Chuyên đề ôn thi học sinh giỏi hình học lớp 10

Phần hình học 10 Chuyên đề 1: Vectơ Bài 1. Cho tam giác ABC. M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AB, AC. Chứng minh rằng: a) b) c) Bài 2. Cho tam giác ABC. Hai điểm M, N được xác định bởi các hệ thức: . Chứng minh MN AC. Bài 3. Cho 4 điểm A, B, C, D thỏa mãn . CMR : B, C, D thẳng hàng. Bài 4. Cho tam giác ABC, M là một điểm trên cạnh BC. Chứng minh rằng: Bài 5. Cho tam giác ABC. Đặt . Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác. Chứng minh rằng: . (hd: Sử dụng kết quả của bài tập 4. Nếu gọi D là giao điểm của AI với BC thì ta có: ) Bài 6. Cho đường tròn (I) nội tiếp tam giác ABC. (I) tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB lần lượt tại M, N , P. Chứng minh rằng: . (hd: Sử dụng kết quả của bài tập 4. Nếu gọi p là nửa chu vi tam giác ABC thì ta có: ) Bài 7. Cho tứ giác ABCD. Các điểm M, N lần lượt thuộc các đoạn AD, BC sao cho Chứng minh rằng: . Bài 8. Cho tam giác ABC có đường cao AH. Hãy biểu diễn vectơ theo các vectơ và . ( hd: ) Bài 9. Cho đường tròn (O) và hai điểm A, B trên (O). Giả sử các tiếp tuyến của (O) tại A và B cắt nhau tại M và thỏa mãn điều kiện góc AMB bằng ( là góc cho trước). Chứng minh rằng: a) b) Bài 10. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, H là trực tâm tam giác , D là điểm đối xứng của A qua O. a) Chứng minh tứ giác HCDB là hình bình hành. b) Chứng minh : c) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Chứng minh . Từ đó kết luận gì về ba điểm G, H, O. Bài 11. Cho hình chữ nhật ABCD tâm O , Điểm M là 1 điểm bất kỳ : a) Tính = + + + theo Từ đó suy ra đường thẳng MS quay quanh 1 điểm cố định

Phần hình học 10 Chuyên đề 1: VectơBài 1 Cho tam giác ABC M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AB, AC Chứng minh rằng:

(hd: Sử dụng kết quả của bài tập 4

Nếu gọi D là giao điểm của AI với BC thì ta có: AI c b b c

(hd: Sử dụng kết quả của bài tập 4.

Nếu gọi p là nửa chu vi tam giác ABC thì ta có:

Bài 9 Cho đường tròn (O) và hai điểm A, B trên (O) Giả sử các tiếp tuyến của (O) tại A và B cắt nhau

tại M và thỏa mãn điều kiện góc AMB bằng  ( là góc cho trước) Chứng minh rằng:

2

AC Tính DE và DG theo AB và AC

Suy ra 3 điểm D,G,E thẳng hàng

Bài 15 Cho tam giác ABC , với mỗi số thực k ta xác định các điểm A’ , B’ sao cho

AA k BC BB kCA

   

Tìm tìm quỹ tích trọng tâm G’ của tam giác A’B’C

Bài 16 Cho tam giác ABC và đường thẳng d Tìm vị trí điểm M trên d sao cho độ dài các véc tơ sau nhỏ

Bài 17 Cho hai điểm A, B phân biệt và hai số  , không đồng thời bằng 0 Chứng minh rằng:

a) Nếu   0 thì không tồn tại điểm M sao cho:  MA MB 0

b) Nếu   0 thì tồn tại duy nhất điểm M sao cho:  MA MB 0

Bài 18 Cho tam giác ABC, gọi M là trung điểm của BC, G là trọng tâm tam giác ABC, lấy D đối xứng

với A qua M, I là trọng tâm của tam giác MCD

Chứng minh rằng IJ song song với AB

c) Giả sử ABa, BC2a và ABC600 Tính độ dài của u AB 2AC 

.d) Xác định tập hợp điểm E thỏa mãn: 2EA 3EB 5EC   2 ED EG

Gọi K là trung điểm của CD, ta có MI 2

  

 S là điểm cố định.

