LÝ THUYẾT THÔNG TIN CHƯƠNG IV: BIỂU DIỄN HỆ THỐNG VÀ TÍN HIỆU RỜI RẠC TRONG MIỀN TẦN SỐ RỜI RẠC

Mối quan hệ giữa biến đổi Fourier rời rạc với các biến đổi khác Nội dung chính của chương này bao gồm: - Biến đổi Fourier rời rạc của dãy tuần hoàn có chu kỳ N; - Biến đổi Fourier rời rạ

Chương 4 BIỂU DIỄN HỆ THỐNG VÀ TÍN HIỆU RỜI RẠC TRONG MIỀN

TẦN SỐ RỜI RẠC

Việc phân tích tín hiệu rời rạc theo miền thời gian trong miền tần số thôngthường được thực hiện rất hiệu quả và tiện lợi bằng bộ vi xử lý tín hiệu số Bộ vi xử lýnày có thể là máy tính được sử dụng cho các mục đích chung hoặc là thiết bị sốchuyên dụng Để thực hiện việc phân tích rời rạc theo thời gian, tín hiệu x(n) cần được

bằng máy tính của cách này không thuận tiện

Để tránh nhược điểm nêu trên có thể đưa ra một cách biểu diễn khác của x(n) –

hiệu trong miền tần số liên tục ta đã đưa đến biến đổi Fourier rời rạc (DFT) Biến đổinày là công cụ rất hiệu quả trong việc phân tích các tín hiệu rời rạc theo thời gian Ta

có mối quan hệ giữa biến đổi Fourier rời rạc với các biến đổi khác như sau:

Hình 4.1 Mối quan hệ giữa biến đổi Fourier rời rạc với các biến đổi khác

Nội dung chính của chương này bao gồm:

- Biến đổi Fourier rời rạc của dãy tuần hoàn có chu kỳ N;

- Biến đổi Fourier rời rạc của dãy không tuần hoàn có chiều dài N;

- Các tính chất của biến đổi Fourier rời rạc với dãy tuần hoàn và không tuầnhoàn;

- Các phương pháp biến đổi nhanh Fourier (FFT)

4.1 BIẾN ĐỔI FOURIER RỜI RẠC ĐỐI VỚI CÁC DÃY TUẦN HOÀN CÓCHU KỲ N

4.1.1 Các định nghĩa

Trước khi nghiên cứu DFT, ta hãy xét việc lấy mẫu của biến đổi Fourier đối vớidãy tín hiệu rời rạc theo thời gian không tuần hoàn và qua đây có thể thiết lập đượcquan hệ giữa biến đổi Fourier đã được lấy mẫu và DFT

IDFT

a Lấy mẫu trong miền tần số và khôi phục lại tín hiệu rời rạc theo thời gianNhắc lại rằng, tín hiệu năng lượng hữu hạn không tuần hoàn có phổ liên tục Taxét một tín hiệu rời rạc không tuần hoàn x(n) có biến đổi Fourier là:

sát các mẫu trong một chu kỳ cơ bản, ta lấy N mẫu cách đều trong khoảng -π ≤ ω ≤

𝜋, khoảng cách lấy mẫu tương ứng là δω (hình 4.2π nên chỉ cần khảo)

Hình 4.2 Lẫy mẫu trong miền tần số của biến đổi Fourier.

kn jω2π nên chỉ cần khảo N n

 

(4.2π nên chỉ cần khảo)Tổng trong biểu thức (4.2π nên chỉ cần khảo) có thể chia thành tổng của vô số tổng con nhưsau:

X(kδω)

|X(ejωω)|

δω

ω

rõ ràng nó tuần hoàn với chu kỳ N Vì vậy, nó có thể khai triển thành chuỗi Fourier.

gian Xét trường hợp x(n) là một dãy có độ dài hữu hạn và nhỏ hơn chu kỳ N của

0 5 10 15 2π nên chỉ cần khảo0 2π nên chỉ cần khảo5 30 0

1 2π nên chỉ cần khảo 3 4 5

(b) Dãy mở rộng tuần hoàn x p (n),với N > L không

Hình 4.3 Dãy mở rộng tuần hoàn x p (n) từ dãy không tuần hoàn x(n).

