Hệ phương trình tuyến tính

Khi số các phương trình lớn các phương pháp truyền thống nhiều khi gặp khó khăn, chúng ta không thể giải quyết một cách chính xác mà chỉ có thể đưa ra lời giải gần đúng cho một bài toán.

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

TS NGUYỄN VĂN HÙNG

HÀ NỘI, 2012

Vì đây là lần đầu tiên em được làm quen với công việc nghiên cứu và kiến thức của bản thân còn hạn chế nên không thể tránh khỏi những thiếu sót

Em rất mong sự đóng góp ý kiến của các thầy cô và các bạn sinh viên để khóa luận của em được hoàn thiện hơn

Em xin trân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 5 năm 2012 Sinh viên

Nguyễn Thị Huệ

Lời cam đoan

Em xin cam đoan khóa luận là công trình nghiên cứu của riêng em Trong khi nghiên cứu, em đã kế thừa những thành quả nghiên cứu của các nhà khoa học, nhà nghiên cứu với sự trân trọng và biết ơn

Những kết quả nêu trong khóa luận chưa được công bố trên bất kì công trình nào khác

Hà Nội, tháng 5 năm 2012

Sinh viên

Nguyễn Thị Huệ

Mục lục

Lời cảm ơn………1

Lời cam đoan………2

Mở đầu……… 4

Nội dung Chương 1: Một số kiến thức cơ bản……….6

1.1 Số gần đúng và sai số……… 6

1.2 Chữ số có nghĩa, chữ số chắc……… 8

1.3 Sai số tính toán……… ……….… 9

1.4 Bài toán ngược của bài toán tham số……… 12

Chương 2: Lý thuyết về hệ phương trình tuyến tính……… 13

2.1 Các dạng biểu diễn hệ phương trình tuyến tính………13

2.2 Một số khái niệm……… 14

2.3 Nghiệm và điều kiện tồn tại nghiệm……… ………….14

2.4 Hệ n phương trình n ẩn………15

2.5 Phân tích sai số……….17

2.6 Chuẩn của ma trận và chuẩn củavec tơ………19

Chương 3: Một số phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính……… ….20

3.1 Phương pháp trực tiếp giải hệ phương trình tuyến tính………20

3.1.1 Phương pháp Gauss……… 20

3.1.2 Phương pháp Cholesky……….27

3.1.3 Phương pháp trực giao hóa……… 31

3.2 Phương pháp gián tiếp giải hệ phương trình tuyến tính… ………… 34

3.2.1 Phương pháp lặp đơn……… …… 34

3.2.2 Phương pháp Jacobi……… 40

3.2.3 Phương pháp Seidel……… 42

3.2.4 Phương pháp Gauss-Seidel……… …….45

Chương 4: Bài tập áp dụng……… 48

Kết luận……… ………63

Tài liệu tham khảo……… 64

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Các bài toán ứng dụng trong kinh tế kĩ thuật thường là không đẹp và không thể giải theo các phương pháp tính đúng Người ta cần các phương pháp giải có tính chất thuật giải và nếu các kết quả là gần đúng thì sai số phải

“đủ nhỏ” (thường là hội tụ về 0) Cho dù các phương pháp đó đòi hỏi lượng phép tính lớn, thì với máy tính bài toán dễ dàng được giải quyết Một trong các ngành học nghiên cứu các phương pháp như trên là giải tích số

Phương pháp giải tích số có ý nghĩa rất lớn trong đại số tuyến tính, đặc biệt là đối với việc giải hệ phương trình tuyến tính Khi số các phương trình lớn các phương pháp truyền thống nhiều khi gặp khó khăn, chúng ta không thể giải quyết một cách chính xác mà chỉ có thể đưa ra lời giải gần đúng cho

một bài toán Chính vì vậy em đã chọn đề tài “ Hệ phương trình tuyến tính”

với nội dung chủ yếu là tìm những phương pháp giải gần đúng hệ n phương trình tuyến tính n ẩn để làm khóa luận tốt nghiệp

