Ebook phương pháp tối ưu phần 2 TS nguyễn văn long

Mệnh dé tuyển loại của p và q, ký hiệu là p®q, nhận giá trị đúng khi một trong mệnh để p, q là đúng, nhận giá trị sai trong các trường hợp còn lại.. Dạng tuyển chuẩn tắc thu gọn của f l

Ví dụ 1: Những câu sau đều là mệnh đề:

Hà Nội là thủ đô nước Cộng hoà xã hội chủ nghĩa Việt Nam(1)

mệnh đẻ đúng, giá trị chân lý của một mệnh đề là sai ký hiệu là F nếu nó là mệnh đề sai

Các mệnh đề nói ở trên là các mệnh đề đơn Làm thế nào để ta

có thể phát biểu khẳng định đúng, sai diễn đạt câu phức hợp

Phương pháp đó được gọi là tổ hợp Tổ hợp các mệnh đề đơn ta được mệnh đề phức hợp Việc tô hợp được thực hiện nhờ các toán

tr Légic

4.1.2 Các toán tử lôgic

Phép phú định: Giả sử p là một mệnh đề Khi đó câu: “Không phải là” là một mệnh đề mới, được gọi là mệnh đề phủ định của mệnh đề P, ký hiệu là hoặc là p

Bảng giá trị chân lý là bảng thể hiện mỗi quan hệ giữa các giá trị chân lý của các mệnh đề với nhau

Mất quan hệ giữa p và p được cho bởi bảng giá trị chân lý:

Giá trị chân lý

Có thể quan niệm phủ định của mệnh để là một mệnh đề mới

thu được từ mệnh đề cũ sau khi có tác động của toán tử phủ định

lên mệnh đề đó

Pháp bội: Giả sử có hai mệnh đề p, q Mệnh đề “p và q” ký hiệu

p^q, nhận giá trị đúng khi đồng thời p và q nhận giá trị đúng, nhận

giá trị sai khi ít nhất một trong 2 mệnh để p và q nhận giá trị sai

Mệnh đề pAq được gọi là hội của hai mệnh đề p và q

Pháp tuyển: Giả sử có 2 mệnh đề p, q Mệnh để “p hoặc q”, ký

hiệu là pvq nhận giá trị sai khi đồng thời p và q đều nhận giá trị sai, nhận giá trị đúng trong trường các trường hợp còn lại Mệnh để pvq được gọi là tuyến của hai mệnh dé p va q

Pháp tuyển loại: Giả sử có 2 mệnh đề p q Mệnh dé tuyển loại của p và q, ký hiệu là p®q, nhận giá trị đúng khi một trong mệnh

để p, q là đúng, nhận giá trị sai trong các trường hợp còn lại

Pháp kéo theo: Giả sử có 2 mệnh đề p, q Mệnh để p kéo theo mệnh đề p, ký hiệu p—>q, nhận giá trị chỉ sai khi p đúng và q sai, nhận giá trị đúng trong các trường hợp còn lại

Trong mệnh đề kéo theo p—>q, p được gọi là giả thiết, q được gọi là kết luận Trong toán học mệnh đề kéo theo còn được gọi như sau:

Nếu p thì q

p kéo theo q

p là điền kiện đủ của q

q là điều kiện cần của p

Mệnh đề p—›q là mệnh đề thuận, mệnh đề q—>p được gọi là

mệnh dé dao

Mệnh để p —› q là mệnh đề thuận, mệnh đề q —› p được gọi là mệnh đề đảo cửa p — q, mệnh đề —¬q —> ¬p được gọi là mệnh để phản đảo

Phép tương đương: Giả sử có 2 mệnh đề p, q Mệnh đề tương đương p ©> q là mệnh đề chí nhận giá trị đúng khi p và q có cùng giá trị chân lý và sai trong trường hợp còn lại

Bảng trị chân lý được cho trong bảng dưới đây:

4.2.1 Đại số Boole

Qui ước giá trị chân lý T là 1, gia trị chân lý F là 0

Qui ước phép hội (^) là, phép tuyến (v) là +, phép phủ định là phép lẫy phần tử bù

Định nghĩa I: Đại số Boole là hệ thống đại số bao gồm tập B, các phép toán (.), (+), (—)

