Mạch điện 2

Quá trình di n ra là quá trìnhquá... Ph ng pháp toán t Laplace tính quá trình quá1.8.1.

Nguy n Trung Thành M ch n 2

I GI I THI U

Giáo trình c biên so n theo k ho ch ào t o k s ngành i n - i n t c acác tr ng i h c k thu t công nghi p trên c s ng i h c ã h c V t lý i c ng,Toán hàm bi n ph c và phép bi n i Laplace Giáo trình trang b cho ng i h c ki n

th c và k n ng phân tích m ch n v i ph n lý thuy t và bài t p xen k

N i dung sách g m ba ph n:

Ch ng 1: Gi i thi u m ch n quá và phân tích m ch n quá 9tính toán dòng

áp, v c tính quá )

Ch ng 2: Các ph n t phi tuy n và m ch phi tuy n m t chi u, xoay chi u M t s

ph ng pháp phân tích m ch phi tuy n

Ch ng 3: Khái ni m ng dây dài, tính toán các thông s ng dây dài không và cótiêu tán

Giáo trình c vi t l n u, tham kh o t nhi u ngu n khác nhau, không tránh

kh i nh ng thi u sót R t mong các b n c phê bình tác gi có th c i ti n thành m t

CH NG 1

1.1 Khái ni m v quá trình quá

Trong th c t m t quá trình th ng di n ra trong không gian và th i gian M c th igian th ng c tính t m t th i m nào ó Ví d v i m t m ch n th ng là các

th i m óng m ch n vào l i hay óng thêm các thi t b vào m ch n Ng i ta

g i t t c các tác ng làm thay i kích thích m t cách t ng t hay thay i t ng tcác thông s là các tác ng óng m

V i m ch n khi x y ra tác ng óng m thì áp ng (dòng ho c áp) không

nh ng ph thu c vào kích thích mà còn ph thu c vào tr ng thái ban u c a m ch Theo

lý thuy t thì sau kho ng th i gian b ng∞ (trên th c t thì kho ng th i gian r t ng n) thì

áp ng ó s không ph thu c tr ng thái ban u mà ch còn ph thu c kích thích Ta

g i áp ng t th i m óng m tr i là áp ng quá Quá trình di n ra là quá trìnhquá

V y: Quá trình quá là quá trình m ch chuy n t tr ng thái xác l p này sang

tr ng thaí xác l p khác.

Nguyên nhân: S d trong m ch n x y ra quá trình quá là do trong m ch

i n t n t i các kho i n và kho t , do ó khi khi x y ra tác ng óng m ph i có th igian các kho b trí l i theo các m c n ng l ng m i

Ý ngh a: Tìm hi u quá trình quá ta s bi t phòng tránh các tác h i nó gây ra,

c ng nh l i d ng các công vi c h u ích Th ng khi x y ra quá thì dòng áp trong

1.2.2 Xác nh u ki n u:

a Các lu t óng m :

L

Trong nhi u bài toán, lu t 1 và 2 không s d ng c, ó là các bài toán không

ch nh (không m b o c tính bi n thiên liên t c c a n ng l ng) thì khi ó ta ph idùng lu t óng m 3 và 4 (có th nói lu t 3 và 4 là lu t t ng quát, ch a c lu t 1 và 2)

0

vong L vong

Theo nh lu t Kirhopp 1 sau khi K ã m thì : iL1(0) = iL2(0) i u này là vô lý, do

v y lu t 1 không s d ng c trong tr ng h p này

N u ta dùng lu t óng m 3 ta có:

)0(.)0(.)0(.)

uC

) 0 ( )

0

nót nót

)0(.)

0(

Sau ó thay th i m t=0 cùng t t c các giá tr ã bi t ta s xác nh c u ki n u

k

C1R

=+

0

, 2 2 0

3 2

2

2 2 , 2 2 1 1

3 2 1

i L dt i C i R

E i R i L i R

i i i

t

Thay t=0 và R, C, L vào ta c i1(0) - i2(0) - i3(0) = 0

, 2

i (0).L2 + i2(0).R2 + i1(0).R1 = E

- , 2

s

A i

A i

) 0 (

) 0 (

) 0 (

3

, 1 2

−

= +

, 2

, 1

2

, 2 3

, 2

2

,

2

, 3

) 0 (

) 0 (

0 ).

