Bài giảng bài cấp số nhân đại số 11 (6)

Bài toán: Một ngân hàng quy định như sau đối với việc gửi tiền tiết kiệm theo thể thức có kì hạn: Khi kết thúc kì hạn gửi tiền mà người gửi không đến rút tiền thì toàn bộ số tiền gồm cả

Bài toán: Một ngân hàng quy định như sau đối với việc gửi tiền tiết kiệm theo thể thức có kì hạn: Khi kết thúc kì hạn gửi tiền mà người gửi không đến rút tiền thì toàn bộ số tiền ( gồm cả vốn và lãi ) sẽ được chuyển gửi tiếp với kì hạn như kì hạn mà người gửi đã gửi

Giả sử có một người gửi 10 triệu đồngvới kì hạn một tháng vào ngân hàng nói trên và giả sử lãi suất của loại kì hạn này là 0,4%

a) Hỏi nếu sau 6 tháng , kể từ ngày gửi , người đó mới đến ngân hàng để rút tiền thì số tiền rút được ( gồm cả vốn và lãi ) là bao nhiêu?

b) Cũng câu hỏi như trên , với giả thiết thời điểm rút tiền là một năm sau , kể từ ngày gửi ?

Tính số tiền rút được ( gồm cả vốn và lãi ) sau 1,2,3 tháng?

Gọi số tiền rút được ( gồm cả vốn và lãi) sau n tháng là u n với n nguyên, dương

Sau 1 tháng là:

Sau 2 tháng là:

u 1 = 10 7 + 10 7 0,004 = 10 7 1,004

u 2 = u 1 + u 1 0,004 = u 1 1,004 Sau 3 tháng là: u 3 = u 2 + u 2 0,004 = u 2 1,004

Vậy số tiền rút được ( gồm cả vốn và lãi)

…

Sau n tháng là: u n = u n-1 + u n-1 0,004 = u n-1 1,004   n 2

Sau 6 tháng là: u 6 = u 5 + u 5 0,004 = u 5 1,004

……

Như vậy ta có dãy (u n ) được x/đ như sau:

Em có nhận xét gì về các số hạng của (u n ) kể

từ số hạng thứ hai trở đi ?

7 1

1

10 1, 004

.1, 004, 2

u

 



Giải

= 10 7 1,004 2

= 10 7 1,004 3

= 10 7 1,004 6

Sau 12 tháng là: u 12 = u 11 + u 11 0,004 = u 11 1,004 = 10 7 1,004 12

*) Định nghĩa :

(u n ) là cấp số nhân

trong đó q là số không đổi và được gọi là công bội

1

2, n n .

n u u  q

   

1.Định nghĩa :

*) Ví dụ:

*) Nhận xét :

- Một cấp số nhân hoàn toàn được x/đ khi biết u 1 và q

-Để c/m một dãy số (u n ) là CSN ta c/m Hoặc

n n

u  u  q   n

n

n n

u

u

a H1?

b Chứng tỏ (u n ) với u n = 3 n là cấp số nhân

Giải : vì u n >0 với mọi n nguyên dương nên ta có

Vậy (u n ) là cấp số nhân với q = 3

1

3, 1 3

n n

n n

u

n u



    

c Cho (u n ) với

C/m (v n ) với v n = u n – 1/2 là một cấp số nhân   n 1

Giải: Ta có v n = 3u n-1 - 1 – 1/2 = 3 ( u n-1 – 1/2 ) = 3 v n-1 Vậy (v n ) là CSN có v 1 = u 1 – 1/2 = 5/2 – 1/2 = 2 và q = 3

2

n

 

*) Chú ý :

- Cấp số nhân (u n ) có q = 1 có dạng khai triển là :

- Cấp số nhân (u n ) có q = 0 có dạng khai triển là :

- Cấp số nhân (u n ) có u 1 = 0 có dạng khai triển là : 0 , 0 , 0 , …

u 1 , u 1 , u 1 , …

u 1 , 0 , 0 , …

1

1

5 2

u







Cho các cấp số nhân:

a 3 , 6 , 12 , 24 , 48

b 2 , - 4 , 8 , - 16 , 32 , - 64 , …

Em có nhận xét gì về mối quan hệ giữa mỗi

số hạng với hai số hạng đứng kề nó trong

dãy?

