Chuyên đề hình học không gian 2012 thầy kiên

TÓM TẮT GIÁO KHOA ĐẠI SỐ GIẢI TÍCH 1. Phương trình bậc 2: ax2+bx+c = 0 với x1, x2 là nghiệm thì  ax2+ bx + c = a(xx1)(xx2);  với =b2 4ac (’=b’2ac với b’=b2)  Nếu a+ b+ c=0 thì x1= 1; x2= ca;  Nếu a – b+ c=0 thì x1= –1; x2= – ca;  Định lý viet: S= x1+ x2 = – ba; P = x1.x2= ca 2. Tam thức bậc hai f(x)= ax2+bx+c   B và B > C  A > C b. A > B  A + C > B + C c. Nếu C > 0 thì A > B AC > BC d. Nếu C < 0 thì A > B  AC < BC 2. Các hệ quả: a. Chú ý: Không được trừ hai bất đẳng thức cùng chiều b. c. Với d. Với A, B ≥ 0, e. Với A, B và f. A > B ≥ 0  g. A > B  3. Bất đẳng thức Cô si (Cauchy) cho hai số không âm: Cho a ≥ 0 và b ≥ 0, ta có: . Dấu “=” xảy ra  a = b. 4. Bất đẳng thức Cô si cho ba số không âm: Cho ba số ta có : . Dấu “=” xảy ra  a = b = c. Các chuyển dạng của bất đẳng thức Cô si : Dấu “=” xảy ra  a = b Dấu “=” xảy ra  a = b = c 5. Bất đẳng thức Bunhiacopski: a. Bất đẳng thức Bunhiacopski cho 4 số: Với 4 số thực bất kỳ ta có: . Dấu “=” xảy ra  b. Bất đẳng thức Bunhiacopski cho 6 số: Với 6 số thực bất kỳ ta có: Dấu “=” xảy ra  c. Các chuyển dạng của bất đẳng thức Bunhiacopski (1) (2) 7. Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối: Với hai số A, B tùy ý, ta có: a. . b. . Dấu “=” xảy ra  A.B ≥ 0. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC: a. Công thức cơ bản : b. Công thức cộng:  cos(a+b)=cos a.cos b–sin a.sin b  cos(ab)=cos a.cos b+sin a.sin b  sin(a+b)=sin a.cos b+cos a.sin b  sin(ab)=sin a.cos b cos a.sin b  tan(a+b) =  tan (a b )=  cot ( a + b) =  cot ( a – b )= c. Công thức nhân đôi:  sin 2a = 2 sin a.cos a  cos 2a = cos2a sin2a = 2 cos2a1 = 12sin2a  tan 2a =  cot 2a = d. Công thức hạ bậc:  cos2a =  sin2a =  tan2a = e. Công thức biến đổi tổng thành tích:  cos a + cos b = 2 cos .cos  cos a–cos b = 2sin . sin  sin a + sin b=2 sin .cos  sin a – sin b = 2 cos .sin   sinx+cosx= sin = cos(x ) sinx–cosx= sin(x– )= – cos f. Công thức biến đổi tích thành tổng PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 1. Phương trình LG cơ bản: trong đó k  Z 2. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác. asin2x+bsinx+c = 0 (đặt t= sinx, đk:–1t1) acos2x+bcosx+c = 0 (đặt t=cosx, đk:–1t1) atan2x+btanx+c = 0 (đặt t= tanx) acot2x+bcotx+c = 0 (đặt t= cotx) 3. Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx: asinx + bcosx = c (1) với Chia hai vế pt(1) cho ta được: (2) Ta xác định sao cho: Khi đó ta được phương trình: Điều kiện để pt(3) có nghiệm là 4. Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sinx và cosx: (1) Với cosx = 0: ta kiểm tra có phải là nghiệm của pt (1) không. Với cosx  0: chia 2 vế pt (1) cho cos2x ta được pt: Lưu ý: Nếu cosx = 0 thì =1 5. Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx: a. Dạng của phương trình đối xứng: a(sinx+cosx) + bsinx.cosx + c = 0 (1) b. Dạng tương tự: a(sinx – cosx) + bsinx.cosx + c = 0 (2) PP: Giải (1): Đặt  Giải (2): Đặt t =  QUY TẮC ĐẾM – HOÁN VỊ CHỈNH HỢP TỔ HỢP 1. Quy tắc cộng: Giả sử công việc A có thể được thực hiện theo một trong k phương án A1, A2, …, Ak. Mỗi phương án Ai (i = 1, 2, …, k) có ni cách thực hiện. Khi đó công việc A có thể được thực hiện bởi n1 + n2 +… + nk cách. 2. Quy tắc nhân: Giả sử thực hiện công việc A bao gồm k công đoạn A1, A2, …, Ak. Mỗi công đoạn Ai (i = 1, 2, …, k) có ni cách thực hiện. Khi đó công việc A có thể được thực hiện bởi n1. n2 … nk cách. Lưu ý: Khi thực hiện một công việc, có nhiều phương án, mỗi phương án ta đều thực hiện được xong công việc. Khi đó ta dùng quy tắc cộng (cộng tất cả số cách thực hiện của từng phương án) ta được số cách thực hiện công việc. Khi thực hiện một công việc mà phải trải qua nhiều bước mới xong công việc thì ta dùng quy tắc nhân (nhân tất cả số cách thực hiện cho từng bước) ta được số cách thực hiện công việc. 3. Hoán vị. a) Cho một tập A gồm n phần tử (n ≥ 1). Khi sắp xếp n phần tử này theo một thứ tự, ta được một hoán vị các phần tử của tập A. (Gọi tắt là một hoán vị của A hay một hoán vị của n phần tử) b) Số hoán vị của một tập hợp có n phần tử là: 4. Chỉnh hợp. a) Cho tập hợp A có n phần tử và cho số nguyên k với 1 ≤ k ≤ n. Khi lấy k phần tử của A và sắp xếp chúng theo một thứ tự, ta được một chỉnh hợp chập k của n phần tử của A (gọi tắt là một chỉnh hợp chập k của n). b) Số các chỉnh hợp chập k của n phần tử là: 5. Tổ hợp. a) Cho tập hợp A có n phần tử và cho số nguyên k với 1 ≤ k ≤ n. Mỗi tập hợp con của A có k phần tử được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử của tập A (Gọi tắt là tổ hợp chập k của A) b) Số tổ hợp chập k của một tập hợp n phần tử là: Chú ý: Quy ước: Với quy ước này ta có: ; đúng với Tính chất 1. Tính chất 2. (hằng đẳng thức Pascal): NHỊ THỨC NEWTON 1) Công thức nhị thức Newton: Nhận xét: Trong công thức (1) có n + 1 số hạng. Số hạng thứ k + 1 là Các hệ số của nhị thức có tính đối xứng theo tính chất Trong mỗi số hạng, tổng số mũ của a và b luôn bằng n. 2) Các dạng đặc biệt của nhị thức Newton: XÁC SUẤT Một số lưu ý: Cho hai tập hợp A, ký hiệu n(A) hoặc |A| là để chỉ số phần tử của tập A Nếu A  B =  thì n(AB) = n(A) + n(B) Nếu A  B ≠  thì: n(AB) = n(A) + n(B) – n(AB) 1. Phép thử và không gian mẫu. Phép thử : là một thí nghiệm hay một hành động mà: Kết quả của nó không thể dự đoán trước được. Có thể xác định được tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của hành động đó. Không gian mẫu: Tập hợp mọi kết quả của một phép thử T được gọi là KGM của T và kí hiệu là .

