nhóm con c chuẩn tắc và ứng dụng

Ta đã biết rằng nhóm hữu hạn G là lũy linh khi và chỉ khi mọi nhóm con tối đại của G là chuẩn tắc trong G.. Huppert chỉ ra rằng một nhóm hữu hạn G là siêu giải được khi và chỉ khi mọi nh

Ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HỒ CHÍ MINH

Đậu Thị Huế

Thành ph ố Hồ Chí Minh – 2013

Ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HỒ CHÍ MINH

L ỜI CẢM ƠN

Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn này, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu

sắc tới PGS.TS Mỵ Vinh Quang, người đã tận tình chỉ bảo hướng dẫn để tôi có thể hoàn thành luận văn

Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy cô giảng viên trong khoa Toán của trường Đại Học Sư Phạm Tp.HCM đã tận tình dạy bảo cho tôi trong quá trình học tập tại khoa

Xin cảm ơn các cán bộ của Phòng Sau Đại Học, trường Đại Học Sư Phạm Tp.HCM đã

tạo điều kiện thuận lợi cho tôi cùng các học viên khác có thể học tập và nghiên cứu hiệu

quả

Cuối cùng, tôi xin gửi lời tri ân tới gia đình, bạn bè đã luôn động viên, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn tốt nghiệp

Tp Hồ Chí Minh, tháng 8 năm 2013

M Ở ĐẦU

Mối quan hệ giữa tính chất của nhóm con tối đại của một nhóm hữu hạn và cấu trúc

của nhóm đã được nghiên cứu rộng rãi Tính chuẩn tắc của một nhóm con trong một nhóm

hữu hạn cũng đóng vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu nhóm hữu hạn Ta đã biết rằng nhóm hữu hạn G là lũy linh khi và chỉ khi mọi nhóm con tối đại của G là chuẩn tắc trong G Định lý nổi tiếng của B Huppert chỉ ra rằng một nhóm hữu hạn G là siêu giải được khi và

chỉ khi mọi nhóm con tối đại của G có chỉ số nguyên tố trong G

Gần đây, có nhiều kết quả nghiên cứu về nhóm hữu hạn khá thú vị, chẳng hạn: G là nhóm giải được khi và chỉ khi mọi nhóm con tối đại M là c-chuẩn tắc trong G Ngoài ra, nhóm con c-chuẩn tắc còn có nhiều ứng dụng khác trong việc nghiên cứu cấu trúc của nhóm

hữu hạn Đó là lý do tôi chọn đề tài này để tìm hiểu

Nội dung chính của luận văn dựa trên bài báo [9], trình bày một số kết quả về nhóm con c-chuẩn tắc và tính chất của nó, đưa ra một vài tính chất tương tự nhóm con chuẩn tắc cho nhóm con c-chuẩn tắc của một nhóm hữu hạn Đồng thời, nghiên cứu các tính chất của nhóm con c-chuẩn tắc liên quan với nhóm giải được và nhóm siêu giải được, tổng quát một

số định lý nổi tiếng bằng việc dùng khái niệm c-chuẩn tắc

Luận văn gồm 2 chương:

CHƯƠNG 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Chương này trình bày lại các khái niệm, chứng minh lại một số các định lý, bổ đề để dùng trong luận văn

CHƯƠNG 2: NHÓM CON C-CHUẨN TẮC VÀ ỨNG DỤNG

Chương này sẽ trình bày về khái niệm nhóm con c-chuẩn tắc và một số tính chất của

nó Sau đó nghiên cứu các tính chất của nhóm con c-chuẩn tắc liên quan với nhóm giải được

và nhóm siêu giải được Tổng quát định lý của Srinivasan bằng cách thay thế điều kiện chuẩn tắc bằng điều kiện yếu hơn là c-chuẩn tắc