Kết luận: Phổ của một tín hiệu rời rạc không tuần hoàn có độ dài hữu hạnx(n) hay chính x(n) có thể được khôi phục một cách chính xác từ các mẫu của phổ

ở các tần số, nếu chiều dài L của x(n) nhỏ hơn N, N là số mẫu được lấy trongkhoảng tần số 2π nên chỉ cần khảoπ

Biểu thức (4.10) được viết lại:

N 1 jω

xác định phổ sau khi được khôi phục từ các mẫu đối với N = 5 và N = 50

Giải: Biến đổi Fourier của chuỗi x(n) như sau:

0 0.5 1 1.5 2π nên chỉ cần khảo 2π nên chỉ cần khảo.5 3 3.5 4 4.5 5

k

Dãy x(n) với N = 5 Phổ biên độ được lấy mẫu với N = 5

Dãy x(n) với N = 50 Phổ biên độ được lấy mẫu với N = 50

ω/Nπ (Rad) (a)

Hình 4.5 Phổ của x(n) sau khi được khôi phục từ các mẫu với N = 5 và N = 50

nhận được từ công thức (4.4) hoặc (4.8) Ta có:

kn

N 1 jω2π nên chỉ cần khảo

N p

b Biến đồi Fourier rời rạc (DFT)

Để xây dựng biến đổi Fourier rời rạc của dãy tuần hoàn, xuất phát từ chuỗi

0

* jωk t k p

*

jωk t

T 0 2π nên chỉ cần khảo

0

* jωk nT k p

2π nên chỉ cần khảo 2π nên chỉ cần khảojωk n

Khi thực hiện chuẩn hóa chu kỳ lấy mẫu T = 1, thì xp(nT) = xp(n) và chu kỳ của

0 0

2π nên chỉ cần khảo 2π nên chỉ cần khảojωk n

* k p

1

X (k) C

2π nên chỉ cần khảoN



 

(4.2π nên chỉ cần khảo0)

còn gọi là biến đổi Fourier rời rạc ngược

Để tìm biểu thức của biến đổi Fourier rời rạc thuận, nhân cả hai vế của (4.2π nên chỉ cần khảo1)

k 0

1 k = m1

e

0 k mN

Kết hợp cả hai biểu thức (4.2π nên chỉ cần khảo1) và (4.2π nên chỉ cần khảo3) nhận được cặp biến đổi Fourier rời rạc

k k 1

   với  1được xác định theo (4.2π nên chỉ cần khảo0)

Vậy cặp biến đổi Fourier rời rạc thuận và ngược của dãy tuần hoàn xp(n) là:

- Argumen φ(k) là dãy pha tần số rời rạc

Ví dụ 4.1: Xác định Xp(k) của dãy tuần hoàn xp(n) = n (0≤n≤4), chu kỳ N = 4.Giải: Theo công thức biến đổi Fourier rời rạc thuận (4.2π nên chỉ cần khảo3) có:

2π nên chỉ cần khảo 2π nên chỉ cần khảo

k 2π nên chỉ cần khảo X (2π nên chỉ cần khảo) n.e 0 1 2π nên chỉ cần khảo 3 2π nên chỉ cần khảo

0 2π nên chỉ cần khảo 4 6 8 10 12π nên chỉ cần khảo 14 16 18 2π nên chỉ cần khảo0

Theo công thức biến đổi Fourier rời rạc thuận (4.2π nên chỉ cần khảo3) có:

2π nên chỉ cần khảo 2π nên chỉ cần khảo

0 2π nên chỉ cần khảo 4 6 8 10 12π nên chỉ cần khảo 14 16 18 2π nên chỉ cần khảo0

Quan hệ với các hệ số Fourier của dãy tuần hoàn:

chuỗi Fourier:

N 1 jω2π nên chỉ cần khảo kn/N N

Nếu so sánh (4.2π nên chỉ cần khảo7), (4.2π nên chỉ cần khảo8) với (4.2π nên chỉ cần khảo4), (4.2π nên chỉ cần khảo5) ta có thể nhận thấy công thức dùng

