Bồi dưỡng đại số 8

Bồi d ỡng đại số 8Ch ơng I: Nhân chia đa thức Bài 1: Nhân đơn thức với đa thức Quy tắc: Muốn nhân một đơn thức với một đa thức ta nhân đơn thức với từng hạng tử của đa thức rồi cộng các

Bồi d ỡng đại số 8

Ch ơng I: Nhân chia đa thức

Bài 1: Nhân đơn thức với đa thức Quy tắc: Muốn nhân một đơn thức với một đa thức ta nhân đơn thức với từng hạng tử của đa thức rồi cộng các tích với nhau

Ví dụ 1: Làm tính nhân:

a) 3x(5x2 - 2x - 2); b) 1 2 3 2 2

2x y x −5xy −

Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức:

a) 3x(x-2) - 5x(1-x) -8(x2-3); b) x(5x - 3) - x2(x - 1) + x(x2 - 6x) - 10 + 3x

Ví dụ 3: Tính giá trị của biểu thức:

A = x4 - 17x3 + 17x2 - 17x + 20 tại x = 16

(Cách 1: Thay 17 = x+1; Cách 2: biến đổi biểu thức A về dạng chứa biểu thức x-16)

Ví dụ 4: Tính chất: “Nếu hai đa thức f(x) và g(x) bằng nhau với mọi x thì các hệ số

của các hạng tử cùng bậc của hai đa thức bằng nhau”

áp dụng tính chất trên, hãy tìm các hệ số a, b, c biết rằng

-3x3(2ax2 - bx + c) = -6x5 + 9x4 - 3x3 với mọi x

Bài tập

1 Làm tính nhân:

a) 4x3y2(14x - x3y + 2xyz - 7y2);b) (8m2x - 3my +y2 - 4ny)(-7mxy2)

2 Tính giá trị của biểu thức:

a) M= 2x(x - 3y) - 3y(x + 2) - 2(x2 - 3y - 4xy)

Với x =

2 3

−

, y =

3

4;

b) N = 1 .2 1 290 1. 2

337 291 291 337 291.337 − −

(Hớng dẫn: Đặt 1 , 1 ,

337 =a 291 =b rồi rút gọn)

3 Giải phơng trình

a) 1 2 1 4 1 14

− − = − ; b) 2y(y - 1) - y(4 - y) = 0

4 Rút gọn biểu thức

a) 5n+1 - 2.5n; b) 2xn-1(xn+1 - yn+1) + yn+1(2xn-1 - yn-1)

5 Chứng minh rằng:

a) 85 + 164 chia hết cho 3; b) 28 + 29 + 210 chia hết cho 7

Bài tập nâng cao

1 Thực hiện phép tính:

a) {4x-2(x-3)-3[x-3(4-2x)+8]}.(-3x); b) 5(3x2-4y3)+[9(2x2-y3)-2(x2-5y3)]

c) 3x2(2y-1)-[2x2(5y-3)-2x(3x2+1)]; d) 3xn(6xn+3+1)-2xn(9xn+3-1)

2 Tìm x biết

a) 4(x+2)-7(2x-1)+9(3x-4) = 30; b) 2(5x-8)-3(4x-5) = 4(3x-4)+11;

c) 5x(1-2x)-3x(x+18) = 0 d) 5x-3{4x-2[4x-3(5x-2)]} = 182;

e) 5(3x+5)-4(2x-3) = 5x+3(2x+12)+1;

f) 4(18-5x)-12(3x-7) = 15(2x-16)-6(x+14);

3 Tính giá trị của các biểu thức:

a) A = 3x(5x2-4)+x2(8-15x2)-8x2 với |x| = 3;

b) B = x3(x2-y2)+y2(x3-y3) với x=2, |y| = 1;

c) C = x3-30x2-31x+1 tại x = 31;

d) D = x5-15x4+16x3-29x2+13x tại x = 14;

e) E = x14-10x13+10x12-10x11+…+10x2-10x+10 tại x = 9

4 Chứng minh rằng giá trị của các biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biểu thức:

a) x(3x+12)-(7x-20)+x2(2x-3)-x(2x2+5);

b) 3(2x-1)-5(x-3)+6(3x-4)-19x;

c) 5(3xn+1-yn-1)+3(xn+1+5yn-1)-5(3xn+1+2yn-1)-(3xn+1-10)