H ≤G, H <G H là nhóm con của nhóm G, H là nhóm con thực sự của nhóm G

H G H là nhóm con chuẩn tắc của nhóm G

H char G H là nhóm con đặc trưng của G

HN Tích nửa trực tiếp của N và H

M ỤC LỤC

L ỜI CẢM ƠN 1

MỞ ĐẦU 2

B ẢNG KÝ HIỆU 3

M ỤC LỤC 4

CHƯƠNG 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 5

1.1 M ột số khái niệm 5

1.2 Nhóm con á chu ẩn tắc 12

1.3 Nhóm con Hall 13

1.4 Nhóm p-gi ải được 14

1.5 Nhóm gi ải được 16

1.6 Nhóm lũy linh 20

1.7 Nhóm con Frattini 24

1.8 Nhóm siêu gi ải được 26

CHƯƠNG 2: NHÓM CON C-CHUẨN TẮC VÀ ỨNG DỤNG 32

2.1 Nhóm con c-chu ẩn tắc 32

2.2 Tính ch ất cơ bản 33

2.3 M ột số kết quả chính 41

2.4 Ứng dụng 48

K ẾT LUẬN 52

TÀI LIỆU THAM KHẢO 53

C HƯƠNG 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 M ột số khái niệm

Định nghĩa 1.1.1

Cho H là một nhóm con của G Với mỗi x∈G, nhóm con x { x 1 }

H = h =x hx h− ∈H của G được gọi là nhóm con liên hợp với H trong G

Định nghĩa 1.1.2

Cho H là một nhóm con của G Khi đó tập hợp ( ) { x }

G

N H = ∈x G H =H được gọi là chuẩn hóa tử của H trong G

M ột nhóm con M của nhóm G được gọi là một nhóm con tối đại của G nếu không

t ồn tại nhóm con K thực sự nào của G sao cho M <K <G,ký hi ệu là M < ⋅ G

Nếu S là một nhóm con tối đại của G có S G =1

và N ≠1 là nhóm con chuẩn tắc của G, C

là tâm hóa tử của N trong G thì CS=1 và C hoặc bằng 1 hoặc là nhóm con chuẩn tắc tối

Nếu S là một nhóm con chuẩn tắc tối đại của G, S G =1 và A, B là hai nhóm con chuẩn tắc

tối tiểu khác nhau của G thì

Cho G là m ột nhóm và p là một số nguyên tố Khi đó:

i) N ếu mọi phần tử của G đều có cấp là một lũy thừa của p thì G được gọi là một nhóm

p-ii) N ếu H ≤G và H là m ột p-nhóm thì H được gọi là một p-nhóm con của G

iii) Nhóm con H c ủa G được gọi là p-nhóm con Sylow của G nếu H là phần tử tối đại trong tập các p-nhóm con của G theo quan hệ bao hàm

Định lý 1.1.16

Nếu G là một nhóm hữu hạn có cấp chia hết cho một số nguyên tố p thì G chứa

Cho p là m ột số nguyên tố, G là nhóm hữu hạn, G = p m n , ,(m p)=1 Khi đó:

i) V ới 1 ≤ ≤k n, t ồn tại trong G một nhóm con có cấp p k. Nói riêng, t ồn tại trong G các p-nhóm con Sylow

ii) M ọi p-nhóm con H đều nằm trong một p-nhóm con Sylow nào đó của G

iii) T ất cả các p-nhóm con Sylow của G đều liên hợp với nhau

iv) S ố các nhóm con Sylow của G là ước của m và đồng dư với 1 (mod p)

M ệnh đề 1.1.20

Cho P là p-nhóm con Sylow c ủa G Khi đó P là p-nhóm con Sylow duy nhất của G

n ếu và chỉ nếu P là nhóm con chuẩn tắc của G

M ệnh đề 1.1.21

Cho P là m ột p-nhóm con Sylow của nhóm hữu hạn G

i) N ếu N G( )P ≤H ≤G

thì H =N G( )H

ii) N ếu NG thì PN là m ột p-nhóm con Sylow của N và PN N là m ột p-nhóm con Sylow của G N.

V ới mọi x G P∈ , x≤H x =H nên P và x

P liên h ợp với nhau trong H, do đó tồn tại

h∈H sao cho P x=P h. V ậy nên, 1 ( )

Cho G là m ột nhóm Nếu ánh xạ ϕ: G→G là m ột đẳng cấu thì ϕ được gọi là một

t ự đẳng cấu của G Tập hợp tất cả các tự đẳng cấu của G được ký hiệu là Aut(G)

Định nghĩa 1.1.24

M ột nhóm con H của G được gọi là nhóm con đặc trưng của G, ký hiệu H char G,

n ếu ϕ( )H =H,∀ ∈ϕ Aut G( )

M ệnh đề 1.1.25

i) Nếu ϕ( )H ≤H,∀ ∈ϕ Aut G( )

thì H char G

ii) N ếu H char G thì H G.

iii) Nếu H char K và K char G thì H char G

iv) Nếu H char K và KG thì HG.

