quan hệ giữa hình học và đại số trong dạy học số phức ở lớp 12

Với cách tiếp cận này, những tính chất và quan hệ trên số phức được chuyển dịch sang các quan hệ hình học, các phép toán trên số phức liên hệ mật thiết với các phép toán về vectơ và các

Lê Th ị Thanh Tuyền

Lê Th ị Thanh Tuyền

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS.TS LÊ THỊ HOÀI CHÂU

Thành ph ố Hồ Chí Minh – 2012

Tôi xin trân trọng cảm ơn quý thầy cô :

 PGS.TS Lê Thị Hoài Châu, người cô đã tận tình hướng dẫn tôi về mặt nghiên

cứu khoa học và góp phần quan trọng vào việc hoàn thành luận văn

 TS Lê Văn Tiến, TS Lê Thái Bảo Thiên Trung, TS Trần Lương Công Khanh

đã tận tình giảng dạy, giải đáp thắc mắc cho chúng tôi trong những ngày đầu làm quen với Didactic toán và từ đó quý thầy cô đã truyền thụ cho chúng tôi sự say

mê, niềm hứng thú đối với chuyên ngành này

 GS.Annie Bessot, GS.Alain Birebent đã cho chúng tôi những lời góp ý chân thành và quý báu, giúp chúng tôi có những định hướng tốt hơn cho luận văn của mình và có cái nhìn rộng mở đối với các vấn đề về Didactic

Tôi xin chân thành cám ơn :

 Ban lãnh đạo và chuyên viên Phòng Sau đại học đã tạo thuận lợi giúp tôi hoàn thành luận văn này

 Ban giám hiệu trường THCS &THPT Thuận Mỹ đã hỗ trợ về nhiều mặt giúp tôi yên tâm tập trung cho việc học

 Tập thể học sinh lớp 12A1 trường THCS & THPT Thuận Mỹ và trường THPT Đoàn Thị Điểm đã nhiệt tình tham gia các buổi thực nghiệm

 Các anh chị và các bạn cùng lớp cao học chuyên ngành Didactic Toán khóa 21

đã chia sẻ, động viên tôi trong suốt quá trình học tập

 Ba mẹ và anh chị trong gia đình đã luôn tin tưởng, ủng hộ và giúp đỡ cho tôi

về mọi mặt

Lê Thị Thanh Tuyền

Trang

L ỜI CẢM ƠN

M ỤC LỤC

DANH M ỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT

M Ở ĐẦU 1

1 Những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát 1

2 Mục đích nghiên cứu 3

3 Khung lý thuyết tham chiếu 3

3.1 Thuyết nhân học 4

3.2 Lý thuyết tình huống 5

4 Trình bày lại câu hỏi nghiên cứu - phương pháp nghiên cứu 5

5 Cấu trúc luận văn 6

Chương một : SỐ PHỨC – QUAN HỆ GIỮA HÌNH HỌC VÀ ĐẠI SỐ-MỘT NGHIÊN C ỨU TRI THỨC LUẬN 8

1 Quan hệ giữa hình học và đại số trong lịch sử hình thành và phát triển khái niệm số phức 8

2 Quan hệ giữa hình học và đại số của số phức trong các giáo trình toán ở bậc đại học 14

2.1 Phân tích giáo trình [A] 15

2.2 Phân tích giáo trình [B] 27

3 Kết luận chương 1 33

Chương hai : SỐ PHỨC – QUAN HỆ GIỮA HÌNH HỌC VÀ ĐẠI SỐ- MỘT NGHIÊN C ỨU THỂ CHẾ 34

1 Số phức trong chương trình và SGK Giải tích 12 Việt Nam 35

1.1 Mục đích của dạy học số phức 35

1.2 Về số phức và các khái niệm liên quan 36

2 Số phức trong sách Mathematiques 12 ème 49

2.1 Về số phức và các khái niệm liên quan 49

2.2 Về các phép toán 49

2.3 Về các kiểu nhiệm vụ 50

3 Kết luận chương 2 53

Chương ba : THỰC NGHIỆM 55

1 Mục đích thực nghiệm 55

2 Hình thức thực nghiệm 55

3 Xây dựng tình huống thực nghiệm 55

3.1 Một vài điểm tựa 55

3.2 Tiểu đồ án didactic 58

3.3 Dàn dựng kịch bản 59

4 Phân tích tiên nghiệm 61

4.1 Biến didactic, biến tình huống và giá trị của chúng 61

4.2 Các chiến lược 67

4.3 Phân tích kịch bản 67

5 Phân tích hậu nghiệm 69

6 Kết luận chương 3 79

K ẾT LUẬN CHUNG 80

TÀI LI ỆU THAM KHẢO

PH Ụ LỤC

1 Phụ lục 1 : Phiếu câu hỏi thực nghiệm

2 Phụ lục 2 : Phiếu làm bài của học sinh

3 Phụ lục 3 : Biên bản nhóm 2

M Ở ĐẦU

1 Nh ững ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát

Thoạt tiên, như chúng ta đã biết, số phức xuất hiện do nhu cầu phát triển của toán học về giải các phương trình đại số Theo sự phát triển của mình, ngày nay

phạm vi ứng dụng của số phức được mở rộng không chỉ ở nhiều chuyên ngành

của toán học mà còn vào cả các khoa học khác

Đối với toán phổ thông, số phức được đưa vào giảng dạy trong chương trình toán của nhiều nước trên thế giới Ở Việt Nam, số phức đã từng có mặt ở lớp 10 trong chương trình trước cải cách giáo dục và ở lớp 12 chương trình phân ban thí điểm năm 1995-2000 Ngắt quãng một thời gian khá dài, số phức chính thức xuất

hiện trở lại ở lớp 12 trong chương trình toán phổ thông từ năm học 2008-2009 như một sự cần thiết để đáp ứng nhu cầu thực tiễn khoa học cũng như tiếp cận với trình độ giáo dục phổ thông của các nước trên thế giới Từ đó cho đến nay số

phức luôn có mặt trong các kỳ thi quốc gia như tốt nghiệp trung học phổ thông, tuyển sinh cao đẳng và đại học Chính tầm quan trọng đó đã thúc đẩy chúng tôi tìm hiểu thật rõ về đối tượng tri thức này

Số phức có thể được tiếp cận bằng những cách khác nhau

 của vành đa thức một ẩn X (trên trường số thực)

chia cho iđêan sinh bởi đa thức X 2

+ 1 [ ]” ([18], trang 234)

Ba cách xây dựng số phức trên khá “cao cấp” và trừu tượng đối với học sinh THPT Vì lẽ đó, chúng tôi chỉ xét hai cách tiếp cận số phức sau :

- Theo cách tiếp cận thứ nhất, số phức được xem là một biểu thức đại số có dạng

z = a + ib và ở đây thì các tính toán trên số phức được thực hiện theo kỹ thuật

biến đổi đa thức một biến trên trường số thực Chúng tôi gọi đây là cách tiếp cận đại số

- Trong cách tiếp cận thứ hai, chúng tôi gọi là tiếp cận hình học, số phức được

biểu diễn bởi một điểm trên mặt phẳng phức Với cách tiếp cận này, những tính

chất và quan hệ trên số phức được chuyển dịch sang các quan hệ hình học, các phép toán trên số phức liên hệ mật thiết với các phép toán về vectơ và các phép

biến hình trên mặt phẳng phức

Câu hỏi đầu tiên mà chúng tôi tự đặt ra cho mình là : Trong toán học, tại sao

lại cần có hai cách tiếp cận đó ? Chúng có quan hệ gì ? Trong thực tế dạy học toán ngày nay, quan hệ đó được thiết lập ra sao? Những câu hỏi này là nguồn gốc hình thành nên chủ đề nghiên cứu của chúng tôi : “Quan hệ giữa hình học và đại

s ố trong dạy học số phức ở lớp 12”

“Giữa “hình” và “số”, giữa các phép biến hình và các phép biến đổi về số có quan hệ sâu

s ắc…hình học trực quan hóa đại số nghĩa là làm cho những quan hệ đại số trừu tượng trở nên có hình ảnh còn đại số cho thấy mối quan hệ sâu xa bên trong giữa những hiện tượng hình học bề ngoài nhiều khi rất khác nhau” ([25], trang 47)

Tham khảo các tài liệu nghiên cứu về số phức, đặc biệt là các công trình nghiên cứu trong didactic toán, chúng tôi tìm thấy hai luận văn thạc sĩ gắn với nội dung số phức

- “S ố phức và ý nghĩa hình học trong dạy học ở chương trình phổ thông” của tác

giả Lê Thị Huyền (2010)

- “D ạy học số phức ở trường phổ thông” của tác giả Nguyễn Thị Duyên (2009)

Cả hai luận văn đều cho thấy trong thể chế dạy học ở Việt Nam thì dạng đại

số của số phức chiếm ưu thế, ý nghĩa hình học của số phức và các phép toán trên

số phức không được chú trọng, vai trò hình học của số phức khá mờ nhạt, vấn đề liên quan phép biến hình trên mặt phẳng phức không được đưa vào tường minh Tuy nhiên, dường như hai luận văn trên chưa giúp cho chúng tôi hiểu rõ tính cần thiết của cách tiếp cận hình học Có thể thấy ngay là khái niệm môđun, argumen

tạo thuận lợi cho phép nâng lên lũy thừa một số phức và từ đó thiết lập công thức khai căn một số phức Thế còn việc gắn số phức với phép biến hình sẽ mang lại

lợi ích gì ?