Đối với xe B tồn tại phần tử xe B sao cho x x =0 và x + x = l,

Định nghĩa 2: Xét tập E = {0, 1} Một hàm đại số Lôgic của n

đổi số là một ánh xạ f: Eạ — Em Kí hiệu y = f(x), y = (y1, Yass

Ya) € En; (KI, X2, , Xa) € En

Dưới đây ta chỉ xét hàm đại số Lôgic m = l

Hàm đại số Lôgic thường được xác định bởi bảng giá trị của nó, bằng cách liệt kê {tất cá ảnh của các phần tử tập nguồn Thí dụ: hàm

đại số Lôgic 3 biến xác định bởi bảng sau:

Ta đã biết: Số các hàm g: A — B với |A|=n, |[B Ì= m là m°

Ta có mn, | Ea |= 2", [EÌ= 2 nên số các hàm đại số Lôgïc f: Eạ —> E

g4(X1, Xz) duge goi 1a ham kéo theo: g4(Xị, X2) = Xị —> X2 85(X1, X2) duoc goi 14 ham tuong duong: gs(X1, X2) = X1

Ki hiéu: 8 € {0, 1}, x6 = x - nếuö=l

Dễ dàng chứng minh được xổ = 1 © x = 8 (*)

Gia str {f, : 1 € I} la ho cdc ham dai số Légic

Kihiéu: vf, va A f la tuyển và hội của các hàm trong họ

1E

iel

Ki hiéu: Tf = {(Xt, Xạ, , Xn) : Í(XỊ, X¿, , Xa) = L}

Và gọi là tập đặc trưng của hàm f

Dễ dàng chứng mình được các tính chất của hàm đặc trưng sau:

Tf= TẾ, TỶ v g= Tf U Tg, Tf A g = TỶ ¬ Tạ

Định lý: Mọi ham dai sé lôgic đều biểu diễn dưới dạng

F(X,,Xạ, X,„) = VHT KE OFS, 015 Xiah seer X) Trong đó ¡ là số tự nhiên 1 <¡ <n

Chứng mình: Giả sử về trái là ding => ÍỢŒx, Xe) = Í >

(Xị, , Xa) € TẾ

Khi d6 5, = xy, ,8; = x; thi x5 (theo *)

=> x5 x5 £(8, 5), , 49) = Ì —> về phải bằng t

Giá sử về phải bang 1 => 1 số hang xƒ! x? f(ỗi, ỗ, , xu) =

exh =e x! = 1 và f(ỗi, i, , Xa) = Ì © xị = ỗi

=> f(x1, , Xn) = 1, định lý được chứng minh

Chọn ¡ = I Ta được hệ quả sau:

Hệ quả 1: ÍG, xa) = X; fOn, .Xp Ú, Xi su Xa) + Xi f Xu

Đôi với hàm f(xị, xạ, xạ) cho bởi bảng trên là:

£(X1, Xạ, X3) = (Xi V X¿ V X3) A (X) V Xa V X;) A (x,v X,V X3) Qua định lý trên phép tuyển, hội, phủ định tạo thành các phép toán đầy đủ để biểu diễn một hàm lôgic Hệ phép toán đó được gọi

là một hệ đây đủ

Chúng ta có thể chứng minh những hệ hàm sau đây là đầy đủ:

{0, Í, xị + Xạ, Xi.X2}; (Ki, XIV X‡}; {XI, XIA Xa}

4.2.3 Tối thiếu hod ham Boole

4.2.3.1 Các khát niệm cơ bản

Giả sử có n biến xị, X¿, , xạ Số hạng xi!Gi! xi?Gi/ được gợi là một hội sơ cấp của n biến xị, xạ, ., xụ Số các biển xuất hiện

Tf một hội sơ cấp được gọi là hạng của hội sơ cấp đó

Ham f(x), X2, ., Xn) biểu diễn dưới dạng tuyển của các hội sơ

câp được gọi là dạng tuyên chuân tác

Số lần các biến xuất hiện trong đạng chuẩn tắc được gọi là độ

phức tạp của dạng chuân tắc

Ví đụ 2: X + y = X.y v x y là dạng chuẩn tắc của x + y và có độ phức tạp là 4

Dạng tuyển chuẩn tắc của f có độ phức tạp bé nhất được gọi là

dạng tuyển chuẩn tắc tối thiểu của f

g(X1, Xa, ., Xa) là một nguyên nhân của Í(Xị, x2, ., Xn) nếu Tg

< Tf Hay ndi céch khdc (g > f) nhan giá trị là 1

Trong dang tuyén chuẩn tắc của f(X1, X2, -.-, Xn), hội SƠ cấp A là nguyên nhân của f, nếu xoá bớt đi 1 biến trong A thi rất có thể nó

