II : Các hệ thức giữa các tỷ số
lượng giác
1 Các hệ thức cơ bản :
α
α
cos
sin
tg α =
α
α
sin
cos cotg α = sin2α + cos2α = 1
Ví dụ 1 : Cho biết tgx + cotgx = 2 hãy tính sinx cosx ?
sin
cos cos
sin
=
+
x
x x
x
⇔
2 sin
cos
cos sin2 2
=
+
x x
x x
2 sin
cos
1
=
x x
⇔
⇔
2
1 cos
sin x x =
Trang 2Ví dụ 2 : Cho biết cos x =
Có sin 2 x + cos 2 x = 1 ⇔ sin2 x = 1 − cos2 x
Vậy
16
15 4
1 1
2
=
−
−
=
4
15 sin x = ±
⇒ 4
15 sin x =
4
1
− hãy tính các giá trị khác của
x
x
x tgx
cos
sin
=
4 1 4
15
−
= = − 15
x
x gx
sin
cos cot =
15
1
−
=
4
15 sin x = − ⇒
x
x tgx
cos
sin
=
4
14
15
−
−
x
x gx
sin
cos cot =
15 1
=
Trang 32 Các hệ thức khác :
α
2
2
cos
tg
1 + α = 1
α
2
2
sin
cotg
1 + α = 1 tgx.cotgx = 1
Ví dụ 1 : Cho biết tgx = m < 0 hãy tính sinx & cosx ?
Có tg 2 x + 1 = ⇒ 2
cos
1
m
x = +
vì tg x = m < 0
2
2
1
1 cos
m
x
+
=
2
1
1 cos
m
x
+
−
=
⇔
x
2
cos
1
⇒ Có 2 trường hợp xảy ra :
+) cos x < 0 ; sin x > 0 ⇒
cos 2 x + sin 2 x = 1 ⇒ sin x = 1− cos2 x ⇒ 2
1
1 1
sin
m
x
+
−
=
2
2
1 m
m
+
1 m
m
+
−
=
+) cos x > 0 ; sin x < 0 ⇒
2
1
1 cos
m
x
+
=
2
1
sin
m
m x
+
=
Trang 4Ví dụ 2 : Đơn giản biểu
thức:
Vậy
α
α 1 cos
1 cos
1
1
−
+ +
⇒
α
2cotg cosα
1
1 cosα
1
1
−
+ +
=
) cos 1
)(
cos 1
(
cos 1
cos
1
α α
α
α
− +
+ +
−
=
α
2
cos 1
2
−
=
cos 2 α + sin 2 α = 1 ⇒ sin 2 α = 1 – cos 2 α
α
2
sin
2
=
1 + cotg 2 α = 1/sin 2 α
(1 cot 2α )
.
=
A = 2 (1 + cotg 2 α) – 2 cotg 2 α = 2
Trang 53 Liên hệ giữa tỉ số lượng giác của 2 góc bù nhau : Định lý : Cho 1 góc là α
α
18 0
0 –α
thì góc kia là (180 0 – α)
K
O
sin α = OK = sin (180 0 – α)
cos α
H 1
= OH 1
cos (180 0 – α)
H 2
= OH 2
mà
OH 1 = - OH 2
⇒ sin α = sin (180 0 – α)
cos α = – cos (180 0 – α)
tg α = – tg (180 0 – α) cotg α = – cotg (180 0 – α)
Trang 64 Liên hệ giữa tỉ số lượng giác của 2 góc phụ nhau: Định lý : Cho 1 góc là α
α
90 0 –
α
thì góc kia là (90 0 – α)
K 1
O
sin α = OK 1
cos (90 0 – α)
sin (90 0 – α) = OK 2 H 2
mà
OH 1 = OK 2
⇒ sin α = cos (90 0 – α)
cos α = sin (90 0 – α) tg α = co tg (90 0 – α)
cotg α = tg (90 0 – α)
K 2 = OH 2
mà
OK 1 = OH 2
Trang 7Ví dụ 1 : Cho tam giác ABC chứng minh :
Có A + B + C = 180 0
2
B
A sin
; sinC
B A
sin (180 0 - α) = sin α 2
180 sin
2 sin
0 C B
•
⇒ sin (A + B) = sin (180 0 – C) = sin C
=
2
90 sin 0 C
Màø sin (90 0 - α) = cos α
2
cos C
=
Ví dụ 2 :
Tính tổng : A = cos200 + cos400 + + cos1600 + cos1800 Có cos20 0 = cos (180 0 - 160 0 )
Có cos20 0 = cos (180 0 - 160 0 )
cos (180 0 - α) = – cos α
= – cos 160 0
Tương tự có cos 40 0 = cos (180 0 - 140 0 ) = – cos 140 0
⇒ A = (cos 20 0 + cos 160 0 ) + (cos 40 0 + cos 140 0 ) + …… + cos 180 0
cos 20 0 - cos 20 0 cos 40 0 - cos 40 0 - 1
= 0 + 0 + ….+ 0 – 1
= - 1
Trang 8Bài 3 : Tính giá trị của các biểu thức :
a) Biết cos x = 1/2 tính P = 3 sin2 x + 4 cos2 x
b) Biết sin x =
2
− Tính Q =
tgx
c) Biết tg x = 2 2 Tính sin x ; cos x ?
d) Cho x là góc nhọn , sin x =
4 1
Tính tg x ; cos x ?
Trang 9Bài 3 : Tính giá trị của các biểu thức :
a) Biết cos x = 1/2 tính P = 3 sin2 x + 4 cos2 x
P = 3 sin2 x + 4 cos2 x = 3 (sin2x + cos2x) + cos2x
= 3 1 + cos2x = 3 1 +
2
2
1
4
13
=
b) Biết sin x =
2
tgx gx
tgx
gx
−
+
cot
cot
Q =
x
x x
x
cos
sin sin
cos cos
sin sin
cos
−
+
=
x x
x
x
2 2
2 2
sin cos
sin
cos
−
+
=
x
2
sin 2 1
1
−
=
2 1
1
2 =
−
−
=
Trang 10c) Biết tg x = 2 2 Tính sin x ; cos x ?
a
a
tg2 2
cos
1
1 + =
a tg
2
1
1 cos
+
=
⇒
2 2
1
1 +
=
9
1
=
+) sin2a = 1 − (1/9) = 8/9 ⇒ sin a = ±
3
2 2
d) Cho x là góc nhọn , sin x =
4
1
Tính tg x ; cos x ?
( ) 1 / 4 15 / 4 1
x sin
x
x
cos sin
tgx =
4 / 15
4 / 1
=
15 15
=