Những ghi nhận trên khiến chúng tôi nảy sinh thêm băn khoăn “Việc thể chế dạy học ở Việt Nam chỉ chú ý cách tiếp cận đại số mà ít chú trọng tiếp cận hình học nói chung, cách tiếp cận qua các phép biến hình nói riêng, đã mang lại cho học sinh ý nghĩa gì về số phức và những khái niệm liên quan? Làm thế nào để thiết lập mối liên hệ giữa hai cách tiếp cận hình học và đại số trong dạy học số

- Phân tích ảnh hưởng của sự lựa chọn thể chế lên quan niệm của học sinh đối

với đối tượng số phức

- Xây dựng và triển khai tình huống dạy học cho phép thiết lập mối quan hệ giữa hình học và đại số trong trường hợp số phức Cụ thể, chúng tôi nhắm tới việc xây

dựng tình huống thể hiện mối liên hệ giữa các phép biến hình trong mặt phẳng

với phép nhân hai số phức

3 Khung lý thuyết tham chiếu

Để có sự giải thích thỏa đáng cho những vấn đề đã nêu thì điều quan trọng

mà chúng tôi cần làm trước tiên là tìm kiếm công cụ lý thuyết làm cơ sở cho việc đưa ra các câu trả lời đó Và chúng tôi đã tìm những công cụ này trong phạm vi Didactic toán bởi vì “Didactic mang lại những công cụ hữu hiệu lí giải các hiện tượng trong giảng dạy và học tập” ([3], trang 9)

Nếu chúng tôi gọi đối tượng O là số phức; I là thể chế dạy học hiện hành ở Việt Nam thì vấn đề về mối quan hệ giữa hai cách tiếp cận hình học và đại số trong việc dạy học số phức ở trường phổ thông liên quan đến khái niệm quan hệ

thể chế của thuyết nhân học do Chevallard đặt nền móng Câu hỏi “Việc thể chế dạy học ở Việt Nam chỉ chú ý cách tiếp cận đại số mà ít chú trọng cách tiếp cận hình học nói chung, cách tiếp cận qua các phép biến hình nói riêng, đã mang lại cho học sinh ý nghĩa gì về số phức và những khái niệm liên quan?” liên quan đến khái niệm quan hệ cá nhân của lý thuyết này Cá nhân cụ thể được xét ở đây là đối tượng học sinh đã được học về số phức Câu hỏi “Làm thế nào để thiết lập

mối liên hệ giữa hai cách tiếp cận hình học và đại số trong dạy học số phức?” liên quan đến khái niệm đồ án didactic của lý thuyết tình huống do Brousseau đề xuất Dưới đây, chúng tôi sẽ trình bày tóm lược những khái niệm đó và cố gắng làm rõ tính hợp lý của sự lựa chọn phạm vi lý thuyết của mình Phần trình bày các khái niệm này được trích lọc từ quyển giáo trình song ngữ Việt - Pháp “Những yếu tố

cơ bản của Didactic toán”

3.1 Thuy ết nhân học

 Quan h ệ thể chế R(I, O)

Quan hệ R(I, O) của thể chế I với tri thức O là tập hợp các tác động qua lại

mà thể chế I có với tri thức O Quan hệ này cho biết O xuất hiện như thế nào, ở đâu, có vai trò gì, tồn tại ra sao,… trong I

 Quan h ệ cá nhân R(X, O)

Quan hệ R(X, O) của cá nhân X với tri thức O là tập hợp các tác động qua lại

mà cá nhân X có với tri thức O Quan hệ này cho biết X nghĩ gì, hiểu như thế nào

về O, có thể thao tác O ra sao,…Quan hệ cá nhân với một đối tượng O chỉ rõ cách thức mà X biết O

Trở lại với đối tượng O mà chúng tôi quan tâm, phân tích R(I, O) cho phép chúng tôi rút ra được cuộc sống của O trong I từ đó chúng tôi sẽ làm rõ vai trò,

phạm vi tác động cũng như mối liên hệ của hai cách tiếp cận số phức Đồng thời,

để tìm hiểu mối quan hệ cá nhân của học sinh đối với O thì lại cần phải nghiên cứu R(I, O) bởi vì sự lựa chọn của thể chế đối với O ảnh hưởng trực tiếp đến quan hệ cá nhân đối với O Vì lẽ đó, chúng tôi nhận thấy sự cần thiết phải xem xét quan hệ thể chế và quan hệ cá nhân đối với đối tượng tri thức mà chúng tôi

quan tâm Mặt khác, theo Bosch và Chevallard để phân tích mối quan hệ R(I, O) thì cần phải dùng đến khái niệm tổ chức toán học

 Tổ chức toán học (TCTH)

Một TCTH là một bộ phận gồm bốn thành phần [T, τ , θ, Θ] trong đó T là

một kiểu nhiệm vụ, τ là kỹ thuật cho phép giải T, θlà công nghệ giải thích cho

kỹ thuật τ , còn Θ là lý thuyết giải thích cho công nghệ θ

Việc nghiên cứu các tổ chức toán học gắn liền với O còn cho phép ta hình dung được một số yếu tố của quan hệ cá nhân của một chủ thể X tồn tại trong O

Do đó, việc chúng tôi lựa chọn thuyết nhân học làm tham chiếu cho nghiên

cứu của mình dường như là hoàn toàn thỏa đáng

4 Trình bày lại câu hỏi nghiên cứu - phương pháp nghiên cứu

Trong phạm vi lý thuyết tham chiếu đã chọn, chúng tôi cụ thể hóa các câu

hỏi ban đầu và trình bày lại thành ba câu hỏi nghiên cứu sau :

Gọi đối tượng O là số phức; I là thể chế dạy học số phức theo chương trình nâng cao hiện hành ở Việt Nam

CH1 : Trong I, hai cách tiếp cận đại số và hình học được trình bày ra sao? Những mong muốn và ràng buộc nào của thể chế đối với O trong hai cách tiếp cận này?

Tổ chức toán học nào cho phép thiết lập mối liên hệ giữa chúng?

CH2 : Đặc biệt, trong cách tiếp cận hình học, những kiến thức hình học nào đã được thể chế sử dụng để mang lại nghĩa hình học cho khái niệm số phức và các phép toán trên tập số phức, những khái niệm thường được định nghĩa một cách hình thức qua các biểu thức đại số ?

CH3 : Đồ án dạy học nào cho phép mang lại nghĩa hình học cho phép nhân các

số phức ?

Chúng tôi đi tìm lời giải đáp cho hai câu hỏi CH1 và CH2 thông qua việc phân tích SGK, SBT và SGV Giải tích lớp 12 theo chương trình nâng cao Mặt khác, mối quan hệ thể chế với đối tượng O có thể thay đổi từ thể chế này sang thể

chế khác Với mong muốn làm nổi rõ những đặc trưng của mối quan hệ thể chế R(I, O), chúng tôi đặt phân tích của mình trong sự so sánh với thể chế khác đó là thể chế dạy học của Pháp Công cụ lý thuyết chủ yếu chúng tôi sử dụng để phân tích là quan hệ thể chế, quan hệ cá nhân và tổ chức toán học

Tuy nhiên trước khi phân tích R(I, O), chúng tôi sẽ thực hiện một phân tích

về O ở cấp độ cao hơn Bởi vì để tồn tại trong một thể chế nào đó thì mỗi tri thức phải được biến đổi cho phù hợp Chính sự biến đổi đó đã tạo nên một khoảng cách giữa tri thức được trình bày trong SGK và tri thức bác học Vì vậy để có sự hiểu biết đầy đủ về O thì một phân tích O ở góc độ tri thức bác học là thật sự cần thiết Tuy nhiên, do hạn chế về tài liệu tham khảo đặc biệt là các tư liệu lịch sử nên chúng tôi không thể thực hiện một nghiên cứu khoa học luận đầy đủ Do đó, chúng tôi sẽ chỉ tiến hành nghiên cứu O thông qua việc tổng hợp các kết quả đã

có về số phức và phân tích vài giáo trình toán ở bậc đại học – nơi mà tri thức trình bày trong đó được xem là có khoảng cách gần hơn (so với tri thức trong chương trình, SGK phổ thông) tri thức bác học Việc tổng hợp và phân tích các tài liệu này nhằm trả lời cho câu hỏi :

CH0 : Về mặt toán học, cách tiếp cận số phức bằng đại số và hình học có vai trò gì? Những tri thức toán học nào góp phần thiết lập nên mối quan hệ giữa hai cách

tiếp cận đó?

Kết quả thu được từ nghiên cứu tri thức luận và phân tích SGK sẽ là cơ sở cho phép chúng tôi xây dựng một tiểu đồ án didactic nhằm tạo cơ hội cho học sinh thấy rõ mối quan hệ giữa phép nhân hai số phức và phép đồng dạng trong

mặt phẳng

5 C ấu trúc luận văn

+ Chương 1 : Số phức - Quan hệ giữa hình học và đại số – một nghiên cứu tri

thức luận

Chúng tôi trình bày việc phân tích số phức trong các công trình nghiên cứu

đã có và trong các giáo trình toán ở bậc đại học Qua đó, chúng tôi sẽ phải chỉ rõ :

Về mặt toán học, cách tiếp cận số phức bằng đại số và hình học có vai trò gì?