để xác định các hệ số của chuỗi Fourier có dạng của DFT Thật vậy, nếu định nghĩa

kX(k) N.c , k 0,1, , N 1   (4.2π nên chỉ cần khảo9)Ngoài ra, cũng có thể thấy (4.2π nên chỉ cần khảo7) có dạng của IDFT Như vậy có thể đi đến mộtkết luận rằng, DFT-N điểm sẽ cung cấp một cách chính xác phổ vạch của dãy tuầnhoàn với tần số cơ bản N

Quan hệ với biến đổi Fourier với dãy không tuần hoàn:

Ta đã biết rằng, nếu x(n) là dãy không tuần hoàn có năng lượng hữu hạn có biến

thì các thành phần phổ:

jω jω2π nên chỉ cần khảo kn/N N 2π nên chỉ cần khảo k/N N

dãy có độ dài hữu hạn:

có thể khôi phục lại được dãy {x(n)}

Quan hệ với biến đổi Z:

n p n

chỉ số trong tổng được lấy trong khoảng vô hạn.

k 0 n 0

N N 1

p jω2π nên chỉ cần khảo k/N N 1

k 0

1

N1

N

X (k)

1 zX(z)

Ta đã thiết lập được các mối quan hệ giữa DFT với chuỗi fourier, biến đổiFourier và biến đôi Z của tín hiệu rời rạc theo thời gian DFT là một dạng biểu diễnđặc biệt của các biến đổi này, nên nó có các tính chất tương tự như biến đổi Fourier

và chuỗi Fourier, tuy nhiên, cũng tồn tại một vài sự khác biệt quan trọng

Quan hệ với các hệ số chuỗi Fourier của tín hiệu liên tục theo thời gian:

theo thời gian:

4.1.2 Một số tính chất của biến đổi Fourier rời rạc đối với các dãy tuần hoàn có chu kỳ N

a Tính tuần hoàn, tuyến tính và tính đối xứng

Tính đối xứng vòng của dãy:

chiều dài hữu hạn x(n) (chiều dài của dãy là L) với chu kỳ N Do đó, phép dịch

…,L-1) sẽ quay trở lại đầu kia và tuần hoàn với chu kỳ N

Ta có:

Tính đối xứng của DFT có thể nhận được bằng cách áp dụng phương pháp đã

phức Khi đó các dãy này có thể biểu diễn dưới dạng:

- Nếu x(n) là dãy thuần phức:

Nếu xi(n) là lẻ, thì Xi(k) = 0 và vì vậy Xp(k) là thuần thực Ngược lại, nếu

Thì:

DFT 1p 2π nên chỉ cần khảop N 1p 2π nên chỉ cần khảop

hiệu bởi:x (n) x (n)1p  2π nên chỉ cần khảop

vòng của hai dãy với chu kỳ 2π nên chỉ cần khảoN sẽ bằng tổng chập tuyến tính Như vậy tổng chậpvòng với chu kỳ 2π nên chỉ cần khảoN có thể được dùng để tính tổng chập tuyến tính của hai dãy bất

kỳ và do vậy tổng chập tuyến tính xác định qua DFT-2π nên chỉ cần khảoN điểm

DFT 1p 2π nên chỉ cần khảop N 1p 2π nên chỉ cần khảop

N 1 2π nên chỉ cần khảo N 1 2π nên chỉ cần khảo

4.2.1 Các định nghĩa

a Tổng quan

Phần 4.1.1.a đã xem xét việc lấy mẫu trong miền tần số của tín hiệu không tuầnhoàn x(n) với năng lượng hữu hạn Trong trường hợp tổng quát, các mẫu được lấycách đều nhau theo tần số X(2π nên chỉ cần khảoπk/NN), k =0, 1, 2π nên chỉ cần khảo,…,N-1 sẽ không cho phép khôi phụctín hiệu gốc x(n) khi x(n) có độ dài vô hạn Thay vào đó các mẫu này sẽ tương ứng với

của chúng được biểu diễn qua công thức:

mẫu không) do vậy tín hiệu gốc x(n) với độ dài hữu hạn sẽ có thể nhận được từ cácmẫu tần số {X(2π nên chỉ cần khảoπk/NN)} Điều này chứng tỏ rằng các mẫu tần số, X(2π nên chỉ cần khảoπk/NN), k

