Chuyên đề: Một số phơng pháp tìm gtln - gtnn I... Tìm GTLN, GTNN của biểu thức đại số bằng cách áp dụng bất đẳng thức Côsi.. Giải các bài toán cực trị đại số bằng phơng pháp đặt ẩn phụ :
Trang 1Chuyên đề:
Một số phơng pháp tìm gtln - gtnn
I Phơng pháp tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của một biểu thức bằng cách đa về dạng A x ≥0 hoặc A x ≤ 0
a, Cơ sở lý luận
- Trong tập hợp các số (nguyên , hữu tỷ , số thực) không âm thì số 0 có giá trị nhỏ nhất
- Trong tập hợp các số (nguyên , hữu tỷ , số thực) âm thì số 0 có giá trị lớn nhất
- Từ đó ta có kết luận : Nếu M = Ax / Ax ≥0 thì GTNN của Ax = 0
Nếu M = Ax / Ax ≤0 thì GT LN của Ax = 0
b, Các ví dụ
Ví dụ 1:
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
Ax = 2x2 – 8x +1 với x là số thực bất kỳ
Lời giải : Ta có Ax = 2x2 – 8x +1 = 2( x- 2 )2 – 7 Ta có với mọi x thì
(x- 2 )2 ≥0 Nên ta có 2( x- 2 )2 – 7 ≥-7
Vậy Ax đạt giá trị nhỏ nhất bằng -7 khi x=2
Ví dụ 2:
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
Mx = - 5x2 – 4x + 1 với x là số thực bất kỳ
Lời giải: Ta có Mx = - 5x2 – 4x + 1 = -5 ( x +
5
2 )2 + 5 9
Với mọi giá trị của x ta luôn có : -5 ( x +
5
2 )2 ≤0 Vậy Mx ≤
5
9 (dấu = xảy ra khi x =
-5
2
Ta có GTLN của Mx =
5
9 với x =
-5
2
II Phơng pháp giải các bài toán tìm GTLN, GTNN của biểu thức đại số bằng cách đa
về dạng 2 ≥ 0
k
Ax
hoặc 2 ≤ 0
k
Ax
Ví dụ 3:
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Ax =
x
x x
3
16 15
2 + + Vói x là các số thực dơng
Lời giải: Ta có Ax =
x
x x
3
16 15
2 + + =
3
23 3
) 4
+
−
x
x với mọi x >0 thì
3
23 3
) 4
+
−
x
3 23
Vậy GTNN của Ax =
3
23 với x= 4
Ví dụ 4:
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
Mx=
3 2
10 6 3
2
2
+ +
+ +
x x
x
x với x thuộc tập hợp số thực
Lời giải:Ta có Mx=
3 2
10 6 3
2
2
+ +
+ +
x x
x
2 ) 1 (
1
2 + +
x Vì
2 ) 1 (
1
2 + +
2 1 nên ta có
Trang 2Chuyên đề ôn thi vào lớp 10: GTLN - GTNN
Mx = 3 + (x+11)2 +2 ≤ 3 + 0,5 = 3,5 Vậy GTLN Mx = 3,5 với (x+1)2 = 0 hay x= -1
Ví dụ 5:
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
Fx,y =
2 2
1 ) (
2 4 4 2
2 2 2
+ + +
+
− +
x y y x
x y y xy
với x, y là các số thực
Lời giải:Ta có Fx,y =
2 2
1 ) (
2 4 4 2
2 2 2
+ + +
+
− +
x y y x
x y y xy
=
) 2 )(
1 (
1
2 4
4
+ +
+
x y
y
vì y4 +1 ≠ 0 với mọi giá trị của
x nên ta chia cả tử và mẫu cho y4 +1 ta đợc : Fx,y =
2
1
2 +
x vì x2 ≥0 với mọi x nên x2 + 2 ≥2 với mọi x ,và do đó ta có Fx,y =
2
1
2 +
2 1
Vậy Fx,y dật GTLN =
2
1 với x=0, y lấy giá trị tuỳ ý
III Tìm GTLN, GTNN của biểu thức đại số bằng cách áp dụng bất đẳng thức Côsi.
1.Bất đẳng thức Côsi : Với các số dơng a,b, c ta có:
a + b ≥ 2 ab đạt đợc dấu = khi a=b
a + b+ c ≥ 3 abc đạt đợc dấu = khi a=b = c
2 Các ví dụ :
Ví dụ 6: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Ax =
x
x 2
8 2 + với x > 0.