Những tri thức toán học nào góp phần thiết lập mối quan hệ giữa hai cách tiếp

cận đó?

+ Chương 2 : Số phức - Quan hệ giữa hình học và đại số – một nghiên cứu thể

chế

Chương này là một nghiên cứu về cuộc sống của đối tượng O trong các thể

chế khác nhau Mở đầu, chúng tôi phân tích mối quan hệ thể chế với đối tượng số

phức ở lớp 12 theo chương trình và SGK hiện hành của Việt Nam Tiếp đến là phân tích SGK của Pháp

Chương một

một số công trình nghiên cứu khoa học luận về số phức và phân tích hai giáo trình toán dùng ở bậc đại học Phân tích trong chương này được xem là cơ sở tham chiếu cho những nghiên cứu tiếp theo

1 Quan h ệ giữa hình học và đại số trong lịch sử hình thành và phát triển khái ni ệm số phức

Phân tích của chúng tôi chủ yếu dựa vào các tài liệu sau :

[1] Lê Thị Hoài Châu (2008), Phương pháp dạy học hình học ở trường trung học

ph ổ thông, Trường ĐHSP TP.Hồ Chí Minh.

[2] Lê Thị Hoài Châu, Lê Văn Tiến (2003), Vai trò của phân tích khoa học luận

l ịch sử toán học trong nghiên cứu và thực hành dạy – học môn Toán, Đề tài

nghiên cứu khoa học cấp bộ, ĐHSP TP Hồ Chí Minh

[15] Nguyễn Văn Mậu (chủ biên), Trần Nam Dũng, Đinh Công Hướng, Nguyễn

Đăng Phất, Tạ Duy Phượng, Nguyễn Thủy Thanh (2009), Biến phức định lý và

áp d ụng, Trường ĐH Khoa học tự nhiên - ĐH quốc gia Hà Nội

Lịch sử số phức bắt đầu từ thế kỉ XVI Khi ấy, loài người đã biết đến số thực cũng như cách giải phương trình bậc hai Lúc bấy giờ chỉ có căn bậc hai của một

số thực dương là được thừa nhận Căn bậc hai của một số thực âm có dạng như

mãn điều kiện nhưng rõ ràng các số dạng này không tồn tại theo những kiến thức

đã có thời bấy giờ Khi đó, ông gọi các nghiệm này là “nghiệm âm ngụy biện” Năm 1547, Cardano công bố phương pháp giải tổng quát phương trình bậc ba Xét phương trình x3 + px + q =0 (1) với p, q là hai số thực cho trước, công thức

x= − + + + − − + Thực chất mọi phương trình bậc ba tổng quát ay3

+ by2 + cy +d = 0 đều có thể đưa về dạng (1) bằng cách đặt y = x - 1

3b, p =

2

1,3

“Algebra”, ông đưa vào kí hiệu − 1 và định nghĩa các phép tính số học cho kí

hiệu mới đó Với kí hiệu này ông đã tìm được nghiệm thực của các phương trình

bậc ba

Như vậy, chính trong quá trình tìm nghiệm thực cho phương trình bậc ba đã làm nảy sinh khái niệm căn bậc hai của số thực âm Tuy chúng thực sự hữu ích nhung chúng chưa mang một “nghĩa” xác định nào “ [ ] Ở đây không có một số

mới nào xuất hiện, mà chỉ có sự nảy sinh của các “dấu” hay “cách viết” trung gian [ ]” ([2], trang 51)

Bước sang thế kỉ 17, 18, nhiều nhà toán học đã nghiên cứu về những tính

chất và ứng dụng của số phức Chẳng hạn, Euler (1707-1783) mở rộng khái niệm logarit cho số phức bất kì (1738) Ông thay kí hiệu − 1 bằng kí hiệu i, gọi nó là đơn vị ảo và tìm ra công thức ix

e = x i+ x Nhà toán học người Anh, Moivre (1667-1754) đã nghiên cứu và giải các bài toán căn bậc tự nhiên đối với số phức Ông đưa ra công thức nổi tiếng (cosx+ i sin )x n = cosnx i+ sinnx

Cho đến giai đoạn này, tuy có nhiều phát minh về số phức và cho thấy số

phức không chỉ có vai trò quan trọng trong việc giải phương trình mà còn có mối liên hệ sâu sắc với những kiến thức toán học khác như hàm lượng giác, hàm mũ , nhưng “bản chất đại số và bản chất hình học của các đại lượng ảo không được hình dung một cách rõ ràng mà còn đầy bí ẩn” ([15], trang 14) Số phức chỉ được xem là một “kí hiệu hình thức” và đóng vai trò như một công cụ toán hữu ích Ký

hiệu − 1 là gì vẫn còn là một câu hỏi không được giải đáp “Ngay cả tên gọi và kí

hiệu i:= − 1 là đơn vị ảo cũng đã gây nhiều nỗi băn khoăn, thắc mắc từ đó dẫn đến khủng hoảng niềm tin vì nó không có gì chung với số - một công cụ của phép đếm, mặc dù người ta vẫn xem đó là kí hiệu trừu tượng thỏa mãn định nghĩa

i2 = -1”([15], trang 12) Thậm chí đối với nhiều nhà toán học lớn thời kì này, căn

bậc hai của số âm rất khó được chấp nhận “Lịch sử ghi lại rằng I.Newton đã không thừa nhận các đại lượng ảo và không xem các đại lượng ảo thuộc vào các khái niệm số” ([15, trang 14), còn G.Leibniz (1646 – 1716) thì ví số phức như

“[…] một giống lưỡng cư sống ở một chốn nào đấy giữa cái có thật và không có

thật” ([15], trang 14)

Vì vậy cho đến tận cuối thế kỉ 191 vấn đề hợp thức hóa căn bậc hai của số âm luôn là mối bận tâm của nhiều toán học Họ mong muốn tìm được một đối tượng

thực tế (trong toán học) để biểu diễn cho các đại lượng ảo Lịch sử ghi nhận rằng các nhà toán học đã giải quyết triệt để vấn đề này trong cả phạm vi đại số và hình

học

Trong phạm vi hình học, hình ảnh của số phức trong thực tế được thể hiện qua nhiều công trình của các nhà toán học như Jean Robert Argand (1768–1822), Caspar Wessel (1745–1818), Mourey, John Warren…Chúng tôi chỉ quan tâm trường hợp của Arand và Wessel

Xét mô hình của Wessel, trước tiên, ông định nghĩa phép cộng của hai đường đồng phẳng Tiếp theo, ông sử dụng khái niệm độ nghiêng của một đường “Độ nghiêng được xác định bởi góc do đường đó tạo nên với phương nằm ngang tính

từ trái sang phải” ([1], trang 95) để định nghĩa tích hai đường đồng phẳng “[ ] là

một đường có độ nghiêng bằng tổng các độ nghiêng, chiều dài bằng tích các chiều dài.” ([1], trang 95) Đơn vị ảo i được ông mô tả một cách trực quan

“Wessel quy ước kí hiệu một đoạn thẳng đơn vị đã được xác định bởi ký hiệu +1, đoạn thẳng đơn vị đối với nó là -1 Một đoạn thẳng đơn vị khác, vuông góc với đoạn thẳng đầu và có chung gốc thì được kí hiệu là δ Khi đó, theo định nghĩa về phép nhân hai đường thì δ δ = -1, tức δ = − 1.” ([1], trang 97)

Trong trường hợp của Argand, ông “biểu diễn các số thực trên một trục, sau

đó xét một trục vuông góc với trục thực tại O Trên trục đó các đơn vị sẽ được ghi

là − − − 1, 1.” ([1], trang 98, 99) Tiếp theo, để biểu diễn các đại lượng ảo, ông đưa vào một khái niệm mới được gọi là “đường định hướng” Ông quan niệm

rằng “Mọi đường thẳng, nếu song song với trục thực thì được viết là ±a, nếu

1 “Mầm mống biểu diễn hình học các đại lượng ảo đã xuất hiện trước thế kỉ 19 trong công trình

c ủa nhà toán học J.Wallis (1616 –1703) Ông đã cho các đại lượng ảo một ‘nghĩa” sơ khai đầu tiên, b ằng cách tổng quát “mô hình cộng” của những “được” và “mất” đã được dùng cho trường hợp số âm Nhưng cũng cần nhấn mạnh rằng: hình ảnh hình học sơ khai này của các đại lượng ảo

v ẫn chỉ tồn tại trong tưởng tượng mà thôi.” ([2], trang 56)

vuông góc với trục thực thì được viết là ± −b 1 và mọi đường thẳng của mặt

phẳng sẽ được biểu diễn ở dạng a b+ − 1.” ([1], trang 99) Từ đó ông đã liên kết khái niệm này với các đại lượng ảo và “thiết lập được sự tương ứng giữa các phép toán trên đại lượng ảo với việc dựng hình học các đường.” ([1], trang 99)

