CHƯƠNG 3 PHÂN TÍCH TRONG MIỀN tần số

PHÂN TÍCH TRONG MIỀN TẦN SỐ Tín hiệu và hệ thống rời rạc thời gian có thể phân tích trong miền tần số ta sẽ thấy một đặc điểm quan trọng của hệ thống là đáp ứng tần số.. Phân tích Fourie

PHÂN TÍCH TRONG MIỀN TẦN SỐ

Tín hiệu và hệ thống rời rạc thời gian có thể phân tích trong miền tần số ta sẽ thấy một đặc điểm quan trọng của hệ thống là đáp ứng tần số

Phân tích Fourier liên tục thời gian bao gồm chuỗi Fourier và biến đổi Fourier chúng thì hữu ích cho sự phân tích và thiết kế của tín hiệu và hệ thống liên tục thời gian Sự phát triển của lý thuyết

xử lý tín hiệu số đặc biêt, biến đổi Fourier rời rạc, và xử lý tín hiệu số cũng như máy tín có thể phân tích Fourier duy trì trong việc sử dụng

Sau đây một sự tóm tắt ngắn gọn biến đổi Fourier liên tục thời gian, chuơng này sẽ đưa ra biến đổi Fourier rời rạc thời gian bao gồm chuỗi Fourier rời rạc thời gian (DTFS) và biến đổi Fourỉe rời rạc thời gian (DTFT) Phần kế tiếp sẽ thảo luận một khía cạnh quan trọng của DTFT đó là đáp ứng tần số của hệ thống DTFT thì liên quan với nhiều biến đổi phổ biến cho sự phân tích và thiết kế hệ thống rời rạc thời gian, biến đổi z, một chủ đề của chuơng kế tiếp

Để hòan thành bức tranh về biến đổi Fourier, phần cuối cùng đưa ra một giới thiệu biến đổi Fourier rời rạc (DFT), đó là phiên bản tần số đuợc lấy mẫu của DTFT DFT và những ứng dụng của nó vuợt trội hơn những phân tích Fourỉe khác Chúng thì đuợc nêu ra chi tiết trong chuơng 8

3.1 CHUỖI FOURIER LIÊN TỤC THỜI GIAN (CTFS)

Phân tích Fourier liên tục thời gian bao gồm chuỗi Fourier và biến đổi Fourier, hoặc tích phân Fourier Phân tích Fourier liên tục thời gian không đuọec trình bày chi tiết nhưng sẽ là cái nhìn tổng quát

3.1.1: Chuỗi lƣợng giác

Nhà toán học nổi tiếng người Pháp Jean Baptiste Joseph Fourier đã minh họa rằng một sóng tuần hoàn

có thể phân tích thành một chuỗi vô hạn của những thành phần sin và cosin có những tần số là tích của tần số cơ bản của sóng

Bắt đầu với tín hiệu thời gianx (t )(Hình.3.1), tuần hoàn tại chu kỳ T0 (s) hoặc tần số gốc 0

0

) (

n n n

a a t

2



 / 2

2 / 0 0

0

0 ( )

1 T

T x t dt T

Những thành phần khai triển chứa đựng ý nghĩa sau:

 a0 : Trung bình của tín hiệu (hoặc thành phần DC)

 a1cos 0t + b1sin 0t : Thành phần cơ bản (nhớ tổng của hai sin có cùng tần số là sin tại tần

số đó, (xem phần (3.3)) , hoặc họa tần thứ nhất

 a2cos0t + b2sin0t : Họa tần thứ hai

 a3cos0t + b3sin0t : Họa tần thứ ba

cos 1 4

cos 1 4

sin 4

2 / 0 0 0

0

2 / 0 0 0

0

0

2 / 0 0

0 0 0

t n n

T A

t n n

T A

tdt n T

A b

T T

T n

3

n

A n

2

41112

14

n

A t

x

)12sin(

)12(

14)

sin 3

1 sin

4

0 0

A

Hình 3.3 là hình vẽ những hệ số được chuẩn hóa tương ứng với sự chuẩn hóa tần số gốc

