Tìm hiểu về ứng dụng aharonov bohm

Định luật thứ hai Newton F ma cho biết các hạt sẽ di chuyển qua không gian như thế nào dưới tác dụng của lựcF, nói chung, lực Lorentz mô tả sự tương tác giữa các hạt tích đi

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA VẬT LÝ

NGUYỄN THỊ HUYỀN

TÌM HIỂU VỀ HIỆU ỨNG AHARONOV – BOHM

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết

Người hướng dẫn khoa học ThS NGUYỄN HUY THẢO

HÀ NỘI – 2012

MỤC LỤC PHẦN MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài 5

2 Mục đích nghiên cứu 6

3.Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 6

4 Nhiệm vụ nghiên cứu 6

5 Phương pháp nghiên cứu 6

6 Cấu trúc khóa luận 6

PHẦN NỘI DUNG Chương 1: Hệ phương trình Maxwell và đối xứng chuẩn 8

1.1 Hệ phương trình Maxwell 8

1.2 Đối xứng chuẩn 10

Chương 2: Điện tích của hạt trong từ trường của ống dây solenoid 11

2.1 Phương trình Schrodinger trong điện từ trường 11

2.2 Thế vector của từ trường ống dây solenoid 11

2.3 Hàm sóng trong thế vector 12

2.4 Hiệu ứng Aharonov – Bohm 13

2.5 Hiệu ứng Aharonov – Bohm từ 16

2.6 Hiệu ứng Aharonov – Bohm điện 18

2.7 Hiệu ứng Aharonov – Bohm và siêu dẫn 20

Chương 3: Bằng chứng thực nghiệm và thực hành sử dụng hiệu ứng Aharonov – Bohm 23

3.1 Thí nghiệm với từ trường của ống dây solenoid 23

3.2 Thí nghiệm với từ trường của ống dây toroid 26

3.3 Thực hành sử dụng hiệu ứng Aharonov – Bohm 28

KẾT LUẬN

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Lời cảm ơn

Em xin chân thành cảm ơn thầy giáo hướng dẫn Th.S Nguyễn Huy

Thảo người đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ em trong quá trình làm luận văn

này

Đồng thời em cũng cảm ơn các thầy giáo, cô giáo trong khoa Vật Lý- trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 cùng các bạn đã tạo điều kiện thuận lợi cho em trong quá trình học tập và nghiên cứu

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 5 năm 2012

Sinh viên

Nguyễn Thị Huyền

Lời cam đoan

Khóa luận này là kết quả của bản thân em trong quá trình học tập và

nghiên cứu trên cơ sở hướng dẫn của thầy giáo Th.S Nguyễn Huy Thảo

Trong khi nghiên cứu hoàn thành bản khóa luận, em có tham khảo một số tài liệu tham khảo

Em xin khẳng định kết quả của đề tài: “Tìm hiểu về hiệu ứng

Aharonov - Bohm” là trung thực và không trùng lặp với kết quả của các đề

tài khác Tôi cũng xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện khóa luận này đã được cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong khóa luận đã được chỉ rõ nguồn gốc

Hà Nội, tháng 5 năm 2012

Sinh viên Nguyễn Thị Huyền

PHẦN I: MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Trong cơ học cổ điển, chuyển động của các hạt được mô tả bởi tác dụng của

các lực Định luật thứ hai Newton F ma cho biết các hạt sẽ di chuyển qua không gian như thế nào dưới tác dụng của lựcF, nói chung, lực Lorentz mô tả sự tương tác giữa các hạt tích điện, điện trường và từ trường

Điện trường và từ trường được mô tả bởi hệ phương trình Maxwell Để mô

tả hiện tượng điện từ có thể được đơn giản hóa bằng cách giới thiệu các thế điện từ: thế vô hướng  và thế vector A Để viết điện trường và từ trường dưới dạng các thế là một hữu ích bởi vì chúng chỉ cần bốn thành phần (một thành phần vô hướng và ba thành phần vector) để mô tả trường điện từ, mà đầy đủ bao gồm sáu thành phần (ba thành phần cho từng thế vector E

và B

) Cho đến thế kỉ XX nó được nhiều người cho rằng những thế đó chỉ là xây dựng thuần túy toán học để đơn giản hóa tính toán mà chúng không bao hàm ý nghĩa vật lý