Rõ ràng, nhờ hình học mà đại lượng ảo đã khoác lên mình một hình ảnh rất

thực tế Tuy nhiên, nếu nhìn lại lịch sử phát triển toán học nói chung thì giai đoạn

thế kỉ XIX là giai đoạn mà khuynh hướng đại số hóa hình học nói riêng và đại số hóa toán học nói chung đang thịnh hành và phát triển, quan niệm đại số hình thức đang là trào lưu thời bấy giờ Do đó việc lấy nghĩa của số phức trong phạm vi hình

học dường như không làm thỏa mãn các nhà toán học thời kì này Họ quan niệm

“khả năng biểu diễn bằng hình học các số phức không giải quyết thực sự vấn đề

“cơ chế” của đối tượng số phức Nói cách khác, “Số phức là gì?”, câu trả lời phải

có bản chất đại số, chúng phải được xây dựng từ chính các số thực đã biết,[ ], chứ không thể vay mượn từ một hình ảnh hình học thuần túy” ([2], trang 62)

Số phức chính thức lấy “nghĩa” trong phạm vi đại số là nhờ những đóng góp

to lớn của các nhà toán học như: Gauss (1777-1855), W.Hamilton (1805-1865) và Cauchy (1789 – 1857)

Hamilton cho rằng có thể bắt đầu từ mặt phẳng để định nghĩa những cặp sắp

thứ tự và mỗi số phức được đồng nhất với một cặp số thực có thứ tự (a, b) thỏa mãn :

+ Quan hệ đồng nhất : (a, b) = (c, d) ⇔a = c và b = d

+ Phép cộng : (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)

+ Phép nhân : (a, b).(c, d) = (ac - bd, ad + bc)

Đây thực sự là một định nghĩa thuần túy đại số của số phức Các quy tắc tính toán trên số phức được diễn đạt trên ngôn ngữ các thành phần là những số thực và đơn vị ảo i chỉ là một cặp số thực (0, 1)

Gauss là người đầu tiên dùng thuật ngữ “số phức” và ông đã dùng kí hiệu

a + bi để chỉ số phức Đồng thời, ông cũng thành công trong việc chứng minh định lí cơ bản của đại số khẳng định trong trường số phức  mọi phương trình

đều có nghiệm Bản chất đại số của số phức thể hiện ở chỗ số phức là phần tử của trường đại số mở rộng của trường số thực

Trường hợp của Cauchy, trong một công trình công bố năm 1847, ông đã chỉ

ra rằng tập hợp số phức có thể được coi là vành thương của vành đa thức một ẩn

X trên trường số thực chia cho iđean sinh bởi đa thức X2

+ 1

“Với các kết quả đạt được, số phức không còn là những “đại lượng ảo” không có nghĩa, mà là những đối tượng đại số - những đối tượng trên đó có thể

thực hiện các phép tính đại số” ([2], trang 62) Tuy nhiên, điều đó không có nghĩa

là vai trò hình học của số phức mất đi Trong định nghĩa nhân hai số phức của Hamilton, phép tính này vừa bảo toàn tính chất của các phép toán đại số trên tập

số thực vừa giữ nguyên được ý nghĩa hình học đẹp đẽ mà Argand, Wessel, đã chỉ

ra trước đó Hơn nữa, trong quá trình mở rộng kết quả tính toán cho bộ ba các số

thực mà khó khăn lớn nhất là xây dựng tích của hai bộ ba thì việc trở lại với các tính chất hình học của phép nhân số phức đóng một vai trò quan trọng “Cuối cùng, chính bằng cách xem xét các tính chất hình học của phép nhân các số phức

mà ông đã có một bước quyết định về khám phá các quaternions2

.” (Dorier, 1994

- dẫn theo [2], trang 63)

Nh ận xét :

Số phức ra đời trong phạm vi đại số nhằm tìm nghiệm của phương trình bậc

ba Trong một khoảng thời gian dài số phức chỉ đóng vai trò là công cụ và được xem là số ảo, số tưởng tượng Trong quá trình đi tìm sự hợp thức cho đối tượng này, các nhà toán học đã xem xét chúng trong những phạm vi khác nhau, có khi

là hình học có khi là đại số Chính sự thay đổi đó đã đem lại kết quả to lớn, không

chỉ cung cấp “nghĩa” cho khái niệm số phức mà còn góp phần làm nảy sinh các đối tượng toán học mới như vectơ, quaternions

Về phương diện đại số, tuy các phép toán trên số phức được quy về tính toán trên những số thực nhưng phép nhân hai số phức lại ẩn chứa một vẻ huyền bí khó hiểu và do đó chúng cần đến sự giải thích trong phạm vi hình học

2 Xem [2], trang 62, 63

Về phương diện hình học, mỗi số phức được biểu diễn bởi một vectơ, đơn vị

ảo i chỉ đơn giản là một vectơ đơn vị nằm trên một trục vuông góc với trục thực

Ox Theo đó, phép cộng hai số phức được dẫn về phép cộng hai vectơ, phép nhân hai số phức được thực hiện bằng những phép dựng hình học dựa trên cơ sở lấy

tổng các argumen và lấy tích các độ dài của hai vectơ tương ứng biểu diễn hai số

phức đã cho Biểu diễn hình học số phức và các khái niệm vectơ, argumen chính

là những mắt xích trong sợi dây liên kết hai cách tiếp cận số phức với nhau Đồng

thời, chính sự tác động qua lại giữa hai cách tiếp cận này đã mang đến cho chúng

ta một hệ thống số phức hoàn chỉnh về mặt toán học nhưng không hề ảo và trừu tượng Qua đó, chúng ta đã phần nào thấy được vai trò của sự thay đổi phạm vi 3đối với sự phát triển của một khái niệm toán học Mối quan hệ giữa hai phạm vi này trong số phức còn được thể hiện ra sao và chúng có vai trò gì nữa hay không? Chúng tôi tiếp tục đi tìm sự giải đáp qua việc phân tích một vài giáo trình toán dùng ở bậc đại học

2 Quan h ệ giữa hình học và đại số của số phức trong các giáo trình toán ở

b ậc đại học

Chúng tôi chỉ quan tâm đến hai cách tiếp cận số phức :

- Tiếp cận đại số : mỗi số phức được xem là một biểu thức đại số và các phép toán trên số phức không khác gì những phép biến đổi đại số thông thường trên tập

số thực

- Tiếp cận hình học : mỗi số phức là một điểm trên mặt phẳng Khi đó, phép cộng

và phép trừ hai số phức được quy về các phép toán trên vectơ, phép nhân hai số

phức gắn liền với các phép biến hình – vốn được nghiên cứu trong hình học

Vì lẽ đó, chúng tôi chọn phân tích một giáo trình tiếp cận số phức bằng đại số

- B.A Fukxo, B.A Sabat, Trần Gia Lịch, Lê Văn Thành, Ngô Văn Lược dịch (1969), Hàm biến phức và ứng dụng, NXB khoa học Hà Nội

Để việc trình bày được thuận tiện, chúng tôi ký hiệu hai tài liệu trên lần lượt

là [A] và [B] Nội dung liên quan đến số phức trong hai giáo trình này khá phong phú Điều này giúp chúng tôi có cái nhìn sâu rộng hơn đối với những vấn đề cần quan tâm

2.1 Phân tích giáo trình [A]

Trước khi định nghĩa số phức, [A] điểm qua một vài nét về sự cần thiết phải

có số phức Bởi vì ta không thể lấy căn bậc hai của số âm đối với các số thực nên không thể giải được mọi phương trình bậc hai và số phức xuất hiện như một cách

lắp đầy hạn chế đó của số thực Số phức được định nghĩa :

“Ta gọi số phức là một biểu thức có dạng x + iy, trong đó x và y là những số thực, còn số

i là đơn vị ảo Các số thực x và y lần lượt được gọi là phần thực và phần ảo của số phức

x + iy Ta thường kí hiệu z = x + iy

x = Rez = Re(x + iy), y = Imz = Im(x + iy)” ([A], trang 5)

Tiếp theo đó, [A] trình bày định nghĩa hai số phức bằng nhau, số phức liên hợp và số phức đối của số phức z

“Số phức x – iy được gọi là số phức liên hợp của số phức z = x + iy và được kí hiệu là z.

Số phức –x –iy được gọi là số phức đối của số phức z = x + iy và được kí hiệu là (-z) Hai số phức z 1 = x 1 + iy 1 và z 2 = x 2 + iy 2 được gọi là bằng nhau nếu chúng có phần thực bằng nhau, phần ảo bằng nhau nghĩa là x 1 = x 2 ; y 1 = y 2 Khi đó ta viết z 1 = z 2”

([A], trang 6)

Nhận xét

- Nguồn gốc của số phức trong giáo trình [A] đã được trình bày khác đi so với sự

ra đời của số phức trong tiến trình lịch sử

- Số phức được xây dựng như một biểu thức đại số và i là kí hiệu đặc trưng cho

số phức, i không có vai trò gì khác vai trò là một biến trong biểu thức đại số các

số thực thông thường

- Số phức được xác định khi biết hai thành phần là phần thực và phần ảo của nó

Ta có thể xem nhân tử i bên cạnh số thực y như một dấu hiệu chỉ rõ số thực y là

thành phần thứ hai của số phức z = x + iy

Những định nghĩa trên là cơ sở để xây dựng các phép toán cho số phức như phép cộng, trừ, nhân, chia, phép nâng lên lũy thừa hay phép khai căn Chẳng hạn,

“Cho hai số phức z 1 = x 1 + iy 1 và z 2 = x 2 + iy 2 Ta gọi số phức z = (x 1 + x 2 ) + i(y 1 + y 2 )

là tổng của hai số phức z 1 và z 2 Khi đó ta viết z = z 1 + z 2 ” ([A], trang 6)

Phép trừ hai số phức được định nghĩa thông qua phép toán cộng

“ Cho hai số phức z 1 = x 1 + iy 1 và z 2 = x 2 + iy 2 , số phức z được gọi là hiệu của z 1 và z 2

nếu z + z 2 = z 1 ” ([A], trang 6).

