Chia hai vế phương trình cho cos2x rồi đưa về PT theo tanx.. + Có thể giải 2,3 bằng cách dùng công thức hạ bậc đưa về phương trình bậc nhất đối với sin và cos.
Trang 1GV: Nguyễn Phỉ Đức Trung CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
Các hệ thức cơ bản
1/ sin2a +cos2a =1 2/ sin
tan
cos
a
a =
a
3/ cot cos
sin
a
a =
a 4/
2
2
1
1 tan
cos
a 5/
2
2
1
1 cot
sin
a 6/ tan cota a =1
Hai cung đối nhau
1/ sin( )- a = - sina 2/ cos( )- a =cosa
3/ tan( )- a = - tana 4/ cot( )- a = - cota
Hai cung bù nhau
1/ sin sin
p - a = a
p - a = - a
p - a = - a
p - a = - a
Hai cung phụ nhau
2
2
2
2
Hơn kém nhau p/2
2
2
2
2
Hơn kém nhau p
1/sin(p +a = -) sina
2/cos(p +a = -) cosa 3/ tan(p +a =) tana
4/ cot(p +a =) cota
sin a + p =k2 sina
cos a + p =k2 cosa
tan a + p =k tana
cot a + p =k cota
Công thức cộng - trừ
1/ sin a b( ± ) =sina.cosb cosa.sinb±
2/ cos a b( ± ) =cosa.cosb sina.sinbm
1 tana.tanb
±
m
Công thức nhân đôi
1/ sin2a=2sina.cosa
2/ cos2a = cos a sin a2 - 2
2
2
2cos a 1
1 2sin a
=
1 tan a
=
-4/
2 cot a 1 cot2a
2cota
-=
Công thức nhân ba
1/ sin3a=3sina 4sin a- 3
3 3sin sin 3 sin
4
2/ cos3a=4cos a 3cosa3
cos
4
Công thức hạ bậc
1/ sin a2 1 cos2a
2
-=
2/ cos a2 1 cos2a
2
+
=
1 cos2a
-= +
Công thức biến đổi tích thành tổng
1/ cosa.cosb 1 cos a b( ) cos a b( )
2/ sina.sinb 1cos a b( ) cos a b( )
3/ sina.cosb 1sin a b( ) sin a b( )
Với tan
2
x
t=
sinx
1 t
= + 2/
2
2
1 t cosx
1 t
-= +
a u b+ u= a +b u+ϕ = a +b u−ϕ
u + u= u +π = u−π
cos3a=4cos cos 60a −a cos 60 +a
Trang 2PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Gv: Nguyễn Phỉ Đức Trung Trường THPT Thu Xà
Công thức biến đổi tổng thành tích
tana tanb
cosa.cosb
±
cot a cot b
sina.sinb
Đặc biệt: u = ⇔u=π +kπ
2 0
2
u= ⇔ = +u π kπ
, sinu =0⇔u =kπ , tanu= ⇔ =0 u kπ π
2 1
sinu= ⇔u= +k , π 2π
2 1
sinu=− ⇔u =− +k , cosu=1⇔u=k2π , cosu= − ⇔ = +1 u π k2π tan 1
4
u= ± ⇔ = ± +u π kπ cot 1
4
u= ± ⇔ = ± +u π kπ
Phương trình lượng giác cơ bản
cosu=cosv⇔ = ± +u v k2π
2 sin sin
2
u v k
π
= +
= ⇔ = − +
tanu=tanv⇔ = +u v kπ
co u co v= ⇔ = +u v kπ
Pt bậc 2,3 đối với một hàm số lg.
Đặt t =sinx ,cos , tan , cotx x x
Đưa phương trình đã cho về phương trình đại số theo t
***Chú ý: với t =sinx ,cosx
thì điều kiện − ≤ ≤ 1 t 1
Phương trình bậc I đối với sin và cos
Dạng pt: a sin x b + cos x c = (1)
Điều kiện có nghiệm: a2 + b2 ≥ c2
Chia 2 vế pt (1) cho a2 + b2 rồi đưa về dạng sin(x ) 2c 2
ϕ
+
Phương trình thuần nhất
asin 2 x + bsinx.cosx + c.cos 2 x = 0 (2) hoặc
asin 2 x + bsinx.cosx + c.cos 2 x = d (3)
Kiểm tra x=π +kπ
2 có phải là nghiệm của phương trình ?
+ Giả sử cosx ≠ 0 Chia hai vế phương trình cho
cos2x rồi đưa về PT theo tanx
+x=π +kπ
2 là nghiệm của (3) khi a = d.
+ Có thể giải (2),(3) bằng cách dùng công thức hạ
bậc đưa về phương trình bậc nhất đối với sin và cos
Phương trình đối xứng , phản xứng đối với sin và cos
a(sinx + cosx) + bsinx.cosx + c = 0 (4)
Đặt t = sinx + cosx = sin x +π
2
4 ; t ≤ 2 Suy ra sinx.cosx =
2
1
2 −
t
thay vào (4) rồi tìm t , so sánh điều kiện của t rồi từ đó tìm nghiệm x
+ a( sinx - cosx) + bsinx.cosx + c = 0 (5)
Đặt t = sinx - cosx = 2
4
sin x −π
Suy ra sinx.cosx =
2
1−t2 thay vào (5) rồi tìm t , so sánh điều kiện của t rồi từ đó tìm nghiệm x
Phương trình đối lập
Chặn trên và chặn dưới hai vế
=
=
⇔
=
≤
≥
M B
M A B A
M
B
M
A
Phương trình dạng tích
=
=
=
⇔
=
0 ) (
0 ) (
0 ) ( 0 ) ( )
( ).
1
2 1
x h
x h
x h x
h x h x h
n n
Phương trình tổng bình phương
=
=
⇔
= +
0
0 0
2 2
B
A B
A