Định nghĩa 1.1.26

Cho G là m ột nhóm và p là một số nguyên tố G được gọi là nhóm p-đóng nếu G

có m ột p-nhóm con Sylow chuẩn tắc

N N

N N

+

được gọi là thương chính

Định nghĩa 1.2.4

Cho G là một nhóm, M là nhóm con tối đại của G Chỉ số chuẩn tắc của nhóm con tối đại

M trong G là cấp của nhóm thương H K của G, trong đó H là tối tiểu trong tập các phần bù chuẩn tắc của M trong G, K là nhóm con của M Khi đó, chỉ số chuẩn tắc được ký hiệu là

(G M: )

η

Giả sử π là một tập hợp gồm các số nguyên tố Đặt π ′ là phần bù của π trong tập hợp

tất cả các số nguyên tố Khi đó, nếu n là một số tự nhiên có tất cả các ước nguyên tố đều

nằm trong π thì n được gọi là một π -số Nếu a là π -số và b là π'-số thì a và b nguyên tố cùng nhau

Nếu G là một nhóm mà mọi phần tử đều có cấp là một π số thì G được gọi là một π nhóm

-Nếu π là một tập hợp chỉ gồm một phần tử p thì ta ký hiệu p-số thay cho π -số và p'-số thay cho π ′-số Khi đó rõ ràng một π -nhóm chính là một p-nhóm

Định nghĩa 1.3.4

Nếu p là một số nguyên tố và G là một nhóm hữu hạn có cấp ap m, với a là một p'-số thì

một nhóm con của G có cấp a được gọi là một p'-nhóm con Hall của G hay còn gọi là một p-phần bù

1.4 Nhóm p-gi ải được

Định nghĩa 1.4.1

Cho G là một nhóm hữu hạn và p là một số nguyên tố Ta nói G là nhóm p-giải được nếu

tất cả các thương hợp thành của G là p-nhóm hay p'-nhóm

Cho G là nhóm p-giải được Khi đó:

i) Nếu N ≤G thì N là nhóm p-giải được

Cho G là một nhóm Một dãy aben trong G là dãy các nhóm con 1=G0  G1 G n =G

thỏa điều kiện

1

i i

G G

là hoán tử của a và b Nhóm con

của G sinh bởi tất cả các hoán tử được gọi là nhóm con hoán tử của G, ký hiệu là

Nhóm con G( )i được gọi là nhóm con hoán tử bậc i của G

Dãy các nhóm con hoán tử ( )0 ( )1 ( )2

−

− + là nhóm aben nên (G n i− )′ ≤G n− +( )i 1

Do đó, G( )i+1 ≤G n− +( )i 1

Đặc biệt, G( )n ≤1 nên G( )n =1

H ệ quả 1.5.8

Nhóm G là nhóm giải được khi và chỉ khi tồn tại n∈  sao cho G( )n =1

H ệ quả 1.5.9

N ếu tồn tại một nhóm con H ≠1 c ủa G sao cho ( )1

H =H thì G không gi ải được

Định lý 1.5.10

M ọi nhóm con của nhóm giải được là nhóm giải được

Ch ứng minh

Giả sử G là nhóm giải được H là nhóm con của G Khi đó tồn tại n∈  sao cho G( )n =1

Vì H≤G nên H( )n ≤G( )n = 1. Do đó, H( )n = 1. Vậy H giải được

G H

Giả sử N là một nhóm con chuẩn tắc tối tiểu của G Vì G là nhóm giải được nên N giải được, do đó ( )1

liên hợp với P trong N, tức là tồn tại x∈N sao cho

Chứng minh tương tự ta có H là một nhóm con đặc trưng của N

Do đó H G. Mà N là một p-nhóm nên H ≠ 1. Vậy H =N, hay mọi phần tử khác 1 trong N đều có cấp p Vậy N là một p-nhóm con Aben sơ cấp

ii) Mọi thương hợp thành của G đều có cấp nguyên tố

iii) G là p-giải được với mọi p là ước nguyên tố của G.

1.6 Nhóm lũy linh

Định nghĩa 1.6.1

Cho G là nhóm Một dãy tâm của G là dãy các nhóm con chuẩn tắc

Nhóm G được gọi là nhóm lũy linh nếu trong G có một dãy tâm Độ dài dãy tâm ngắn

nhất trong G gọi là lớp lũy linh của nhóm G

Cho G là một nhóm Họ các nhóm con ζi G được định nghĩa bằng quy nạp như sau:

Nhóm G là lũy linh khi và chỉ khi tồn tại n∈N sao cho γn+1G= 1.

Nhóm G là nhóm lũy linh khi và chỉ khi tồn tại n∈N sao cho ζn G=G.