2 Mục đích nghiên cứu

- Tìm hiểu các kiến thức về hệ phương trình tuyến tính

-Làm rõ các phương pháp giải gần đúng hệ phương trình tuyến tính

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu: kiến thức về hệ phương trình tuyến tính

Phạm vi nghiên cứu: kiến thức cơ bản về sai số; phương pháp giải trực tiếp; gián tiếp hệ phương trình tuyến tính

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Trình bày lý thuyết cơ bản về hệ phương trình tuyến tính

- Đề xuất các phương pháp giải gần đúng hệ phương trình tuyến tính

5 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu sử dụng các lí luận, các công cụ toán học

Nghiên cứu sách tham khảo, các tài liệu liên quan

Nghiên cứu lí luận, tổng hợp, đánh giá

6 Cấu trúc của khóa luận

Gồm 3 phần:

Phần I: Mở đầu

Phần II: Nội dung

Gồm 4 chương

Chương 1: Một số kiến thức cơ bản

Chương 2: Lý thuyết về hệ phương trình tuyến tính

Chương 3: Các phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính

Chương 4: Bài tập áp dụng

  sao cho a*a  a (1.1) hay a  a  a*  a  a

Số  thỏa mãn (1.1) được gọi là sai số tuyệt đối của a a

*

3.14  a  3.142; a  0.002Trong phép đo nói chung sai số tuyệt đối càng nhỏ càng tốt

Ví dụ 1.1.2 Đo độ dài hai đoạn thẳng AB, CD ta được a10cmvà b1cm; với a  b  0.01 Khi đó ta có a  0,1% còn b  1% hay

 Thu gọn a là vứt bỏ một số các chữ số bên phải của a để được số

ngắn gọn hơn nhưng vẫn đảm bảo độ chính xác cần thiết

 Giả sử sai số thu gọn của a là a Ta có a  a   a

Chọn   0.5 thì a có ba chữ số chắc là 1; 7; 0 còn 1; 3; 4 là ba chữ

số không chắc

Ta xét việc chọn  Giả sử a được viết dưới dạng :

Trong thực tế người ta chọn  = 1 hoặc  = 0.5

Nếu  = 1 người ta nói chữ số là chắc theo nghĩa rộng, còn khi  = 0.5 người ta nói chữ số là chắc theo nghĩa hẹp

Lưu ý: Khi viết số gần đúng ta chỉ nên giữ lại một hai chữ số không

chắc để khi tính toán sai số sai số chỉ tác động lên những chữ số không chắc

mà thôi

1.3 Sai số tính toán

Giả sử ta phải tính đại lượng y theo công thức y  ( ; ; ; )f x x1 2 x n Gọi x* ( ; ; ; ) x x1* *2 x*n ; y*  f x( )* là các giá trị đúng Giả sử ta không biết các giá trị đúng này, mà ta chỉ biết các giá trị x  ( ; ; ; )x x1 2 x n ; ( )

y  f x lần lượt là các giá trị gần đúng của *

x và y* Giả sử  ; x i x i (với i  1,n) là các sai số tuyệt đối và tương đối của các đối số Khi đó sai số của hàm y  ( ; ; ; )f x x1 2 x n được gọi là sai số

Với x  ( ; ; ; )x x1 2 x n là điểm giữa x và *

phép tính sẽ kém chính xác Ta khắc phục bằng cách tránh công thức đưa đến hiệu của hai số gần nhau

1.3.2 Sai số của phép toán nhân, chia

 Sai số của phép nhân

Giả sử y  x x1 2 x n

Ta có y  x1.x2 x n

ln y  ln x  ln x   ln x n

 Sai số của phép chia

2

x y

   (phép khai căn) thì độ chính xác tăng lên

1.3.4 Sai số của phép tính logarit

1.4 Bài toán ngược của bài toán tham số

Giả sử đại lượng y được tính theo công thức y  ( ; ; ; )f x x1 2 x n Cần tính  để x i  y ;   0 cho trước Theo công thức tính toán ta phải có :

Chương 2: Lý thuyết về hệ phương trình tuyến tính

2.1 Các dạng biểu diễn hệ phương trình tuyến tính

2.1.1 Dạng tổng quát

Xét hệ m phương trình bậc nhất đối với n ẩn x x1; ; ; ; 2 x3 x n

1 2 3

( , , , , )T

n n

x x

Khi đó hệ một có thể viết dưới dạng một phương trình vectơ:

 Không thuần nhất nếu có ít nhất một b  i 0 (i  1,m)

 Tương thích nếu hệ có ít nhất một nghiệm, tức là tồn tại một bộ giá trị của x x1; ; ; ; 2 x3 x mà khi thay vào sẽ có một đồng nhất thức n

 Hệ không tương thích nếu không có một nghiệm nào

 Hệ xác định nếu hệ chỉ có một nghiệm duy nhất

 Hệ bất định nếu tồn tại quá một nghiệm

2.3 Nghiệm và điều kiện tồn tại nghiệm

2.3.1 Nghiệm

Một vectơ n chiều x  c c1; ; ; ; 2 c3 c n được gọi là nghiệm của hệ (2.1.1) nếu ta thay các ẩn x bởi các số j c , ( j j  1,n) vào tất cả các phương trình của hệ ta được các đẳng thức đúng

Hai hệ phương trình tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm

() Giả sử hệ có nghiệm c c1; ; ; ; 2 c3 c Khi đó : n

n

x x x

n

b b b

2.4.2 Định lí về sự tồn tại và duy nhất nghiệm

Gọi det(A ) là định thức suy ra từ định thức det( A ) bằng cách thay cột j

thứ j bởi vế phải

Nếu det( A ) = 0 ta nói ma trận A suy biến và hệ (2.2.1) suy biến Khi

đó hệ phương trình vô nghiệm hoặc vô số nghiệm

Định nghĩa : Hệ (2.4.1.1) gọi là hệ Cramer nếu det( A ) ≠ 0 ( ma trận A

không suy biến ) Khi đó sẽ tồn tại ma trận nghịch đảo 1

Định lý :(Cramer) Hệ Cramer có nghiệm duy nhất cho bởi công thức:

detdet

1, ,

j j

A x

det

n n

1, ,

j j

A x

2.4.3 Biện luận về số nghiệm

Cho hệ phương trình (2.4.1.1) với ma trận hệ số A và ma trận mở rộng A

 Nếu rank( A ) ≠ rank( A) thì hệ vô nghiệm

 Nếu rank( A ) = rank( A) = r thì có 2 trường hợp r = n và r < n:

1.Trường hợp r = n thì hệ có nghiệm duy nhất

2.Trường hợp r < n thì hệ có vô số nghiệm

2.5 Phân tích sai số

2.5.1 Số điều kiện của ma trận

Giả sử x là một chuẩn nào đó của vectơ n

 được gọi là số điều kiện của ma trận A

và đại lượng đó kí hiệu là cond A( )

Ma trận A được gọi là ma trận điều kiện xấu nếu cond A là khá lớn; ( )( )

A A A 1

3  c  0 cond cA( )  cond A( )

4 Nếu D = diag d i n i1 thì cond (D) = ax

min

i i

d

2.5.2 Phân tích sai số

Giả sử x là nghiệm của hệ phương trình Ax = b (2.4.1.2)

x   là nghiệm của phương trình x A x(  x)  b  x

kiện xấu thì nghiệm của nó thay đổi nhiều so với những thay đổi nhỏ ở hệ số

và số hạng tự do Như vậy, vấn đề giải hệ phương trình tuyến tính bằng số với

ma trận điều kiện xấu và vế phải cho gần đúng là một bài toán khó của toán học tính toán

2.6 Chuẩn của ma trận và chuẩn của vectơ

 Chuẩn của vectơ

Vectơ là ma trận chỉ có một cột nên chuẩn của vectơ là:

1

n i i

Chương 3: Một số phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính

Nhiều vấn đề của khoa học kĩ thuật, kinh tế môi trường quy về việc giải

hệ phương trình tuyến tính (2.4.1.2) Ax = b Về phương diện lí thuyết hệ có thể giải được trọn vẹn nhờ lí thuyết ma trận và định thức Tuy nhiên trong trường hợp ma trận A không suy biến, nếu giải hệ bằng phương pháp Cramer thì số phép tính rất lớn Nhằm khắc phục hạn chế đó, trong chương này chúng

ta xét một số phương pháp thực tế giải hệ phương trình (2.4.1.2) với đặc điểm chung là khối lượng tính toán được giảm nhẹ

