Chương 2 PHÂN TÍCH TRONG MIỀN THỜI GIAN

2.1.4 Tìm phương trình tín hiệu vào ra từ đáp ứng xung Khi biết đáp ứng xung của hệ thống, ta có thể tính phương trình tín hiệu vào ra, minh họa bằng ví dụ sau: Sự trễ được cho bởi 3 mẫu

1

Chương 2:

PHÂN TÍCH TRONG MIỀN THỜI GIAN

Mô hình tổng quát của hệ thống xử lý tín hiệu rời rạc thời gian (DTSP), hoặc xử lý tín hiệu số (DSP), được mô tả như hình 2.1 Hệ thống áp tín hiệu vào và cho tín hiệu ra khác só với tín hiệu vào tại một

số đặc điểm (biên độ, tần số, pha…) Ngõ ra là đáp ứng của hệ thống Một hệ thống có thể có nhiều hơn một đầu vào và một đầu ra Hệ thống thường nói đến nhất là lọc số

Trong chương trước, một hệ thống được mô tả (hoặc trình bày) bởi phương trình tín hiệu vào

ra Trong chương này, chúng ta sẽ thấy hệ thống được mô tả ngắn gọn bằng đáp ứng xung của nó Ngõ

ra là kết quả nhân chập tín hiệu vào và đáp ứng xung Đáp ứng chuyển tiếp cũng được nhắc đến một cách ngắn gọn Phần kế tiếp sẽ nói đến lọc số và giải phương trình

2.1 ĐÁP ỨNG XUNG

Ta tìm cách khác để mô tả ngắn gọn hệ thống rời rạc thời gian

Xét tín hiệu mẫu đơn vị (Hình.2.2)

Hình.2.1 : Mô hình tổng quát của hệ thống DTSP (hoặc DSP)

Khi kích một mẫu đơn vị (n), đáp ứng xung h(n) của hệ thống có thể hiện hữu hữu hạn (hình 2.5a)

hoặc vô hạn (hình 2.5b) Trường hợp đầu hệ thống có đáp ứng xung hữu hạn (FIR), và trường hợp sau

hệ thống có đáp ứng xung lâu vô hạn (IIR)

Hoặc, có thể phân loại hệ thống thành dạng đệ qui hoặc không đệ quy thay vì IIR hoặc FIR Ta sẽ thảo luận sau

Nhân quả (Phần 1.6.2) của một hệ thống thể hiện trên đáp ứng xung của nó Với hệ thống

nhân quả h(n)= 0 khi n<0 (hoặc n  -1), ngược lại hệ thống là phi nhân quả Cả hai hệ thống trong hình 2.5 là phi nhân quả

2.1.3 Tính đáp ứng xung từ phương trình tín hiệu vào

Từ đinh nghĩa của đáp ứng xung ta có thể áp một mẫu đơn vị vào hệ thống và lấy tín hiệu ra, hoặc đáp ứng xung Mặc khác, ta có thể tính nó từ phương trình tín hiệu như trình bày ở đây Ở đây có nhiều cách khác nhau để tính đáp ứng xung

Hình.2.4 : Định nghĩa và ví dụ của đáp ứng xung

2.1.4 Tìm phương trình tín hiệu vào ra từ đáp ứng xung

Khi biết đáp ứng xung của hệ thống, ta có thể tính phương trình tín hiệu vào ra, minh họa bằng ví dụ sau:

Sự trễ được cho bởi 3 mẫu

Hình.2.5: Ví dụ của hệ thống (a) FIR, (b) IIR

k n S k x k

n k x S n

h n x n

Điều này có nghĩa nếu biết đáp ứng xung h(n) của một hệ thống, ta có thể tìm ngõ ra tín hiệu y(n) với bất kỳ tín hiệu vào x(n) Vì điều này, đáp ứng xung được xem là đặc tính thời gian (hoặc đặc điểm) của hệ thống Tổng được lấy từ  đến , nhưng trong thực tế thường là tổng hữu hạn, nên việc tính toán được thực hiện dễ dàng

2.2.2 Cách tính tổng nhân chập

Với hệ thống tương tư, nhân chập được tính bằng tích phân Công việc này dễ hơn trong hệ thống số vì nhân chập được tính bằng cách lấy tổng Nó là một ý kiến hay để bắt đầu tính bằng phương pháp giản đồ Những bước gồm:

1 Đổi biến số n thành biến số k, viết x(k), h(k) Chọn x(k) cố định, h(k) dịch

2 Lấy ảnh gương của h(k) tức tạo ảnh h(-k) đối xứng qua h(k) qua trục biên độ Tạo ảnh gương còn gọi là gấp ảnh Ở n=0, tính tổng nhân chập       

3 Dịch chuyển h(-k) bằng cách thêm thông số trược n tức tạo k) Cho n=1, 2, 3, … Để k) dịch chuyển phải (về tương lai), ở mỗi trị số của n tính tổng nhân chập Tăng n lên cho đến khi thấy tổng chập tiếp tục bằng không (tức h(n-k) đã trượt qua khỏi x(k))

h(n-5

4 Bây giờ đảo hướng dịch chuyển n= -1, -2, -3 để dịch h(n-k) về trái (về quá khứ), ở mỗi trị

số của n tính tổng nhân chập cho đến khi thấy tổng nhân chập tiếp tục là không (tức h(n-k) đã trược qua khỏi x(k))

Quá trình tính tổng nhân chập có thể được tổng kết như sau: trộn-dịch-nhân-cộng

x(k)h(k)

3

2

1

0 -1 -2

x(k)h(1-k)h(1-k)

3

2

1

0 -1 -2

2 2

k

11k

k

x(k)h(2-k)h(2-k)

3

2

1

0 -1 -2

Phương pháp chuỗi (Vector)

Ở đây có những phương pháp khác tính nhân chập số Phương pháp giản đồ là cơ bản và minh hoạ rõ Một số tác giả thích phương pháp ma trận Bên cạnh, phương pháp chuỗi (vector) ít tốn thời gian và là

k

4kk

x(k)h(-k)h(-k)

3

2

1

0 -1 -2

6 một lựa chọn tốt Trong phương pháp này ta phải luôn viết những mẫu tại gốc cùng một cột Với ví dụ trên, ta xử lý như sau:

Một quan sát quan trọng là khi ta nhân chập hai chuỗi rời rạc thời gian có chiều dài M và N,

ta sẽ lấy được một chuỗi có chiều dài

Ví dụ 2.2.2

Tín hiệu vào và đáp ứng xung tương ứng là

)()(n u n

)()(n a u n

h  n , a 1Tìm tín hiệu ra

x n h n

Ta đi qua những bước như đã nói để lấy được hình 2.7

Để tính ngõ ra y (n) tiếp theo ta dùng công thức chuỗi hình học hữu hạn sau:

1

| x

| , x 1

1 x

x x x 1

0 n

n 3

k k

k h k n x k

n h k x n

a 2

1

1 -1

k

1

1 -1

1

1 -1

h n x n

x n h n

8 Trong sự tính toán nhân chập ta thường để chuỗi dài hơn cố định, và dịch chuyển chuỗi ngắn hơn

Đặc tính giao hoán của nhân chập có nghĩa ta có thể hóan đổi tín hiệu vào với đáp ứng xung của hệ thống mà không ảnh hưởng đến ngõ ra Ý tưởng này được minh họa trong hình 2.8

2.3.2 Tính kết hợp

Có thể chứng minh

[x(n)  h1(n)]  h2(n) = x(n)  [ h1(n)  h2(n)] (2.10) Hình 2.9 giải thích thuộc tính này Nơi hai hệ thống trong chuỗi (mắc chồng) có thể được thay thế chỉ bằng một đáp ứng xung được nhân chập với hai đáp ứng xung

Ví dụ 2.3.1:

Hai hệ thống mắc chồng có đáp ứng xung

)()(

)()(

2

1

n u b n h

n u a n h

n n

h n h n

h( ) 1( ) 2( ) 1( ) 2( )Giới hạn thực tế của tổng là k = 0 và k = n (xem phần 2.3.4 sau), vì vậy

k b u k u k n a

n h

0

)()()

b

a b

1 M k

M 2

x 1

x 1 x x

x x

Từ công thức này khi ta có công thức 2.8 Vì x = a/b nên

a b

a b b a b a b

n h

n n n

1

1)

2.3.3 Tính phân phối

Có thể chứng minh

(n) h x(n) (n) h x(n) (n)]

h (n) [h

x(n)