Ta biết rằng tổng của hai sin có cùng tần số là một sin cùng tần số đó, đặc biệt

b a t b t

Vì điều này, công thưc (3.1) có thể thay đổi sang dạng của biên độ và pha:

) Φ cos(

0 0

c c

n n

n

n n

a b

Hình vẽ của những hệ số so với tần số là phổ biên độ (Hình 3.3), và hình vẽ pha nso với tần

số là phổ pha Cả hai phổ là rời rạc hoặc phổ đường

= – 90 O ( = –/2)

Phổ biên độ như trước, phổ pha được cho trong hình 3.4

Sự phân tích diễn tả như sau:

t 1 - 2n 1

2n

-1 4A t

t 1 - 2n 1

2n

-1 4A

ne X t

0

n x(t)e dt T

1

X 0 (phân tích công thưc) (3.8)

Ngưỡng của tích phân có thể là - T0/ 2 và T 20/ thay vì 0 và T như trên

Vì những hệ số X n là nói chung là phức, ta viết

n

j n

x ( ) ( 0) Những hệ số khai triển được cho bởi

e T

A t

0)

3.1.3 Hàm sinx/x

Xem sự phân tích Fourier, đây là một hàm đặc biệt sinx/x (hoặc hàm sincx, hoặc hàm S a(x)) Chú

ý ở đây ta viết sinx / x to nghĩa hoặc sin(x) / x Biến thiên trên sinx/x với x được chỉ trong hình 3.6

Nó là một hàm đối xứng với vùng đơn vị, có giá trị lớn nhất là 1 tại gốc, và 0 xuyên qua tại khoảng  Khoản cách giữa gốc và điểm không đầu tiên là 

x(t)

A

t 2T0

T0 0

–T0 –2T0

(a)

Xn A/T0

0/

 2 1

0 –1

– 0.2178

––2

–3

–4

sinx/x

0.1284 1.0

Hình.3.6: Hàm sinx/x (hoặc sincx, hoặc Sa(x))

6 Hàm dao động và hủy dần Đỉnh nhỏ nhất đầu tiên có giá trị -0.2178, và đỉnh lớn nhất có giá trị 0.1284

Điểm 0 xuyên qua là xác định như sau:

Một số tác giả, vẽ hàm sin x / x  thay vì sin x / x được sử dụng ở đây

/ sin

T n

T n T

0 0

0

0 0

0

2 / 0 0

/

/ sin

1 1

T jn

t jn t

jn n

e T n

T n T A

e jn T

A dt Ae T

e biến thiên biên độ giống chính xác như trên Trong hình 3.7d ta vẽ phổ biên độ thay

vì phổ pha Độ lớn là giá trị tuyệt đối (chỉ dương), ngược lại biên độ là giá trị có dấu Vì thừa số pha xuất hiện trong Xn, phổ pha thì khác (xem ví dụ 3.2.1 sau) 

Hình.3.7c: Ví dụ 3.1.4 (Sóng vuông được dịch)

n

-2 -6

A/6

Xn

-12 -18

-15

-18

Hình.3.7b: Ví dụ 3.1.4 (Phổ biên độ khi /T0 1/6)

envelope

8

3.1.4 Hiệu ứng Gibbs (Hiện tƣợng Gibbs)

Vì chuỗi khai triển là vô hạn, trong thực tế ta phải bỏ những họa tần cao Đây là sự cắt cụt Khi tái tạo (tổng hợp) tín hiệu từ chuỗi được cắt cụt ta sẽ không lấy được lại tín hiệu gốc Nó minh họa rằng khai triển Fourier là tối giản, nghĩa là lỗi bình phương trung bình (MSE) giữa tín hiệu gốc và tín hiệu tái tạo