Với sự phát triển của cơ học lượng tử vào đầu những năm của thế kỉ XX, quan điểm này đã được đặt dưới câu hỏi, bởi vì phương trình Schrodinger - phương trình cơ bản của cơ học lượng tử, không bao hàm các trường nhưng bao hàm các thế Vì vậy, các câu hỏi phát sinh, mô tả các hiện tượng điện từ cơ bản nhiều hơn, thông qua các điện trường và từ trường hoặc thông qua thế vô hướng

và thế vector Năm 1959, Yakir Aharonov và David Bohm , đề xuất một thử nghiệm để giải quyết vấn đề này Trọng tâm của thử nghiệm là hiệu ứng mà trong

đó hàm sóng thu được một số pha bổ sung khi đi xa trong không gian không có điện từ trường mà chỉ có các thế Điều này được gọi là hiệu ứng Aharonov-Bohm

Để mở rộng hiểu biết về vấn đề trên tôi chọn đề tài : “Tìm hiểu về hiệu ứng Aharonov – Bohm” là đề tài cho khóa luận tốt nghiệp của mình

Hy vọng rằng đề tài sẽ góp thêm hiểu biết cho các bạn yêu thích vật lí lượng tử.

2 Mục đích nghiên cứu

Sử dụng các phương trình cơ bản trong cơ học lượng tử như phương trình Schrodinger, hệ phương trình Maxwell và lực Lorentz để nghiên cứu hạt điện tích đi xa trong không gian ngay cả khi không có điện từ trường mà vật lí cổ điển không thể giải thích được Từ đó tìm hiểu về các hiệu ứng Aharonov - Bohm: hiệu ứng Aharonov - Bohm từ, hiệu ứng Aharonov - Bohm điện,…

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Các hiệu ứng Aharonov - Bohm và các bằng chứng thực nghiệm

Đầu tiên khóa luận sẽ đề cập sâu hơn về thế điện từ và tính chất quan trọng của đối xứng chuẩn bằng cách kiểm tra một số tính chất của hàm sóng của một hạt điện tích trong điện từ trường, qua đó cho thấy làm thế nào để dẫn đến hiệu ứng Aharonov-Bohm Tiếp theo, một số bằng chứng thực nghiệm của hiệu ứng cũng được tìm hiểu và thảo luận

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

Để đạt được mục đích trên cần nghiên cứu những vấn đề sau:

- Tìm hiểu hệ phương trình Maxwell và phương trình Schrodinger trong điện từ trường

- Tìm hiểu về các hiệu ứng Aharonov – Bohm

- Tìm hiểu về bằng chứng thực nghiệm của hiệu ứng Aharonov - Bohm

5 Phương pháp nghiên cứu

- Đọc, dịch tài liệu và tra cứu

- Phương pháp vật lý lý thuyết và vật lý toán

6 Cấu trúc khoá luận tốt nghiệp

Gồm 3 chương:

Chương 2: Điện tích của hạt trong từ trường của ống dây solenoid Chương 3: Bằng chứng thực nghiệm của hiệu ứng Aharonov - Bohm

PHẦN II: NỘI DUNG Chương I: Hệ phương trình Maxwell và đối xứng chuẩn

1.1 Hệ phương trình Maxwell

Năm 1861, nhà vật lý Scotland và Maxwell đã đề xuất một hệ phương trình

vi phân là cơ sở của điện động lực học cổ điển

Phương trình liên tục mà  và j

tuân theo có dạng:

và mật độ điện tích  Nếu nhìn vào phương trình Maxwell thứ hai (phương trình 1.2), sẽ thấy rằng từ trường luôn luôn không đổi Điều này có n ghĩa là khi sử dụng định lý Helmholz , có thể viết từ trường dưới

là những đại lượng đo được , có ý nghĩa vật

lý trực tiếp, còn các thế  và A là những đại lượng không thể đo được , chỉ có ý nghĩa vật lý gián tiếp

Sử dụng hai phương trình (1.6), (1.7), với cường độ B

và E

xác định thì các thế vô hướng  và các thế vector A không được xác định duy nhất Để xác định mối liên hệ giữa thế và nguồn của điện từ trường , tất cả các hiệ n tượng điện từ được mô tả trong biểu thức của thế Thật vậy, ta có thể thay thế

Thông thường điều kiện này được chọn dưới dạng:

và gọi là điều kiện Lorentz

Để nghiên cứu chuyển động của các hạt mang điện trong trường điện từ , cần thực hiện các phép thay thế xung lượng

 p    p  eA  (1.11)

Đối với Hamilton cổ điển của một hạt tự do

0

2 2

p H

       (1.13)

1.2 Đối xứng chuẩn

Thế điện từ có một thuộc tính quan trọng khác Nếu nhìn vào phương trình (1.6) và (1.7) một lần nữa ta sẽ thấy rằng các thế luôn có một dạng đạo hàm Điều này có nghĩa là nếu biến đổi thế  vàA

trong các cách sau:

Phép biến đổi được viết ở trên đ ược gọi là “ phép biến đổi chuẩn” và hàm 

gọi là “hàm chuẩn” Bởi vì các phương trình Maxwell có thể được thỏa mãn với các thế khác nhau ta nói rằng các phương trình là bất biến chuẩn

Bất biến chuẩn của các phương trình Maxwel l là lý do chính giải thích tại sao các thế luôn được coi là xây dựng thuần túy toán học mà không có bất kỳ ý nghĩa vật lý nào Quan điểm đó được thay đổi cùng với sự phát triển của cơ học lượng tử trong thế kỉ XX và đặc biệt khi hiệu ứng Aharonov – Bohm được đưa vào

Chương 2: Điện tích của hạt trong từ trường của ống dây

Solenoid

2.1 Phương trình Schrodinger trong điện từ trường

Trong cơ học cổ điển , để mô tả chuyển động của một hạt , hoặc sử dụng lực Lorentz trong đó có các trường, hoặc là bằng cách sử dụng dạng chính tắc và hàm Hamilton được biểu thị dưới dạng các thế Nhưng nếu muốn mô tả động năng của hạt trong cơ học lượng tử thì cần phải sử dụng dạng chính tắc bởi phương trình Schrodinger rõ ràng đã chứa hàm Hamilton

Đối với một hạt điện tích trong điện từ trường, hàm Hamilton có dạng:

( ( )) ( ) ( )2

trong đó mô tả động năng của các hạt điện tích trong điện từ trường

2.2 Thế vector của từ trường ống dây solenoid

Xét một hạt điện tích trong vù ng lân cận của một ống dây solenoid dài mang từ trườngB Nếu ống dây solenoid là rất dài , trường bên trong là đề u và trường bên ngoài bằng không và sử dụng hệ trục tọa độ trụ vớ i trục z ở giữa ống dây solenoid và hướng theo từ trường

Để giải phương trình Schrodinger, trước tiên phải xác định được thế A

và 

Vì ống dây solenoid không có điện tích, điện trường E   0 nên chọn   0, thỏa mãn phương trình trước

Thế vector A bên ngoài ống dây s olenoid phải thỏa mãn hai điều kiện Thứ nhất, B  A 0, đó chỉ đơn giản là định nghĩa của thế vector Thứ hai , phải thỏa mãn hệ quả của định lý Stokes

ˆ ,

2

mA

Thế vector được đưa ra ở phương trình (2.4) thỏa mãn cả hai điều kiện

Có thể thấy rằng , mặc dù từ trường Bđược giớ i hạn trong ống dây s olenoid

nhưng thế vector A bên ngoài ống dây không phải bằng không

Nếu sử dụng riêng hàm chuẩn  ( phương trình 1.8), chúng ta có thể đặt nó bằng không hầu như ở khắp mọi nơi bên ngoài ống dây solenoid , nhưng vẫn phải thỏa mãn các điều kiện ở phương trình (2.3)

2.3 Hàm sóng trong thế vector

Để mô tả hàm sóng của một hạt điện tích thì cần phải giải phương trình

Schrodinger (2.2) Trong trường hợp này nó có thể được đơn giản hóa bằng cách viết hàm sóng dưới dạng:

( )( , )r t e ig r ( , )r t



, (2.5) trong đó

thế A không xoáy (từ trường Bbằng 0) thì ( )g r phụ thuộc vào đường lấy tích phân trong phương trình (2.6) vì nó không phải là một hàm của r

Trong dạng của ’, gradient của  là

2 2

2.4 Hiệu ƣ́ng Aharonov – Bohm

Trong lý thuyết cổ điển, lực Lorentz có dạng:

Do đặc tính sóng của electron nên nó không bị bắt khi đi qua khe hở và tạo

ra cách giao thoa

Hình 2.1: Thí nghiệm hai khe với electron

Nếu bước sóng của electron là , sự chuyển pha giữa bước sóng của hai khe

d

 



 (2.12)

Cực đại xảy ra ở   2 n  và cực tiểu tại (2 n  1) 

Như vậy công thức trên cho ta biết cách giao thoa

Aharonov và Bohm (1959) đưa ra ý tưởng : đưa một solenoid vào giữa hai khe

Do vậy, sẽ có đường sức từ bên trong solenoid, nhưng ở ngoài thì không Nếu solenoid đủ nhỏ, khi đó electron sẽ chuyển động trong vùng không có từ trường