5 a) Tìm các hệ số a, b, c biết rằng:

3x2(ax2-2bx-3c) = 3x4-12x3+27x2 với mọi x

b) Tìm các hệ số m, n, p biết rằng:

-3xk(mx2+nx+p) = 3xk+2-12xk+1+3xk với mọi x

1 Quy tắc: Muốn nhân một đa thức với một đa thức ta nhân mỗi hạng tử của đa thức này với từng hạng tử của đa thức kia rồi cộng các tích với nhau

(A + B).(C + D) = AC + AD + BC + BD

2 Chú ý: Kết quả của phép nhân một đa thức với một đa thức là một đa thức (khi cha thu gọn các hạng tử đồng dạng) có số hạng bằng tích các số hạng của hai đa thức ban

đầu

Ví dụ 1: Làm tính nhân:

a) (2x3 + 3y)(2x4y - 3x2y2 + 4y3); b) (2x + y2)(3x2 - 2y + 1);

c) (2a3 - 1 +3a)(a2 - 5 + 2a)

Ví dụ 2: Cho P = (2x + y)(4x2 - 2xy + y2)

Tính giá trị của biểu thức P với 1, 1

x= y=

Ví dụ 3: Tìm ba số tự nhiên liên tiếp, biết rằng nếu cộng ba tích của hai trong ba số

ấy, ta đợc 242

Ví dụ 4: Cho các đa thức:

A = -2x2 + 3x +5; B = x2 - x + 3

a) Tính A.B;

b) Tính giá trị của A.B với |x| = 2

Bài tập

1 Làm tính nhân:

a) (x3+2x2y-5xy2-3y3)(5x-4y); b) (x+1)(x-2)(2x-1)

2 Thực hiện phép tính:

a) 2x2 + 3(x-1)(x+1)-5x(x+1); b) (8-5x)(x+2)+4(x-2)(x+1)+2(x-2)(x+2)+10

c) 4(x-1)(x+5)-(x+2)(x+5)-3(x-1)(x+2); c) (x2n+xnyn+y2n)(xn-yn)(x3n+y3n)

3 Chứng minh các đẳng thức sau:

a) (a-1)(a-2) + (a-3)(a+4)-(2a2+5a-34) = -7a + 24;

b) (a+c)(a-c) - b(2a-b) - (a-b+c)(a-b-c) = 0;

c) (a-b)(a2+ab+b2) - (a+b)(a2-ab+b2) = -2b3

3 Chứng minh các đẳng thức sau:

a) (a3+a2b+ab2+b3)(a-b) = a4-b4; b) (a4-a3b+a2b2-ab3+b4)(a+b) = a5+b5

c) (x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab;

d) (x+a)(x+b)(x+c)=x3+(a+b+c)x2+(ab+bc+ac)x + abc

4 Cho a+b+c = 0 Chứng minh rằng M = N = P với

M = a(a+b)(a+c); N = b(b+c)(b+a); P = c(c+a)(c+b)

3 Cho A = (2x+3)(x-1)-(x+1)(2x-5)-2;

B = (x-4)(x-2)-(3x+1)(1 2) 21 10

3x− + 3x− Tìm công thức liên hệ hai biểu thức A và B

4 Tính giá trị của biểu thức sau một cách nhanh chóng:

M = 2 1 3 1 116 118.5 3

117 119 117 119 119− −

5 Giải các phơng trình sau:

a) 3(1-4x)(x-1)+4(3x-2)(x+3) = -27; b) 5(2y+3)(y+2)-2(5y-4)(y-1) = 75

c) (x+2)(x+3)-(x-2)(x+5) = 0; d) (2x+3)(x-4)+(x-5)(x-2)=(3x-5)(x-4)

