toan 3

Hãy tính các vectơ: a... Hãy tính các vectơ: a.. Tìm vectơ đối của vectơ.. Ví dụ áp dụng: Vectơ đối của vectơ :... Trung điểm của đoạn thẳng và trọng tâm của tam giác:2.. Chứng minh rằn

NHI T LI T CH O M NG NHI T LI T CH O M NG Ệ Ệ Ệ Ệ À À Ừ Ừ

C C TH Y C C C TH Y C Á Á Ầ Ầ Ô GI O V C C GI O V C C Á Á À Á À Á

EM

GV thực hiện: Nguy n Th V nh Hễ ị ĩ à Trường THPT Tam Đảo

kiểm tra bài cũ

Cho ar r≠ 0

1 Xác định độ dài và hướng của

vectơ

a r

ar +ar

2 Xác định độ dài và hướng của

vectơ

( ) ( ) − + −ar ar

C

AC a a = + uuur r r

A’ B’

C’

a

−r

' ' ( ) ( )

A C = − + − a a

AC a a = +

uuur r r

A

B

C

ar

' ' ( ) ( )

A C = − + −a a

uuuur r r

A’

B’

C’

Em có nhận xét gì về hướng và độ

dài của vectơ tổng

a a r r +

 Vectơ a a r r +

• Hướng: Cùng hướng với ar

• Độ dài: bằng 2 lần độ dài ar

 Vectơ tổng ( ) ( ) − + −ar ar

 Hướng: ngược hướng với ar

 Độ dài: bằng 2 lần độ dài

ar

Em có nhận xét gì về hướng

và độ dài của vectơ tổng

( ) ( ) − + −ar ar

1 Định nghĩa:

Cho k ≠ 0 và Tích của vectơ

với số k :

- Là một véctơ

- Kí hiệu là

- Hướng:

Cùng hướng với nếu k > 0

Ngược hướng với nếu k < 0

- độ dài bằng:

 Qui ước:

0

.

k a r

| k | | ar |

ar

ar

0.ar = 0, 0r k r = 0r

ar

A

B

C

2.

AC = a

uuur r

A

’ B’

C’

' ' ( 2)

A C = − a

uuuur r

u r

3.u r

v r v

− r

4.v r

Cho Dùng vect¬ ur 3.u r

Cho Dùng vect¬ vr ( 4).v− r

Ví dụ 2:

Cho tam giác ABC, gọi M,

N, P lần lượt là trung

điểm của AB, BC, CA

Hãy tính các vectơ:

a.

b.

c

BCtheoMP

uuur uuur

ABtheoNP

uuur uuur

MNtheo AC

uuuur uuur

M

C B

A

N

P

2.

BC = MP

uuur uuur

2.

AB = − NP

uuur uuur

1 2

MN = AC

uuuur uuur

a.

b.

c.

A

E G

B D

Ví dụ 1:

Cho tam giác ABC, G là

trọng tâm tam giác ABC

Gọi D, E lần lượt là trung

điểm của BC, AC Hãy tính

các vectơ:

a.

b.

c

ADtheoGD

uuur uuur

GAtheoGDuuur uuur

DEtheo AB

uuur uuur

( 2).

GAuuur = − GDuuur

3.

AD = GD

uuur uuur

1 2

DE = −  AC

uuur uuur

a.

b.

c.

C

Víi hai vect¬ vµ bÊt k×, víi mäi sè h vµ k ta cã:

ar br

k ar +br =k ar +k br

(h +k a)r =har +k ar

h k ar = hk ar

1.ar =ar, ( 1) − ar =−ar

Tìm vectơ đối của vectơ

.

Ví dụ áp dụng:

Vectơ đối của vectơ :

.

k a r

( )k a k a

Vectơ đối của vectơ

( m a ) ma

Vectơ đối của vectơ 3ar −4br

(3a 4 )b 3a 4b

− r− r =− +r r

Tìm vectơ đối của vectơ

3 a r − 4 b r

Tìm vectơ đối của vectơ

.

m a

3 Trung điểm của đoạn thẳng và trọng tâm của tam giác:

2.

MA MB + = MI

uuur uuur uuur

• Cho G là trọng tâm của tam giác ABC, M là một điểm bất kì

Chứng minh rằng:

• Cho I là trung điểm của đoạn

thẳng AB, M là một điểm bất kì

Chứng minh rằng:

3.

MA MB MC + + = MG

uuur uuur uuuur uuuur

Chứng minh

Theo qui tắc 3 điểm ta có:

MA = MI +IA

uuur uuur uur

MB = MI +IB

uuur uuur uur

2.

MA MB MI IA IB

⇒ uuur uuur + = uuur uur uur + +

Vì I là trung điểm AB nên:

0

IA IB + = uur uur r

Vậy: MA MB uuur uuur + = 2 MI uuur

Chứng minh

Theo qui tắc 3 điểm ta có:

MA MG GA= +

uuur uuuur uuur

MB = MG GB+

uuur uuuur uuur

MC = MG GC+

uuuur uuuur uuur

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên:

0

GA GB GCuuur uuur uuur+ + = r

Vậy: MA MB MC uuur uuur uuuur + + = 3 MG uuuur

3.

GA GB MG GA GB GC

⇒uuur uuur+ = uuuur uuur uuur uuur+ + +

4 Điều kiện để hai vectơ cùng phương:

Điều kiện cần và đủ để hai

vectơ và cùng phương

là có một số k để:

a r b r

.

ar =k br

• Nhận xét:

Ba điểm A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi có số

k ≠ 0 để:

.

uuur uuur

Ba điểm A, B, C phân biệt

thẳng hàng khi nào?

5 Phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương:

B’

A’

Cho là hai vectơ không

cùng phương và là vectơ tùy ý

Kẻ CA’//OB và OB’//OA Khi đó:

Vì và là hai vectơ cùng phương

nên có số h để:

Vì và là hai vectơ cùng phương

nên có số k để:

Vậy:

,

a OA b OBr uuur r uuur= =

x OC=

r uuur

'

OA uuur a r

.

OA uuur = h a r

'

OB uuur b r

.

OB uuur = k b r

.

x = h a + k b

 Mệnh đề: SGK – trang 16

x OC OA = = + OB

r uuur uuur uuur

O

A

B

C

ar

br

x

r

A

G

B D

VÝ dô:

Cho tam gi¸c ABC, G lµ träng t©m

tam gi¸c ABC H·y phân tích

theo v à

Chứng minh:

Gọi D là trung điểm của BC

Vì G là trọng tâm tam giác ABC

nên:

Mặt khác:

C

AG

uuur

AB

uuur

AC

uuur

2 3

AG = AD

uuur uuur

1

2

AD = AB + AC

uuur uuur uuur

2 2 1

( )

3 3 2 1

( ) 3

AB AC

= + uuur uuur uuur uuur

uuur uuur

Định nghĩa tích vectơ với một số

Các tính chất

Điều kiện để hai vectơ cùng phương

Phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương

Bài tập về nhà: 1→ 9 ( SGK trang 17)