Lời giải:Ta có Ax =
x
x 2
8 2 + = 8x +
x
2 Ta thấy 8x và
x
2
là hai đại lợng lấy giá trị dơng
áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dơng là 8x và
x
2
ta có:
8x +
x
2
8 16 2
2 8
≥
x
x dấu = xẩy ra khi 8x =
x
2 = > x =
2
1 Vậy GTNN Ax = 8 với x =
2
1
Ví dụ 7 :
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
Bx = 16x3 - x6 với x thuộc tập hợp các số thực dơng
Lời giải: Trớc hết ta phải tìm cách biến đổi để áp dụng đợc bất đẳng thức Côsi ta có
Bx = 16x3 - x6 = x3(16- x3) Ta có x3 > 0 , còn 16 – x3 > 0 khi 16 > x3 hay x < 3 16 (*)
ta thấy x3 và 16 – x3 là hai đại lợng dơng áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dơng x3
và 16- x3 ta có 2 x3 ( 16 −x3 ) ≤ x3 + 16 −x3 = 16 suy ra x3( 16 – x3) ≤ 64 dấu = xẩy ra khi
x3 = 16- x3 => x = 2 (Thoả mãn *) GTLN của Bx = 64 , với x=2
IV Giải các bài toán cực trị đại số bằng phơng pháp đặt ẩn phụ :
Ví dụ 8 :
Với giá trị nào của x thì biểu thức
Trang 3Px =
5 2
356 80
56 16
4
2
2 3
4
+ +
+ + +
+
x x
x x
x
Lời giải: Ta có : Px =
5 2
356 80
56 16
4
2
2 3
4
+ +
+ + +
+
x x
x x
x
5 2
256
Vì x2 + 2x +5 = (x+1)2 +4 > 0 (*) nên Px luôn xác định với mọi x ta đặt
y = x2 + 2x + + 5 , ta có Px = 4y +
y
256 với y > 0 , ta thấy 4y và
y
256
là hai đại lợng luôn dơng áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dơng 4y và 256y ta có :
4y +
y
256
64 16 2 2
256 4
≥
y
y Dấu = xẩy ra khi 4y =
y
256 => y = 8 hoặc y = -8
từ đó tính đợc x= -3 hoặc x=1 Vậy với x=-3 hoặc x=1 thì GTNN của Px = 64
Ví dụ 9 :
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :
Qx = (x2- 2x + 2)(4x- 2x2+ 2) với x thuộc tập hợp các số thực
Lời giải: Đặt x2- 2x +2 = y ta có 4x – 2x2 + 2 = -y +6 Vậy Qx = y ( 6- 2y)
Ta có 2Qx = 2y(6-2y) , ta thấy x2- 2x+2 = (x- 1)2 +1 >0 => y >0 => 6-2y > 0 khi y<3 Vậy 2y và 6-2y là hai số dơng áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dơng 2y và 6-2y ta
có : 2y + 6-2y ≥ 2 2y( 6 − 2y) => 3 ≥ 2y( 6 − 2y) => 9 ≥ 2 Qx dấu = xẩy ra khi
2y = 6- 2y => y = 1,5 thay vào ta có x2- 2x +2 = 1,5 => x = 1+
2
2 hoặc x= 1
-2
2 Vậy
GTLN của Qx = 4,5 với x = 1+
2
2 hoặc x= 1
-2
2
Ví dụ 10 :
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :
Hx = (8 + x2 + x )(20 – x2 –x) với x là các số thực tuỳ ý
Lời giải: Ta có : * 8+ x2 + x =( x+
2
1 )2 + 4
31 >0 với mọi giá trị của x
*20 – x2 –x > 0 khi -5 < x < 4
Nh vậy Hx = (8 + x2 + x )(20 – x2 –x) >0 khi -5 < x <4 Từ đó suy ra Hx có giá trị lớn nhất thì GTLN đó chỉ đạt ở trong khoảng xác định (-5 ; 4)
Với -5 <x <4 ta có 8+ x2 + x và 20 – x2 –x luôn dơng áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai đại lợng dơng 8+ x2 + x và 20 – x2 –x ta có :
(8+ x2 + x )+( 20 – x2 –x) ≥ 2 ( 8 +x2 +x)( 20 −x2 −x)
14 ≥ ( 8 +x2 +x)( 20 −x2 −x) => 196 ≥ (8 + x2 + x )(20 – x2 –x) Dấu = xẩy ra khi 8+ x2 + x =20 – x2 –x => x= 2 hoặc x= -3