1 (A+B)2 = A2+2AB+B2

2 (A-B)2 = A2-2AB+B2

3 A2-B2 = (A-B)(A+B)

4 (A+B)3 = A3+3A2B+3AB2+B3

5 (A-B)3 = A3-3A2B+3AB2-B3

6 A3+B3 = (A+B)( A2-AB+B2)

7 A3-B3 = (A-B)( A2+AB+B2)

Ví dụ 1: Điền vào dấu ? sau để đợc đẳng thức đúng:

a) (?+?)2 = x2+?+4y4; b) (?-?)2 = a2-6ab+?;

c) (?+?)2 = ? + m + 1

4 = (x+?)(x-?);

e) 25a2-? = (?+ 1

2b)(?- 12b).

Ví dụ 2: Tính nhanh:

A = 572+114.43+432; b) 54.34-(152-1)(152+1);

C = 502-492+482-472+ … +22-12

Ví dụ 3: So sánh hai số sau

a) A = 1999.2001 và B = 20002

b) C = (2+1)(22+1)(24+1)(28+1) và D = 216

Ví dụ 4: Thực hiện các phép tính

c) (x-a)2-(2x-3a)2+(x+2a)(3x+4a); d) (x+y)3-(x-y)3

Ví dụ 5: Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức sau với 1, 31

x= y=

P = 5(x+2y)2-(3y+2x)2+(4x-y)2+3(x-2y)(x+2y)

Ví dụ 6: Giải các phơng trình sau

a) (5x+1)2-(5x+3)(5x-3)=30;

Bài tập:

1, Tính

C, (a-b2)(a+b2) d, (a2+2a+3)(a2+2a-3)

2, Viết các đa thức sau dới dạng tích các nhân tử

A, x4 - 4x2+4 b, 9a2+24a2b2+16b4

3, Hãy điền vào các dấu “?” để biểu thức trở thành bình phơng của một tổng hay hiệu

bằng phơng pháp đặt nhân tử chung

1 Phân tích đa thức thành nhân tử (thừa số) là biến đổi đa thức thành một tích của nhiều đơn thức và đa thức khác

Việc giải nhiều bài toán đòi hỏi phải biết phân tích một đa thức thành nhân tử

2 Có nhiều phơng pháp phân tích một đa thức thành nhân tử Phơng pháp thờng

đợc xét đến trớc tiên là phơng pháp đặt nhân tử chung, dựa vào tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng các đa thức:

A.B + A.C = A.(B + C)

Ví dụ 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) 5x2y2+20x2y-35xy2;

b) 3x(x-2y)+6y(2y-x)

Ví dụ 2: Giải phơng trình:

3x(x-2)-x+2 = 0

Bài tập:

1 Phân tích thành nhân tử:

a) 40a3b3c2x+12a3b4c2-16a4b5cx;

b) (b-2c)(a-b)-(a+b)(2c-b)

2 Tính nhanh:

a) 3,71.34+66.3,71;

b) 170.22,89-128,9.17

3 Chứng minh rằng 79m+1-79m chia hết cho 78 (m∈N)

4 Giải các phơng trình:

a) x2(x+1)+2x(x+1) = 0;

b) x(2x-3)-2(3-2x) = 0

bằng phơng pháp dùng hằng đẳng thức

Trong nhiều trờng hợp, ta có thể sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ theo

chiều biến đổi từ một vế là một đa thức sang vế kia là một tích của các nhân tử hoặc luỹ thừa của một đa thức đơn giản hơn

Ví dụ 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

5 x y − x −25y ; b) 4

9x

4-16y2; d) 80x3+60x2y+150xy2+125y3

Ví dụ 2: Chứng minh rằng với mọi số nguyên n ta có:

(4n+3)2-25 chia hết cho 8

Bài tập:

1 Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) a2y2+b2x2-2abxy; c) 100-(3x-y)2;

b) 64x2-(8a+b)2; d) 27x3-a3b3

2 Tính nhẩm:

a) 252-152; b) 2052-592;

c) 362-142; d) 9502-8502

3 Tính giá trị của biểu thức sau:

M = (x+2)2-2(x+2)(x-8)+(x-8)2 với x = 53

4

−

4 Chứng minh rằng với mọi n∈Z, biểu thức (2n+3)2-9 chia hết cho 4

5 Chứng minh rằng giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của các

biến:

(x+y-z-t)2-(z+t-x-y)2

bằng phơng pháp nhóm nhiều hạng tử

Khi sử dụng phơng pháp này ta cần nhận xét đặc điểm của các hạng tử, nhóm các hạng tử thích hợp nhằm làm xuất hiện dạng hằng đẳng thức hoặc xuất hiện nhân

tử chung của các nhóm

Ví dụ 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) 3a2c2+bd+3abc+acd;

b) x3 -2x2-x+2

Bài tập:

1 Phân tích thành nhân tử:

a) a2c-a2d-b2d+b2c; b) 8x2+4xy-2ax-ay

2 Phân tích thành nhân tử:

a) x2-y2-2yz-z2; b) 3a2-6ab+3b2-12c2

3 Phân tích thành nhân tử:

a) x2-2xy+y2-m2+2mn-n2; b) a210a+25-y2-2yz-4z2

4 Phân tích thành nhân tử:

a) 1-2a+2bc+a2-b2-c2; b) x2+3cd(2-3cd)-10xy-1+25y2

Bài tập nâng cao:

1 Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

a) (ab-1)2+(a+b)2; b) x3+2x2+2x+1; c) x3-4x2+12x-27;

d) x4+2x3+2x2+2x+1; e) x4-2x3+2x-1

2 Phân tích thành nhân tử:

a) x2-2x-4y2-4y; b) x4+2x3-4x-4; c) x2(1-x2)-4-4x2;

d) x2+y2-x2y2+xy-x-y; e) (1+2x)(1-2x)-x(x+2)(x-2);

3 Chứng minh rằng 1993-199 chia hết cho 200

4 Tính giá trị của biểu thức sau, biết x3-x = 6:

A = x6-2x4+x3+x2-x

5 Phân tích thành nhân tử:

a) a(b2+c2+bc)+b(c2+a2+ac)+c(a2+b2+ab); b) (a+b+c)(ab+bc+ca)-abc; c*) a(a+2b)3-b(2a+b)3

6 Phân tích thành nhân tử:

a) ab(a+b)-bc(b+c)+ac(a-c); b) a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)+2abc;

c) a3(b-c)+b3(c-a)+c3(a-b); d) a3(c-b2)+b3(a-c2)+c3(b-a3)+abc(abc-1);

e) (a+b)(a2-b2)+(b+c)(b2-c2)+(c+a)(c2-a2)

7* Phân tích thành nhân tử:

a) a(b+c)2(b-c)+b(c+a)2(c-a)+c(a+b)2(a-b); b) a(b-c)3+b(c-a)3+c(a-b)3; c) a2b2(a-b)+b2c2(b-c)+c2a2(c-a); d) a4(b-c)+b4(c-a)+c4(a-b); e) a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)-2abc-a3-b3-c3

8 Phân tích thành nhân tử:

a) (a+b+c)3-(a+b-c)3-(b+c-a)3-(c+a-b)3; b) abc-(ab+bc+ca)+(a+b+c)-1

9 Chứng minh rằng trong 3 số a, b, c tồn tại hai số bằng nhau, nếu:

a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b) = 0

10 Chứng minh rằng nếu a2+b2 = 2ab thì a = b

11* Chứng minh rằng nếu a3+b3+c3 = 3abc và a, b, c là các số dơng thì a = b = c

12* Chứng minh rằng nếu a4+b4+c4+d4 = 4abcd và a, b, c, d là các số dơng thì

a = b = c = d

13 Chứng minh rằng nếu m = a+b+c thì:

(am+bc)(bm+ac)(cm+ab) = (a+b)2(b+c)2(c+a)2

14 Cho a2+b2 = 1, c2+d2 = 1, ac+bd = 0 Chứng minh rằng ab+cd = 0

15 Xét hằng đẳng thức (x+1)2 = x2+2x+1

Lần lợt cho x bằng 1, 2, 3, …, n rồi cộng từng vế n đẳng thức trên để tính giá trị của biểu thức S1 = 1+2+3+…+n