Chuyên đề luyện thi đại học

PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TẬP HÌNH KHÔNG GIAN TRONG KỲ THI TSĐH

Biên soạn: Nguyễn Trung Kiên Hình không gian là bài toán không khó trong đề thi TSĐH nhưng luôn làm cho rất nhiều học sinh bối rối Thông qua chuyên đề này tôi hy vọng sẽ giúp các bạn học sinh hiểu rõ hơn bản chất của bài toán để từ đó tìm ra chìa khóa giải quyết triệt để dạng toán này Phần 1: Những vấn đề cần nắm chắc khi tính toán

⊻ Trong tam giác vuông ABC (vuông tại A) đường cao AH thì ta luôn có:

A

www.boxtailieu.net

⊻ Thể tích khối đa diện:

Phần 2) Phương pháp xác định đường cao các loại khối chóp:

- Loại 1: Khối chóp có 1 cạnh góc vuông với đáy đó chính là chiều cao

- Loại 2: Khối chóp có 1 mặt bên vuông góc với đáy thì đường cao chính là đường kẻ từ

mặt bên đến giao tuyến

- Loại 3: Khối chóp có 2 mặt kề nhau cùng vuông góc với đáy thì đường cao chính là giao

tuyến của 2 mặt kề nhau đó

- Loại 4: Khối chóp có các cạnh bên bằng nhau hoặc các cạnh bên cùng tạo với đáy 1 góc

bằng nhau thì chân đường cao chính là tâm vòng tròn ngoại tiếp đáy

- Loại 5: Khối chóp có các mặt bên đều tạo với đáy 1 góc bằng nhau thì chân đường cao

chính là tâm vòng tròn nội tiếp đáy

A Tính thể tích trực tiếp bằng cách tìm đường cao:

Để giải quyết tốt dạng bài tập này các em cần nắm chắc các dấu hiệu để xác định đường cao và sử dụng các công thức

Ví dụ 1) (TSĐH A 2009) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và

D , có AB=AD=2 ,a CD=a Góc giữa 2 mặt phẳng (SCB), (ABCD bằng 60) 0 Gọi I là trung điểm AD biết 2 mặt phẳng ( SBI và () SCI cùng vuông góc với đáy ) ABCD Tính thể tích khối chóp SABCD

HD giải:

Dấu hiệu nhận biết đường cao trong bài toán này là: ‘’2 mặt phẳng (SBI và () SCI cùng )vuông góc với đáy ABCD’’

www.boxtailieu.net

Vì 2 mặt phẳng (SBI và () SCI cùng vuông góc với đáy ) ABCD mà (SBI và () SCI có giao )tuyến là SI nên SI ⊥(ABCD) Kẻ IH ⊥BC ta có góc giữa 2 mặt phẳng (SCB), (ABCD là )

SABCD

Ví dụ 2) (TSĐH D 2009) Cho lăng trụ đứng ABCA B C' ' ' có đáy ABC là tam giác vuông tại B

, AB=a AA, '=2 ,a A C' =3a Gọi M là trung điểm của đoạn B C' ', I là giao điểm của BM và

S

D

C

B A

www.boxtailieu.net

Ví dụ 3: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB=a AD, =a 2,SA=a

và vuông góc với mặt phẳng(ABCD) Gọi M N lần lượt là trung điểm của AD và , SC ; I là giao điểm của BM và AC Chứng minh rằng mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng (SMB) Tính thể tích khối tứ diện ANIB

+) Tính thể tích khối tứ diện ANIB

Ta thấy khối chóp ANIB cũng chính là khối chóp NAIB

Dấu hiệu nhận biết đường cao trong bài toán này là: ‘’Điểm N nằm trong mặt phẳng (SAC )vuông góc với đáy (ABCD ’’ )

Do NO là đường trung bình của tam giác SAC nên ta có:NO/ /SA và 1

a

NO= SA=

Do đó NO là đường cao của tứ diện ANIB

Diện tích tam giác đều AIB là:

A S

O

www.boxtailieu.net

Ví dụ 4) Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác cân với AB= AC=3 ,a BC =2a Các mặt bên đều hợp với đáy một góc 60 Tính thể tích khối chóp 0 SABC

Lời giải:

Dấu hiệu nhận biết đường cao trong bài toán này là:

‘’Hình chóp có các mặt bên hợp với đáy các góc bằng nhau thì chân đường cao là tâm đường

tròn nội tiếp đáy hình chóp’’

Từ đó ta có lời giải sau:

Gọi O là hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABC) và ,I H J lần lượt là hình chiếu của , O trên , ,

AB BC CA

Theo định lý ba đường vuông góc ta có:SI ⊥ AB SJ, ⊥AC SH, ⊥BC

Suy ra: SIO SJO SHO


, , lần lượt là góc hợp bởi các mặt bên (SAB) (, SAC) (, SBC) và mặt đáy Theo giả thiết ta có:


0

60

SIO=SJO=SHO=

Các tam giác vuông SOI SOJ SOH bằng nhau nên , , OI =OJ =OH

Do đó O là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC

Mặt khác: ABC là tam giác cân tại A nên AH vừa là đường phân giác, vừa là đường cao, vừa

là đường trung tuyến

Suy ra , ,A O H thẳng hàng và H là trung điểm của BC

Tam giác ABH vuông tại H , ta có: AH = AB2−BH2 = 9a2−a2 =2a 2

Diện tích tam giác ABC là: 1 1.2 2 2 2 2 2

p= AB+AC+BC = a và r : bán kính đường tròn nội tiếp ∆ABC

Tam giác SOH vuông tại O, ta có: tan 600 6

O C

B A

N

H M

C

C'

B' A'

I

K

B A

www.boxtailieu.net

- Hạ C H' ⊥(ABC)⇒∆C HA' = ∆C HB' = ∆C HC' ⇔ HA=HB=HC

Suy ra H là tâm vòng trong ngoại tiếp tam giác ABC Vì tam giác ABC vuông tại A nên H

là trung điểm của BC Ta có: d B ACC/( ') =2d H/(ACC')

SAB là tam giác đều Gọi H là trung điểm của AB , K là hình chiếu vuông góc của H lên mặt

phẳng (SCD Tính thể tích khối chóp ) SABCD biết 15

Bài toán này được cho theo kiểu giả thiết mở

Dấu hiệu để tìm ra đường cao khối chóp là:’’ SAB là tam giác đều

Tức là SA=SB''

www.boxtailieu.net

Gọi E là trung điểm của CD F là trung điểm của ED ,

Với giả thiết SA=SB ta suy ra chân đường cao hạ từ S lên mặt phẳng ABCD thuộc đường

trung trực của đoạn thẳng AB

Nói cách khác chân đường cao hạ từ S lên (ABCD thuộc đường thẳng chứa HF )

C B

S

www.boxtailieu.net

Ví dụ 7) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = BC = a 3

C

B A

H

www.boxtailieu.net

Các em hãy rèn luyện dạng toán này qua bài tập sau:

‘’Cho hình chóp SABCD có cạnh SD=x (x>0), các cạnh còn lại của hình chóp bằng nhau và bằng a (x>0) Tìm x biết thể tích khối chóp SABCD bằng

326

a

.’’

B Tính thể tích bằng phương pháp gián tiếp

Khi gặp các bài toán mà việc tính toán gặp khó khăn thì ta phải tìm cách phân chia khối đa diện

đó thành các khối chóp đơn giản hơn mà có thể tính trực tiếp thể tích của nó hoặc sử dụng công thức tính tỉ sốthể tích để tìm thể tích khối đa diện cần tính thông qua 1 khối đa diện trung gian đơn giản hơn

Các em học sinh cần nắm vững các công thức sau:

D

O S

C B

A

H

www.boxtailieu.net

′ = (2) Công thức (2) có thể mở rộng cho khối chóp bất kỳ

Ví dụ 3) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, BADˆ =600, SA vuông góc với đáy ABCD , SA=a Gọi C' là trung điểm của SC, mặt phẳng ( )P đi qua AC' song song

với BD cắt các cạnh SB SD của hình chóp tại , B D Tính thể tích khối chóp ', ' SABCD

HD giải:

Để xác định mặt phẳng ( )P các em cần tính chất:

’’Mặt phẳng ( )P song song với đường thẳng ∆ thì mặt phẳng ( )P sẽ cắt các mặt phẳng chứa ∆

(nếu có) theo giao tuyến song song hoặc trùng với ∆ ’’

Gọi O là giao 2 đường chéo ta suy ra AC' và SO cắt nhau tại trọng tâm I của tam giác SAC

Từ I thuộc mặt phẳng kẻ đường thẳng song song với BD cắt các cạnh SB SD của hình chóp ,tại B D là 2 giao điểm cần tìm ', '

S

www.boxtailieu.net

Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật AB=a AD, =2a cạnh SA vuông góc

với đáy, cạnh SB hợp với đáy một góc 600 Trên cạnh SA lấy M sao cho 3

3

a

AM = Mặt phẳng (BCM cắt ) SD tại N Tính thể tích khối chóp SBCMN

HD giải:

Ta cần tính chất: ’’Mặt phẳng ( )P song song với đường thẳng ∆ thì mặt phẳng ( )P sẽ cắt các

mặt phẳng chứa ∆ (nếu có) theo giao tuyến song song hoặc trùng với ∆ ’’

Từ đó có lời giải như sau:

Từ M kẻ đường thẳng song song với AD cắt SD tại N là giao điểm cần tìm, góc tạo bởi SB

D

C B

A S

O

www.boxtailieu.net

Lời giải:

Trong bài toán này ta thấy:’’Mặt phẳng (MNP chứa đường thẳng ) MN/ /BD nên mặt phẳng (MNP sẽ cắt mặt phẳng () SBD theo giao tuyến song song với BD ’’ )

Từ đó ta có lời giải sau:

Gọi , ,I J K lần lượt là giao điểm của MN và CB CD CA , ,

N M

O

D A

S

www.boxtailieu.net

Nối PI cắt SB tại E , nối PJ cắt SD tại F

Ngũ giác PEMNF là thiết diện của mặt phẳng (PMN) và hình chóp

Gọi O= AC∩BD; do BD/ /MN nên ta có:

3

33

Ví dụ 6) Cho khối lập phương ABCDA B C D' ' ' ' cạnh a Các điểm E và F lần lượt là trung

điểm của C B' ' và C D' '

1) Dựng và tính diện tích thiết diện của khối lập phương khi cắt bởi mặt phẳng(AEF)2) Tính tỉ số thể tích của hai phần khối lập phương bị chia bởi mặt phẳng (AEF)

Lời giải:

1) Dựng và tính diện tích thiết diện:

Kéo dài EF cắt A B và ' ' A D lần lượt tại I và ' ' J

Nối AI và AJ cắt BB và ' DD lần lượt tại P và ' Q

Ngũ giác APEFQ là thiết diện của mặt phẳng (AEF) và hình lập phương

S

www.boxtailieu.net

Trong tam giác vuông AA K ta có: '

3 '

D'

C' B'

A'

D

C B

A

www.boxtailieu.net

Gọi V V lần lượt là thể tích của khối đa diện ở phía dưới và phía trên mặt phẳng 1, 2 (AEF)

⊻ BÀI TOÁN CƠ BẢN

Cho khối chóp SABC có SA vuông góc với đáy ABC Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng

+

H

M C

B A

S

www.boxtailieu.net

* Tính chất quan trọng cần nắm:

- Nếu đường thẳng ( )d song song với mặt phẳng ( ) P thì khoảng cách từ mọi điểm trên ( ) d đến

mặt phẳng ( )P là như nhau

- Nếu



AM=k BM

thì d A P/( )=| |k d B P/( ) trong đó ( )P là mặt phẳng đi qua M

- Nếu ,a b là hai đường thẳng chéo nhau Gọi ( ) P là mặt phẳng chứa b và ( ) / /P a thì

Trong bài toán này G là chân đường cao của khối chóp Để tính khoảng cách từ B đến ( SAD )

ta đã quy bài toán về trường hợp cơ bản là tính khoảng cách từ G đến mặt phẳng (SAD)

Ví dụ 2) Cho hình lăng trụ đứng ABCD A B C D ′ ′ ′ ′ có đáy ABCD là hình thoi , AB=a 3,

H

N M

D A

S

www.boxtailieu.net

Gọi C M' là đường cao của tam giác đều C A D' ' ' thì C M' ⊥(ADA D' ') nên C AM' ˆ =300

Trong bài toán này việc nhìn ra AK là đường cao của khối chóp AKC M' để quy khoảng cách

về bài toán cơ bản là yếu tố quan trọng quyết định thành công

Ví dụ 3) Cho hình chóp SABC có góc tạo bởi 2 mặt phẳng SBC và ABC là 600 Các tam giác

SBC và ABC là các tam giác đều cạnh a Tính khoảng cách từ đỉnh B đến mặt phẳng SAC

B'

www.boxtailieu.net

Cách 1: Coi B là đỉnh khối chóp BSAC từ giả thiết ta suy ra BS=BA=BC Gọi O là chân

đường cao hạ từ B xuống mp ( SAC O chính là tâm vòng tròn ngoại tiếp tam giác ) SAC Gọi