từ chuỗi cắt cụt là nhỏ nhất so với những khai triển khác có cùng hệ số Vì vậy khai triển Fourier, tất nhiên số họa tần lấy được ít lỗi hơn Nhưng một sự thật đáng chú ý là ở đây luôn có hiện tượng overshot và undershot tại sự thay đổi đột ngột của sóng tín hiệu (hình 3.8), dù số họa tần là lớn Đây

là hiệu ứng Gibbs, hoặc hiện tượng Gibbs Với một sống vuông overshoot và undershoot là khoảng 9% (hình 3.8) Trong hình 3.9 sóng gốc tam giác được so sánh với sóng tái tạo từ bẩy thành phần khai triển đầu tiên Từ điều này ta có thể đoán sự nẩy sẽ vẫn rõ dù hàng tá hoặc nhiều họa tần được lấy, được biệt tại thời gian thay đổi đột ngột Thực ra, hiện tượng Gibbs bao gồm sự nẩy và overshoot, undershoot

1/2

-1/2

0

3.2 BIẾN ĐỔI FOURIER LIÊN TỤC THỜI GIAN (CTFT)

Khai triển chuỗi Fourier của một tín hiệu cho ta cấu trúc tần số tín hiệu Nhưng không may mắn, khai triển chuỗi Fourier chỉ áp dụng với tín hiệu tuần hoàn trong khi đó những tín hiệu thực sự hầu như không tuần hoàn (tuần hoàn trong một thời gian ngắn, không lặp lại…) và biến đổi Fourier (hay tính phân Fourier) được phát triển cho tín hiệu không tuần hoàn

3.2.1 Đôi biến đổi Fourier

Hình.3.10 chỉ sự cải tiến từ chuỗi Fourier đến biến đổi Fourier Trong công thức (3.6) ta thay 0

 bằng2 F 0, và viết X(nF0) với X , thì n

Fig.3.8: Gibbs effect in Fourier expansion

Hình.3.9: Sóng tam giác gốc và songs tái tạo từ bảy thành phần khai triển đầu tiên

undershoot overshoot

Sóng tam giác gốc

Sóng tam giác tái tạo

t

t

t nF 2 j 0

0

e nF X t

2

0 0

0 0

0)(

1)( T T x t e j nF t dt

T nF

T

t nF j

e dt e

t x T

2

0

)(

1)

Lấy T0  để đẩy tất cả chu kỳ hai bên của chu kỳ trung tâm x(t) đến vơ hạn, điều này biến tín hiệu

tuần hồn thành một tín hiệu khơng tuần hồn Mặt khác, khi chu kỳ T0 , 1 / T0  dF (một đại lượng vơ cùng nhỏ), nF0 F(tần số tương tự) và sự giới hạn T0 , phổ rời rạc trở thành liên tục Vì vậy khi T0 ,

n

Ft 2 j

e dt e t x

Vì vậy X(F)x(t)ej 2Ft dt (CTFT) ( cơng thức phân tích) (3.12)

Biến đổi ngược

Ft 2 j

e F dFX t

T0/2-T0/2

v(t)tuần hoàn

0

v(t)không tuần hoàn

x(t) Chu kỳ trung tâm

Tuần hồn

x(t) aperiodic

) (

) ( tan )

F X

F X F

F) X(

X(F)   và  ( F )    (  F ) (3.16)

Ví dụ 3.2.1

(a) Tìm biến đổi Fourier, phổ biên độ và phổ pha của một xung chũ nhật đối xứng có độ lớn

A và chiều rộng 

(b) Áp dụng kết quả trên để tìm biến đổi của xung đơn vị (t) (Hàm delta Dirac)

(c) Lặp lại câu hỏi khi xung làm chậm đi t0

,2

Biến đổi Fourier CTFT

/ 2

2

j Ft

e A



A x(t)

As X(F) is a real function, its phase is zero at all frequency But in Fourier analysis the phase

spectrum is interpreted differently That is for a real function, the phase spectrum is zero for positive value and is  for negative value Besides, to ensure the phase spectrum is an antisymmetric function, the phase is understood to be + for positive frequency and - for negative frequency (Fig.3.11b)