Gọi R là trung điểm của DG Khi đó, ta có:

2EA 3EB 5EC 2 ED EG

Vậy ta suy ra tập hợp điểm E là đường trung trực của đoạn thẳng SR )

Bài 19 Cho tứ giác lồi ABCD Xét M là điểm tùy ý Gọi P, Q, R, S là các điểm sao cho:

MDMA MB  MR

   

; MA MB   MC4MS

.Tìm vị trí của điểm M sao cho PA = QB = RC = SD.

Bài 20 Cho tam giác ABC Trên cạnh AB, BC, CA lấy lần lượt các điểm M, N, P thỏa mãn

Từ đó, chứng minh ba đường cao trong tam giác đồng quy

Bài 23 Cho tam giác ABC với trọng tâm G Chứng minh rằng:

3

GA GB GC  a b c (Hệ thức Lep-nit)

Bài 24 Cho tam giác ABC Tìm điểm M sao cho tổng bình phương các khoảng cách từ đó đến các đỉnh

của tam giác là nhỏ nhất

Bài 25 Cho các vectơ a

Bài 27 Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn (O) Gọi D là trung điểm của AB, E là trọng tâm

tam giác ADC Chứng minh rằng OECD

(HD: Sử dụng tích vô hướng bằng cách phân tích vectơ và kết hợp OA BC)

Bài 28 Cho đoạn thẳng AB cố định và số thực k Tìm tập hợp điểm M thỏa mãn:

Đẳng thức đó chứng tỏ H là điểm cố định và tập hợp điểm M là đường thẳng vuông góc với AB tại H

Bài 29 Cho tam giác ABC Tìm tập hợp điểm M sao cho:

(với a=BC, b=AC, c=AB).

Bài 31 Cho tam giác ABC có trọng tâm G Chứng minh rằng với mọi điểm M ta có:

MA MB MC MA GA MB GB MC GCGA GB GC (HD: Sử dụng MA GA MB GB  MC GC MA GA MB GB       MC GC

Bài 32 Cho tam giác ABC Chứng minh rằng với điểm M bất kỳ, ta có:

(HD: Lấy các vectơ đơn vị e e e  1, 2, 3

lần lượt trên các cạnh BC, CA, AB sao cho chúng cùng hướng với

Bổ xung một số kiến thức về tọa độ vectơ trên trục

(Các em xem thêm kiến thức SGK, thầy chỉ đưa một số kiến thức và bài tập cơ bản để có thể áp

dụng trong các bài toán khác)

- Một đường thẳng được gọi là trục (tọa độ) nếu trên đó đã chọ một điểm O làm gốc và một vec tơ

i



có độ dài bằng 1 là vec tơ đơn vị của trục , hướng của i

được gọi là hướng của trục

- Cho hai điểm A, B trên trục, tọa độ vec tơ AB

trên trục được gọi là độ dài đại số của vec tơ AB

,

kí hiệu AB Như vậy, ABAB i.

- Một số hệ thức cơ bản:

+) AB BA +) ABOB OA

+) ABBCAC (hệ thức Sa-lơ)

- Cho điểm M trên trục x'Ox Tọa độ vec tơ OM

được gọi là tọa độ của điểm M Kí hiệu M(x)

hoặc M=( x ) để chỉ tọa độ điểm M là x Đôi khi để thuận tiện, ta còn dùng kí hiệu M=( x ) để chỉ tọa độ M

x kx x

Bài 3 Trên đường thẳng  cho hai điểm phân biệt A, B Với mỗi số k cho trước , chứng minh rằng tồn

tại duy nhất điểm H  sao cho 2 2

  Đẳng thức này khẳng định tồn tại duy nhất điểm H.