M là trung điểm BC ta có SM ⊥BC AM; ⊥BC góc tạo bởi 2 mặt phẳng (SBC và () ABC là )

60

2

SMA= ⇒SM =AM =AS =

Bây giờ ta tìm vị trí tâm vòng ngoại tiếp tam giác SAC

Tam giác SAC cân tại C nên tâm vòng tròn ngoại tiếp nằm trên trung trực của SA là CN (N

là trung diểm của SA) Kẻ trung trực của SC cắt trung trực của SA tại O là điểm cần tìm

Ở cách giải này ta đã sử dụng dấu hiệu ‘’ Hình chóp có các cạnh bên bằng nhau thì chân

đường cao là tâm vòng tròn ngoại tiếp đáy’’

S

www.boxtailieu.net

Ví dụ 4) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang

0

90

ABC=BAD= ,

BA=BC=a AD= a Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA=a 2, gọi H là hình chiếu của

A lên SB Chứng minh tam giác SCD vuông và tính theo a khoảng cách từ H đến mặt phẳng

23

SH SA SH SA SHA SAB

F

C B

D A

K

D

C B

H

A

S

www.boxtailieu.net

2 2 2 2 2 2 2

32

A S

O

N G

M

www.boxtailieu.net

Gọi M là trung điểm của AB , N là trung điểm của AE Ta có BE song song với ( SCD , )

MN cũng song song với (SCD Ta có ) 3

(Ta cũng có thể lập luận tam giác SAC vuông cân suy ra AH =a)

Trong bài toán này ta đã quy khoảng cách từ G đến (SCD thành bài toán cơ bản là tính )

1416

B Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau trong không gian

Khi tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau a và b trong không gian ta tiến hành theo trình tự sau:

- Dựng (tìm) mặt phẳng trung gian (P) chứa a song song với b sau đó tính khoảng cách từ 1

điểm bất kỳ trên b đến mp(P)

- Khi tính khoảng cách từ 1 điểm đến mặt phẳng ta có thể vận dụng 1 trong 2 phương pháp đã trình bày ở mục A

B H

C P

E

Q N M

A K

H

I

E N

www.boxtailieu.net

Ví dụ 1) Cho lăng trụ đứng ABCA B C' ' ' có đáy ABC là tam giác vuông AB=BC=a, cạnh bên AA′ =a 2 Gọi M là trung điểm của BC Tính theo a thể tích khối lăng trụABCA B C′ ′ ′ và

khoảng cách giữa 2 đường thẳng AM và B C' (TSĐH D2008)

chính là khoảng cách giữa AM và B’C

Chú ý 1) Trong bài toán này ta đã dựng mặt phẳng trung gian là mp(AMN) để tận dụng điều

kiện B’C song song với (AMN) Tại sao không tìm mặt phẳng chứa B’C các em học sinh tự suy nghĩ điều này

Chú ý 2) Nếu mặt phẳng (P) đi qua trung điểm M của đoạn AB thì khoảng cách từ A đến (P)

Ví dụ 2) Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có đáy là hình vuông cạnh a Gọi E là điểm đối xứng của D qua trung điểm của SA , M là trung điểm của AE , N là trung điểm của BC Chứng minh MN vuông góc với BD và tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng MN và AC

(TS B2007)

HD giải: Gọi P là trung điểm của SA , ta có tứ giác MPNC là hình bình hành

Nên MN/ /PC Từ đó suy ra MN / /(SAC Mặt khác ) BD⊥(SAC) nên BD⊥PC

P M

E

D

C B

A

S

www.boxtailieu.net

Ta có SA⊥(ABC ABC); ˆ =900 ⇒SBAˆ =600⇒SA=2a 3

Mặt phẳng qua SM song song với BC cắt AC tại N suy ra N là trung điểm của AC

Từ đó tính được V = 3a3

- Kẻ đường thẳng ( )d qua N song song với AB thì AB song song với mặt phẳng ( ) P chứa

SN và ( )d nên khoảng cách từ AB đến SN cũng bằng khoảng cách từ A đến ( ) P

Dựng AD vuông góc với ( ) d thì AB/ /(SND , dựng AH vuông góc với ) SD thì

S

www.boxtailieu.net

Từ A hạ ' A K vuông góc ' B C' ', Hạ A H vuông góc với AK thì '