0 ( ) 0 (

1 ).

0

(

0 ).

0 ( ).

0 ( ).

0

(

0 ) 0 ( )

s

A i

s

A i

s

A i

L i i

C R

i

R i R i

L

i

i i

R=1Ω

R2=1Ω

Nguy n Trung Thành M ch n 2

1.3 Phân tích m ch n quá b ng ph ng pháp tích phân kinh i n

1.3.1 Phân tích áp ng quá d thành áp ng xác l p m i c ng áp ng t do.

i C Li

1' ây là h ph ng trình vi phân không thu n nh t)

Theo toán h c thì ngh m t ng quát c a h ph ng trính vi phân không thu n nh t ctính b ng nghi m t ng quát c a h ph ng trình vi phân thu n nh t t ng ng c ng v inghi m d ng c a h ph ng trình vi phân không thu n nh t

0

,

idt c Li

iR

i

Là h không có kích thích, nó ch ph thu c vào b n thân các ph n t trong m ch, ng i

ta g i là quá trình t do, và áp ng là áp ng t do

áp ng t do có d ng:

∑

k td

k

e A

=

t p t

p t

p

u = 1 1 + 2 2 + 3 3

*Nghi m riêng c a h ph ng trình không thu n nh t:

Là h ph ng trình có kích thích (j, E) Do v y nghi m riêng c a h ph ng trìnhkhông thu n nh t chính là các nghi m xác l p m i mà ta ã xét t t c các thành ph n

tr c

∑

ây chính là ph ng pháp phân tích áp ng quá thành áp ng t do x p ch ng v i

td

Pt td

Pt td

i P dt i

i P e A P i

e A i

1

.

.

1

(

0

td td

td

td

i P C i P L R i i

h trên có nghi m không t m th ng thì nh th c c a h ph i tri t tiêu(nghi m không t m th ng là có d ng 0/0,∞/∞,∞/0…)

−

= + +

.

0

0

.

0 1

1

1

dt i C i

L

i

U i i

L

i

R

i i

i

Thành ph n áp ng t do:

CU

= +

1

.

0

0

0

.

0

1

1

.

1

3 2

1

3 2

3 2

1

1

td td

td

td td

td

td td

td

i CP i

PL

i

i i

PL

i

R

i i

i

.

1 0

0

1 1

PL R

0

0

.

.

= + +

→

= +

+

P C

R P C

P L

.1

1.)

2

+

++

=+

+

=

LC P

R PL P RCL CP

PL CP

PL R p

t t

t t

e C e

C i

e B e

B i

e A e

A i

4 2

3 1 3

4 2

3 1 2

4 2

3 1 1

.

.

.

1.3.2.2 D ng c a áp ng t do:

.

3 2

t P k t

P k t

P k t P k t P k

td

k k

k k

e A

⇒

(t ng c a 2 s th c liên h p = 2 l n ph n th c)

)

cos(

.

P k td

k

e A

= +

.

0

0 3 2

2

, 1

3 2 1

t

dt i C i R

E i R i L

i i i

Thay t=0 và R, C, L vào ta c i1(0) - i2(0) - i3(0) = 0

, 1

A i

1 ) 0 (

0 ) 0 (

, 1 2

=+

=

−

−

2 ,

1

, 2

, 3

3 ,

2

, 2 ,

1

, 3 ,

2 1

1)0(

1)0(

0)0(

0)0()0(

0)0()0(

0)0()0()0(

s

A i

s A i

s A i

i i

i i

i i

i

L p và gi i ph ng trình c tr ng (khi khoá K ã óng m ):

CP R CP

R PL P

Z v

1

1.)