Bằ ng nhau

Hình.2.9 : Đáp ứng xung của hai hệ thống mắc chồng nhau

x(n)

nhönhau +

2.3.4 Đáp ứng xung của tín hiệu và hệ thống nhân quả

Vì đáp ứng xung là một đặc tính của hệ thống Chẳng hạn, một hệ thống nhân quả sẽ phản ảnh bằng đáp ứng xung của nó Từ sự nhân chập (2.9b) ngõ ra tại thời điểm n là: 0

k n x k h k

n x k h n

Để tín hiệu ra y(n0) không phụ thuộc vào những giá trị tương lai (n > n0) của tín hiệu vào x(n), thành phần thứ hai trong công thức trên phải bằng 0, điều này có nghĩa, h(k)=0 với k<0 Khi k giảm ta kết luận

k n x k h n

Có nhân chập x(n) h(n) với kết quả

Ở trên, chỉ hệ thống nhân quả thì được xét đến Bây giờ, nếu tín hiệu vào cũng nhân quả thì kết quả:

0

(Cả hệ thống tín hiệu nhân quả) (2.14b)

Để ý lúc bấy giờ giới hạn của tổng nhân chập hai dạng giống nhau với giới hạn tăng theo thời gian n Cũng cần nói rõ là khi tín hiệu ra y(n) ở n thì tổng nhân chập được tính đến n, còn trên n thì không ảnh hưởng gì

Ví dụ 2.3.2 :

Như trong ví dụ 2.2.2, tín hiệu và đáp ứng xung tương ứng là

x(n) = u(n) h(n) = anu(n), a < 1

10 Tìm ngõ ra bằng sự phân tích tính toán

x n h n y

0

)()()

()()

()()(



2.3.5 Hệ thống xác định và giải nhân chập

Trong DSP thỉnh thoảng ta cần xác định một hệ thống, giả sử LTI (hoặc LSI), khi ta biết tín hiệu vào

và tín hiệu ra Hệ thống này được gọi là hệ thống xác định khi ta phải xác định đáp ứng xung của hệ thống, và sau đó là phương trình tín hiệu vào ra nếu cần thiết

Lọc thích nghi sử dụng lọc FIR thường được sử dụng để xác định những hệ thống DSP không biết Trong lý thuyết điều khiển, xác định hệ thống là một vấn đề quen thuộc

Với hệ thống nhân quả, ngõ ra được dẫn ra từ sự nhân chập (2.14a) được lặp lại ở đây

y h x

11 ( ) [ , 2, 1, 2, 1, 2]

Hệ thống là nhân quả như mong đợi

Một phương pháp khác là vấn đề biến đổi trong miền z (Chương 4)

2.4 SỰ ỔN ĐỊNH CỦA HỆ THỐNG

Sự ổn định có lẽ là thuộc tính quan trọng nhất của hệ thống thực tế Khi một hệ thống không ổn định ngõ ra của nó thay đổi tự do và không có giới hạn, hoặc chương trình máy tính không đưa ra được kết quả

Hệ thống xử lý tín hiệu rời rạc thời gian ổn định khi với một tín hiệu vào có biên độ hữu hạn

hệ thống cho tín hiệu ra có biên độ hữu hạn Đây là tiêu chuẩn ổn định bounded input-bounded

output (BIBO) Về mặt toán học:

h n x n y

Lấy trị tuyệt đối giá trị hai bên:

knhnxknhnx

Vì k là một biến giả ta thay nó bằng n và viết điều kiên như:

Nghĩa là, đáp ứng xung là hữu hạn Hệ thống FIR là ổn định, ngược lại sự ổn định của hệ thống IIR đòi hỏi đáp ứng xung phân hủy đủ nhanh theo thời gian

Ví dụ 2.4.1

Một hệ thống LTI có đáp ứng xung

h(n) = a n , n  0

= b n , n < 0

12 Tìm điều kiện ổn định

b a

n h

0

1

)(Đầu tiên



     0

Áp dụng công thức chuỗi hình học (2.8) sẽ dẫn đến điều kiện a 1 Bây giờ

b b b b

b

n n n

Từ chuỗi hình học (2.11) ta có tổng

Yều cầu sự ổn định

Vì vậy hệ thống là ổn định nếu và chỉ nếu |a| < 1 Chú ý khi a = 1 hoặc a > 1 giới hạn tiến tới vô cực