Tuy nhiên, để tìm hiệu của số phức z1 và z2 thì ta chỉ cần tính tổng của z1 với số phức đối của z2

Phép toán nhân được trình bày như sau :

“Cho hai số phức z 1 = x 1 + iy 1 và z 2 = x 2 + iy 2

Ta gọi số phức z = (x 1 x 2 – y 1 y 2 ) + i(x 1 y 2 + x 2 y 1 ) là tích của số phức z 1 với số phức z 2 Khi đó ta viết z = z 1 z 2 ” ([A], trang 6)

Phép chia được xem là phép toán ngược của phép nhân

“Cho hai số phức z 1 = x 1 + iy 1 và z 2 = x 2 + iy 2 Nếu z 2 khác 0 thì tồn tại duy nhất một số phức z = x + iy sao cho z.z 2 = z 1 ” ([A], trang 7)

Người ta chứng minh được rằng số phức nêu trong định lý chính là

Phép nâng lên lũy thừa bậc n của số phức z là tích của n số phức z, còn phép khai căn bậc n chính là phép toán ngược của nó

Nh ận xét :

- Các phép toán trên số phức được định nghĩa rõ ràng Ta biết rằng định nghĩa phép toán cộng, nhân như trên là định nghĩa hình thức của một cấu trúc đại số Giáo trình [A] đã xây dựng tập hợp số phức như là một tập hợp các biểu thức đại

số

“Do định nghĩa các phép toán về số phức vừa nêu trên, ta thấy rằng về mặt thực hành các phép toán đại số đối với số phức vẫn được thực hiện tương tự như đối với số thực với chú

ý rằng i 2

= -1” ([A], trang 7)

- Khái niệm số phức và phép toán trên số phức trong giáo trình [A] được tiếp cận chính trên phương diện đại số Cách tiếp cận này đem lại nhiều thuận lợi về mặt tính toán Các thao tác biến đổi trên số phức được vận hành tương tự như ở số

thực Nhược điểm của cách tiếp cận đại số là chưa lý giải được tính hình thức do

kí hiệu đơn vị ảo i mang lại

Sau đó, [A] trình bày dạng hình học của số phức gồm biểu diễn số phức bởi một điểm và biểu diễn số phức bởi một vectơ tự do trên mặt phẳng như một cách

khắc phục nhược điểm trên

Như đã nói, số phức hoàn toàn được xác định khi biết phần thực và phần ảo của nó Điều này ngầm ẩn rằng mỗi số phức được biểu thị bởi một cặp số thực (x, y) với x, y là các số thực tương ứng với phần thực và phần ảo của số phức đó Đây chính là cơ sở để xây dựng dạng biểu diễn hình học cho số phức

“Cho số phức z = x + iy Trong mặt phẳng chọn hệ trục vuông góc Ox Oy  ,

( gọi tắt là mặt phẳng xOy), ta xác định điểm M có hoành độ là x, tung độ là y Điểm M được gọi là tọa vị của số phức z Ngược lại, cho trước điểm M trong mặt phẳng, ta biết được tọa độ (x, y) của nó trong hệ trục xOy, do đó lập được số phức z = x +iy

Vậy giữa tập hợp các số phức và tập hợp các điểm của mặt phẳng xOy thiết lập được song ánh x+ →iy M x y( , )".([A], trang 9).

Về phương diện hình học, số phức z = x + iy chẳng qua là một điểm có tọa

độ (x, y) Khi đó, tập số phức được đồng nhất với tập hợp các điểm trên mặt phẳng Hai số phức liên hợp là hai điểm đối xứng nhau qua trục thực, hai điểm đối xứng nhau qua gốc tọa độ tương ứng với hai số phức đối nhau

“Hai số phức liên hợp có tọa vị đối xứng nhau qua trục thực, hai số phức đối nhau có tọa

vị đối xứng nhau qua gốc tọa độ” ([A], trang 9)

Trong mặt phẳng xOy, cho vectơ v = ( , )x y

và dựng vectơ OM  =v

Khi đó, điểm M(x, y) tương ứng với số phức z = x + iy Ngược lại, ứng với mỗi số phức

z = x + iy ta luôn tìm được tọa vị của z là điểm M(x, y), nghĩa là vectơ v  =OM

cũng có tọa độ (x, y) Như vậy, số phức z = x + iy được biểu diễn bởi một vectơ

tự do có tọa độ (x, y)

Nh ận xét :

- Biểu diễn hình học của số phức 4 cho ta một cách nhìn trực quan về số phức và các khái niệm liên quan Khi đó, các thuật ngữ “số phức z”, “điểm z”, “vectơ z” được xem như những thuật ngữ đồng nghĩa được sử dụng để diễn tả cùng một khái niệm toán học

- Ngoài ra, biểu diễn hình học của số phức còn mang lại cho số phức các dạng biểu diễn khác đặc biệt tiện lợi khi thực hiện phép nhân, chia, phép nâng lên lũy thừa hay phép khai căn đó là dạng lượng giác và dạng mũ của số phức

Hai khái niệm đặc trưng cho dạng lượng giác hay dạng mũ của số phức là khái niệm môđun và argumen Chúng được tiếp cận trên phương diện hình học

“Cho số phức z có tọa vị là M Ta gọi độ dài r của vectơ OM là môđun của z và kí hiệu là

môđun được trình bày tường minh

z 1 = z 2 khi và chỉ khi z1 = z2 và Argz1= Argz2+ 2kπ(k∈Z)

4 Để thuận tiện, chúng tôi gọi biểu diễn hình học của số phức là bao gồm hai cách biểu diễn số phức bởi

m ột điểm và biểu diễn số phức bởi một vectơ

“Tích của hai số phức có môđun bằng tích các môđun của thừa số và có argumen bằng tổng các argumen của các thừa số” ([A], trang 11)

“Thương hai số phức có môđun bằng thương các môđun và có argumen bằng hiệu của

ar gumen của số bị chia và số chia” ([A], trang 12)

Phân tích lịch sử chỉ ra rằng biểu diễn hình học số phức đã hợp thức hóa các đại lượng ảo và bộc lộ rõ khả năng phản ánh thực tiễn của chúng Biểu diễn số

phức dưới dạng một vectơ cho phép ta vận dụng đồng thời kiến thức hình học và đại số vectơ để giải các bài toán về số phức hoặc chuyển các bất đẳng thức hình

học về các bất đẳng thức chứa môđun của số phức

“Số phức z 1 = x 1 + iy 1 biểu diễn bởi v x y1( ,1 1)

; số phức z 2 = x 2 + iy 2 biểu diễn bởi

Tương tự, số phức z’ = z 1 – z 2 biểu diễn bởi vectơ v '

có tọa độ là x 1 – x 2 và y 1 – y 2 Như vậy v  '= −v v

” ([A], trang 13)

Gọi M1, M2 lần lượt là tọa vị của số phức z1 và z2 Ta lần lượt dựng v1

và v2sao cho v   1 =OM v1, 2 =OM2

Khi đó, vectơ tổng của v 1

và v2

chính là vectơ biểu diễn số phức z1 + z2, còn vectơ M M2 1

biểu diễn cho số phức z1 – z2 Suy ra, độ dài của vectơ M M 1 2

là môđun của số phức z1 – z2 Kết quả này được sử dụng như

một yếu tố kỹ thuật cho KNV Tquỹ tích “Xác định tập hợp điểm biểu diễn số

phức”

“Ví dụ 5: Tìm quỹ tích những điểm z thỏa mãn z i+ + − =z i 5”

Gi ải.“ Gọi I là tọa vị của i, H là tọa vị của (-i), M là tọa vị của z, vectơ IM

biểu diễn số phức z – i Vecto HM

biểu diễn số phức z - (-i) = z + i

Vậy z i+ =HM z i; − =IM Khi đó z i+ + − =z i 5 được viết là HM + IM =5

Do H và I cố định nên quỹ tích của M là một elip nhận I và H làm hai tiêu điểm.”