2

2 2

t e

A i

i

),

cos(

3 3

3

t e

A i

A t

e A

Mà i1qd(0)=1+2A1.cos(γ1)=i1(0)=1A

s

A i

A A

i qd( 0 ) cos 1 , 72 sin , ( 0 ) 1

1 1 1 1

1 ,

0cos.2

1 1 1

1

1 1

γγ

γ

A A

sin72,112

1 1

1 1

1

A A

γ

π

πγ

Làm t ng t ta tìm d c A2, A3, γ2,γ3

Nguy n Trung Thành M ch n 2

1.5 V n d ng quá trình quá trong m ch RC:

1.5.1 Quá trình t do:

u tiên óng khoá K vào v trí 1 t n p y, sau ó óng k vào v trí 2 làm cho

t n phóng n; ngu n ngoài b ng t→ là quá trình t do:

* Chú ý trong bài này XLM không có kích thích→ không ph i gi i XLM

+ XLC: uC(XLC)=u hay uC(-0)=u theo lu t 2:

uC(-0)=uC(0)=u

+ L p ph ng trình c tr ng:

P C

P RC P

c A e

1. −

=

Xác nh A:

U A U u

e A

uCtd( 0 ) = 0 = c( 0 ) = → =

V y

t RC t

RC Ctd

Ctd

t RC

R

U e

RC

U C dt

du C i

e U

1

1

1

.)

(

=0→

CU

-U/R

u Ctd

iCtd

t

→ RC t

Ctd Cxlm

t RC Cqd

U

u

1

1

1.5.3 óng m ch RC vào ngu n xoay chi u hình sin:

)2sin(

max

1

πψϕ

=

+

=+

u c

Cxlm

t RC Cxlm

Ctd Cxlm Cqd

t X

Z

U u

e A u

u u

u

Trong ó: U =U∠ψu Z =Z∠ϕ

.

;

Ch ng minh:

.

.

ϕψϕ

ψ = ∠ −

∠

∠

=+

U jX R

U Z

U

I

)2(

.)2(

*)(

.

u C C

u C

C

Z

X U X

Z

U jX

I

U

2sin(

.2 ϖ +ψ −ϕ−π

Z

X U

u

V y:

t RC u

C m

Z

X U

1

.)2sin(

M t khác theo u ki n u: uCq (0)=0

2sin(

=+

2sin(

dt

du C

i

e Z

X U t

Z

X U u

Cqd Cqd

t RC u

c m u

c m Cqd

)

2sin(

.)2sin(

uCtd

uCqi,u

0

U U/R

iCtd t

1.6 Quá trình quá trong m ch R-L:

Vì m ch R-L có nh ng m t ng t nh m ch R-C nên quá trình xét hoàn toàn t ng

t , ch c n chú ý r ng d ng c a áp ng dòng trong m ch R-L gi ng nh d ng c a áp

ng áp trong m ch R-C, d ng c a áp ng áp trong m ch R-L gi ng nh d ng c a áp

ng dòng trong m ch R-C Vì ta bi t r ng: uL=L.di/dt; iC=C.duC/dt

1.7 Quá trình quá trong m ch R-L-C:

RC P

2

4 ) ( 22

u Ctd t ho c = − α cos(β +γ)

t e

γβ

γα

γ

A C A

C

u A

K t lu n: Dòng áp có d ng dao ng t t d n Gi i h ph ng trình trên ta suy ra A vàγ

=

=+

=

0

)0(

)0(

2 2 1 1

2 1

A CP A CP i

U A A u

Ctd Ctd

2 1

2 2

1

1 1

2 1

1 2

1

1 2

.

)

.(

.

P P

U P P

P

U P U

A

P P

U P P

P C

U CP A

P Ctd

t P t

P Ctd

e P P

U P P C e P P

U P P C i

e P P

U P e

P P

U P u

2 1

2 1

2 1

2 1

2 1

1 2 1 2

2 1

2 1

+ Khi quá trình t do dao ng 4LC>(RC)2 th có d ng hình a

+ Khi quá trình t do dao ng 4LC<(RC)2 th có d ng hình b

t P e P P

U P P

1 2

e P P

U P P

2 1

e P P

U

1 2

2. 1

−

uCtd

uCtd0

-U/R

t

t P

e P P

U

2 1

−

Nguy n Trung Thành M ch n 2

+ Khi quá trình t do dao ng 4LC=(RC)2 th có d ng hình c

c óng m ch R-L-C vào i n áp xoay chi u hình sin:

Khi óng m ch R-L-C vào ngu n n áp xoay chi u hình sin thì quá trình x y ra

r t ph c t p Nó ph thu c vào các thông s R-L-C, ph thu c vào th i m óng m ch,

ph thu c vào t n s l i n mà quá trình có th t n t i quá hay không, quá l nhay nh , quá trình có dao ng hay không dao ng

Hình cHình b

CU

Hình a

1.8 Ph ng pháp toán t Laplace tính quá trình quá

1.8.1 Khái ni m v ph ng pháp toán t Laplace:

- Ta ã bi t ph ng pháp tích phân kinh i n, tích phân Duyhamen nh ng trong nhi u

tr ng h p thì các ph ng pháp ó g p nhi u khó kh n phân tích m ch, khi ó ta s

d ng ph ng pháp toán t Laplace

- Ph ng pháp toán t Laplace là ph ng pháp tìm áp ng hàm g c 1(t)f(t) v i hàm nhF(p) sao cho phép o hàm hàm g c ng v i phép nhân hàm nh v i P, tích phân hàm

g c ng v i phép nhân hàm nh v i 1/P T t nhiên ph i t n t i nh ng u ki n nh t nh cho phép bi n i t c nh ng yêu c u

1.8.2 Phép bi n i Laplace thu n và ng c:

1.8.2.1 Bi n i Laplace thu n (Bi t g c, tìm nh)

Khi bi t 1(t)f(t) ta tìm F(p) theo công th c sau:

( ) ( 1 )

(p t f t e dt

Công th c trên ch mang tính lý thuy t, còn trong th c t n gi n ng i ta

th ng dùng “toán t g c” k t h p v i các tính ch t khác c a toán t L suy ra hàm

nh T t nhiên công th c trên ph i kèm theo các i u ki n

t p dp e p F j t

f

2

1 )

0 t víi 0 )

e-a.t 1/(p+a)

8- nh lý o hàm hàm nh: ( ) 1 (t).( t) f(t)

dp

p F

F( ) 1 ( ). ( )0

1

lim

) ( lim ) ( ) (

f t

p F p t

f t

p t

p t

1.8.3 Khai tri n Hêvisai:

Th c t thì các bài toán quá th ng tìm áp ng có d ng:

0 1

1

0 1

1 2

1

.

.

) (

) ( )

(

a p

a p a

b p

b p b p F

p F p

n n n

m m m m

+ + +

+ + +

n

n

P P

A P

P

A P P

A P P

A p F

p F p

)()

(

3 3 2 2 1 1 2

1Trong ó các h ng s Ak c tính nh sau:

) ( '

) ( ) (

1

k

k k

k

P F

P F P P p

n

P P P F

P F P

P P F

P F P P P F

P F p

F

− +

) (

1 ) ( '

) ( 1

) ( '

) ( )

(

2 1 2

2 2

2 1 1 1

2

1 1

P F p

F

1 2

.)('

)()

(

Tra b ng nh g c:

a p

k

k k

e P F

P F t

)()

2(

4)

(

++

+

=

p p

p p

P F e P F

P

2 ' 2

2 1

1 ' 2

1

)(

)(

)(

)(

Nguy n Trung Thành M ch n 2

b Khi F 2 (p)=0 có nghi m ph c là: P k =αk±j.βk

Khi ó ta v n có:

) cos(

) ( '

) ( 2

) ( '

) ( Re 2

) ) ( '

) ( ( ) ( '

) (

) ( '

) (

) ( '

) (

) ( '

) ( )

1

2

1

* 2

1 2

1

.

* 2

* 1 2

1

2

k k t k k

t P k

k t

P k

k t

P k k

t P t

P k

k t

P k k

t e

P F

P F

e P F

P F e

P F

P F e

P F

P F

e P F

P F e P F

P F e

P F

P F t

f

t

k

k k

k

k k

k k

k

γ β

= +

+

=

= +

) ( ' 2 1

k

k P F

P F

Ví d : Tìm áp ng quá u(t), bi t:

34.6

4.4)

++

+

=

p p

p p

208

l l

l

p p

A p

p

A p

p

A p

F

)(

)(

)

2 2 1

−++

−

+

−+

=

Ta c n i xác nh các h s Al1÷Alr và r

Ta tính b ng các công th c sau:

r l p

p

p F

p F A

l

) (

) (

) ( lim

) (

) ( [

! 1

1 lim

2

1 1

r l p

p

p F

p F dp

d A

) (

) ( [

! 2

1 lim

2

1 2 2 2

r l p

p

p F

p F dp

d A

Tra b ng nh – g c ta có: p t

q lq q l

e q

t A p

p

.)!