Hay Hx ≤ 196 Vậy GTLN của Hx = 196 ,với x=2 hoặc x = -3
V Tìm GTLN, GTNN của các biểu thức chứa nhiều đại lợng
Ví dụ 11 :
Tìm giá trị của m, p sao cho A = m2 – 4mp + 5p2 + 10m – 22p + 28 đạt giá trị nhỏ nhất Tìm giá trị nhỏ nhất đó
Trang 4Chuyên đề ôn thi vào lớp 10: GTLN - GTNN
Lời giải:
Ta có A = m2 – 4mp + 5p2 + 10m – 22p + 28 = ( m – 2p)2 + ( p – 1)2+27 + 10(m – 2p)
Đặt X = m-2p ta có A = X2 + 10 X +( p-1)2 + 27 = (X+5) 2 + (p-1)2+ 2
Ta thấy (X+5) 2 ≥0 ; (p-1)2 ≥0 với mọi m, p do đó A đạt GTNN khi X+ 5=0 và p-1=0
Giải hệ điều kiện trên ta đợc p= 1 , m= -3 Vậy GTNN của A = 2 với p= 1, m=-3
Ví dụ 12 :
Tìm giá trị của x, y sao cho F = x2 + 26y2 – 10xy +14x – 76y + 59 đạt giá trị nhỏ nhất Tìm giá trị nhỏ nhất đó
Lời giải:
Ta có F = x2 + 26y2 – 10xy +14x – 76y + 59 = ( x-5y)2+ (y-3)2 +14(x-5y)+50
Đặt ẩn phụ : Z = x-5y ta có F = (Z+7)2 + (y- 3)2 +1 ≥1
Dấu = xẩy ra khi Z+7=0 và y-3 = 0 giả hệ điều kiện trên ta đợc x=8 y= 3 Vậy GTNN của
F = 1 với x=8, y=3
Ví dụ 13 :
Tìm giá trị của x, y,z sao cho P = 19x2 +54y2 +16z2 -16xz – 24yz +36xy +5 Đạt giá trị nhỏ nhất Tìm giá trị nhỏ nhất đó
Lời giải:
Ta có P = 19x2 +54y2 +16z2 -16xz – 24yz +36xy +5 = ( 9x2+ 36xy + 36y2) + (18y2- 24yz +8z2) + (8x2 – 16xz + 8z2) + 2x2 + 5 hay
P = 9(x+2y)2 + 2(3y – 2z)2 + 8(x- z )2 + 2x2 + 5 Ta thấy (x+2y)2 ≥ 0 ;
(3y – 2z)2 ≥ 0; (x- z )2 ≥ 0; 2x2 ≥ 0 với mọi giá trị của x, y, z
Vậy GTNN của P = 5 đạt đợc khi x+2y = 0 và 3y- 2z =0 và x- z =0 và x=0 Giải hệ phơng trình trên ta đợc x= y =z = 0
VI Tìm GTLN,GTNN bằng phơng pháp sử dụng bất đẳng thức Buanhiacôpski.
*Bất đẳng thức Buanhiacôpski.
( a1b1 + a2b2 + .anbn)2 ≤ (a12 + a22 + +an2)(b12 + b22 bn2)
Dấu bằng xẩy ra khi
n
n
b
a b
a b
a
=
=
=
2
2 1 1
*Các ví dụ :
Ví dụ 14 : Tìm các giá trị của x,y,z để biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất
P = x2 + y2 +z2 Tìm giá trị nhỏ nhất đó biết : x+y+z = 1995
Lời giải:
áp dụng bất đẳng thức Buanhiacốpki cho bộ ba số : 1, 1, 1 và x, y, z ta có :
(x.1 + y.1 + z.1)2 ≤ (1 + 1+ 1)(x2 + y2 + z2)
Hay : ( x + y +z )2 ≤ 3.(x2 + y2 + z2 ) Từ đó ta có :
P = x2 + y2 + z2 ≥
3
1995 3
)
= + +y z
x ( Vì theo giả thiết x+ y +z =1995)
Vậy GTNN của P =
3
1995 2
dấu = xẩy ra khi x =y =z kết hợp với giả thiết x + y +z =
1995 Ta có x= y =z =665
Ví dụ 14 :
Trang 5Cho biểu thức Q = 2x+ 4y+ 5 z Trong đó x,y,z là các đại lợng thoả mãn điều kiện
x2 + y2 + z2 = 169.Tìm GTLN của Q
Lời giải:
áp dụng bất đẳng thức Buanhiacốpki cho bộ ba số : 2, 4, 5 và x, y, z ta có :
(2x + 4y + 5z)2 ≤{ 22 + 42 + ( 5)2}( x2 + y2 + z2)
Hay Q2 ≤{ 22 + 42 + ( 5)2}( x2 + y2 + z2) vì x2 + y2 + z2 = 169 nên Q2 ≤ 25.169
Vậy GTLN của Q= 65 , dấu = xẩy ra khi
5 4 2
z y x
=
= và x2 + y2 + z2 = 169 từ đó tìm đợc x = 5
26
;
5
26 − y= .