sẽ không là nguyên nhân nữa Một hội A được gọi là nguyên nhân nguyên tô nếu nó là nguyên nhân của f và không thể xoá bới đi bất

kỳ I biến nào dé A vẫn là nguyên nhân của f

4.2.3.2 Dạng tuyên chuân tắc thu gọn

Cho ham ldgic f(x), X;, ., xạ) Dạng tuyển chuẩn tắc thu gọn

của f là tuyển của tất cá các nguyên nhân nguyên tố của f

Liên quan đến các nguyên nhân nguyên tố của f ta có các tính chất sau:

Tính chất 1: Tuyển của một số bất kỳ các nguyên nhân của f cũng là nguyên nhân của f

Tính chất 2: Giả sử S là hệ đầy đủ các nguyên nhân của f Khi

đó tuyên của tất cả các nguyên nhân tron g 5 sé tring voi f

Tính chất 3: Tuyén của tất cả các nguyên nhân nguyên tổ của hàm f là thực hiện f

Hệ các nguyên nhân nguyên tố của f là hệ đây đủ

Nhận xét: Dạng tuyến chuẩn tắc thu gọn là bước quan trọng đề

đi đến dạng tuyển chuẩn tắc tối thiểu

— Ví dụ 3: Hầm (x + y) V Z(XV y) có dạng chuẩn tắc thu gọn là:

XY VX.YVXZV yz

Trong khi đó dạng tuyển chuẩn tắc tối thiểu là: x Vv X.Y V XZ Dạng tuyển chuẩn tắc thu gọn là bước quan trọng dé đi đến dang tuyển chuẩn tắc tối thiểu

4.2.3.3 Dạng tuyển chuẩn tắc nghên

Một hệ nguyên nhân nguyên tỗ của f được gọi là nghẽn nếu nó

là hệ thống đầy đủ và không một hệ con thực sự nào của nó là đầy

đủ (Hệ đầy đủ nhỏ nhất thực hiện ) Nếu S là hệ nghẽn thì tuyến

của tất cả các thành viên của nó sẽ thực hiện f

Tóm lại: Dạng tuyển chuẩn tắc nghẽn của f là dạng tuyển chuẩn tắc gồm các nguyên nhân nguyên tố của f, thực hiện f, không thế

bỏ bớt đi bat kỳ một số hạng nào để vẫn thực hiện f

Định lý: Mọi dạng tuyển chuẩn tối thiểu của f đều là một dạng tuyển chuẩn tắc nghẽn của hàm đó

Chứng mình: Giả sử p là hội sơ cấp của đạng tuyển chuẩn tắc tối thiểu của f Ta chứng minh p là nguyên nhân nguyên tổ của f Thật vậy ta có,f=pv p(p là tuyển của các hội sơ cấp của f) Giả sử p không phải là nguyên tố, nghĩa là có thể bỏ bớt Tí p đi

một số kí hiệu để được q mà q v p=f>f=pv pkhông phải là

tối thiểu Mâu thuẫn suy ra điều phải chứng minh

Điều ngược lại của định lý là sai: Có những dạng tuyến chuẩn tắc nghẽn mà không phải là tuyển chuẩn tắc tối thiểu

4.2.3.4 Các thuật toán tìm dạng chuẩn tắc thu gọn và tối thiếu

Chúng ta sẽ sử dụng các tính chất sau để biến đổi thuật toán:

Định lý: Một nguyên nhân hạng k của hàm f (hội sơ cấp gồm k

kí hiệu) là kết quả của phép dán hai nguyên nhân hạng k + l của hàm f

Một nguyên nhân hạng k của hàm f là nguyên nhân nguyên tố của f nêu không thể dán được với bất kỳ một nguyên nhan hang k nào của f

_ Chứng minh: Giả sử A là nguyên nhân hạng k của f Khi đó Ax

VAXE=A Trong đó Ax là 2 nguyên nhân của f và hạng là k + 1 Giả sử A là nguyên nhân không phải nguyên tố Khi đó A = B.x