1(

.)

.

! 1

.

! 0

.(

) ( )

(

1

1 1

2 0 1

− + + +

+

r

t A t

A t A e t

f t

r lr l

l t

p l

Ví d : Tìm g c i(t) khi bi t nh 2

)3.(

2)

p p

2

1 ( ).

) 0 (

) 0 ( )

V i

3

12lim)3.(

)3.(

)2(lim

3

2 2

p p

p A

p p

p

9

2 ) 3 (

) 3 (

) 2 (

! 1

+

=

p p

p dp

d A

p p

và F1(p)=2; F2’(p)=(p+3)2+2p.(p+3); F2’(0)=32=9

V y: i t t e 3 t [2.( 2 3.t).e 3 t]

9

1

.3

19

29

* V i ph n t R: ta có u=R.i; chuy n sang toán t hóa: U(p)=I(p).R

V y trong s toán t , ph n t R c gi nguyên nh hình v

i P L

p U p

.

) ( )

V y ph n t n c m trong s toán t có th c thay th b ng hai ph n t n i ti p(LP n i ti p v i ngu n s L.iL(0)) hay c thay th b ng s có hai nhánh song song(ph n t tr tuy n tính LP n i song song v i ngu n dòng iL(0)/P) nh hình v

CP

p U

− +

Ví d nh s m ch toán t hóa sau:

↔ ∑ ( ).[ + + 1 ] =∑ ( ) +∑[ ( 0 ) − (0)]

P

u i

L p

E CP

LP R

L p

E p

Trong các phân tích trên thì iL(0) và uC(0) là i u ki n u c a bài toán, do ó

v i các bài toán ch nh thì ó chính là iL(-0) và uC(-0) nh ng ng i ta c ng ch ng minh

c r ng trong các bài toán không ch nh v n s d ng c các giá tr iL(-0) và uC(-0).Khi ó các lu t óng m t tho mãn

1.9.3 Trình t gi i bài toán quá b ng ph ng pháp toán t Laplace:

• Ph n t L c thay b ng LP n i ti p L.iL(-0) cùng chi u v i I(p)

• Ph n t C c thay b ng 1/CP n i ti p uC(-0)/P ng c chi u v i I(p)

B3: Gi i s toán t tìm các áp ng nh (b ng các ph ng pháp ã h c nh nhánh,vòng, th nh, bi n i t ng ng …)

B4: Khai tri n Hêvisai, ho c dùng b ng nh-g c tìm g c

C=30 µ F e=180.sin314t

R=20 Ω iL

Nguy n Trung Thành M ch n 2

' 42 10 2

177 ) 10 30 314

1 (

10 30 314

1 20

2

180

0 6

U Cxlc

hay uCxlc=177.sin(314.t-10042’) và uCxlc(0)=-32,8V

+L p s toán t s hình bên trong ó:

2 2 314

314

E

+ Gi i s toán t tìm dòng i n nh c a các nhánh, ví d tìm IR(p)

Ta dùng s thay th Têvêlin c:

1 1

1

)

+

= +

=

P LC LP CP

C u

CP CP LP

1

) 0 (

−

=

1 LC.P LP CP

1 LP

=

LP 1 CP

0).C ( u CP LP 1

CP

P 0)

−

=

Và

) 20.10 500.p

).(0,3.p 314

(p

56,5.10 p

48,5.10 847.p

0,492.p (p)

Z R

(p) U E(p)

(p)

6 3

2 3

V

h

+ +

+

= +

) (P F 2.

.e ) (P F

) (P F e ) (P F

) (P F (t)

' 2 1 t '

1 1 R

IC(p)

10 5 , 27 )

(

)

0 6 6 3

) ( 3 ' 2

3

1 =

P F

P F

và γ3 = − 3030 '

48

9 , 55

1300

97 )

T ây ta có th d dàng tính c n áp quá : uR(t)=R.iR(t)

Tính toán dòng i n quá trên các nhánh còn l i t ng t và có th suy ra các n ápquá b ng các công th c: uL(t)=L.diL(t)/dt ; = ∫ i t dt

C t

u C( ) 1 C( ).