16* Bằng phơng pháp tơng tự nh ở bài tập 15, tính giá trị của biểu thức S3=13+23+33+

…+n3

Bài 6: Phân tích đa thức thành nhân

tử bằng một số các phơng pháp khác

I Phơng pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử

Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

3x2 - 8x + 4

Cách 1: Tách hạng tử thứ 2

3x2 - 8x + 4 = 3x2 - 6x - 2x + 4 = 3x(x - 2) - 2(x-2) = (x-2)(3x-2)

Cách 2: Tách hạng tử thứ nhất:

3x2 - 8x + 4 = 4x2 - 8x + 4 - x2 = (2x-2)2 - x2 = (2x-2+x)(2x-2-x) = (x-2)(3x-2) Chú ý: Khi phân tích tam thức f(x) = ax2+bx+c thành nhân tử, ta tách hạng tử thức bx thành b1x + b2x sao cho b1.b2 = ac

Trong thực hành ta làm nh sau:

Bớc 1: Tìm tích ac;

Bớc 2: Phân tích ac ra tích của hai số nguyên bằng mọi cách;

Bớc 3: Chọn hai thừa số mà tổng bằng b

Ví dụ 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

4x2-4x-3

Cách 1: Tách hạng tử thứ 2

4x2 - 4x - 3 = 4x2 + 2x - 6x - 3 = (2x+1)(2x-3)

Cách 2: Tách hạng tử thứ ba:

4x2 - 4x - 3 = 4x2 - 4x + 1 - 4 = (2x+1)(2x-3)

Nhận xét: Tách một hạng tử thành nhiều hạng tử nhằm làm xuất hiện:

+ Các hệ số tỉ lệ, nhờ đó làm xuất hiện nhân tử chung

+ Làm xuất hiện hiệu hai bình phơng

Với các đa thức có bậc từ bậc ba trở lên, để dễ dàng làm xuất hiện các hệ số tỉ lệ, ng

-ời ta thờng sử dụng cách tìm nghiệm của đa thức

Một số định lý:

* Nếu đa thức f(x) có nghiệm x=p/q thì khi phân tích thành nhân tử đa thức có thừa số bx-a [Tức f(x) = (qx-p)g(x)]

* Đặc biệt nếu đa thức f(x) có nghiệm x=a thì khi phân tích thành nhân tử đa thức có thừa số x-a [Tức f(x) = (x-a)g(x)]

* Đa thức f(x) có nghiệm hữu tỉ x=p/q thì p là ớc của hệ số tự do, q là ớc của hệ

số bậc cao nhất

* Đa thức f(x) có nghiệm nguyên x=p thì p là ớc của hệ số tự do

* Nếu tổng hệ số của đa thức f(x) bằng 0 thì đa thức đó có nghiệm x=1

* Nếu tổng hệ số của hạng tử bậc chẵn bằng tổng hệ số ở hạng tử bậc lẻ thì đa thức đó có nghiệm x=-1

* Nếu a là nghiệm nguyên của đa thức f(x) và f(1), f(-1) khác 0 thì f(1)/(a-1) và f(-1)/(a+1) đều là số nguyên

Ví dụ 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

a) x3-x2-4; b) x3-3x2+5x-3; c) x3-5x2+3x+9;

d) 4x3-13x2+9x-18; e) 3x3-7x2+17x-5

II Phơng pháp thêm và bớt một hạng tử

1) Thêm và bớt cùng một hạng tử làm xuất hiện hiệu của hai bình phơng:

Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

2) Thêm và bớt cùng một hạng tử làm xuất hiện nhân tử chung:

a) x5+x-1 = (x2 - x + 1)(x3+x2-1) b) x7+x2+1

Chú ý: - Các đa thức dạng x3m+1 + x3n+2 + 1 đều chứa nhân tử x2 + x + 1

- Các đa thức dạng x6m+4 + x6n+2 + 1 đều chứa nhân tử x2 - x + 1

III Phơng pháp đổi biến:

Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

a) x(x+4)(x+6)(x+10)+128;

b) x4+6x3+7x2-6x+1 (dạng đối xứng đặt x-1/x=t)

IV Phơng pháp xét giá trị riêng

Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

P = x2(y-z)+y2(z-x)+z2(x-y)

(Thay x bởi y ta đợc P = 0 vậy đa thức có thừa số x-y

Tơng tự ta có đa thức có thừa số x-y, y-z, z-x

Vậy ta có P = k(x-y)(y-z)(z-x)

=> x2(y-z)+y2(z-x)+z2(x-y) = k(x-y)(y-z)(z-x)

Xét các giá trị riêng của x, y, z ta đợc k=-1

Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

1 a) 6x2-11x+3; b) 2x2+3x-27; c) 2x2-5xy-3y2

2 a) x3+2x-3; b) x3-7x+6; c) x3+5x2+8x+4;

d) x3-9x2+6x+16; e) x3-x2-x-2; g) x3+x2-x+2;

h) x3-6x2-x+30; i) x3-7x-6 (bằng nhiều cách)

3 a) 27x3-27x2+18x-4; b) 2x3-x2+5x+3; c) (x2-3)2+16

4 a) (x2+x)2-2(x2+x)-15; b) x2+2xy+y2-x-y-12;

c) (x2+x+1)(x2+x+2)-12; d) (x+2)(x+3)(x+4)(x+5)-24

5 a) (x2+y2+z2)(x+y+z)2+(xy+yz+zx)2 (đặt a= x2+y2+z2; b = xy+yz+zx)

b) (x+a)(x+2a)(x+3a)(x+4a)+a4 (Đặt x2+5ax+5a2 = t)

Đề kiểm tra cuối chơng I

Đề 1:

1 a) Viết dạng tổng quát chia hai luỹ thừa cùng cơ số với số mũ tự nhiên trong trờng hợp phép chia hết

b) Viết kết quả dới dạng một luỹ thừa:

(x− 1) : (m x− 1)m− 3 ;9 : ( 3) 85 − 40

2 Rút gọn biểu thức:

3(x y− ) − 2(x y+ ) − − (x y x y)( + )

3 Phân tích đa thức thành nhân tử:

a) x3- x2-x+1

b) x3-3x2-3x+1

4 Làm phép chia:

(2x4-10x3-x2+15x-3) : (2x2-3)

5.* Chứng minh rằng với mọi giá trị nguyên của n, giá trị của biểu thức n3+3n2+2n bao giờ cũng viết đợc dới dạng tích của ba số nguyên liên tiếp

Đề 2:

1 Khi nào ta nói đa thức A chia hết cho đa thức B? Tìm các giá trị tự nhiên của m để

A chia hết cho B:

A=-5xmy7

B=3x3ym

2 Rút gọn biểu thức:

2(2x+5)2-3(4x+1)(1-4x)

3 Phân tích đa thức thành nhân tử:

a) x3+x2y-4x-4y

b) x3-4x2+4x-1

4 Làm phép chia

(x4-2x3+4x2-8x): (x2+4)

5.* Chứng minh rằng biểu thức x2-xy+y2 không có giá trị âm với mọi giá trị của x và y

Đề 3

1 Viết bảy hằng đẳng thức đáng nhớ dới dạng phân tích đa thức thành nhân tử

2 GiảI phơng trình:

3(x-1)2-3x(x-5)=2

3 phân tích đa thức thành nhân tử

a) x4-x3y-x+y

b) x3-4x2-8x+8

4 Làm phép chia

(x4-x3-3x2+x+2): (x2-1)

5.* Chứng minh rằng hiệu các bình phơng của hai số lẻ bất kì thì chia hết cho 8.