(b) In order to find the transform of (t) we consider the amplitude A as 1/, hence the spectrum of the rectangular pulse of amplitude 1/, width , is

1 )

 t

The amplitude spectrum is 1 at all frequencies and the phase spectrum is zero From the amplitude spectrum of the rectangular pulse of Fig.3.11b, as   0 the points 1/ and -1/ go to  and the central lobe extends to  and the amplitude spectrum of (t) is 1 for all frequencies

(c) The delayed pulse is denoted as

x(t – t0) = Apt0 2,t0  2Its CTFT is

12

X(F) =    

2 / 2 / 2

0 0

t t

Ft j

Chú ý sự xuất hiện của thừa số pha j 2 Ft0

e  Đáp ứng biên độ thì chính xác như trong (a) Tuyên nhiên

sự xuất hiện của thừa số pha làm khác phổ pha Nó được hiểu như

( )

( )

Khi tín hiệu bị chậm bởi t0 biến đổi của nó dịch pha đi 2 Ft  0

(c) Dịch tần số (đƣợc gọi là lý thuyết điều biến)

13 Với phổ của tín hiệu tần số thấp trình bày thông tin thì được biết, và cos2F c t là sóng mang (Tần số của nó là F c lơn hơn nhiều tần số của m(t)) Điều biến biên độ trên được gọi là DSB-SC (double

sideband with suppressed carrier)

Giải

Phổ biên độ M(f) của thông tín điều biến m(t) được giả sử như trong hình 3.12 với F M là tần số lớn

nhất của nó F M nhỏ hơn nhiều so với tần số sóng mang F C Biểu diễn thành phần cosin trong dạng mũ phức

x(t) = m(t) cos2F c t = m t e j2F C t  m t ej2F C t

)(2

1)

(21

Áp dụng thuộc tính dịch chuyển tần số sẽ có phổ của tín hiệu AM như

)(

2

1)(

2

1)

Vì vậy phổ của x(t) là phổ của m(t) được dịch đến tần số –F C và F C và với biên độ bằng với nửa biên

độ của m(t) (Hình.3.12) ■

(d) Nhân chập thời gian (cũng đƣợc gọi là lý thuyết nhân chập)

Nhân chập của hai tín hiệu x1(t) và x2(t), chú thích x1(t)  x2(t), được định nghĩa như



 () (') ( ') ')

( )

Điều này có nghĩa nhân chập trong miền thời gian tương ứng với nhân thường trong miền tần số

Liên hệ với nhân chập thời gian, đây là kết liên hệ hữu ích

) ( ) ( ) ( t t x t

i.e nhân chập thời gian một tín hiệu x(n) với xung đơn vị (t) là chính tín hiệu x(n) Sự đảo ngược của

nhân chập thời gian được phát biểu như:

) ( ) ( )

( )

14

3.2.4 CTFT của những tín hiệu cơ bản

Đôi biến đổi Fourier thông thường được đề cập với những hình vẽ được minh họa nhưng không có bằng chứng

1 =

1)

F X

) (

) (  0 0

Tương tự, biến đổi của sin sin2F0t và sin sin0ttương ứng là

) (

2 ) (

2 )

16

3.3 ĐÁP ỨNG TẦN SỐ CỦA HỆ THỐNG LIÊN TỤC THỜI GIAN

Hệ thống liên tục thời gian có đặc tính là đáp ứng xung Trong miền thời gian ngõ ra tín hiệu y(t) của

hệ thống là nhân chập của tín hiệu vào x(t) với đáp ứng xung h(t):

) ( ) ( ) ( t x t h t

Bằng lý thuyết nhân chập, công thức trên được biến đổi sang miền tần số như:

) ( ) ( )

Với H(F) là biến đổi Fourier của đáp ứng xung h(t), là đặc tính của hệ thống và được gọi là đáp ứng

tần số Từ công thức trên ta viết

) (

) ( ) (

F X

F Y F

Bây giờ đáp ứng tần số có thể tính như tỉ số của biến đổi Fourier của tín hiệu ngõ ra với biến đổi Fourier của tín hiệu vào Đáp ứng tần số, nhìn chung, phức và ta viết