Định lý 1.6.10

Mọi nhóm lũy linh đều giải được

  nên ζi G là nhóm con thực sự của ζi+1G

Do G hữu hạn nên phải tồn tại n∈  sao cho ζn G=G. Vậy G là nhóm lũy linh

Định lý 1.6.12

Cho G là nhóm lũy linh Khi đó :

i) Nếu N ≤G thì N là nhóm lũy linh

Định lý 1.6.15

Nếu G là nhóm lũy linh hữu hạn thì G thỏa điều kiện chuẩn hóa

Định lý 1.6.16

nhóm con Sylow c ủa nó

Cho G là một nhóm Khi đó giao của tất cả các nhóm con tối đại của G (nếu có) được gọi

là nhóm con Frattini của G, được ký hiệu là Φ( )G

Nhận xét:

Nhóm con Frattini luôn tồn tại trong một nhóm hữu hạn bất kỳ Nếu G là nhóm không có

bất kỳ nhóm con tối đại nào thì ta quy ước Φ( )G =G

M ệnh đề 1.7.2

Cho G là m ột nhóm Khi đó Φ( )G char G , do đó Φ( )G G

Ch ứng minh

Nếu G không có bất kỳ nhóm con tối đại nào thì mệnh đề hiển nhiên đúng Giả sử trong

G có các nhóm con tối đại Gọi ( )M i i I∈

là họ tất cả các nhóm con tối đại của G

Một phần tử x∈G được gọi là phần tử không sinh của G nếu nó có thể được bỏ đi trong

bất kỳ một tập sinh nào đó của G, nghĩa là nếu G= x Y, thì G= Y .

Định lý 1.7.4

Cho G là một nhóm Khi đó Φ( )G

chính là tập hợp tất cả các phần tử không sinh của G

Chứng minh

Giả sử x∈G là phần tử không sinh của G và M một nhóm con tối đại bất kỳ của G Khi

đó nếu x∉M thì G= x M, =M Điều này vô lý Vậyx∈M với mọi nhóm con tối đại M

Gọi P là p-nhóm con Sylow bất kỳ của Φ( )G Khi đó, do Φ( )G G nên theo bổ đề Frattini ta có G= Φ( ) ( )G N G P

Nếu P/ Φ( )G thì N G( )P

là nhóm con thực sự của G Do đó tồn tại nhóm con tối đại M

của G sao cho N G( )P ≤M

Vậy G= Φ( ) ( )G N G P ≤M <G Điều này mâu thuẫn

Suy ra PΦ( )G Hay mọi nhóm con Sylow trong Φ( )G đều chuẩn tắc Vậy Φ( )G

là nhóm lũy linh

Cho G là một nhóm Một dãy cyclic chuẩn tắc trong G là dãy các nhóm con chuẩn tắc

1=G ≤G ≤ ≤ G n =G của G thỏa điều kiện

1

i i

G G

Cho G là nhóm siêu giải được Khi đó:

i) Nếu N ≤G thì N là nhóm siêu giải được

i i i

i

G G G

G

+ +

G H

=

∩

là nhóm siêu giải được

Định lý 1.8.9

Mọi nhóm lũy linh hữu hạn đều siêu giải được

Định lý 1.8.10

G là nhóm siêu giải được khi và chỉ khi G có một dãy siêu giải được có tất cả các nhân tử

là nhóm có cấp nguyên tố hoặc cấp vô hạn

Định lý 1.8.11

Cho G là một nhóm siêu giải được Khi đó G có một nhóm con chuẩn tắc là nhóm cyclic

vô hạn hoặc có cấp nguyên tố

Trường hợp nếu G hữu hạn, siêu giải được thì G có một nhóm con chuẩn tắc là nhóm có

Cho G là nhóm siêu giải được

i) Nếu p là ước nguyên tố lớn nhất của G thì G có một p-nhóm con Sylow chuẩn tắc P

Trước hết ta chứng minh G có một dãy các nhóm con G G1, 2, ,G r sao cho G i là p i−

nhóm con Sylow của G với∀ =i 1, r và G G1 2 G k Gvới∀ =k 1, 2, ,r

Ta chứng minh bằng quy nạp theo số các ước nguyên tố của G.