Mà B vẫn là nguyên nhân của f có hạng là ( — 1) va A’ = B.x cũng là nguyên nhân của f có hạng là k Ta có:

Av Bx =Bx v Bx, hay Á có thể dán được với một nguyên

nhân hạng k Mâu thuẫn đó suy ra điều phải chứng mình

Từ định lý trên ta có thuật toán Quinn sau đây để tìm dạng chuẩn tắc thu gọn của ham Í(X\, X¿, , Xa)

Bước 7: Tìm dạng tuyển chuẩn tắc hoàn toàn của f, kí hiéu 12 fo

Bước 2: Từ f¡ xây dựng f¡ „ ¡: Trong f thực hiện tất cả các phép

dán không đây đủ đối với hội sơ cấp hạng n - ¡, sau đó xoá tất cả các hội sơ cấp hạng n — ¡ có thê được bằng phép nuốt

Bước 3: Thực hiện bước 2 cho dén khi fy = fk + 1 Khi đó f, là

dạng chuẩn tắc thu gọn của f

Theo bước 2 có thể chứng minh qui nạp: Trong mỗi f; có mặt tắt

cả các nguyên nhân nguyên tố hạng > n — k + l VÀ tất cả các nguyên nhân hạng n — k của f, và chỉ có chúng mà thôi

Nếu f\„ ¡ = f; theo phần b của định lý, mọi nguyên nhân hạng

n — k của f trong f, đều là nguyên tố và như vậy fy chứa tất cả các nguyên nhân nguyên tổ của f, do đó nó là dạng chuẩn tắc thu gon cua f

Vi du 5: Tim dang chuẩn tắc thu gọn của hàm

Ê= XI.X2.Xã V XỊ X2.X3 V XI X; X3 V XI.X2.X; V XI X;.X:

Ta có fo = f Dùng phép dán không đầy đủ đối với các hội sơ cấp hạng 3 ta được:

X2X3 V XyX3 -V XyX2 V XI.X2.Xã V X¡ X2.Xã V XỊ.X; Xã V XI.X2.X; V

XI .X;.X;

Sau đó dùng các phép nuốt sơ cấp ta được:

fy = XgX3 V X]X3 V X1X2 VX, Xy-X3

Các hội sơ cấp hạng 2 không dán được tức là f; = fi

Vậy ft là dạng tuyển chuẩn tắc thu gọn

Thuật toán Quinn không nêu rõ tìm hết các phép dán có thể có

Vì vậy McLuskey đề nghị bô sung thủ tục hình thức dưới đây: Giả sử f(X, Xạ, , xạ), mỗi hội sơ cấp của n biến được biểu diễn

bởi n kí hiệu {0, I, } với qui ước số 1 ở kí tự thứ ¡ nếu xuất hiện x; trong số hạng, số 0 nếu có x, và (—) nếu không có Xị

Ví đụ: 5 biến xu, xạ, , xs có biểu diễn số hạng xị x; xs là I - 0 - I

Hai hội sơ cấp được gọi là lân cận nhau nếu nó có biểu diễn khác nhau ở đúng I vị trí Rõ ràng rằng các hội sơ cấp chỉ có thể dán được với nhau nếu chúng ở lân cận nhau

Thuật toán Quinn - McLnskey lập một bảng gồm nhiều cột để ghỉ các kết quả của phép dán Sau đó thực hiện các bước:

Bước 1: Viết vào bảng cột thứ nhất, các biểu điễn của các

nguyên nhân hạng n của hàm f Các biểu diễn được chia thành từng

nhóm có số các kí hiệu 1 bằng nhau, các nhóm được xếp theo thứ

ty tang dần của số các số 1 Các nhóm được đánh số bắt đầu từ 1 Bước 2: Thực hiện tất cả các phép dán các biểu dién ở nhóm i

với nhóm ¡ + 1 ( = I1, 2, ) Biểu diễn nào tham gia it nhat một

phép dán sẽ được ghi nhận một dấu * bên cạnh Kết quả dán được ghi vào cột tiếp theo

Bước 3: Lặp lại bước 2 cho cột tiếp theo, đến khi không thu thêm được cột nào mới (tức là tại cột này không thực hiện được phép dán nào cả) Khi đó tất cả các biểu diễn không có dán * sẽ cho tat ca cdc nguyén nhan nguyén tố của f