13 chất và tốc độ phản ứng của hệ thống Thường ta muốn hệ thống dạt đến sự ổn định càng nhanh càng tốt nhưng phải trơn tru

2.5.1 Đáp ứng xung bậc

Đáp ứng xung của hệ thống không cho ta biết trước tiếp đáp ứng chuyển tiếp của hệ thống Khi ta áp tín hiệu bậc đơn vị x(n)=u(n) vào hệ thống thì tín hiệu ra y(n)=s(n) được gọi là đáp ứng bậc Hàm bậc đơn vị u(n) là tổng tích lũy hay còn gọi là tổng chạy của xung đơn vị

    

 

0

k

k n n

s(3) = s(2) + h(3) = 1 + 0.8 + 0.82+ 0.83 = 2.952

s  =1 + 0.8 +0.82 + 0.83 + =

8.01

1

 = 5.0

Kết quả cho trong hình 2.11c Chú ý rằng giá trị ổn định (trong trường hợp giá trị cuối) là 50 Theo lý thuyết, hệ thống cần một sự vô hạn về thời gian để tắt nhưng trong thực tế sự cài đặt thời gian có thể đạt tời 10 đến 100 lần, phụ thuộc vào sự chính xác của thiết bị

h(n) 1.0

0.8 0.64 0.512



s(n) 0.5

2.952 3.362

limit (a)

(b)

14

(b) Ngõ ra tín hiệu y(n) với xung hình chữ nhật có thể tìm theo 2 cách Đầu tiên, ta xem xung gồm

5 mẫu đơn vị tại n = 0, 1, 2, 3, 4 Thứ hai, ta xem xung gồm một bậc đơn vị giá trị dương tại n=0, và giá trị âm tại n=5 Ta sử dụng cách 2

15

Tại n = 0, đáp ứng là Sau đó, đáp ứng tăng và đạt đến giá trị trạng thái ổn định

Thật ra bằng cách ước lượng hoặc vẽ ta thấy rằng tại n = 25 đáp ứng đã đạt tới trạng thái ổn định a) Xung chứ nhật số Từ thời điểm n = 0 đến n = 50 ngõ ra có dạng u(n):

Như nói ở trước, từ n = 25 ngõ ra có thể được xem như đã đạt đến giá trị ổn định là 4 Vì vậy tín hiệu ra từ n = 51 là

Tại n = 51,

Và tại ,

Thật ra, từ khoảng n= 70 ngõ ra được xem như bằng không Khác với ví dụ trước, trong ví dụ này đáp ứng xung vào kết thúc lâu hơn cho phép hệ thống có đủ thời gian để đạt đến trạng thái ổn định Vì vậy tăng đáp ứng tại thời điểm bắt đầu và giảm tại thời điểm cuối là đối xứng Ví dụ 2.5.3 [Trích từ A Antoniou, 2006] Một dốc đơn vị x(n) = 0 với n < 0 và x(n) = n với được áp vào một hệ thống nhân quả không đệ qui và có những xung tương ứng n 0 1 2 3 4 5 6 7 y(n) 0 1 4 10 20 30 40 50 (a) Tìm đáp ứng xung hệ thống với

(b) Sử dụng kết quả trong (a) để tìm đáp ứng bậc với

Giải (a) Ta áp dụng sự nhân chập vào hệ thống

Bây giờ ta tính y(n) với n = 1, 2, …:

16

Tiếp tục ta có y(5) và y(6) Kết quả h(0) = 1, h(1) = 2, h(2) = 3, h(3) = 4, h(4) = 0, h(5) = 0 (b) Đáp ứng bậc đơn vị được cho bởi

Vì vậy y(0) = h(0) = 1 y(1) = h(1) + h(0) = 2 + 1 = 3 y(2) = h(2) + h(1) + h(0) = 3 +2 + 1 = 6 y(3) = h(3) + h(2) + h(1) + h(0) = 10 y(4) = h(4) + h(3) + h(2) + h(1) + h(0) = 15 y(5) = h(5) + h(4) + h(3) + h(2) + h(1) + h(0) = 21  Ví dụ 2.5.4 [Trích từ.Antoniou, 2006] Hệ thống

Được giả sử nhân quả, tìm đáp ứng của nó để (a) Mũ escitation

(b) Sin escitation

Giải (a) Ta tăng chỉ số thời gian n từ không lên đến n và tìm đáp ứng y(n):