Nếu G = p n

thì G là p−nhóm con Sylow của G và tháp sylow cần tìm là 1 G= 0G

Giả sử G có các ước nguyên tố p= p1 > p2 > > p m Vì G là nhóm siêu giải được nên G

có một dãy siêu giải được mà các thương có cấp nguyên tố phải gồm một vài thương có cấp

là p Theo BỔ ĐỀ 1.8.17 thì G có dãy siêu giải được, trong đó các thương có cấp p xuất

hiện đầu tiên, 1=G0  G1 G n =G Chọn r lớn nhất sao cho 1

r r

G đều nhỏ hơn p (do cách

chọn r) Do đó G r là p−nhóm con Sylow chuẩn tắc của G Khi đó 2

i

m i

T T

C HƯƠNG 2: NHÓM CON C-CHUẨN TẮC VÀ ỨNG DỤNG

Mọi nhóm đơn đều là nhóm c-đơn

Gi ả sử p là một số nguyên tố và p' là phần bù của p trong tập hợp các số nguyên tố G là

m ột nhóm hữu hạn và M là nhóm con tối đại của G Ký hiệu G M: p là p-ph ần của G M: Khi đó ta xét họ các nhóm con:

(1) N ếu H là nhóm con chuẩn tắc của G thì H là nhóm con c-chuẩn tắc của G

(2) G là nhóm c- đơn khi và chỉ khi G là nhóm đơn

(3) N ếu H là nhóm con c-chuẩn tắc của G, H ≤K ≤G thì H là nhóm con c-chu ẩn tắc

Rõ ràng HG=G H, .G=H =H G Do đó, H là nhóm con c-chuẩn tắc của G

(2) Giả sử G là nhóm c-đơn nhưng G không là nhóm đơn Khi đó, tồn tại N là nhóm con chuẩn tắc thực sự của G Theo (1), N là nhóm con c-chuẩn tắc thực sự của G Điều này mâu thuẫn với giả thiết G là nhóm c-đơn

Ngược lại, nếu G là nhóm đơn Giả sử G không là nhóm c-đơn Khi đó tồn tại H là nhóm con c-chuẩn tắc thực sự của G Theo định nghĩa, tồn tại NG sao cho HN =G. Vì H ≠G

Do đó, H là nhóm con c-chuẩn tắc của K

(4) Giả sử H là nhóm con c-chuẩn tắc của G Khi đó tồn tại NG sao cho

, .G

HN =G HN ≤H Do đó, ( ) ( ), .( ) ( ) ( )

G K

K là nhóm con c-chuẩn tắc của G

K thì H là nhóm con c-chuẩn tắc của

Φ = thì F p = ∅ Khi đó với P∈Syl p( )G mà P/ G thì N G( )P là nhóm con

thực sự của G Vì vậy, tồn tại M < ⋅G sao cho N G( )P ≤M < ⋅ G Do đó, p

M ∈F Điều này mâu thuẫn với F p = ∅ Vậy PG.

P =PΦ G thì P1∈Syl p(Φp( )G ) Nếu P1/ G thì N G( )P1 là nhóm con thực sự

của G nên tồn tại M′ < ⋅G sao cho N G( )P1 ≤M ′

(3) Nếu p( )

S G =G thì F pc = ∅ Khi đó với P∈Syl p( )G mà P/ G thì N G( )P là nhóm con

thực sự của G Vì vậy, tồn tại M < ⋅G sao cho N G( )P ≤M < ⋅ G Do đó, M ∈F p

Giả sử G M: =q là một số nguyên tố thì theo định lý Sylow, tất cả các p-nhóm con Sylow của G là liên hợp của P trong G nên G N: G( ) (P ≡1 mod p) Vì P≤N G( )P ≤M nên P cũng là p-nhóm con Sylow của M Lập luận tương tự ta có M N: G( ) (P ≡1 mod p) Suy ra

P = P S G thì P1∈Syl p(S p( )G ) Nếu P1/ G thì N G( )P1 là nhóm con thực sự của

G nên tồn tại M′ < ⋅G sao cho N G( )P1 ≤M ′

Suy ra, G=S p( )G N G( )P1 ≤M′< ⋅G Điều này vô lý

Cho G là m ột nhóm hữu hạn Khi đó:

(1) G là nhóm lũy linh khi và chỉ khi G= Φs( )G

(2) G là nhóm lũy linh khi và chỉ khi M là nhóm con chuẩn tắc của G với mọi M∈F s.

(3) G là nhóm lũy linh khi và chỉ khi G

N là nhóm lũy linh với N là nhóm con chuẩn

M <N M ≤G Do tính tối đại của M nên N G( )M =G Do đó mọi nhóm con tối đại M của

G đều là nhóm con chuẩn tắc của G Vậy M là nhóm con chuẩn tắc của G với mọi M∈F s.

Ngược lại, giả sử M là nhóm con chuẩn tắc của G với mọi M∈F s. Vì s