Cách 2: Chọn trên  điểm O và vec tơ đơn vị Như vậy,  trở thành một trục Giả sử

b a



Điều này chứng tỏ tồn tại duy nhất điểm H )

Bài 4 Trên trục số cho bốn điểm A, B, C, D; I là trung điểm của AB, K là trung điể m của CD Chứng

minh các điều kiện sau tương đương:

AD

AB  AC (Hệ thức Đề- các)c) IA2 IC ID (Hệ thức Niu-tơn) d) AC AD AB AK (Hệ thức Mác-lô-ranh)

( Chú ý: Bốn điểm A, B, C, D trên trục và thỏa mãn một trong các điều kiện trên được gọi là hàng điểm điều hòa Kí hiệu (ABCD)= -1 )

Bài 5 Cho các điểm A(-1; 1), B(1; 3), C(-2; 0).

a) Chứng minh rằng A, B, C thẳng hàng

b) Tìm tọa độ điểm D sao cho (ABCD)= -1 ( hay A, B, C, D lập thành 1 hàng điểm điều hòa)

(HD: Sử dụng kết quả câu a) bài tập 4)

Chuyên đề 2: Hệ thức lượng trong tam giácBài 1 Cho tam giác ABC Chứng minh rằng:

Bài 2 Chứng minh tam giác ABC vuông tại A khi và chỉ khi: sin2 Asin2Bsin2C

Bài 3 Chứng minh tam giác ABC thỏa mãn điều kiện

thì ABC là tgiác đều

Bài 4 Trong tất cả các tam giác ngoại tiếp cùng một đường tròn cho trước, hãy tìm tam giác có diện tích

nhỏ nhất

Bài 5 Chứng minh rằng nếu tam giác ABC có sin cos cos

sin cos cos

Chuyên đề 3: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

Bài 1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC với A(10;5), B(3;2), C(6;-5).

a/ Tìm tọa độ điểm D xác định bởi hệ thức : AD3AB2AC

b/ Tam giác ABC là tam giác gì? Viết phương trình đường tròn ngoại ti ếp tam giác ABC và tìm giao điểmcủa đường tròn này với đường thẳng y = 5

(ĐS: D(-3;16), phương trình ( C) là : (x8)2 y2 29, giao điểm là M1(10;5) và M2(6;5))

Bài 2 Cho hai điểm A(1;6), B(-3; -4) Hãy tìm điểm M trên đ ường thẳng d: 2x–y–1= 0 sao cho : MA +

MB bé nhất

Bài 3 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy Cho hình thoi ABCD có tọa độ các đỉnh A(0;3), B(5;3) Tâm

I của hình thoi nằm trên đường thẳng (d): x  y20.Xác định tọa độ của các đỉnh C và D ?

(ĐS: C(2;1) D(3;1))

Bài 4 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy Hãy lập phương trình các cạnh của tam giác ABC Biết

A( 1; 3 ) và hai đường trung tuyến phát xuất từ B và C lần lượt có phương trình là : x – 2 y + 1 = 0

Bài 7 Trong mặt phẳng (Oxy) cho tam giác ABC với A(2,1) và phương trình đường phân giác trong

của B và C l ần lượt là: d1: x2y+1=0 và d2: x+y+3=0 Viết phương trình cạnh BC

(Lưu ý: Phân giác nhớ đến tính chất đối xứng, đường cao nhớ đến tính chất vuông góc, trung tuyến nhớ đến tính chất trung điểm)

Bài 8 Cho tam giác ABC có đỉnh B(-4;1), trọng tâm G(1;1) và đường t hẳng chứa phân giác trong của

góc A có phương trình x y  1 0> Tìm tọa độ đỉnh A và C

(ĐS: A(4; 3) và C(3; -1))

Bài 9 Cho đường thẳng d m: (m2)x(m1)y2m 1 0

a) Chứng minh rằng d mluôn đi qua một điểm cố định A

b) Tìm m để d mcắt đoạn BC với B(2; 3), C(4; 0)

c) Tìm phương trình đường thẳng đi qua A và tạo với BC một góc 45 0

d) Tìm m để đường thẳng d mtiếp xúc với đường tròn tâm O bán kính R = 5

(ĐS: a) A(1; –3) b) 8 m 3

7  2 c) x5y14 0, 5 x y  8 0 d) m3,m 4  )3

Bài 10 Cho ba điểm A(0; –1), B(4; 1), C(4; 2) Viết phương trình đường thẳng d khi biết:

a) d đi qua A và khoảng cách từ B đến d bằng hai lần khoảng cách từ C đến d.

b) d đi qua C và cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại E và F sao cho: OE OF   3

c) d đi qua B, cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại M, N với x M 0, y N  và sao cho:0