Bài 1.2

Tính dòng i n quá các nhánh c a các m ch n trong Bài 1.1 b ng ph ngpháp tích phân kinh i n và toán t Laplace Bi t r ng các ngu n n u là ngu n m tchi u, ch tr c khi óng m là xác l p

Bài 1.3

Cho m ch n quá sau:

Bi t: u = 20 2sin(10t +900) V;

R=10Ω; L=100mH, ch tr c khi óng m

là xác l p Hãy tính dòng i n quá trong

m ch, t ó suy ra n áp quá trên cu n

LU

Trên s bên, óng khóa K1 t i

th i m t = 0 Sau th i gian t1 khóa K2

s t khi e

t

i

t t

1 0 9

0

1 0 1

2

1 4

6 1

, )

.

,

, )

.(

)

(

) , (

C

U

U

t t

C

24 0 0

t t

C

24 0 0

2

1 40 1

,

)

(

) )(

,

)

(

A e

t

i

A e t

i

A e t

i

t t t

30

3

30 2

30 1

R t

e U

V e U

A e t

tiên khóa K v trí 1, sau m t h ng s

th igianτ = RC khóa K chuy n sang v trí

2 Tìm dòng i n quá

/S:

) (

e i

t

e i

T

4000 4000 1053 0

04 0 0

i(t 3 )

R=100 Ω

50V

2 1

L=0.2H 100V

R=500 Ω

40V

2 1

C=0.5 µ F 20V

e e

0.0175 t

0168 0 0168

) (

) ( ) )

u C q dt

dq i

i L dt

d u

i R u

u C

i L

i r

Thông s tr ng thái phi tuy n:

dt

di L u

i R u

i c

i L

i r

1

)

) )

Các thông s phi tuy n R(i), L(i),C(i).

Khi nói các ph n t phi tuy n là nói n các thông s phi tuy n c a chúng Th c

t ng i ta chia các thông s phi tuy n r, l, c thành có i u khi n và không i u khi n

Th c t thì h u h t các ph n t u là phi tuy n, t t nhiên là tùy bài toán mà ta xét n

m c phi tuy n c a chúng ho c không xét n

1- i n tr phi tuy n:

a i n tr phi tuy n không có u khi n:

Là i n tr mà tr s c a nó ch ph thu c vào dòng và áp trên ó

u R

t

d

=

= δ δ

Nói chung Rt hay s d ng v i m ch phi tuy n có quán tính ho c m t chi u còn R

th ng dùng v i m ch phi tuy n xoay chi u và t ng có Rt# R

V i khái ni m R thì t n t i n tr âm

b i n tr phi tuy n có u khi n :

Là i n tr phi tuy n mà tr s c a nó không ch ph thu c tr ng thái dòng áp trên

nó mà còn ph thu c vào các i l ng khác ( n ho c không n) g i là các l ng

i u khi n

VD: èn 3 c c n t

V y n tr phi tuy n có u khi n c tr ng b i m t h c tính V-A

Ho c ví d t bào quang i n có n tr u khi n b ng quang Thay i quang thôngφ

i n tr s bi n thiên, dòng i n i qua n tr c ng bi n thiên

Là i n c m c a cu n dây lõi thép Ta có s thay th cho cu n dây lõi thép nhhình v d i:

Trong ó :

R1: c tr ng cho t n hao trên dây qu n (t n hao ng)

R2: Là i n tr phi tuy n c tr ng cho t n hao s t

L: i n c m phi tuy n c tr ng cho t thông

Trong th c t tùy theo m c chính xác c a bài toàn mà ta có th b qua R1, R2

c tr ng cho i n c m phi tuy n ta dùng khái ni m c tính ψ(i), nó t ng t quan

Khi thay i dòng I0 ta s thay i c

m c bão hòa c a m ch t → thay i

c n c m cu n làm vi c

3- i n dung phi tuy n:

Là i n dung c a t n có n môi phi tuy n