Ví dụ 5) Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a Chân đường cao hạ

từ S lên mặt phẳng (ABC là điểm H thuộc AB sao cho ) HA


= −2HB




Góc tạo bởi SC và mặt phẳng (ABC bằng ) 60 Tính thể tích khối chóp 0 SABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng ,

B A

S

www.boxtailieu.net

Ta suy ra

3 0

d =d =d = d với H là chân đường cao hạ từ F lên AD

www.boxtailieu.net

Dựng /( )

.( ) H CFI

3

Trong bài toán này ta đã tạo ra khối chóp FHCI để quy về bài toán cơ bản là : Tính

khoảng cách từ chân đường cao H đến mặt bên (FCI) Việc làm này giúp bài toán trở nên đơn giản hơn rất nhiều

Ví dụ 7) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB=2a Mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Biết AC vuông góc với SD

tính thể tích khối chóp SABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và SC

Giải:

- Tính thể tích khối chóp SABCD

I K

R H

D F

B

A S

www.boxtailieu.net

Gọi H là trung điểm AB O là giao điểm của hai đường chéo hình chữ nhật , ABCD ; SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy ⇒SH ⊥(ABCD)

- Khoảng cách giữa hai đường thẳng BD,SC:

Gọi N là trung điểm của SA thì SC/ /(BDN)⇒d SC BD/ =d SC BDN/( )=d C BDN/( )=d A BDN/( )

Chú ý: Trong bài toán này ta đã dựng đường cao NK để quy về bài toán cơ bản

Phần 6 Các bài toán tính góc giữa 2 đường thẳng chéo nhau trong không gian

Khi cần tính góc giữa 2 đường thẳng chéo nhau a và b trong không gian ta phải tìm 1 đường thẳng trung gian là c song song với a và c cắt b

Khi đó góc tạo bởi a và b cũng chính là góc tạo bởi b và c

Hoặc ta dựng liên tiếp 2 đường thẳng c và d cắt nhau lần lượt song song với a và b Sau đó ta tính góc giữa c và d theo định lý hàm số côsin

cos

2

b c a A

bc

+ −

= hoặc theo hệ thức lượng trong tam giác vuông

Ví dụ 1) Cho lăng trụ ABCA B C' ' ' có độ dài cạnh bên bằng 2a , đáy ABC là tam giác vuông

tại A , AB=a, AC=a 3 và hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng ' (ABC là trung )điểm của cạnh BC , Tính theo a thể tích khối chóp A ABC' và tính côsin góc tạo bởi AA và '

N

E

K H

M

D

C B

A S

www.boxtailieu.net

AB BC Tính theo a thể tích khối chóp SBMDN và tính cosin góc tạo bởi SM và DN

B

C

C'

B' A'

www.boxtailieu.net

Kẻ ME song song với DN ( E thuộc AD) suy ra

2

a

AE=

Giả sử góc tạo bởi SM và DN là α ⇒α =(SM ME, )

Ta có SA vuông góc với AD (Định lý 3 đường vuông góc ) suy ra SA⊥AE⇒

,2

Gọi H là hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABC)

Kẻ HI ⊥AB HJ; ⊥ AC; do tam giác ABC vuông tại A nên HI/ /AJ và HJ/ /AI

Theo định lý ba đường vuông góc ta có: SI ⊥AB và SJ ⊥AC

Hai tam giác vuông SIA và SJA bằng nhau, vì có SA là cạnh chung và

0

60

SAB=SAC=

N

E H

M

D A

S

www.boxtailieu.net

Do đó SI =SJ =SAsin 600=a 3 và AI =AJ =SAcos 600 =a, từ đó HI =HJ

Suy ra AH là đường phân giác trong của góc A

Vậy tứ giác AIHJ là hình vuông cạnh bằng a

Khi đó AH =a 2

Tam giác SHA vuông tại H, ta có:SH = SA2−AH2 = 4a2−2a2 =a 2

Diện tích tam giác ABC là: 1 13 4 6 2

- Tính góc tạo bởi 2 đường thẳng:

Kí hiệu ϕ là góc tạo bởi 2 đường thẳng AC SB Kẻ , IM / /SB⇒(
AC SB, )=(IH IM
, )=ϕ

S

www.boxtailieu.net