Vi dy 6: Tìm dạng tuyển chuẩn tắc thu gọn của:

Í(XI, X2, X3 Xã) = X X;.XyX4 V XI X2X; X4 V X, Xz X3Xq V

XIX¿ ÄXị X4 V XỊX; X3X¿V XI X2X3X¿ V XỊX2X‡X4

Thủ tục như sau:

10-17 1-11"

-111

1111

Cột thứ 3 là không dán được nên: Í = Xị Xạ V X; X4 V X3X4

Vi du 7: Tim dạng tuyên chuẩn tặc thu gọn của:

Í = XỊX;X:X, V XỊị X2X3X4 V XIX¿X3X4 V XIX2X; X„ V

XIX2X; Xa V XỊIX2X3X V XIX¿2X3X4

Thủ tục được cho bởi bảng:

f= x, XK, X3 V X;X3X¿ VXỊX3X4 V XỊX¿

Thuật toán tính dạng tuyên chuẩn tắc tối thiểu

Sau khi tìm được dạng chuẩn tắc thu gọn, tức là tìm được tất cả các nguyên nhân nguyên tế của f, tiếp tục tim dạng tuyển chuẩn tắc tối thiểu như sau: Lập bảng chữ nhật, mỗi cột ứng với một nguyên

nhân của f (từ cấu tạo đơn vị của và mỗi dòng ứng với một

nguyên nhân nguyên tố vừa tính được cua f Tai 6 (i, j) ta đánh dấu (+) nếu nguyên nhân nguyên tổ ứng với hàng ¡ là phần cong của

cấu tạo đơn vị cột j Một hệ các nguyên nhân nguyên tố của f được

gọi là phủ hàm f, néu moi c4u tạo đơn vị của f đều được phủ ít nhất bởi một thành phần thuộc hệ Rõ ràng, hệ là phủ hàm f thì nó là đầy

đủ, nghĩa là tuyến các thành phần trong hệ sẽ phủ f Một nguyên nhân nguyên tô được gọi là cết yếu nếu thiếu nó thì sẽ không phủ

được f Nó được tính như sau: Tại những cột có duy nhất một dấu

() thì hàng có dấu (+) này, ứng với nó là nguyên nhân nguyên tổ cốt yếu

Từ nhận xét trên, thuật toán Quinn - McLuskey sẽ đưa ra cách

tìm dạng tuyên chuẩn tắc tôi thiêu:

Bước 1: Phát hiện tất cả các nguyên nhân nguyên tổ cốt yếu Bước 2: Xóa tất cả các cột được phủ bởi các nguyên nhân nguyên tô côt yêu, tức là tât cả các cột có ít nhât một dâu (+) tại những dòng ứng với các nguyên nhân nguyên tế cốt yếu

Bước 3: Trong bảng còn lại, xóa nốt những dòng không còn dâu (+) và nêu có 2 cột giông nhau thì xóa bớt một cột

Bước 4: Tìm một hệ các nguyên nhân nguyên tổ với số biến ít

nhất phủ tât cả các cột còn lại

Tuyển các nguyên nhân nguyên tố cốt yêu và các nguyên nhân trong hệ ở bước 4 sẽ tìm dạng tuyến chuẩn tắc tối thiểu

Ví dụ 6: Tìm dạng tuyển chuẩn tắc tối thiểu của Í(XI, X¿, X3) =

XIX2X3 V X, X;Xs V XIX; Xã v X1X2X, v X, X; X; (Trong ví dụ

Từ các cột có duy nhất một dẫu (+) ta có các hàng tương ứng

với nguyên nhân nguyên tố cốt yếu là: X2X3, X1X3, XịXạ Xoá các cột

này ta còn bảng chỉ còn cột x¡x2x: Mặt khác xịx; là nguyên nhân ít biến nhất phủ cột này nên đạng tối thiểu của f là:

Í= xIX¿ V XỊX3 VX2X3 V X, XK, Xy

Vi dy 9: Tim dang tuyén chuẩn tắc tối thiểu của hầm f trong ví

dụ 2 Dùng thuật toán Quinn - McLuskey ta có dạng thu gọn:

Í= XI X; X3 V X; X3X4 V XỊX3X4 V XỊX¿