NHÂN của đồ THỊ

Ta chứng minh rằng không có đường nối x với y.. Hơn nữa, cũng không thể có đường nối qua đỉnh a vì a là đỉnh treo... SỰ TỒN TẠI CỦA NHÂN... SỰ TỒN TẠI CỦA NHÂN tiếp... SỰ TỒN TẠI CỦA NHÂ

3.3 NHÂN CỦA ĐỒ THỊ (tiếp)

Τ ừ đị νη νγη α χ α νην συψ ρα: ĩ ủ

- Nhân không chứa đỉnh nút

- Nếu F(x) = ∅ thì x phải thuộc vào một nhân nào đó

của đồ thị

VÍ DỤ 3.6Ξτ χ〈χ đồ τη σαυ ψ:ị đ

c

NHÂN VÀ TẬP ỔN ĐỊNH TRONG

CỰC ĐẠI

 Đị νη λ 3.2 : Ν υ Β λ◊ νην χ α ế ủ đồ τη ị Γ τη Β χ νγ λ◊ τ π ν ũ ậ ổ đị νη τρονγ χ χ ự đạι.

VÍ DỤ 3.7Ξτ πη ν ϖ δ σαυ ψ:ả ụ đ

Ηνη 3.5 Τ π ν νη τρονγ χ χ ậ ổ đị ự đạι κηνγ πη ι λ◊ νηνả

Τ π Β ={ậ α} λ◊ τ π ν ậ ổ đị νη τρονγ χ χ ự đạι

νη νγ κηνγ πη ι λ◊ νην χ α τη

a b

c

LÕI CỦA ĐỒ THỊ (tiếp)

Β ổ đề 3.1: Μ ι τη υ χ⌠ λ⌡ι

Χη νγ µινη: ứ

Quy nạp theo số đỉnh n của đồ thị G.

n = 1 : đỉnh duy nhất cũng là lõi của đồ thị.

LÕI CỦA ĐỒ THỊ (tiếp)

Χη νγ µινη β ứ ổ đề:

- Nếu có đường đi từ a tới V 1 thì sẽ có đường từ

a tới B1, do vậy B1 cũng là lõi của G

- Ngược lại, giả sử không có đường đi từ a tới

V 1 Thế thì, không có cạnh đi ra từ a và a sẽ là đỉnh

treo Ký hiệu:

B2 = { x x ∈ B1 và không có đường đi từ x tới a }.

Ta chứng minh tập B = B2 ∪ {a} là lõi của G

LÕI CỦA ĐỒ THỊ (tiếp)

Χη νγ µινη β :

Giả sử x, y ∈ B và x ≠ y

Ta chứng minh rằng không có đường nối x với y

- Nếu x và y cùng thuộc B2 thì chúng cùng thuộc B1

Mà B1 là lõi của G1 nên không có đường nối x với

y trong G1 Hơn nữa, cũng không thể có đường nối

qua đỉnh a vì a là đỉnh treo.

LÕI CỦA ĐỒ THỊ (tiếp)

Chứng minh bổ đề:

Nếu x = a , y ∈ B2 thì theo định nghĩa của B2 sẽ

không có đường đi từ y đến a và cũng không có đường từ a đến y vì a là đỉnh treo.

LÕI CỦA ĐỒ THỊ (tiếp)

Χη νγ µινη β ứ ổ đề:

Với x ∉ B thì x ≠ a và x ∉ B2.Ta chỉ ra là có

đường đi từ x đến B.

Giả sử x ∈ B1 Vì x ∉ B2 nên có đường từ x đến

a theo định nghĩa của B2.

Giả sử x ∉ B1 Vì x ≠ a nên x ∈ V 1 Suy ra có

đường đi từ x đến y ∈ B1 vì B1 là lõi của G1

Nếu y ∉ B2 thì theo định nghĩa của B2 sẽ có đường

đi từ y đến a Trong tất cả các trường hợp đều suy

ra là có đường từ x đến B

SỰ TỒN TẠI CỦA NHÂN

SỰ TỒN TẠI CỦA NHÂN (tiếp)

SỰ TỒN TẠI CỦA NHÂN (tiếp)

Πη νγ η νγ χη νγ µινη:

Giả sử đã chọn được Bi là lõi của V i Đặt:

C i = { x x ∈ V i \ Bi và có cạnh đi từ x đến Bi }.

Đến một bước nào đó thì V k \ Bk = ∅ và ta đã vét hếtcác đỉnh của đồ thị

Chọn tập B = B0 ∪ B1 ∪ B2 ∪ ∪ Bk Ta chỉ ra rằng

tập B là nhân của đồ thị G 

Xây dựng hai dãy tập con các đỉnh: V 0 , V 1 , V 2 , … và

B0, B1, B2, … lần lượt như sau:

V 0 = V,

Chọn B0 là nhân của G.

NHÂN VÀ HÀM GRUNDY (tiếp)

V 1 = V 0 \ B0

B1 là nhân của đồ thị con tạo bởi V 1

….

V i+1 = V i \ Bi

Bi+1 là nhân của đồ thị con tạo bởi V i+1.

Vì mỗi nhân đều khác rỗng nên đến một bước nào đó

sẽ vét hết các đỉnh của đồ thị và ta nhận được dãy các nhân: B0, B1, … , Bk.

NHÂN VÀ HÀM GRUNDY (tiếp)

Χη νγ µινη νη λứ đị :

Xây dựng hàm g như sau: với x ∈ Bi , đặt g(x) = i

Ta chứng minh g là hàm Grundy của đồ thị

NHÂN VÀ HÀM GRUNDY (tiếp)

NHÂN VÀ HÀM GRUNDY (tiếp)

ỨNG DỤNG NHÂN VÀO TRÒ CHƠI

ỨNG DỤNG NHÂN VÀO TRÒ CHƠI (tiếp)

ỨNG DỤNG NHÂN VÀO TRÒ CHƠI (tiếp)

µ τη τα β ι ỏ đ

VÍ DỤ 3.9 (tiếp)

Η◊µ Γρυνδψ χ α ủ đồ τη Γ λ◊ị : γ(ξ) = ξ µοδ (κ+1) ϖ◊ νην λ◊ τ πậ Β = { ξ ξ µοδ (κ+1) = 0 }

VÍ DỤ 3.9 (tiếp)

 Η◊µ Γρυνδψ χ α ủ đồ τη τρ∫ χη ι λ◊ ị ơ γ(ξ) = ξ µοδ 4 ϖ◊ νην χ α ủ đồ τη λ◊ τ π η π Β = {8, ị ậ ợ

VÍ DỤ 3.10 (tiếp)

Τρ χ η τ, τα ξτ τρ∫ χη ι ρ τ ν γι ν σαυ ψ:

Χ⌠ µ τ νγ γ µ µ θυε Ηαι νγườι τηαµ για χυ χ χη ι, ν λ τ ι νγ ι χη ι

πη ι β χ µ τ σ θυε τυ  ả ố ộ ố ỳ Αι β χ χ χηι χ θυε χυ ι χνγ τη νγ ι ⌠ τη νγ

χυ χ

β χ ν τ θυε ố ố ở đốνγ χ∫ν λ ι ϖ◊ τη νγ χυ χ.ạ ắ ộ

 Χ⌠ τη µ ρ νγ χ〈χ τρ∫ χη ι τρν τη◊νη τρ∫ ể ở ộ ơ

χη ι ϖ ι σ ơ ớ ố đốνγ θυε τυ .ỳ