=0,1, ,N-1 sẽ cho phép xác định tín hiệu với độ dài hữu hạn x(n) một cách duy nhất

Một điều quan trong cần lưu ý là các giá trị không được đưa thêm vào sẽ không

Khi việc lấy mẫu của X(ω) được thực hiện ở các tần số cách đều nhau ωk =2π nên chỉ cần khảoπk/N

N, k=0,1,2π nên chỉ cần khảo,…,N-1 với N ≥ L thì các mẫu nhận được sẽ là:

do vậy quan hệ (4.65) được gọi là biến đổi Fourier rời rạc (DFT) của x(n) Ngược lạiquan hệ (4.67) sau đây sẽ cho phép khôi phục lại dãy x(n) từ các mẫu tần sổ Biểuthức:

- Dãy mô đun: X(k)  X (k) X (k)2π nên chỉ cần khảoR  2π nên chỉ cần khảoI (4.75)X(k)

còn được gọi là dãy biên độ tần số, hay dãy phổ biên độ rời rạc

- Dãy Argumen :

I R

X (k)(k) arctan

X (k)

Dãy φ(k) còn được gọi là dãy pha tần số, hay dãy phổ pha rời rạc

Theo lý thuyết hàm phức, X(k) là dãy chẵn và đối xứng qua trục tung, còn(k)

Ví dụ 4.4 Cho dãy với độ dài hữu hạn L được xác định bởi công thức:

1, 0 n L-1x(n)

Giải: Biến đổi Fourier của dãy đã cho là:

esin( /N 2π nên chỉ cần khảo)

0 0.2π nên chỉ cần khảo 0.4 0.6 0.8 1 1.2π nên chỉ cần khảo 1.4 1.6 1.8 2π nên chỉ cần khảo 0

2π nên chỉ cần khảo 4 6 8 10

0 0.2π nên chỉ cần khảo 0.4 0.6 0.8 1 1.2π nên chỉ cần khảo 1.4 1.6 1.8 2π nên chỉ cần khảo -4

-2π nên chỉ cần khảo 0 2π nên chỉ cần khảo 4

Phổ biên độ X(e jωω )

Phổ pha φ(ω) ω/Nπ (Rad)

ω/Nπ (Rad)

Hình 4.9 Đáp ứng biên độ và pha biến đổi Fourier

của tín hiệu trong ví dụ 4.4

DFT-N điểm của x(n) nhận được bằng cách đánh giá X(ejωω) tại N tần số cách

jω2π nên chỉ cần khảo kL/N N jω2π nên chỉ cần khảo k/NN

jω k(L 1)/NN

1 e

1 esin( kL /N N)

esin( k /N N)

L, k=0X(k)

0, k=1,2π nên chỉ cần khảo, ,L-1





Khi đó chỉ có một giá trị khác không trong DFT Điều này dễ dàng nhận thấy vì

khi N = L

Mặc dù để biểu diễn x(n) một cách duy nhất trong miền tần số thì chỉ cần sửdụng DFT-L điểm nhưng điều này lại chưa đầy đủ để có thể biểu diễn các đáp ứng phổcủa x(n) một cách chính xác hơn Nếu muốn có một hình ảnh đẹp hơn thì cần phải

cách này thì dãy x(n) sẽ có độ dài N, trong đó có N-L điểm được đưa thêm vào với giátrị bằng 0 Như vậy DFT-N điểm sẽ cung cấp phép nội suy tốt hơn DFT-L điểm Hình4.10 là đồ thị DFT-N điểm theo biên độ và pha đối với trường hợp L =10, N =50 và N

không đáng kể và do vậy phép nội suy sẽ trở nên chính xác hơn

0 5 10 15 2π nên chỉ cần khảo0 2π nên chỉ cần khảo5 30 35 40 45 50

(b) Phổ biên độ và pha rời rạc với L = 10, N =100

Hình 4.10 Biên độ và pha của DFT-N điểm trong ví dụ 4.4

Các công thức DFT (4.68) và IDFT (4.69) có thể được biểu diễn dưới dạng:

N 1

kn N

Khai triển công thức (4.77) ta có:

N điểm của các mẫu tần số và ma trận

kn N

0 (N 1) 2π nên chỉ cần khảo( N 1) ( N 1)(N 1)

W

W

kn N

W

cả hai về của (4.81) với

1 kn N

1 kn

Công thức (4.82π nên chỉ cần khảo) chính là biểu diễn của IDFT dưới dạng ma trận

Trên thực tế, IDFT được xác định bởi (4.82π nên chỉ cần khảo) có thể được biểu diễn dưới dạng

ma trận như sau:

* kn

2π nên chỉ cần khảo2π nên chỉ cần khảo 2π nên chỉ cần khảojω

Bằng cách xác định giá trị liên hợp của các phần tử

kn 4

DFT và IDFT là các công cụ tính toán giữ vai trò rất quan trọng trong rất nhiềuứng dụng xử lý tín hiệu số cũng như phân tích tần số (phân tích phổ) của tín hiệu, đánhgiá phổ công suất và lọc tuyến tính Vai trò này cũng được khẳng định khi có sự xuấthiện của một loạt các thuật toán hiệu quả hơn với tên gọi là biến đổi Fourier nhanh(Fast Fourier Transform- FFT)

4.2.2 Một số tính chất của biến đổi Fourier rời rạc đối với các dãy có chiều dài hữu hạn

a Tính tuyến tính

Giả sử ta có các biến đổi DFT như sau:

DFT

a.x (n)  aX (k) và b.x (n)2π nên chỉ cần khảo   DFTN bX (k)2π nên chỉ cần khảo

Ví dụ 4.6: Cho các dãy x (n) rect (n)1  2π nên chỉ cần khảo và x (n)2π nên chỉ cần khảo (n)

Hãy tìm: Y(k)DFT[rect (n) 2π nên chỉ cần khảo (n)]2π nên chỉ cần khảo   , với N = 4

Cho DFT-N điểm của dãy x(n), với 0 ≤ n ≤ N-1 là X(k) Hãy tìm DFT-N điểm

Ta có:

2π nên chỉ cần khảo

N



Ví dụ 4.7: Cho dãy

n.u(n), 0 n 5x(n)

Phổ pha tần số rời rạc của Y(k) Phổ biên độ tần số rời rạc của |Y(k)|

Phổ pha tần số rời rạc của X(k)

Hình 4.11 Phổ biên độ và phổ pha của DFT x(n) và x(n-2) trong ví dụ 4.7 Dịch vòng tần số:

Xét dãy x(n) có biến đổi DFT-N điểm là X(k) Tìm biến đổi DFT-N điểm của

2π nên chỉ cần khảo

jω k n N

Điều này có nghĩa:

2π nên chỉ cần khảo

jω k n Ne



thì ta thu được phổ rời

- Trong miền tần số rời rạc k, nếu ta dịch các mẫu X(k) ra khỏi đoạn [0,…,N-1]thì các mẫu sẽ vòng trở về theo giá trị N Do đó người ta gọi là dịch vòng tần số

Bằng cách chứng minh tương tự ta thu được một số tính chất đối xứng của DFTnhư dưới bảng 4.2π nên chỉ cần khảo dưới đây:

1

Ta có: DFT-N của y(n) được tính thông qua công thức (4.67) như sau:

N 1 N 1

kn N

N 1

kn N

3H(k) DFT[ (n)] 1 rect (k), 0 k 2π nên chỉ cần khảo     

Tính tích Y(k) = X(k) H(k):

3Y(k) X(k).H(k) 3 (k)rect (k) 3 (k)    

Tìm biến đổi IDFT của Y(k):

Ví dụ 4.9: Hãy tính tích chập của hai dãy:

Tính tích X (k) X (k).X (k) 2π nên chỉ cần khảo5 (k)3  1 2π nên chỉ cần khảo  

Chú ý (với hai dãy có chiều dài khác nhau):