) ()()(F H F e j F

Với H (F) là đáp ứng biên độ và Φ(F) là đáp ứng pha Ví dụ, với hệ thống tương tự lý tưởng ngõ ra

y(t) tương ứng với ngõ vào là

Với G là thừa số tỉ lệ (độ lợi), và t0 thời gian trễ Công thức trên đưa đến biến đổi Fourier là

Y(F) =   Ft O

e F

GX 2

thì

0

2)(

)()

F X

F Y F

Vì hệ thống lý tưởng, đáp ứng biên độ H(F) là hằng số, độc lập của tần số, và đáp ứng pha Φ(F) =

-2Ft0 = -2t0F tỉ lệ với tần số F (Hình.3.19), hệ thống như có pha tuyến tính Với hệ thống thực (

nghĩa là hệ thống đáp ứng xung có giá trị thực) đáp ứng biên độ là đối xứng, và đáp ứng pha là bất đối xứng (3.16)

3.4 CHUỖI FOURIER RỜI RẠC THỜI GIAN (DTFS)

Chuỗi Fourier rời rạc thời gian (DTFS) áp dụng chỉ cho tín hiệu tuần hoàn nhưng hầu hết tín hiệu thực

là không tuần hoàn Hơn nữa nó không áp dụng cho hệ thống Ở đây có hai lý do tại sao DTFS hạn chế

sử dụng và ta sẽ đi nhanh qua phần này

Một chuỗi tuần hoàn (tín hiệu rời rạc thời gian) có chu kỳ N (trong hình 3.20 N=8) có thể diễn

tả toán học như

)()(n x n N

x   , với tất cả n (3.36)

Tín hiệu có thể mở rộng thành một chuỗi của N thành phần

2 j

k e a n

x kn , n = 0, 1, 2,…, N – 1 (Công thức tổng hợp) (3.37)

Để thuận tiện mũ có thể viết như j2kn/N nhưng viết như trên mang nhiều ý nghĩa hơn Những hệ

số a là thành phần tần số (hoặc phổ) (hoặc hệ số) của x(n) và được cho bởi k

kn N j

Để tìm những hệ số a ta thường xem chu kỳ tín hiệu từ n = 0 đến N-1, sau đó tính thành phần k

thựcRea k, thành phần ảo Ima k, kế đến là biên độ ak và pha k:

a

a

Re

Im 1 tan 

0

2

) (

1 )

(

n

kn n j N

n

kn N j

N e

n x N a

3.5 BIẾN ĐỔI FOURIER RỜI RẠC THỜI GIAN (DTFT)

Bây giờ ta thảo luận biến đổi Fourier rời rạc thời gian (DTFT) mà giống như biến đổi Fourierr liên tục thời gian (CTFT) của hệ thống và tín hiệu liên tục

Ta có thể cải tiến DTFS có phổ rời rạc thành DTFT có phổ liên tục như cách ta đã làm để CTFS thành CTFT (phần 3.2.1) Đôi biến đổi được chú thích như

N=64 N=64

Hình.3.21: Ví dụ 3.4.1 (Chuỗi mẫu đơn vị tuần hoàn với N=64 và

phổ biên độ và phổ pha )

(a)

(b)

(c)

n j

e n x

 là tần số gốc số đơn vị radians/mẫu (phần 1.4.2) Dải của nó [-,] tương ứng với khoảng Nyquist

[-f s /2, f s /2] với tần số tương tự F , với f s là tần số lấy mẫu (tốc độ lấy mẫu) Ta có thể cần nhìn lại công thức (1.39), (1.40) và (1.41) cho sự liên hệ giữa tần số gốc và tần số tương tự, bao gồm tần số lấy mẫu