2

u  u  u    k

2 Tính chất:

(u n ) là cấp số nhân

*) Định lý:



*) Ví dụ:

+ ) H2: Có hay không một cấp số nhân (u n ) mà u 99 = - 99 và u 101 = 101 ? Giải :

Nếu (u n ) là cấp số nhân thì u1002  u u99. 100   99.100  0 Vô lí

Vậy không có cấp số nhân nào thoả mãn y/c bài toán

+) Cho cấp số nhân (u n ) có q<0 , u 2 = 5 , u 4 = 10 Tìm u 5 ?

Giải:

Vì q < 0 và u 2 > 0 nên u 3 =  u u2. 4   5 2

Từ đó ta có :

2 4 5

3

100

10 2

5 2

u u

u



Nếu (u n ) là cấp số nhân có số hạng đầu là u 1 và q  0

Ta có u 2 = u 1 q

u 3 = u 2 q = u 1 q 2

u 4 = u 3 q = u 1 q 3 ………

u n = u n-1 q = u 1 q n-1

3 Số hạng tổng quát:

*) Định lí :

Thì u n = u 1 q n-1   n 2

*) ví dụ :

1/ Ta thấy (u n ) với

7 1

1

10 1, 004

u





Là cấp số nhân có q = 1,004

Vậy u 6 = u 1 q 5 = 10 7 (1,004) 6 = 10 242 413 (đ)

u 12 = u 1 q 11 = 10 7 (1,004) 12 = 10 490 702 (đ)

2/ H3:

Kí hiệu u n ( người ) là dân số của thành phố A sau n năm

Ta thấy (u n ) được x/đ như sau

1

1

u





Là cấp số nhân có q = 1,02

Vậy dân số TP A sau hai năm nữa là

u 2 = u 1 q = 3.10 6 (1,02) 2 = 3 121 200 ( người)

4 Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân:

*) Cho cấp số nhân (u n ) có công bội q Gọi S n =

1

n

i i

u





- Nếu q = 1 thì S n = n.u 1

- Nếu q 1 thì 1

1

n n

q

q







*) Ví dụ: Cho CSN (u n ) có u 4 = 48 , u 5 = 96 Tính tổng 6 số hạng đầu tiên của CSN đó

Giải:

Có q = 96

2

48 

Mà u 4 = u 1 q 3 4

48

6 8

u u

q

q

q

Đố vui: (tr- 120)

- Trong 30 ngày nhà tỉ phú đã mua được 300 000 000 đ

- Gọi u n (đồng ) là số tiền mà nhà tỉ phú phải trả cho nhà toán học ở ngày thứ n Dễ thấy (u n ) là cấp số nhân có u 1 =1 , q = 2 Vậy số tiền mà nhà tỉ phú phải trả cho nhà toán học trong 30

30

q

q

= 1 073 741 823 đ

- Vậy sau cuộc mua bán nhà tỉ phú đã “ lãi “được là:

300 000 000 – 1 073 741 823 = - 773 741 823 đ

1 Các kiến thức trọng tâm cần nhớ:

- Khái niệm cấp số nhân

-Tính chất đơn giản về ba số hạng liên tiếp của cấp số nhân

- Công thức số hạng tổng quát , tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân

2 Nắm được các kĩ năng:

- C/m một dãy số là CSN

- Biết tìm số hạng , tìm công bội , tính tổng n số hạng đầu tiên của CSN

- Biết áp dụng giải một số bài toán thực tế đơn giản liên quan đến CSN