5

2 2

1 5

2 2

x + y =

Mặc dù lời giải thứ hai không có trong [A] nhưng mục đích chúng tôi đưa ra lời

giải này là nhằm làm nổi rõ sự ưu việt của lời giải thứ nhất

“Ví dụ 6 Tìm trong mặt phẳng phức những điểm z thỏa mãn bất đẳng thức z−z0 <ε

trong đó ε là một số thực dương cho trước, z 0 là số phức cho trước

Gọi M 0 là tọa vị của z 0 , M là tọa vị của z Có thể viết bất đẳng thức đã là M 0 M < ε M 0

cố định Vậy quỹ tích những điểm M thỏa mãn M 0 M < ε là hình tròn tâm M 0 bán kính

ε

Hình tròn này được gọi là ε - lân cận của điểm z 0

Tương tự, tập hợp những điểm z thỏa mãn bất đẳng thức kép r< −z z0 <R trong đó z 0

là số phức cố định, r và R là hai số dương cho trước, là một hình vành khăn tâm tại z 0 và bán kính lần lượt là r và R” ([A], trang 14)

Như vậy, đối với KNV Tquỹ tích, kỹ thuật được ưu tiên trong [A] là dùng biểu diễn hình học

Ý nghĩa hình học của phép nhân hai số phức được trình bày tường minh :

“Ta biết rằng nếu z = z 1 z 2 thì Argz = Argz 1 + Argz 2 và z = z1.z2 Giả sử M, M 1 , M 2 theo thứ tự là tọa vị của z, z 1 , z 2

Gọi ϕ1 là một giá trị của Argz 1 , do các đẳng thức trên ta thấy muốn được điểm M ta phải quay điểm M 2 quanh gốc O một góc bằng ϕ1, sau đó thực hiện một phép vị tự tâm O, hệ

số vị tự là OM 1 = z1 ” ([A], trang 15).

Trích đoạn trên cho thấy, về phương diện hình học, phép nhân hai số phức xác định một phép đồng dạng - hợp thành của một phép quay và một phép vị tự cùng tâm Nếu một trong hai số phức có môđun bằng 1 thì phép nhân tương ứng

với một phép quay Đặc biệt, phép nhân với đơn vị ảo cho ta một phép quay có

tâm O và góc quay là

2

π

“Tọa vị của iz 2 được suy từ tọa vị của z 2 bằng phép quay quanh gốc O một góc bằng

2π

” ([A], trang 16).

Khái niệm phép nhân đã giảm đi sự bí ẩn nhờ việc gắn kết nó với những phép

biến hình trong hình học phẳng Ngược lại, phép nhân trong số phức có thể được dùng để giải một số bài toán liên quan đến các phép biến hình, chẳng hạn, bài toán nằm trong KNV Tquay “Tìm công thức biểu diễn phép quay trục tọa độ” được

trình bày dưới đây Việc sử dụng số phức tỏ ra hiệu quả và đơn giản hơn so với

việc chỉ sử dụng kiến thức thuần túy hình học (xem [12], trang 91)

“Ví d ụ 7 Trong hệ tọa độ xOy, điểm M có tọa độ (x, y) Quay hệ xOy một góc α t ới vị trí m ới là XOY Gọi (X, Y) là tọa độ của M trong hệ trục mới Hãy tìm liên hệ giữa (X, Y) và (x, y)

Gọi N là ảnh của M trong phép quay quanh gốc O một góc (-α ) Ta chú ý rằng tọa độ của N trong hệ cũ chính là tọa độ (X, Y) của M trong hệ mới

M là t ọa vị của z = x + iy

N là tọa vị của z’ = X + iY

T ọa vị của z suy ra từ tọa vị của z’ bởi một phép quay quanh gốc O một góc α , nghĩa là

z bằng tích của z’ với số phức có môđun bằng 1, có argumen bằng α, nghĩa là:

Đó chính là công thức biểu diễn phép quay trục tọa độ.” ([A], trang 15)

Mối liên hệ mật thiết giữa phép biến hình với phép nhân số phức tiếp tục được khẳng định qua một bài toán thuộc phạm vi hình học – chúng tôi gọi là KNV Tynhh “Sử dụng ý nghĩa hình học của phép nhân để giải bài toán hình học

phẳng” :

“Ví dụ 8 Chứng minh rằng : nếu ta dựng trên các cạnh của một tứ giác bất kỳ ABCD những tam giác vuông cân AMB, BNC, CPD, DQA thì các đoạn thẳng MP và NQ bằng nhau và vuông góc nhau”

Giải “Gọi α β γ δ, , , , , , ,m n p qlà những số phức có tọa vị lần lượt là A, B, C, D, M, N,

P, Q

Vì tam giác MAB vuông cân tại M nên vectơ MA

biểu diễn số phức (α−m) được suy

Ví dụ trên đã làm nổi bật ý nghĩa hình học của phép toán z’ – a = i(z – a) Đó

là phép quay tâm A góc quay

2

π với A là tọa vị của số phức a Tổng quát hơn,

phép toán z’ – a = p.(z –a ) xác định một phép quay có tâm A góc quay α , với A

là tọa vị của số phức a và góc quay α là một argumen của số phức p

Để có sự giải thích thỏa đáng cho phép chia hai số phức 1

2

z

z thì ta cần phải xây dựng mô hình thể hiện nghĩa hình học cho phép toán tìm số phức nghịch đảo 1

z bởi vì 1

1

2 2

1

z

z

z = z Chúng tôi tìm thấy điều này trong bài “Phép nghịch đảo

w = 1

z” của chương “Phép biến hình bảo giác”

Gọi A là tọa vị của số phức z Nếu z <1 thì điểm A nằm bên trong đường tròn đơn vị Kẻ đường thẳng d vuông góc tia OA tại A cắt đường tròn tại H Từ điểm H kẻ tiếp tuyến với đường tròn, tiếp tuyến này cắt tia OA tại điểm B biểu diễn số phức t nào đó Ta có : OA.OB = 1 nên t 1

z

= và Argt = Argz + 2kπ (k là

số nguyên) Suy ra 1

t z

= Khi đó, điểm biểu diễn số phức w 1

điểm B qua trục thực Ox Trong trường hợp z >1 (tức điểm A nằm bên ngoài đường tròn đơn vị), điểm B được xác định bằng cách dựng tiếp tuyến AH với đường tròn và kẻ HB vuông góc OA Công việc tiếp theo được thực hiện tương tự

trường hợp z <1 Điểm B được gọi là điểm đối xứng với A qua đường tròn đơn

vị Như vậy, tọa vị của số phức w 1

z

= có được từ tọa vị của số phức z bằng cách thực hiện liên tiếp phép đối xứng qua đường tròn đơn vị và phép đối xứng qua trục thực Tuy nhiên, phép đối xứng qua đường tròn đơn vị không được giảng dạy trong chương trình toán bậc trung học phổ thông ở Việt Nam Vì lẽ đó, chúng tôi

sẽ không tiếp tục phân tích về vấn đề này ở những phần sau của luận văn.

Từ những điều đã trình bày, chúng tôi nhận thấy rằng biểu diễn hình học của

số phức chính là cầu nối cho phép thiết lập mối liên hệ giữa phép toán trên tập số phức với phép biến hình trong mặt phẳng Hơn nữa, chính từ mối liên hệ này ta

có thể dùng một số phép toán trên số phức để diễn đạt lại các phép biến hình :

- Phép tịnh tiến theo vectơ biểu diễn số phức a : z’ = z + a

- Phép vị tự tâm O hệ số k : z’ = k.z (k là số thực dương)

- Phép quay tâm O góc quay

2

π: z’ = i.z

- Phép quay tâm O, góc quay là một argumen của p : z’ = p.z với p là số phức có môđun bằng 1

- Phép đồng dạng (hợp thành của một phép quay tâm O có góc quay là argumen

của w và một phép vị tự cùng tâm, hệ số k = w ) : z’ = z.w

- Phép quay tâm A góc quay α trong đó A là tọa vị của số phức a và α là một

argumen của số phức p : z’ – a = p.(z –a )

- Phép đối xứng qua trục Ox : z' =z

Mặt khác, nếu gọi E là một tập hợp điểm trên mặt phẳng phức Mỗi phép

biến đổi nêu trên xác định cho ta một quy luật sao cho ứng với mỗi số phức z thuộc E là một số phức z’ Khi đó z’ còn được gọi là một hàm số đơn trị của biến

số phức z trên E, kí hiệu là z’ = f(z), z ∈E Thực chất một hàm đơn trị của biến

phức xác định trên tập E⊂  là một ánh xạ từ E vào 

“Gi ả sử cho hàm biến phức w =f z z( ), ∈E L ấy hai mặt phẳng phức xOy (mặt phẳng z) và

m ặt phẳng uOv (mặt phẳng w) Ứng với mỗi điểm z 0 ∈E hàm w = f(z) xác định điểm

w 0 = f(z 0 ) trong mặt phẳng w Cho nên về mặt hình học, hàm w = f(z) xác định một phép

bi ến hình từ mặt phẳng z vào mặt phẳng w.” ([A], trang 29)

Sự gắn kết giữa hàm biến phức với phép biến hình được thể hiện rõ nét qua bài “Phép biến hình tuyến tính w = az + b” Giả thiết a, b, z là những số phức và a

là một số phức khác không, hàm biến phức có dạng w = az + b được gọi là hàm tuyến tính nguyên (hay hàm tuyến tính bậc nhất) Bằng cách viết số phức a dưới

dạng mũ ta được w = a e z. iϕ +b Từ đó, ta có thể xem hàm w là hàm hợp của ba hàm biến phức : ζ =k z k ( = a > 0);β =e iϕ (ζ ϕ= Arga); w = +β b. Rõ ràng, hàm w xác định một phép đồng dạng là hợp thành của một phép vị tự, một phép quay và

một phép tịnh tiến Cụ thể hơn, nếu biểu diễn các điểm ζ β, , w trên cùng một mặt

phẳng thì điểm ζ =k z được suy ra từ điểm z bởi một phép vị tự tâm O hệ số k Điểm i

eϕ

β = ζ nhận được từ điểm ζ bằng một phép quay tâm O góc quay ϕ và

cuối cùng điểm w = β+b là ảnh của điểm β qua một phép tịnh tiến xác định bởi vectơ biểu diễn số phức b