Chơng II Phân thức đại số Bài 1: Định nghĩa phân thức đại số

1 Phân thức đại số là biểu thức có dạng A

B, trong đó A, B là những đa thức và B≠0

A là tử thức , B là mẫu thức

2 Tập xác định của một phân thức một biến là tập hợp các giá trị của biến làm cho mẫu thức khác 0

Phân thức ( )

( )

A x

B x có tập xác định là:

TXĐ = {x∈Q / B(x)≠0}

Ví Dụ:

Tìm tập xác định của các phân thức sau:

a) 2 3

2

x

x x

+

− − b) 2 2

2xy

x + y

Ví dụ

Với giá trị nào của x thì phân thức ( 2)( 3)

x

+ −

− có giá trị bằng 0

Bài tập

1 tìm tập xác định của phân thức sau:

a)

2

x

x

−

2

x y

−

− + + ; c) 2

5

2 15

x + x− ; d)

2 2

2 1

x x

− +

e) 2 ( 2)

x x

+

− +

2 tính giá trị của các phân thức sau:

3

3

x x

−

+ + với x=1/3

b) 3

2

8

x

x

− với x=3; x=2; x=0

c) (x-2)(x2+2x+4)-x(x+3)(x-3) với x=8/9;

d) 53 72 2 2

xy y

y x y y

− +

+ − + với x=- 3/4, y=0

3 với giá trị nào của các biến thì các phân thức sau đây có giá trị bằng 0

1

xy x y

x y

− − +

+ + ; b) 2 2 2

2

1

xyz

− + + +

Bài 2 Tính chất cơ bản của phân thức đại số

1 Tính chất cơ bản của phân thức đại số:

Nếu nhân hoặc chia tử thức và mẫu thức của một phân thức với cùng một đa thức khác

0 thì đợc một phân thức bằng phân thức đã cho

A/B=A.C/B.C; A/B=A:C/B:C (C≠0)

2 Quy tắc đổi dấu thứ nhất

Nếu đổi dấu cả tử và mẫu thức của một phân thức thì đợc một phân thức bằng phân thức đã cho

A/B=-A/-B

Ví dụ:

Với x≠ ±y, hãy viết các phân thức sau dới dạng phân thức có tử là x2-y2:

a) x+y; b) x-y/x+y; c) 1/x+y

Ví dụ:

Giải thích rằng đẳng thức sau là đúng:

3 2

Bài Tập

1 Chứng minh đẳng thức:

a) 3 2 15 3

b = bmx ; b)

2

b b b

a a ab

+

= + ; c)

2 2

2 2

xy x x

y xy y

− =

−

2 Viết các biểu thức sau dới dạng những phân thức có cùng tử:

a) x y

x

+ và x2 xy y2

xy

− + ; b) 3

2

x y

x +xy và

2 2

xy

xy y−

3.Viết các phân thức sau đây dới dạng những phân thức có cùng tử và mẫu là những

đa thức với hệ số nguyên:

a)

2

7

2

15

1

21

x

x

+

+

;

b)

2

2

2

3

x

y

m

y

x

n

+

−

(m,n∈Z; m 0,≠ n≠0)

Bài 3: Rút gọn phân thức

Muốn rút gọn phân thức ta phải:

- Phân tích tử và mẫu thành nhân tử

- Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung

Ví dụ:

Rút gọn các phân thức sau:

2 2

12

26

acx

a c x

− ; b) 3 3

7a x 7ax

a x

+

−

Ví dụ:

Chứng minh đẳng thức:

( 1)

y

− − + = − ≠

Ví dụ:

Rút gọn phân thức sau đây:

2

20

x

x x

−

+ −

Bài tập

1 Rút gọn các phân thức sau:

a) 2 2

2

57

;

19

a b

a

− b)

2 2 2

4 4

38 57

m n p

m n p

c)

2

2

x a b x ab

− +

8

1

x

− + −

2 Rút gọn các phân thức sau:

a) 2

2

x x

+ +

− − ; b)

2

25 10

5

x x

xy y

− +

−

c)

2

2

xy x z y

− + −

+ − + ; d) 2

x

−

− −

3 Chứng minh đẳng thức:

− − − = +

+ + + = +

4 Tính giá trị của biểu thức:

2

+ − với m=6.75, n=-3.25.

5 Giải các phơng trình:

a) 2ax + a= 4a2 + x ( a 1

2

≠ ) b) ax- b2+2ab= a2+ bx (a≠b)

Bài 4: Quy đồng mẫu thức của nhiều phân thức