Bên trên, ta vừa đề cập đôi biến đổi, bây giờ ta sẽ kiểm tra rằng hai công thức thật sự là một đôi biến đổi Để làm điều này, ta chỉ đưa ra công thức phân tích, công thức tổng hợp được giữ, hoặc ngược lại Để thay RHS của công thức phân tích vào RHS của công thức phân tích:

π

π2

1ωπ

2

1

d e e x d

e

m

n j n

)(2

1)

(2

1

Dựa vào thuộc tính trực giao của mũ , tích phân trên RHS là 0 với nmvà bằng 2 với n = m Như

kết quả RHS dẫn đến x(n) như mong đợi

DTFT có một đặc điểm quan trọng, đó là, DTFT là tuần hoàn với chu kỳ 2 radians, trong

khi CTFT thì không tuần hoàn tại tất cả thời gian Ta cần chỉ ra

e e n

x( ) 2

Vì ej2n 1, RHS là X() như mong đợi

DTFT X() của một chuỗi x(n) tồn tại nếu x(n) hội tụ (tổng tuyệt đối):

jn

e n x e

n x

) (

) ( )

Vì phổ có chu kỳ 2, ta cần tính X() trong dải 2, thường từ - đến , thỉnh thoảng từ 0 đến 2 π Hơn nữa, vì sự đối xứng được đề cập, ta cần tính X (  ) chỉ cho  từ 0 đến  sau đó lấy đối xứng chẵn (ảnh gương) cho phổ biên độ và đối xứng lẻ cho phổ pha

X = A + 2A(cos + cos2 + + cosN ) Hoặc hình thức rút gọn

X

1

cos 2 1

A thìX ( 0 )  1, nghĩa là, đáp ứng biên độ X (  )được chuẩn hóa

Mặc khác, dữ hình thức gốc của công thức phân tích, ta viết

n j n

j

Ae e

n x

X ( ) ( )

Áp công thức chuỗi hình học (2.8) và (2.11))

x

x x x

N N N

N n

-N (-2

M

)

) (

) 1 (

N j n j

, 0

) 1 2

A , 0Chú ý rằng X ( 0 )  A ( 2 N  1 )là lớn nhất như trước So sánh hai kết quả, ta có sự liên hệ lượng giác

 , X()0



 , X()0Cũng như vậy, ta lý giải phổ pha để nó có một đối xứng lẻ (Hình.3.23c) 

22 DTFT là

j

e e

n x

1)

1sin

cos5.01

1

j j

5.0cos

5.01

Tại  = 0, X() = 2 và giá trị lớn nhất tại  = /4, X() = 1.36; tại  = /2, X() = 0.89, và tại

 = , X() = 0.67 và nhỏ nhất Hình 3.24b là trải phổ của biên độ

Với a1 và a2 là hằng số Tuyến tính là thuộc tính cơ bản nhất của DTFT và nhiều biến đổi khác

(b) Đảo thời gian

  



2.0

1.36 0.89

0.67

(b)

)X(

… X(n)

23

(e) Nhân chập thời gian( hoặc định lý nhân chập)

Nhân chập trong miền thời gian tương ứng với nhân thường trong miền tần số:

) ( ) ( )

( )

2 1

x

n

2 2

2

1

Phần bên trái là năng lượng của tín hiệu với x(n) là công xuất chuẩn hóa (công suất/đơn vị điện trở) 2

của tín hiệu Nếu x(n) là thực, ta viết x2(n) thay vì x(n) Phần bên phải là năng lượng tín hiệu dựa 2trên phổ tần số với X (  )2 là mật độ phổ công suất (PSD) (công suất trên đơn vị tần số, và



 ) / 2

X và mật độ phổ năng lượng (ESD) Bảng 3.1 tóm tắt một số thuộc tính chính

Bảng 3.1: Một số thuộc tính chính của DTFT với x(n)X()là đôi biến đổi

) n (

) n n (

n

j 0

e ) n (

)()

1 n x n

x 

)()

1 n x n x

)()

0)( e j n

X  

)(0

X

)()

1  X 

X

)()