Bài giảng bài cực trị hàm số giải tích 12

fxo gọi là giá trị cực trị của hàm số... Hàm số y=x3Hàm số có đạo hàm triệt tiêu tại x=0 nhưng không có cực trị tại x=0... Chú ý: là hàm không có đạo hàm tại x=0 có đồ thị: Như vậy: Hàm

Bài giảng toán lớp 12

1 Khái niệm cực trị của hàm số:

Định nghĩa:

Giả sử hàm số f xác định trên tập hợp D và x0  D

a) x0 là điểm cực đại của hàm số f nếu tồn tại một khoảng (a;b) chứa x0 sao cho (a;b)  D và

f(x) < f(x 0 ) với mọi x  (a;b) \{x 0 }

• Ta nói hàm số đạt cực đại tại x0

• f(x0) gọi là giá trị cực đại của hàm số ,ta viết yCĐ hoặc fCĐ

1 Khái niệm cực trị của hàm số:

Định nghĩa:

Giả sử hàm số f xác định trên tập hợp D và x0  D



Hàm số đạt cực đại hoặc cực tiểu tại xo, ta gọi là hàm số đạt cực trị tại xo f(xo) gọi là giá trị cực trị của hàm số

b) x0 là điểm cực tiểu của hàm số f nếu tồn tại một khoảng (a;b) chứa x0 sao cho (a;b)  D và

f(x) > f(x 0 ) với mọi x  (a;b) \{x 0 }

• Ta nói hàm số đạt cực tiểu tại x0

• f(x0) gọi là giá trị cực tiểu của hàm số ,ta viết yCT hoặc fCT

2 Điều kiện cần để có cực trị:

Định lý 1:

Nếu f có đạo hàm tại xo và đạt cực trị tại xo thì f’(xo) =0

Chứng minh: (xem SGK)

Chú ý : Đảo lại của định lí là sai

Hàm số y=x3

Hàm số có đạo hàm triệt tiêu tại x=0 nhưng không có cực trị tại x=0

−2

2 4

x

y

có đồ thị:

Ví dụ 1:

Hàm số y = x3 tăng trên R Có y’=3x2, y’=0 <=> x=0

Ví dụ 2: b) Hàm số

3 2

x (5  x)

3 2

y  x (5 x) 

2 4 6

x y

Hàm số đạt cực đại tại x=2 ,cực tiểu tại x=0

Chú ý: là hàm không có đạo hàm tại x=0

có đồ thị:

Như vậy: Hàm số có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại

đó đạo hàm của hàm số bằng không hoặc không xác định

3)Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị:

a) Nếu f’(x) >0; x(a; x0) và f’(x) <0; x(x0;b) thì hàm

số đạt cực đại tại x0

Định lý 2: (điều kiện đủ 1)

Giả sử hàm số f liên tục trên khoảng (a; b) chứa điểm x0

và có đạo hàm trên các khoảng (a; x0) và ( x0;b) Khi đó:

b) Nếu f’(x) <0; x(a; x0) và f’(x) >0; x(x0;b) thì hàm

số đạt cực tiểu tại x0

Quy tắc 1: Để tìm cực trị hàm số ta làm các bước sau:

1) Tìm y’

bằng 0 hoặc hàm số liên tục nhưng không có đạo hàm 3) Lập bảng biến thiên, xét dấu đạo hàm

4) Từ Bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị

 

\ 0

Quy tắc 2: Để tìm cực trị hàm số ta làm các bước sau:

1) Tìm f ’(x)

* Nếu f’’(xi) >0 thì hàm số f đạt cực tiểu tại điểm xi

 

\ 0

Bài 1: Tìm cực trị của hàm số

Bài 2: Tìm cực trị của hàm số

1 1)y x 2x 3x 1

3

x

  

3)y  x  2x  3 4)y x2 2x 3

x 1





1)f (x)   x sin 2x  2 2)f (x)   3 2cos x  cos 2x

BÀI TẬP ỨNG DỤNG

Bài 3: Cho hàm số: Tìm m để

1) Hàm số đạt CT tại x=2

2) Hàm số đạt CĐ tại x=2

Bài 4: Cho hàm số: Tìm m để

1) Hàm số có 1 CĐ và 1 CT

2) Hàm số có 1 CĐ, 1 CT và các cực trị của đồ thị hàm số cách đều gốc tọa độ

2

y

 





y    x 3x  3(m  1)x 3m   1