5
52
; 5
52 − z =
5
5 13
; 5
5
13 −
VII Các bài tập áp dụng :
Bài 1: Cho biểu thức : Q =
5 4 4
3
x Tìm GTLN của Q
Bài 2: Biểu thức : P =
2
1 2
2 +
+
x
x
có giá trị lớn nhất không ? Hãy chứng tỏ khẳng định của mình
Bài 3: Cho biểu thức : A =
1 2
1
2
2
+ +
+ +
x x
x x
Với x ≠-1 , x >0 Hãy tìm GTNN của A.
Bài 4: Cho biểu thức : B=
12 6
14 6
2
2
+
−
+
−
x x
x
x Tìm GTLN của B
Bài 5: Cho biểu thức: F =
x
x x
3
16 15
2 + + Với x >0 Hãy tìm GTNN của F.
Bài 6: Cho biểu thức: A = 2 4
1 x
x
+ Hãy tìm GTLN của A.
Bài 7: Cho biểu thức: Y =
x
x
x 2 )( 8 ) ( + +
Với x > 0 Hãy tìm GTNN của Y
Bài 8: Cho biểu thức: Y =
1
1 2
2 2 3
−
−
− +
x
x x
VIII Hớng dẫn giải và đáp số :
Bài 1:Ta có : Q = (2 13)2 4 ≤ 43
+
−
x Vậy GTLN của Q =
4
3 , với x= 0,5
Bài 2: Ta có P = 1 -
2
) 1 (
2
2
+
−
x
x Vì
2
) 1 (
2
2
+
−
x
x ≥0 với mọi x nên P ≤1 Vậy GTLN của P= 1 khi x=1
Bài 3:Ta có : A= 1 - 1 2
1
+ +
x
x Để A đạt giá trị nhỏ nhất khi 1 2
1
+ +
x
x đạt GTLN muốn vậy x+
x
1
+ 2 phải đạt GTNN Mà x> 0 nên
x
1
> 0 áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dơng x
và
x
1
ta có : x +
x
1
x
x.1 2
≥ = 2 Dấu = xẩy ra khi
Trang 6Chuyên đề ôn thi vào lớp 10: GTLN - GTNN
x =
x
1
=> x= 1; x = -1 (Loại )
Vậy GTNN của A = 1 -
4
3 4
1
= , với x= 1
Bài 4: Ta có : B=
12 6
14 6
2
2
+
−
+
−
x x
x
x = 1+ (x−32)2 +3 Ta thấy B có GTLN thì (x−32)2 +3 phải
đạt giá trị lớn nhất , và do đó (x-3)2 + 3 phải đạt giá trị nhỏ nhất
Ta có (x- 3)2 + 3 ≥ 3 với mọi x Vậy GTLN của B =
3
5 , với x = 3
Bài 5: Ta có F =
x
x x
3
16 15
2 + + Với x >0 chia tử cho mẫu ta có F = 5
3
16
3 + +
x
x
vì x > 0 Nên
3
x
> 0;
x
3
16 > 0 áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có :
3
x
+
x
3
16
x
x
3
16 3 2
3
8
; Dấu = xẩy
ra khi x = 4 Vậy GTNN của F = 5 +
3
8 = 3
23 ; với x = 4
Bài 6: Ta có : A = 2 4
1 x
x
+ với x ≠ 0 thì A = 2 2
1
1
x
x + A đạt GTLN khi 2
1
x + x2 nhỏ nhất ,
ta thấy x2 và 12
x là hai số dơng nên theo bất đẳng thức Côsi ta có:
x2 + 12
2
x x
≥ = 2 Dấu = xẩy ra khi x4 = 1 => x= 1; x = -1
Vậy GTLN của A =
2
1 , với x= 1; x = -1
Bài 7: Ta có : Y =
x
x
x 2 )( 8 ) ( + +
Với x > 0 Y = x +
x
16 + 10
x
x.16 2
≥ + 10 = 18 ( Theo bất đẳng thức Côsi cho hai số dơng x và
x
16 ) Dấu = xẩy ra khi x = 4
Vậy GTNN của Y = 18; với x = 4
Bài 8: Ta có : Y =
1
1 2
2 2 3
−
−
− +
x
x x x
( với x ≠ 1) Y = ( x +
2
3 )2 - 4
5 4
5
−
≥
Dấu = xẩy ra khi x = -
2
3 Vậy GTNN của Y =
-4
5
; với x = -
2
3