δ δ1 1 1 1 1− 2− 3 =k1 1δ3+k2 1 2δ δ1 1+k3 3δ

Lập bảng:

x y z δ1 δ2 δ3 P

1 2− 1 0 − 3 2 − 6

1 1 0 2 1 0 2

1 1 1 3 3 1 3

Khi đó, ta có: 3 1 2 1 2 3 3 8 2 2 27 9 3 k k k k k k = ⎧ ⎪ + = ⎨ ⎪ + + = ⎩ 1 2 3 1 3 3 k k k = ⎧ ⎪ ⇔⎨ = − ⎪ = ⎩ Vậy x3+ y3+ =z3 δ13−3δ δ1 21 1+3δ3 Ví dụ 2 Biểu diễn đa thức sau theo những đa thức đối xứng cơ bản: ( , , ) 4 2 2 4 4 2 2 4 4 2 2 4 P x y z =x y +x y +x z +x z + y z + y z Giải Hạng tử cao nhất của đa thức là x y4 2 có bộ số mũ là (4;2;0) Viết tất cả các bộ số mũ (4;2;0 ; 4;1;1 ; 3;3;0 ; 3;2;1 ; 2;2;2) ( ) ( ) ( ) ( ) Giả sử có ( ) 2 2 3 3 2 1 2 1 3 2 1 2 3 3 , , P x y z =δ δ +aδ δ +bδ +cδ δ δ +dδ Lập bảng: x y z δ1 δ2 δ3 P 1 1 0 2 1 0 2

1 1 2− 0 − 3 2− 42

2 2 1− 3 0 4− 168

1 1 1 3 3 1 6

a b c d

a b

1 Phân tích đa thức thành nhân tử

Đôi khi với những đa thức đối xứng ta gặp khó khăn trong việc phân tích chúng thành nhân tử Mà việc phân tích một đa thức thành nhân tử giúp ích rất nhiều cho chúng ta trong quá trình giải phương trình hay hệ phương trình Dưới đây là một vài ví dụ về việc phân tích một đa thức đối xứng thành nhân tử dựa vào những đa thức đối xứng cơ sở

Ví dụ 4 Hãy phân tích đa thức sau thành nhân tử:

P x y =x + x y+ x y+ x y + xy + xy +y

Giải Ta có P x y( ), =(x3+ y3) (+ 3x y3 +3xy3) (+ 2x y2 +2xy2)+3x y2 2

này, xin trình bày một một ví dụ về giải hệ phương trình (chủ yếu là hệ phương trình đối xứng loại 1) và giải phương trình chứa căn thức bằng cách đặt ẩn phụ rồi đưa về những hệ phương trình liên quan đến các đa thức đối xứng cơ sở

δ δ

Vậy hệ phương trình có nghiệm ( )x y; là (1+ 2;1− 2) và (1− 2;1+ 2)

Đây là một ví dụ về giải hệ phương trình đối xứng loại 1 Bằng cách đặt

ẩn phụ bởi các đa thức đối xứng cơ sở mà ta dễ dàng giải được

Sau đây là một ví dụ khác về giải hệ phương trình dựa vào đặt ẩn phụ bởi các đa thức đối xứng cơ sở nhưng phức tập hơn Không đơn thuần ta đặt

Khi đó hệ phương trình (a) trở thành 2( 3 3) (3 2 2)

6

8

u v uv

u v

u v

x y

x y

=

⎧

⎨ =

⎩Vậy hệ phương trình (a) có nghiệm ( )x y; là (8;64) và (64;8)

Thoạt nhìn thì ta thấy hệ phương trình (1) trong Ví dụ 9 không phải là

hệ phương trình đối xứng loại 1 cũng như các đa thức ở đây đều không phải

là đa thức đối xứng Nhưng bằng cách biến đổi hệ phương trình làm xuất hiện các ẩn phụ cần đặt mà hệ phương trình đã cho đưa được về dạng đối xứng loại 1 để ta có thế giải một cách đơn giản hơn

Ví dụ 9 Giải các hệ phương trình sau:

1

3 31

+ ≥ ; x y+ ≥3; y≠0

Ta có (1)

1

3 31

⎪⎩

32

u v uv

+ =

⎧

⇔ ⎨ =

1

2

u v

u v

x y

x y

=

⎧

⎨ = −

⎩Vậy hệ phương trình (1) có nghiệm ( )x y; là ( )3;1 ; (5; 1− ); (4+ 10;3− 10)

⎪⎩

56

u v uv

u v

x x y y

x y

x x y y

x y

Vậy hệ phương trình có 4 nghiệm ( )x y;

Ví dụ trên cũng là một ví dụ mà ta cần biến đổi để xuất hiện ẩn phụ cần đặt, đưa hệ phương trình đã cho về dạng đối xứng Tuy nhiên đối với dạng hệ phương trình này ta còn có thể đặt ẩn phụ theo cách khác để khác (về bản chất thì hai cách giải cơ bản là giống nhau)

Ví dụ 11 Giải các hệ phương trình sau:

Giải Điều kiện x≠0;y≠0

44

δ δ

x x y y

=

⎧

⇔ ⎨ =

⎩

Vậy hệ phương trình có nghiệm ( )x y; là ( )1;1

Bên cạnh đó, ta còn gặp những bài toán tìm điều kiện của tham số để

hệ phương trình đối xứng có nghiệm

Ví dụ 12 Tìm điều kiệm của m để hệ phương trình sau có nghiệm thực:

Giải Điều kiện x≥0;y≥0

Ta có hệ phương trình tương đương với

1

m

δ δ

Đối với những bài toán tìm điều kiện của tham số để hệ phương trình

có nghiệm như trên thì điều kiện δ12 ≥4δ2 rất quan trọng

Ví dụ 13 Tìm điều kiệm của m để hệ phương trình sau có nghiệm:

u v

m uv

1 2

3 13

132

00

2

m

m m

δ δ

Vậy khi a = 0 thì x y xy a+ + ≤ 2 +2a và hệ có nghiệm duy nhất x y a = =

Sau đây, ta xét những hệ phương trình ba ẩn

Ví dụ 15 Giải hệ phương trình sau:

0341

cos3X =4cos X −3cosX nên suy ra các

cos ; cos ; cos

z z xy

- Nếu z≠ thì hệ phương trình đã cho vô nghiệm 1

- Nếu z= thì 1 0

0

x y xy

x y

=

⎧

⇔ ⎨ =

⎩ Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm (x y z, , ) là (0;0;1)

Hệ phương trình trên không phải là hệ phương trình đối xứng nhưng việc coi z là tham số thì ta được hệ phương trình tương đương đối xứng với hai ẩn x y ,

3 Giải phương trình chứa căn thức

102

δ δ δ

u v

u v

Giải Ta thấy phương trình có một nghiệm x = 1

Với x ≠ 1, khi đó phương trình được đưa về dạng

=

− và 3122( 31)

x v

1

13

114

δ δ

u v uv

u v u v

+ =

⎧

⎨ − =

Vậy phương trình có hai nghiệm

4 Giải bất phương trình đối xứng

Đối với một số hệ phương trình đơn giản, ta có thể áp dụng phương pháp đồ thị để giải Nhưng trong nội dung chuyên đề này xin giới thiệu phương pháp biểu diễn nghiệm thông qua tham số, được gọi là phương pháp tham biến

Giải Ta viết hệ đã cho dưới dạng 2 21 , 0

a b xy

x y xy

x y xy

x y x y

Suy ra 9b=5a2 +5a−1 hay 5a a( + =1) 9b+1 Vậy ta có đpcm

Ví dụ 29 Chứng minh rằng với mọi số thực x y z , , ta luôn có:

3

xy yz zx+ + ≥ xyz x y z+ +Nếu x>0;y>0;z>0 thì đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x y z = =

Giải Trong bất dẳng thức ở Ví dụ 28 thay x y z , , bởi xy yz zx ; ; ta được:

xy yz zx+ + ≥ x yz xy z xyz+ + = xyz x y z+ +Suy ra ta có đpcm

Đặc biệt x>0;y>0;z>0 thì đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x y z = =

Ví dụ 30 Chứng minh rằng với mọi số thực dương x y z , , ta luôn có:

9

δ δ δ

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x y z = =

Ví dụ 31 Giả sử đa thức hệ số thực φ ( )x =ax3+bx2 + +cx d có ba nghiệm dương và φ ( )x <0 Chứng minh rằng 2b3 +9a d2 −7abc≤0

(Indonesia TST, 2010)

Giải Gọi x x x1; ;2 3 là các nghiệm của đa thức φ ( )x

x x x x x x

a d

Cộng vế với vế của (2) và (3) ta được đpcm

Ví dụ 32 Cho phương trình x3 +ax2 + + =bx c 0 có ba nghiệm không âm

Ví dụ 33 Cho x x1 2; ; ;x n >0 và đặt 1

1

n i i

Giải Chứng minh bất đẳng thức (*) bằng phương pháp quy nạp

Dưới đây là một số ứng dụng nữa của đa thức đối xứng:

7 Tìm nghiệm nguyên của phương trình đối xứng

Ví dụ 34 Tìm các số nguyên dương thỏa mãn phương trình x3+ y3+ =1 3xy

Giải Đặt δ1 = +x y; δ2 =xy thì phương trình đã cho có dạng

1 2

Vậy phương trình bậc hai cần tìm là x2−63x+649 0=

Ví dụ 36 Lập phương trình bậc hai x2 + px q+ =0 có hai nghiệm

Vì y y1, 2 là nghiệm của phương trình y2 +2y− =4 0 nên theo định lí Vi-et ta

Vậy phương trình bậc hai cần tìm là x2−968x+4960 0=

9 Các bài toán liên quan đến nghiệm của phương trình đại số

Ví dụ 37 Cho đa thức f x( )=x3−3x2 + −x 1 có ba nghiệm x x x1; ;2 3 Đặt

Theo đinh lí Viéte ta có δ1=3;δ2 =1;δ3=1 Vậy δ = − 16

Ví dụ 38 Tính diện tích và bán kính đường tròn ngoại tiếp của một tam giác

mà các cạnh là các nghiệm của phương trình x3−ax2 + − =bx c 0

Giải Gọi độ dài ba cạnh của tam giác là x x x1; ;2 3

Chu vi của tam giác là 2P x= +1 x2 + =x3 a

Theo công thức Hê-rông ta có: S= P P x( − 1)(P x− 2) (P x− 3)

Bài 6 Cho a b c d , , , ≥ 0 và a b c d + + + = 1 Tìm giá trị lớn nhất của

T abc bcd cda dab = + + +

Bài 7 Cho x x x x x1 2, , , ,3 4 5 ≥0 và x1+x2+ +x3 x4+ =x5 1 Tìm giá trị lớn nhất của P x x x= 1 2 3 +x x x2 3 4 +x x x3 4 5 +x x x4 5 1+x x x5 1 2

Bài 8 Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình x y x+ = 2 − +xy y2

Bài 9 Lập phương trình bậc hai x2+ px q+ =0 có hai nghiệm