3.1 Phương pháp trực tiếp giải hệ phương trình tuyến tính

( )

n

n n

b b b

của ma trận b ở bước biến đổi thứ k

Hệ phương trình tương đương với:

Bước 1: Giả sử a11  0 chia dòng 1 cho a ( 11 a là phần tử trụ) 11

Hệ đã cho tương đương với

n n

a a

Hệ đã cho tương đương với:

22

j j

a a

a

 ;

(1) ( 2) 2

2 (1)

22

b b

a

 ( j  1, n) Tiếp tục thực hiện như trên cho đến khi đưa được ma trận hệ số về một

ma trận tam giác trên Hệ đã cho tương đương với:

(1) (1) (1) (1)

( 2) ( 2) ( 2)

(3) (3)

Trong trường hợp không sử dụng máy tính để giải, để hạn chế sai sót ta

có thể lập bảng (sơ đồ Gauss) để ghi lại quá trình tính toán

Để đơn giản ta xét hệ 3 phương trình 3 ẩn số:

 Với phương pháp Gauss được trình bày ở trên

- Phương pháp Gauss là phương pháp giải đúng, nhưng thực tế vẫn xảy ra sai số quy tròn Hơn nữa các tính toán trên máy tính chỉ là gần đúng Sai số sẽ lớn khi phần tử trụ có trị tuyệt đối nhỏ

- Không thực hiện được nếu ở bước k phần tử a kk  0

 Cải tiến phương pháp Gauss ở trên bằng cách: Ở bước k ta chọn

phần tử làm trụ có trị tuyệt đối lớn nhất để giảm sai số tính toán

Ta tìm dòng r :a rk  ax m a ik ; i  ,k n

Hoán vị dòng r với dòng k , sau đó mới thực hiện chia dòng k cho a kk

Khử x trong các phương trình còn lại ( k k  ,1 k  , …) 2

Ta có thể sử dụng phương pháp Gauss như đã trình bày để tính

Nội dung của phương pháp

Biến đổi ma trận A về ma trận tam giác có dạng

3.1.2.1 Nội dung phương pháp

Giả sử ma trận A có thể biểu diễn dưới dạng AB C Trong đó

11

21 22

1 2

0 0 0

n n

i j

ik kj k





 ; i j,  1,n (3.1.2.1.1) Xét các trường hợp cụ thể của (3.1.2.1.1):

B Bvà đồng nhất T

A  B B Ta có:

B với ma trận B dạng tam giác trên Dùng phép thế ngược ta tìm được nghiệm của hệ (2.4.1.2)

Tìm ma trận B theo công thức:

1 1

11

j j

a b

b

  j  1

1 2 1

i

ki kj k ii

11

b y

b

 ;

1 1

i i ki k

k ii

nn

y x

b



3.1.2.2 Nhận xét

 Thuật toán áp dụng cho cả trường hợp cijlà những số thuần ảo

 Phương pháp Cholesky thường áp dụng cho hệ chuẩn tắc nhận được khi xử lí số liệu bằng phương pháp bình phương tối thiểu Khi đó ma trận A của hệ là đối xứng, xác định dương và hệ Ax = b được giải duy nhất

 Khối lượng tính toán:

b

14 14

11

1

a b

b

  ; b22  a22  b122  5  2 2  1;

23 12 13 23

22

0 2 0.5

11

  

34 13 14 23 24 34

33

7.5 0.5 1 1 4

31

3.1.3 Phương pháp trực giao hóa

3.1.3.1 Nội dung phương pháp

Xét hệ (2.4.1.2.) Ax = b với ma trận A không suy biến

, ,, 2, 3, , 1

k

k k i i i

i k k

0

n

j j

v  không còn trực giao nữa

 Khối lượng tính toán :

;v1theo công thức (3.1.3.1) tính ta được:

Kết luận : Hệ phương trình có nghiệm là x  6;  2; 1 T

3.2 Phương pháp gián tiếp giải hệ phương trình tuyến tính

3.2.1 Phương pháp lặp đơn

3.2.1.1 Nội dung phương pháp

 Biến đổi hệ về dạng tương đương x  Bx  g (3.2.1.1) Bắt đầu với ( 0)

x nào đó, nếu dãy x(n1) Bx( )n g

  hội tụ về *

x khi n  thì *

Theo giả thiết q = B  1  Tlà ánh xạ co

Theo nguyên lý ánh xạ co thì T có điểm bất động duy nhất x  x(*)

R thì 1; 2; là tương đương nhau

Khi đó luôn có thể đưa được hệ phương trình (2.4.1.2) về dạng

x  Bx  g với điều kiện B < 1

Chứng minh

Giả sử điều kiện a được thỏa mãn khi đó ta viết lại hệ ở dạng

ij 1

( ) 1,

n nn

b a b a g

b a

ij 1

n

b b b

Vậy x(8) là nghiệm gần đúng của phương trình x  Bx  g

Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm gần đúng:

1 (2 AX )

X   X E  ,  k  0 (3.2.1.3) Nếu ta kí hiệu Y k  ( E  AX )k ,  k  0thì

Từ ước lượng ở trên rút ra rằng : Nếu ma trận X được chọn đủ tốt 0

(thỏa mãn điều kiện E  AX 0  1) thì dãy ma trận  X n n xây dựng như

3.2.2.1 Nội dung phương pháp

Nếu A là ma trận đường chéo trội thì có thể đưa hệ phương trình (2.4.1.2) về dạng x  Bx  g với ma trận B sao cho B  1 theo định lí (3.2.1.1.1)

Tiếp tục áp dụng phương pháp lặp đơn để tính nghiệm ở các bước Với vectơ (0)

= 0.0000476  0.00005

3.2.3 Phương pháp Seidel

3.2.3.1 Nội dung phương pháp

Giả sử ta có hệ (2.4.1.2) được đưa về dạng x  Bx  g

Phân tích B thành tổng hai ma trận tam giác B  B1  B2 Phương trình được viết lại thành x  B x1  B x2  g Chọn xấp xỉ ban đầu là ( 0)

x và tính được các xấp xỉ tiếp theo là : (1)

x ; ( 2)

x ; … ; (k 1)

x 

Trong đó ( )  ( ) ( ) ( )

0

n n n

b B

Chứng minh

Theo định lý (3.2.1.1.1) thì hệ phương trình (3.2.3.1) có nghiệm duy nhất (*)

Tốc độ hội tụ của phương pháp Seidel

Giả sử sau k  bước lặp ta tìm được nghiệm gần đúng 1 x(k1)

còn x(*) là nghiệm đúng của hệ (2.4.1.2) Khi đó ta có:

Phương pháp Seidel tiết kiệm bộ nhớ vì các thành phần vừa tính được

sử dụng ngay để tính các thành phần tiếp theo

Phương pháp Seidel hội tụ nếu B 1  1 hoặc B 2  1

Chú ý: Nghiệm đúng của hệ là (*)  

3, 2, 1 T

x  từ đó ta thấy phương pháp Seidel hội tụ tương đối mạnh

3.2.4 Phương pháp lặp Gauss-Seidel

3.2.4.1 Nội dung phương pháp

Với ma trận A có tính chéo trội, ta thấy rằng các phần tử thứ icủa các vectơ nghiệm tại bước thứ k được tính qua các phần tử ở các vị trí khác

itrong bước k  1

Phương pháp Gauss-Seidel cải tiến phương pháp Jacobi bằng cách dùng ngay những kết quả vừa tính được cho các thành phần của nghiệm tại bước k để tính các thành phần khác tại bước k Chỉ có những thành phần nào

chưa được tính thì mới lấy ở bước k  1

ij 1,

j j i ii

 Sự hội tụ của phương pháp Gauss-Seidel

Điều kiện hội tụ của phương pháp Gauss-Seidel cũng giống phương pháp lặp đơn và phương pháp Gauss-Seidel nói chung hội tụ nhanh hơn phương pháp lặp đơn