- Nếu hai dãy x(n) có chiều là L và h(n) có chiều dài là M (L ≠ M) thì chiều dàicủa dãy y(n) = x(n)*h(n) là L+M-1

- Muốn tính tích chập này dựa trên biến đổi DFT thì cần phải kéo dài dãy x(n)thêm (M-1) mẫu không và h(n) thêm (L-1) mẫu không Tức là ta có biến đổi DFT nhưsau:

L M 1

kn N

Từ biểu thức (4.94) ta thấy rằng năng lượng của một dãy x(n) bằng tổng bìnhphương các giá trị biên độ tần số rời rạc DFT của nó.

- Việc xử lý có thể đòi hỏi một dung lượng bộ nhớ rất lớn trong khi bộ nhớ củamáy tính là có hạn

- Thời gian tính toán quá lớn vượt hẳn thời gian cho phép

- Để có được một số mẫu đầu tiên thì phải đợi cho đến khi kết thúc tất cả cá tínhtoán

Để khắc phục các nhược điểm này tín hiệu đầu vào có độ dài lớn cần phải đượcphân thành các đoạn khác nhau với độ dài nhất định trước khi thực hiện việc xử lý.Bởi vì bộ lọc là tuyến tính do vậy việc xử lý các dãy tín hiệu này có thể được tiến hành

ở mỗi thời điểm khác nhau thông qua DFT Các tín hiệu đầu ra này sau đó sẽ được kếthợp với nau để có thể nhận được đầu ra tương đương với trường hợp bộ lọc được đầuvào bởi một tín hiệu đầu vào duy nhất

Dựa vào việc phân tích tín hiệu đầu vào thành các đoạn có kích thước vừa phải,

có hai phương pháp DFT hay được sử dụng đối với bộ lọc FIR tuyến tính với tín hiệuvào có độ dài quá lớn Phương pháp thứ nhất được gọi là phương pháp đặt kề nhau,phương pháp thứ hai được gọi là phương pháp xếp chồng Trong cả hai phương pháp

ta sẽ giả sử bộ lọc FIR có độ dài là M, dãy đầu vào được chia thành các dãy con với độdài mỗi dãy là L Ở đây không làm mất tính tổng quát ta sẽ giả sử rằng L ≫ M

Bởi vì mỗi dãy thành phần được kết thúc bởi M-1 không do vậy M-1 điểm cuốicùng của mỗi dãy đầu ra tương ứng cần phải được xếp chồng và cộng với M-1 điểmđầu tiên của dãy đầu ra tương ứng với dãy thành phần tiếp theo Đây cũng chính lànguyên nhân để phương pháp này có tên gọi là phương pháp xếp chồng Bằng cáchcộng xếp chồng như vậy ta sẽ nhận được dãy đầu ra:

1 1 1 1 2π nên chỉ cần khảo 1 2π nên chỉ cần khảo

1 2π nên chỉ cần khảo 2π nên chỉ cần khảo

y (0), y (1), , y (L 1), y (L) y (0), y (L 1) y (1),y(n)

Việc phân đoạn dãy đầu vào thành các dãy thành phần và sắp xếp các dãy đầu

ra tương ứng để nhận kết quả được mô tả trên hình 4.12π nên chỉ cần khảo

c Phương pháp đặt kề nhau

Theo phương pháp này, độ dài của mỗi đoạn dữ liệu đầu vào sẽ là N = L + M -1

và độ dài của DFT và IDFT được sử dụng là N Như vậy, độ dài của các đoạn dữ liệuđầu vào đã tăng từ L lên L+M-1 Trong trường hợp này có thể xem x(n) như là tổngcủa các dãy thành phần đặt kề nhau M-1 điểm và mỗi dãy có chứa M-1 điểm cuối cùngcủa dãy trước và L điểm dữ liệu mới Riêng dãy đầu tiên sẽ được bổ sung thêm M-1mẫu không đầu tiên Như vậy cá dữ liệu thành phần của x(n) sẽ là:

M-1 điểm

mới