Như vậy, hàm tuyến tính w = az + b xác định một phép đồng dạng Phép đồng dạng này biến một hình bất kì thành một hình đồng dạng với nó Từ đó khi

biết trước hai hình đồng dạng ta lại có thể xác định được hàm biến phức tương ứng Để làm rõ nhận định này, chúng tôi xét một bài toán thuộc KNV Thàm “Tìm hàm biến phức” :

“Ví dụ Tìm hàm số w = f(z) biến một tam giác vuông cân có các đỉnh tại A( 3 + 2i), B(7 + 2i), C(5 + 4i) thành tam giác vuông cân có các đỉnh tại O 1 (0), B 1 (-2i), C 1 (1 - i) Giải Vì các tam giác ABC và O 1 B 1 C 1 đồng dạng nên phép biến hình được thực hiện bởi

m ột hàm bậc nhất w = az + b

Phép biến hình này có thể phân tích thành tích các phép biến hình liên tiếp sau đây :

1/ Phép t ịnh tiến từ A về gốc O, xác định bởi vecơ biểu diễn số phức - 3 – 2i , phép tịnh tiến này được thực hiện bởi hàm ζ = − +z (3 2 )i

= = = , được thực hiện bởi hàm w 1

Khi r =1, ta được công thức Moivre (cosϕ+isin )ϕ n = cosnϕ+isinnϕ

Công thức tính và nghĩa hình học của khái niệm căn bậc n của số phức z được trình bày chi tiết trong [A] Giả sử z=r(cosψ +i sin )ψ thì các giá trị căn bậc

n của z có dạng : n (cos 2k sin 2k )

từ w1 qua phép quay tâm O và góc quay 2

n

π,… Nghĩa là, tọa vị của các số phức

wi (i=0, 1,…, n-1) tạo thành đỉnh của một đa giác đều tâm O có n cạnh

Nh ận xét

- Khái niệm số phức, các phép toán và khái niệm liên quan được tiếp cận đầy đủ

ở cả hai phương diện đại số và hình học

- Về mặt đại số, số phức là biểu thức x + iy và các quy tắc tính toán đã được xây

dựng một cách hình thức theo quy tắc tính toán trên đa thức hệ số thực, biến i, với

i không phải là biến thực, cũng không biết là gì, được đặt cho cái tên “đơn vị ảo”.Điều này đem đến sự thuận lợi về mặt thực hành tính toán

- Về mặt hình học, mỗi số phức được xem như một điểm trên mặt phẳng Từ đó

dẫn đến những dạng biểu diễn khác của số phức gồm biểu diễn số phức dưới dạng

một vectơ, dạng lượng giác hay dạng mũ Cách tiếp cận số phức bằng hình học đem lại nghĩa xác định cho các khái niệm và phép toán trên số phức Dạng lượng giác và dạng mũ có nhiều thuận lợi khi thực hiện các phép toán nhân, chia, khai căn hay phép tính lũy thừa bậc cao

- Biểu diễn số phức z có phần thực là x và phần ảo là y bởi một điểm có tọa độ (x, y) chính là cầu nối giữa lý thuyết số phức với hình học Các phép toán trên số

phức tương ứng với các phép biến hình trong mặt phẳng

như là một vectơ tự do trong mặt phẳng và mặt phẳng chứa các vectơ này được gọi là mặt phẳng phức

Mặt khác, do các vectơ là tự do nên có thể chọn một điểm tùy ý nào đó trong mặt phẳng, chẳng hạn chọn điểm O, làm điểm gốc của tất cả vectơ Lúc này mỗi vectơ tương ứng với mỗi số phức được xác định duy nhất bởi điểm P là điểm đầu mút của nó Ngược lại, nếu có một điểm P bất kì thì ta cũng xác định được duy nhất một vectơ OP

là một số phức nào đó Như vậy, tồn tại một song ánh giữa số phức với điểm trong mặt phẳng Số phức z còn được gọi là điểm z hoặc vectơ z Phương pháp xây dựng số phức trong giáo trình [B] có ưu điểm là cho một cái nhìn trực quan hơn về số phức, tránh được quan niệm số phức như một đối tượng thực tế không tồn tại Mặt khác, theo các tác giả cách đưa ra số phức như trên còn có nhiều ích lợi khác bởi vì đại lượng vectơ rất thường gặp trong các bài toán thực tế chẳng hạn bài toán về dao động điều hòa Vì mỗi dao động điều hòa

có thể được biểu diễn bởi một vectơ quay (tương tự như số phức) nên sử dụng

dạng phức để mô tả dao động điều hòa tỏ ra đơn giản hơn các phương pháp không dùng dạng phức Đây cũng là một vấn đề khá thú vị tuy nhiên nó không nằm trong mục đích nghiên cứu của luận văn nên chúng tôi không đi sâu phân tích mà có thể

nó sẽ được đề cập trong một nghiên cứu khác

Như đã đề cập, các phép tính trên số phức được chia thành hai nhóm Nhóm phép tính thứ nhất được thực hiện tương tự các quy tắc tính toán trong đại số vectơ Phép cộng (trừ) hai số phức như phép cộng (trừ) hai vectơ và phép nhân số phức với số thực như phép nhân vectơ với số thực

“Định nghĩa: Ta gọi tổng và hiệu của hai số phức z 1 và z 2 là các đường chéo của hình bình hành lập nên bởi các vectơ z 1 và z 2 ” ([B], trang 11).

“Định nghĩa: Ta gọi tích của số phức z với số thực k là vectơ (số phức) kz có độ dài bằng độ dài của z nhân với k còn hướng trùng với hướng của z nếu k > 0, ngược với hướng của z nếu k < 0” ([B], trang 12).

Ba phép tính này có đầy đủ những tính chất số học thông thường trên trường

số thực như tính chất giao hoán, kết hợp, cộng với số không (vectơ không tương

ứng điểm O chính là số phức 0),…

Trên cơ sở ba phép tính đã được định nghĩa, [B] xây dựng dạng Đê-các (hay

còn gọi là dạng đại số) của số phức z bằng cách đưa vào mặt phẳng phức một hệ

trục tọa độ Đê-các vuông góc xOy với gốc tọa độ trùng với điểm O Gọi các

vectơ đơn vị trên các trục tọa độ Ox, Oy lần lượt là 1 và i Vì mỗi số phức z

tương ứng với một vectơ OP

nên bằng cách phân tích một vectơ thành tổng của hai vectơ không cùng phương trong đại số vectơ ta có thể biểu diễn số phức z

theo các hình chiếu x và y dưới dạng z = x.1 + y.i = x + iy

Hình 1.2

Từ dạng Đê-các của số phức, [B] tiếp tục đưa ra các khái niệm như đơn vị

thực, đơn vị ảo, trục thực, trục ảo, phần thực và phần ảo Khái niệm “số ảo” xuất

hiện khi xét trường hợp đầu mút của vectơ z nằm trên trục ảo tức là

z = 0 + iy = iy Trong trường hợp đầu mút của vectơ z nằm trên trục thực thì số

phức z = x + 0i trùng với số thực x

Khái niệm hai số phức bằng nhau được định nghĩa thông qua sự bằng nhau

của hai vectơ tương ứng

“Hai số phức được gọi là bằng nhau nếu các vectơ tương ứng của chúng bằng nhau”

([B], trang 13)

Với cách xây dựng số phức trong giáo trình [B] thì mỗi số phức xác định bởi

một vectơ tự do trong mặt phẳng mà hai vectơ tự do được gọi là bằng nhau nếu

có thể làm chúng chồng khít lên nhau bởi một phép tịnh tiến Về mặt tọa độ, hai

vectơ bằng nhau khi và chỉ khi các tọa độ của chúng tương ứng bằng nhau Điều

đó có nghĩa là hai số phức bằng nhau khi và chỉ khi các phần thực và phần ảo của chúng bằng nhau Như vậy, một đẳng thức trong số phức đã được chuyển dịch sang hai đẳng thức trong số thực

“Cộng hay trừ số phức đưa về cộng hay trừ các phần thực và phần ảo của chúng Khi nhân số phức z = x + iy với số thực k thì ta nhân cả phần thực và phần ảo của z với k”

“Số phức z 2 = x 2 + iy 2 được gọi là liên hợp của z 1 = x 1 + iy 1 nếu x 2 = x 1 và y 2 = - y 1 ” ([B], trang 13)

