Bài giảng Toán cao cấp: Chương 2 - GV. Ngô Quang Minh

Bài giảng Toán cao cấp: Chương 2 do GV. Ngô Quang Minh biên soạn trình bày về hệ phương trình tuyến tính với những nội dung chính bao gồm định nghĩa; định lý Crocneker – Capelli; phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính.

Trang 1

§3 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

3.1 Định nghĩa

Hệ gồm n ẩn ( x i i 1, , )n và m phương trình:

1 1 2 2

n n







( )I

trong đó, các hệ số a ij ¡ (i1, , ;n j1, , )m ,

được gọi là hệ phương trình tuyến tính

1

n

ij m n

 

,

1 mT

B b b và Xx1 x nT

lần lượt là ma trận hệ số, ma trận cột hệ số tự do và

ma trận cột ẩn

Khi đó, hệ ( )I trở thành AX B

• Bộ số 1  nT hoặc 1; ; n

được gọi là nghiệm của ( )I nếu A   B

VD 1 Cho hệ phương trình:

    





Hệ phương trình được viết lại dưới dạng ma trận:

1 2 3 4

x x x x

 



     

     

     

và    (1; 1; 1; 1) là 1 nghiệm của hệ

Ø

Ø Chương Chương 2 2 Hệ Hệ phương phương trình trình tuyến tuyến tính tính

3.2 Định lý Crocneker – Capelli

Cho hệ phương trình tuyến tính AX B Gọi ma trận

mở rộng là   11 12 1 1

n



Định lý

Trong trường hợp hệ AX B có nghiệm thì:

§ Nếu r A( ) kết luận hệ có nghiệm duy nhất; n:

§ Nếu r A( ) kết luận hệ có vô số nghiệm n: phụ thuộc vào n r tham số

Hệ AX B  có nghiệm khi và chỉ khi r A( )r A( )

Ø

3.3 Phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính

a) Phương pháp ma trận (tham khảo)

Cho hệ phương trình tuyến tính AX B  , với A là

ma trận vuông cấp n khả nghịch

Ta có:

1

AX B  X A B

VD 4 Giải hệ phương trình tuyến tính sau bằng

phương pháp ma trận:

3 3

x y z

   



    

Ø

1

     

Hệ phương trình  X A B1

            

       

        

Vậy hệ đã cho có nghiệm

3, 6,

x y

  

 



   Ø

Trang 2

Cho hệ AX B  , với A là ma trận vuông cấp n

• Bước 1. Tính các định thức:

1

det

A

1

, 1,

n

n j

j b

a

b

n a

(thay cột thứ j trong  bởi cột tự do)

b) Phương pháp định thức (hệ Cramer) • Bước 2. Kết luận:

§ Nếu   thì hệ có nghiệm duy nhất: 0

, 1,

j j

x   j n



§ Nếu      j 0, j 1,n thì hệ có vô số nghiệm (ta thay tham số vào hệ và tính trực tiếp)

§ Nếu   và 0  j 0,j 1,n thì hệ vô nghiệm

VD 5 Giải hệ phương trình sau bằng định thức:

3 3

x y z

   



    



Giải Ta có:

2 1 1



   , 1

1 3

1 1 1 12



Ø

2

1 3





2 1 1





Vậy x1  3,y2 6,z3  1

Ø

VD 6 Hệ phương trình ( 1) 2

    



có nghiệm khi và chỉ khi:

A m   ; B 2 m    ; 2 m 0

C m  ; D 0 m   2

m



        0 m 2 m 0

Ø

• m   Hệ 2 :     hệ có vô số nghiệm x y 0

• m  Hệ 0 : 2

0

x y

  



    hệ vô nghiệm

Vậy với m  thì hệ có nghiệm 0  C

Ø

Trang 3

c) Phương pháp ma trận bậc thang

(phương pháp Gauss)

Xét hệ phương trình tuyến tính AX B

• Bước 1. Đưa ma trận mở rộng  A B về dạng bậc

thang bởi PBĐSC trên dòng

• Bước 2. Giải ngược từ dòng cuối cùng lên trên

Chú ý Trong quá trình thực hiện bước 1, nếu:

§ có 2 dòng tỉ lệ thì xóa đi 1 dòng;

§ có dòng nào bằng 0 thì xóa dòng đó;

§ có 1 dòng dạng 0 0 ,b b  thì hệ vô nghiệm  0

VD 7 Giải hệ sau bằng phương pháp Gauss:

3 3

x y z

   



    



Giải Ta có:

2 1 1 1

A B



3 3 1

0 1 3 3

0 0 2 2

d d d 





Hệ

    

Giải Ta có:   54 12 53 3 32 1

A B



VD 8 Giải hệ phương trình tuyến tính:

2 7 = 1





Ø

2 2 1

5 4

5 2

0 39 15 6 11

d d d

ddd





3 3 3 2 5 2 5 3 3

d d d



   



Vậy hệ phương trình vô nghiệm

Ø

VD 9 Tìm nghiệm của hệ

    



   



A ; B Hệ có vô số nghiệm;

Ø

Giải Ta có:

Hệ

15 79

4 21

21 4

x



  



       

Ø

Trang 4

Giải Ta có: 3 1 2 3 3 1 2 3

VD 10 Tìm nghiệm của hệ 3 2 3

   



   

Hệ

2

3 2

x

 



      

3 4

1 2 2 7

3 6 3

m





Giải Ta có:

  1 2 72 4 5 12

m

A B

m



  

VD 11 Giá trị của tham số m để hệ phương trình

tuyến tính

   



   



có vô số nghiệm là:

A m   ; B 1 m  ; C 1 m   ; D 7 m  7

Hệ có vô số nghiệm r A( )r A( ) 3   m 1

………

Ø

Định dạng
Số trang	4
Dung lượng	218,51 KB