Áp dụng công thức chuỗi hình học (2.11) ta có không hình thức gần đúng của đáp ứng xung:

Kết quả có thể mở rộng hơn nữa Xét đáp ứng tần số

Với

và

Bây giờ đáp ứng y(n) được diễn tả như

(a) Vì hệ thống tuyến tính, ta viết

Vì vậy

Với

17

và

Tổng đáp ứng :

Vì là hàm chẵn và là hàm lẻ theo ω, nghĩa là and

Ta có kết quả cuối cùng

Thành phần đầu tiên đại diện cho tín hiệu sin mà có đáp ứng ổn định, thành phần thứ hai (khi a<1) là một tín hiệu sin hủy có đáp ứng chuyển tiếp Sau một khoảng thời gian nhất định, phụ thuộc giá trị của đáp ứng chuyển tiếp hệ thống chỉ còn trạng thái ổn định 2.5.2 Đặc tính cho bởi đáp ứng bậc Từ (2.17b) ta có thể thay đáp ứng xung trong sự nhân chập bằng đáp ứng bậc:

Vì vậy đáp ứng bậc được chú thích của một hệ thống với tín hiệu vào bất kỳ x(n) có thể được diễn tả như một sự nhân chập: (2.18) Ngõ ra tín hiệu sẽ là (2.19) Vi dụ 2.5.5 Đáp ứng của một hệ thống LTI và ngõ vào có dạng

Tìm ngõ ra Giải Từ (2.18) và tín hiệu vào được cho x(n) đáp ứng bậc là

Từ (2.19) ngõ ra là

Bây giờ thay vào biểu thức s(n), chú ý rằng s(n) là nhân quả, ta có

18 Liệu ta có thể tìm được biểu thức tổng quả cho y(n) ? 

Để trả lới nghi vấn trên ta có thể đặc tả một hệ thống LTI bằng đáp ứng bậc thay vì đáp ứng xung Tuy nhiên sự đặc tả một hệ thống bằng đáp ứng xung thì tổng quát và hữu ích hơn

Biến đổi z thì hiệu quả trong sự giải quyết những vấn đề tức thời Vì vậy, chương 4 đáp ứng tức thời The z-transform is very effective in solving transient problems Thus, in chapter 4 sẽ nói lại

vấn đề đáp ứng tức thời

2.6 LỌC SỐ - DIGITAL FILTERS

Lọc số là hệ thống DSP (hoặc DTSP) phổ biến nhất Mục đích của phần này là giới thiệu một cách ngắn gọn những loại lọc với công thức khác nhau Như những lọc tương tự, lọc số tác động lên đầu vào tín hiệu để tạo tín hiệu ra khác về mặt biên độ, tần số, pha so với tín hiệu vào Lọc số, giống như lọc tương tự, bao gồm 4 tần số cơ bản- loại: thông thấp, thông cao, dải qua, chắn dải (xem hình 5.1 chương 5) Đặc tính tần số của lọc được thảo luận ở chương kế sau khi giới thiệu về phân tích Fourier Trong phần này, chúng ta phân loại lọc số dựa trên đáp ứng xung và cấu trúc của nó

2.6.1 Lọc không đệ qui và lọc FIR

Một lọc không đệ qui trình bày tín hiệu ra phụ thuộc chỉ tín hiệu vào tại tất cả thời điểm Về mặt toán học, lọc không đệ qui được mô tả bằng phương trình tín hiệu:

b n

x b n

x b n x b k n x b n

y

k k

Trong hình z1 là đơn vị chậm thời gian (phần 1.5.2 và ví dụ 1.5.3)



Kết quả này dẫn đến hai kết luận quan trọng: một hệ số lọc bn là chỉ số đáp ứng xung h(n) tại thời điểm

n hai, lọc không đệ qui được định nghĩa bởi công thức (2.18) cũng là một lọc có đáp ứng xung hữu hạn FIR Tất nhiên khi một hoặc cả hai là , lọc FIR là một lọc IIR Tuy nhiên, với trường hợp thực

tế giới hạn là hữu hạn, vì lọc không đệ qui và lọc FIR là giống nhau

Khi thay b bằng h(k) ta có thể viết lọc không đệ qui (FIR) như k

b1

1

( ) h

b3(h3