Bài 11 Cho đường cong (Cm): x2y2mx4y m   2 0

a) Chứng minh rằng với mọi m, (Cm) luôn là đường tròn và (Cm) luôn đi qua 2 điểm cố định A, B

b) Tìm m để (Cm) đi qua gốc toạ độ O Gọi (C) là đường tròn ứng với giá trị m vừa tìm được Viết phương

trình đường thẳng  song song với đường thẳng d x: 4 3y 5 0 và chắn trên (C) một dây cung có

độ dài bằng 4

c) Viết phương t rình tiếp tuyến của (C) có vectơ chỉ phương là a ( 2;1)   .

d) Tìm m để (Cm) tiếp xúc với trục tung Viết phương trình đường tròn ứng với m đó.

(ĐS: a) A(1; 1), B(1; 3)

b) m = 2, (C): x2y22x4y  ,0 1: 4x3y 8 0, 2: 4x3y 7 0

c) x2y 8 0, x2y 2 0 d) m = –2, x2y22x4y   )4 0

Bài 12 Cho đường cong (Ct): x2y22 cosx t2 siny tcos2t  (0 < t < ).0

a) Chứng tỏ (Ct) là đường tròn với mọi t.

b) Tìm tập hợp tâm I của (Ct) khi t thay đổi.

c) Gọi (C) là đường tròn tro ng họ (Ct) có bán kính lớn nhất Viết phương trình của (C)

d) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tạo với trục O x một góc 45 0

(ĐS: quỹ tích M là đường thẳng 3x -y+12=0 và 5x+5y+4=0)

Bài 14 Cho đường thẳng :x  y 4 0 và d: 2x  y 2 0 Tìm tọa độ điểm N thuộc đường thẳng d

Bài 15 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A có đỉnh A(6; 6), đường thẳng đi qua

trung điểm của các cạnh AB và AC có phương trình x+y -4=0 Tìm tọa độ đỉnh B và C, biết điểm E(1; -3)

nằm trên đường cao đi qua đỉnh C của tam giác đã cho

(ĐS: B0; 4 ,  C 4; 0 hoặc B6; 2 , C 2; 6 )

Bài 16 Cho điểm M o1; 2 và hai đường thẳng: 1:x2y 1 0 ;2: 2x   Gọiy 2 0  là đường

thẳng đi qua M và cắt o   lần lượt tại1, 2 M và M' Viết phương trình  biết rằng M M o 2M M o '

(ĐS: M3; 2 ; :   x    ) y 1 0

Bài 17 Cho 4 số thực a, b, c, d thoả điều kiện: a b

c d

2 2 13

Bài 18 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm I Gọi D là trung điểm của cạnh AB, E là trọng tâm

của tam giác ADC Chứng minh rằng nếu AB = AC thì IE vuông góc với CD

(ĐS: Chọn hệ tọa độ Oxy cho O trùng với trung điểm của BC, điểm A thuộc trục Oy và ta có:

+ A(0 ; a), B(-c ; 0), C(c ; 0) Suy ra D(

Do AB = AC nên tâm I Oy => I(0 ; y 0 ) IA (0 ; a - y 0 ), IC (c ; -y 0 )

IA = IC <=> IA2 IC2<=> (a - y 0 ) 2 = c 2 + y 0 2 <=> y 0 =

a

c a

y y Y E

x

y y C D

C D

Bài 19.Cho đường tròn (C): x2+ y2– 8x + 6y + 21 = 0 và đường thẳng d: xy10 Xác định tọa độcác đỉnh hình vuông ABCD ngoại tiếp (C) biết A  d

(ĐS: Đường tròn (C) có tâm I(4, –3), bán kính R = 2

Tọa độ của I(4, –3) thỏa phương trình (d): x + y – 1 = 0 Vậy I  d

Vậy AI là một đường chéo của hình vuông ngoại tiếp đường tròn, có bán kính R = 2 , x = 2 và x= 6 là 2 tiếp tuyến của (C ) nên

Hoặc là A là giao điểm các đường (d) và x = 2  A(2, –1)

Hoặc là A là giao điểm các đường (d) và x = 6  A(6, –5)

Khi A(2, –1)  B(2, –5); C(6, –5); D(6, –1)

Khi A(6, –5)  B(6, –1); C(2, –1); D(2, –5) )