Xuất phát từ hình học, [B] xây dựng hệ thống số phức với các phép toán tương tự phép toán trên vectơ và kết nối với số thực thông qua dạng biểu diễn số phức trong hệ tọa độ Đê-các Từ đó, ta thấy tập hợp số thực chính là tập con của

tập số phức Tuy nhiên, để tập hợp số phức là tập mở rộng thực sự của tập số thực thì đòi hỏi các phép tính trên số phức phải thỏa mãn đầy đủ những quy luật của phép tính trên số thực Xét trong hệ thống vectơ thông thường thì điều trở ngại ở đây là phép nhân hai vectơ bao gồm nhân vô hướng và nhân có hướng đều không đúng và phép chia hai vectơ thì không tồn tại Do đó, để thực hiện phép nhân

hoặc phép chia những số phức thì cần phải xét trong hệ tọa độ cực

Trong mặt phẳng phức, ta đặt vào một hệ tọa độ cực với gốc cực tại O và chọn hướng dương của trục Ox làm hướng dương của trục cực Ta gọi r là bán kính vectơ z (hay độ dài vectơ z), ϕ là góc lượng giác tạo bởi trục Ox và vectơ z Chọn chiều dương là chiều ngược với chiều quay của kim đồng hồ Khi đó r và ϕ

là các tọa độ cực của số phức z = x + iy Mối liên hệ giữa tọa độ cực và tọa độ Đê-các được thể hiện qua hệ thức x=r.cos ;ϕ y=r.sinϕ Các khái niệm môđun, argumen, dạng lượng giác, phép nhân và chia hai số phức dưới dạng lượng giác đều được định nghĩa như trong [A]

Về mặt hình học, nhân số phức z1 với z2 là dãn (hay co) vectơ z1 đi z2 lần

và quay nó một góc ϕ2 =Argz2 và bằng phương pháp dựng hình ta có thể tìm tọa

vị của số phức tích Cụ thể, cho hai số phức z1, z2 như hình vẽ Ta dựng trên cạnh

Oz2 tam giác Oz2z đồng dạng với tam giác O1z1 Khi đó, Oz là tích của z1 và z2

([B], trang 18)

Ta thấy ý nghĩa hình học của phép nhân số phức rất được quan tâm làm rõ trong [B]

Phép tính lũy thừa và phép khai căn tương tự [A] Các phép tính trong nhóm

thứ hai lần lượt được định nghĩa như sau :

“Phép nâng số e (cơ số của logarit tự nhiên) lên lũy thừa z = x + iy được định nghĩa bởi đẳng thức e x iy+ =e x(cosy+isin )y ” ([B], trang 24)

“Định nghĩa này có vẻ giả tạo” ([B], trang 24) nhưng nó là cơ sở để đưa ra dạng

mũ của số phức Thay x = 0, y = ϕ vào biểu thức trong định nghĩa trên ta thu được công thức Euler e iϕ = cosϕ+isinϕ và z=r(cosϕ+isin )ϕ =r e. iϕ

Tiếp đến là định nghĩa logarit của một số phức và phép nâng số phức lên lũy thừa phức :

“Số w được gọi là logarit (tự nhiên) của số phức z khác 0 (ký hiệu w = Lnz) nếu w

e =z” ([B], trang 26)

“Phép nâng số z = r e. iϕ lên lũy thừa bậc a= +α βi được xác định bởi đẳng thức

Xét hàm w = k.z, với k là hằng số thực dương Đặc tính hình học của hàm

biến phức được sáng tỏ nhờ việc biểu diễn số phức z và w trong tọa độ cực,

lên k lần (hay giảm đi nếu k < 1) Tóm lại, hàm w = k.z xác định một phép dãn đồng dạng mặt phẳng z với hệ số k (hay phép co đồng dạng nếu k < 1)

Xét hàm w=e z iα Trong tọa độ cực, với z=re iϕ,w = eρ iθ , ta có ρ =r,

θ ϕ α= + Điều này chỉ ra rằng mọi điểm z được quay đi một góc α nhưng vẫn

nằm trên đường tròn z =r Phép biến hình w=e z iα dẫn đến phép quay mặt

phẳng z một góc α Nếu góc α =

2

π thì hàm w = i.z là phép quay mặt phẳng z

một góc vuông Nếu góc α = π thì hàm w = -z cho ta một phép quay mặt phẳng

z với góc quay bằng π

Hàm w = z + b, với b = β1 +iβ2, là phép dịch chuyển song song mặt phẳng z theo vectơ b Kết quả này nhận được từ việc biểu diễn số phức z và w dưới dạng Đê-các z = x + iy và w = u + iv Từ đó, ta có biểu thức xác định một phép tịnh

biến phức mà qua các phép biến đổi này giá trị của góc giữa hai đường bất kì có trong hình đang khảo sát không thay đổi được gọi là phép biến đổi bảo giác Phép

tịnh tiến, phép vị tự hay phép quay được xét ở trên là những ví dụ đơn giản nhất

về phép biến đổi bảo giác Trong khuôn khổ phạm vi nghiên cứu của luận văn, chúng tôi không đề cập chi tiết về vấn đề này Tuy nhiên cần phải nói qua rằng các phép biến đổi bảo giác có rất nhiều ứng dụng trong ngành xây dựng các bản

đồ địa lý, trong vật lý và cơ học… Rõ ràng, cách tiếp cận số phức bằng hình học không chỉ đem lại sự giải thích về nghĩa cho phép toán trên số phức mà còn là cơ

sở để kết nối với các vấn đề quan trọng trong lý thuyết hàm biến phức – một lý thuyết có ứng dụng rộng rãi vào các ngành khoa học và kỹ thuật hiện đại khác

3 Kết luận chương 1

Từ việc phân tích hai giáo trình về số phức, chúng tôi rút ra các kết luận sau :

- Mỗi cách tiếp cận số phức dù bằng đại số hay hình học đều có vai trò quan

trọng trong sự hình thành và hoàn thiện lý thuyết số phức Mối quan hệ giữa chúng là mối quan hệ hai chiều, tác động qua lại và hỗ trợ cho nhau Nếu như

dạng đại số của số phức đem lại một công cụ tính toán đơn giản, quen thuộc, dễ

sử dụng và có phạm vi hoạt động rộng thì dạng hình học của số phức đem lại sự

hợp thức cho số phức, các phép toán và những khái niệm liên quan Dạng đại số

của số phức tuy mang lại một thao tác thực hiện phép toán nhân khá nhẹ nhàng như thao tác nhân hai đa thức một biến thực nhưng chỉ khi được gắn với dạng hình học thì phép nhân mới thực sự trở nên trực quan hơn, chúng gắn liền với các phép biến hình trong mặt phẳng Chính thông qua việc biểu diễn hình học số

phức mà ứng dụng được số phức vào hình học phẳng và ngược lại

- Gắn liền với dạng biểu diễn số phức bởi một điểm hoặc biểu diễn số phức bởi

một vectơ là sự xuất hiện của các khái niệm môđun, argumen của số phức Từ đó kéo theo sự xuất hiện hai dạng biểu diễn khác gồm dạng lượng giác và dạng mũ Các dạng biểu diễn này lại mang đến sự thuận lợi trong việc thực hiện phép nhân, chia, phép tính lũy thừa hay phép khai căn Nhiều ứng dụng của số phức trong hình học phẳng hoặc ngược lại dùng kết quả hình học để khảo sát về số phức đều

dựa vào dạng lượng lượng giác và dạng mũ của nó

- Biểu diễn số phức bởi một điểm trên mặt phẳng phức là yếu tố cơ sở cho việc thiết lập mối quan hệ giữa đại số và hình học trên số phức

- Kiến thức toán học góp phần hình thành nên nghĩa hình học cho phép nhân số

phức là các phép biến hình

- Việc gắn kết số phức với biểu diễn hình học của nó, phép nhân với phép biến hình, cho phép giải quyết các kiểu nhiệm vụ Tquỹ tích, Tquay, Tynhh và Thàm

Chương hai

Mở đầu

Phân tích trong chương 2 nhằm làm rõ :

CH1 : Trong I, hai cách tiếp cận đại số và hình học được trình bày ra sao? Những mong muốn và ràng buộc nào của thể chế đối với O trong hai cách tiếp cận này?

Tổ chức toán học nào cho phép thiết lập mối liên hệ giữa chúng?

CH2 : Đặc biệt, trong cách tiếp cận hình học, những kiến thức hình học nào đã được thể chế sử dụng để mang lại nghĩa cho khái niệm số phức và các phép toán trên tập số phức, những khái niệm thường được định nghĩa một cách hình thức qua các biểu thức đại số ?

Theo cách tiếp cận của thuyết nhân học trong didactic toán thì đây là một nghiên cứu về mối quan hệ thể chế R(I, O) với O là đối tượng số phức và I là thể chế dạy học toán lớp 12 theo chương trình nâng cao hiện hành Việc phân tích thể

chế để tìm lời giải đáp cho hai câu hỏi này được dựa trên những kết quả đã đạt được trong chương một

Kể từ năm 2008 đến nay, các trường phổ thông đang sử dụng hai bộ sách giáo khoa toán Bộ thứ nhất được viết bởi nhóm tác giả do GS Đoàn Quỳnh làm tổng chủ biên Đây là bộ sách dành cho chương trình nâng cao Bộ thứ hai dành cho chương trình chuẩn được biên soạn bởi nhóm tác giả do PGS Trần Văn Hạo tổng chủ biên Điểm khác biệt cơ bản giữa hai bộ sách đó là bộ sách thứ hai không trình bày dạng lượng giác của số phức do yêu cầu tính giảm tải của chương trình Vì vậy, chúng tôi chỉ chọn phân tích bộ sách thứ nhất

Ngoài ra, chúng tôi còn chọn phân tích sách giáo khoa dùng cho hệ song ngữ

Việt – Pháp Việc phân tích song song hai thể chế sẽ cho phép làm nổi rõ những