Trong hệ quy chiếu trụ, A chỉ có thành phần 

r

 

trong đó R là bán kính của solenoid

Vì  B   A, ta có trong hệ tọa độ trụ

Hàm sóng của electron trong trường tự do

  exp(i p r ) exp( )ig

 (2.15) Hiệu ứng của trường điện từ làm thay đổi xung lượng p bằng

p   p eA (2.16)

Trong đó e là điện tích của trường(electron)

Như vậy pha g của hàm sóng thay đổi theo

g  g e A r

 (2.17)

Sự thay đổi pha trên toàn quỹ đạo là

Sự giao thoa làm dịch chuyển theo

2

L e x

2.5 Hiệu ƣ́ng Aharonov – Bohm tƣ̀

Bây giờ xét một thí nghiệm tưởng tượng

Lấy một chùm electron , chia thành hai tia và gửi mỗi chùm tia điện từ qua ống dây solenoid về hai phía khác nhau của nó (hình 2.1)

Hình2 2: Sơ đồ hình ảnh của hiệu ứng Aharonov – Bohm từ

Vì vậy có thể hy vọng rằng chùm tia điện tử sẽ giao thoa khi chúng gặp nhau

ở phía bên kia của ống dây solenoid

Để mô tả sự giao thoa, có thể viết chùm dưới dạng sóng

  (2.22)

trong đó k là vector sóng của chùm tia điện tử và x1, x2 là độ dài mỗi tia

Nếu ống dây soleno id không chứa từ trường , thế vector bên ngoài sol enoid được đặt bằng không thì pha dịch chuyển giữa 1, 2và sự giao thoa sẽ chỉ

phụ thuộc vào pha giao thoa

 o k x ( 2  x1) (2.23)

Nhưng khi thay đổi từ trường trên, thế vector  A

là một dạng của phương trình (2.4), vì vậy các hàm sóng 1 và 2 sẽ có được các yếu tố như thể hiện trong

phương trình (2.5) Do đó biểu thức về pha giao thoa sẽ thay đổi:   g1 g2

Để tính toán sự khác biệt   g1 g2 cần phải sử dụng phương trình (2.6) và viết

C1 và C2 thay cho các đường đi của mỗi tia khi đi qua ống dây solenoid

Khi những chùm tia hình thành một đườn g cong kín quanh ống dây solenoid thì tổng số pha khác nhau giữa các tia sẽ tỉ lệ với thông lượng từ thông bên trong solenoid Vì vậy nếu thay đổi từ trường trong ống dây solenoid thì phải thay đổi pha khác nhau giữa các tia và hình ảnh giao thoa sẽ thay đổi Điều này được gọi

là hiệu ứng Aharonov – Bohm

Tiếp theo, một lần nữa ta sẽ chỉ ra được rằng k hi các chùm tia điện tử đi qua ống dây solenoid , chúng không bao giờ đi qua vùng không gian với t ừ trường khác không, do đó, trong điện động lực học cổ điển chúng ta mong chờ không có sự tương tác giữa điện trường và từ trường

Tuy nhiên, cũng nhận thấy rằng nếu mô tả các hạt trong cơ học lượng tử , từ trường trong khu vực b ị cô lập từ việc tạo ra các hạt mà hiệu ứng đo được trên chuyển động của chúng Vì vậy phải kết luận rằng , hoặc là sự tương tác giữa trường và hạt là không định xứ, hoặc các thế được mô tả thực chất vật l ý hơn so với các trường

Nếu thay đổi thế vector để A   A  và thực hiện phép lấy tíc h phân trong

phương trình (2.24), sẽ dễ dàng nhận thấy sự chênh lệch pha  không thay đổi

2.6 Hiệu ứng Aharonov – Bohm điện

Khi đề c ập đến hiệu ứng Aharonov – Bohm luôn luôn phải đề cập đến hiệu ứng được mô tả ở phần trước nhưng trong thực tế có hai loại hiệu ứng Trong hiệu ứng từ mô tả ở trên , hàm sóng có các pha khác nhau do các thế vector, trong đó mô tả từ tr ường Trong bài viết của mình, Aharonov và Bohm cũng mô tả thí

nghiệm tương tự trên , khi các hạt đi qua khu vực nơi mà điện trường E

bằng không nhưng thế vô hướng lại không bằng không

Trong thực tế, hiện tượng này của hiệu ứng dễ dàng để giải thích hơn

Như đã biết, hàm sóng với năng lượng E tăng lên theo thời gian

( , ) ( , 0)

Et i

đặc biệt, nơi thế vector và thế vô hướng ở dạng vật lý như nhau A ( , ) A