Bài 20.Cho tam giác đều ABC.Gọi D là điểm đối xứng của C qua AB.Vẽ đường tròn tâm D qua A, B; M

là điểm bất kì trên đường tròn đó ( M  A,M B) Chứng minh rằng độ dài MA, MB, MC là độ dài bacạnh của một tam giác vuông

(ĐS:

Chọn hệ trục Oxy sao cho Ox trùng với AB , chiều dương hướng từ

A đến B,trục Oy là đường trung trực của đoạn AB

 A(-1;0); B(1;0) ,C(0; 3) ,D(0;- 3)

Phương trình đường tròn tâm D qua A, B là : x2  y(  3)2 4 (1) Giả sử M ( b a; )là điểm bất kì trên đường tròn (1) Ta có :

2 2 2

)1

2 2 2

)1

2 2

2

)3( 



MC

132)

3

2 2

2

MC MB



 MA, MB, MC là độ dài ba cạnh của một tam giác vuông.

Bài 21.Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ba điểm A(0;a),B(b;0) ,C (-b; 0) với a>0 ,b >0

a) Viết phương trình đường tròn (C ) tiếp xúc với đường thẳng AB tại B và tiếp xúc với đường thẳng

AC tại C

b) Gọi M là mộ t điểm bất kỳ trên đường tròn (C ) và d d d là các khoảng cách từ M đến các1, 2, 3

d d d (ĐS: a) ABC cân tại A;tâm I của (C) thuộc OyI(0;y0)

, IB(b;y0),AB(b;a).Do

a

b y ay

b AB

IB

2 0 0

2

00

4 2 2 0 2 2 2

a

b b y b IB

4 2 2 2 2

)(

a

b b a

b y

(

a

b b a

b y x C y

Bài 22 Trong mặt phẳng 0xy cho đường tròn (C): x2+y2-2x+4y+4 = 0.Gọi  là

đường thẳng song song đường thẳng d :3x+4y-1 = 0 và chia đường tròn ( C) thành hai

cung mà tỉ số độ dài bằng 2.Tìm phương trình đường thẳng 

(ĐS:

 cắt (C) tại A và B ,đường thẳng qua I vuông góc  tại H cắt (C) tại

M và N giả sử độ dài cung AMB bằng 2 lần độ dài cung ANB suy ra góc AIB=120 0

Tính được IH= R.cos60 0 =

21

832

1)

543

02

1543:

25215

2 1

2

1

y x

y x C

  Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

(ĐS: Cho tam giác ABC có A(2;0), C(-2;3) G 1 ;1

Phương trình phân giác trong góc A là : x + y -1 = 0

Phương trình phân giác trong góc B là : x + 3y - 2 = 0

Gọi I(x, y) tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC

 tọa độ I là nghiệm của hệ phương trình

Bài 24 Cho góc vuông xOy và hai điểm A, B cố định trên Ox, Oy Các điểm M, N di chuyển lần

OA  OB  Chứng minh rằng các giao điểm của AN và BMchạy trên một đường thẳng cố định Viết phương trình đường thẳng đó

(ĐS: Lập hệ trục tọa độ Oxy Giả sử A(a;0), B(0;b), M(m;0), N(0;n).

Phương trình đường thẳng AN là : nxayna0 Phương trình đường thẳng BM là:

2 ( )

mna mba x

Đó là đường thẳng A’B’ với A'Ox B, 'Oy sao cho OA’=2OA, OB’=2OB )

Bài 25 Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A(3; -7), trực tâm là H(3; -1), tâm đường

tròn ngoại tiếp là I(-2; 0) Xác định tọa độ đỉnh C, biết C có hoành độ dương

giao điểm có tung độ dương của đường thẳng AF với (E), N là điểm đối xứng của1 F qua M Viết2

phương trình đường tròn ngọa tiếp tam giác ANF 2

Một số bộ đề thi học sinh giỏi toán 10 các em tham khảo

Câu II: (5 điểm)

1 Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình: ( x  1 )( x  2 )( x  8 )( x  9 )  y2

2 Tìm điều kiện của tham số m để hệ phương trình sau có nghiệm:

ON

OM Chứng minh đường thẳng MN luôn đi qua điểm cố

định

Câu IV: (2 điểm) Cho x, y là hai số dương thay đổi, có tổng bằng 17

4 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểuthức:

1

31121

x y

x x

Câu V: (5 điểm)

1 Trên mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai đường thẳng d1:2x  y3 30 và

0172

5

:

2 x  y 

và B Viết phương trình đường thẳng d sao cho 2

2

OAB S

x x a

0

x = 11

02

9(t  t   y

2524922

1221

22

4922

y

u y

u y

u

y u y

u y u

12

252

492

2

122122

492

2

y

u y

u y

u

y u y

u

y u

50

72722

722722

722

y

u y

u y

u

y u y

u

y u

14

7

2u  t   x hay x9

23

7

2u t   x hay x8

Từ đó (x,y)(1;0) , (2; 0) , (8;0) , (9;0)Tóm lại phương trình có 10 nghiệm nguyên (x, y) là: (1;0) , (2;0) , (8;0) , (9; 0) ,)

Hệ đã cho có nghiệm khi và chỉ khi PT (1) có nghiệm t1,t2thoả mãn t1 2, t2 2

(t1, t2không nhất thiết phân biệt)

Từ bảng biến thiên suy ra hệ đã cho có nghiệm khi

7

24

22

m m

Câu III Chứng minh đường thẳng MN luôn đi qua điểm cố định.

Gọi Ot là tia phân giác của góc xOy Suy ra Ot cố định Gọi I là giao điểm MN với tia Ot

* S OMN S OMI S ONI OM OI MOI ON.OI.sinNOI

2

1sin

2

(

2

Từ (1) và (2) suy ra:

ON OM

ON OM

32013

2012)

11(3

x y x x

Ta có: P = ( x +

y

1)2+ 11( x +

y

1) +

t

3) –4

1

t

t.3122

4

1

=4

47

Đẳng thức xảy ra khi t =

2

1

Giải hệ:

174

1 12

x

Vì   31 1

b a d I

2

1141

1.4

.4

b a OB

OA OB

OA

OB OA S

AB OAB

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpski ta có (3 1 ) 1 1 3 1 1

2 2

2 2

111

2



b a

113

b

a b

a b a

Khi đó đường thẳng d có phương trình 3x  y100

os(180 ) osB, -2ac.cos

os(180 ) osA, -2cb.cos

1 Giải hệ phương trình với m = 1

2 Tìm m để hệ phươ ng trình có nghiệm duy nhất

Bài 4 (3 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R, có G là trọng tâm Chứng

1 Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A sao cho khoảng cách từ B đến  là lớn nhất

2 Tìm điểm M trên d sao cho MA + MB là nhỏ nhất

Bài 6 (3 điểm) Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn: a + b + c = 2.

;1

1

;01

1

2 3

b a

b a

b a b

Vậy, (1) nghiệm đúng với mọi x khi và chỉ khi cả hai bất phương trình trong hệ (2) đồng thời nghiệm

đúng với mọi x Điều này tương đương với

15(

2 lo¹i)

t t

t t

30

1 Gọi H là hình chiếu của B trên, ta có: BH  AB.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi H A Khi đó  là đường thẳng qua A và vuông góc với AB

PTTQ: 3x - 5y - 31 = 0

2 Kiểm tra A và B cùng phía với d

Gọi A’ là điểm đối xứng của A qua d Có: MA + MB = MA’ + MB A’B

Đẳng thức xảy ra A’, M, B thẳng hàng Suy ra M là giao điểm của đường thẳng A’B với d

Gọi d’ là đường thẳng qua A và vuông góc với d d’ có PTTQ: 2x + y + 1 = 0

Gọi H là giao điểm của d’ và d Tọa độ H = (-1; 1)

H là trung điểm của AA’ nên A’ có toạ độ A’(-4; 7)

Đường thẳng A’B có VTCP A B' (0; 2)

nên có VTPT nA B' (1; 0)

.PTTQ đường thẳng A’B: x + 4 = 0

Toạ độ giao điểm M của A’B và d là nghiệm của hệ phương trình:

Cho tam giác ABC với A(-1 ; 0) , B(2 ; 3), C(3 ; -6) và đường thẳng d : x – 2y – 3 = 0.

Tìm điểm M thuộc d sao cho MA2MB3MC

2 -3- 10 x=

2