Tìm giá trị nhỏ nhất đó.. Trên tia HC lấy điểm D sao cho HD = HA.. Đường vuông góc với BC tại D cắt AC tại E.. Chứng minh rằng hai tam giác BEC và ADC đồng dạng.. Tính độ dài đoạn BE the
Trang 1PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI LỘC
TRƯỜNG THCS QUANG TRUNG
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH OLIMPIC LỚP 8
NĂM HỌC 2015 – 2016
Môn thi: Toán
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1: (6đ)
1 Cho biểu thức A = 2 3
2 3
1
1 : 1
1
x x x
x x
x
x
+
−
−
−
−
−
với x khác -1 và 1
a, Rút gọn biểu thức A
b, Tìm giá trị của x để A < 0
2 Giải phương trình: x - 30x + 31x - 30 = 04 2
Câu 2: (4đ)
1 Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
5x2 + 9y2 – 12xy + 8 = 24( 2y – x – 3 )
2 Tìm số tự nhiên n biết:
A= n3 – n2 + n - 1 là một số nguyên tố
Câu 3: (3đ)Tìm các giá trị của x để biểu thức :
P=(x-1)(x+2)(x+3)(x+6) có giá trị nhỏ nhất Tìm giá trị nhỏ nhất đó
Câu4: (6đ)
Cho tam giác ABC vuông tại A (AC > AB), đường cao AH (H∈BC) Trên tia HC lấy điểm D sao cho HD = HA Đường vuông góc với BC tại D cắt AC tại E
1 Chứng minh rằng hai tam giác BEC và ADC đồng dạng Tính độ dài đoạn
BE theo m AB=
2 Gọi M là trung điểm của đoạn BE Chứng minh rằng hai tam giác BHM và BEC đồng dạng Tính số đo của góc AHM
3 Tia AM cắt BC tại G Chứng minh: GB HD
BC = AH HC
+ .
Câu 5: (1đ)
Tìm số nguyên n để n5 + 1 chia hết cho n3 + 1
Trang 2
-Hết -PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐẠO TẠO
ĐẠI LỘC TRƯỜNG THCS QUANG TRUNG
ĐÁP ÁN CHẤM THI HSG TOÁN 8
Năm học: 2015 – 2016
1
(6đ)
1 a) Với x khác -1 và 1 thì :
A=
) 1 ( ) 1
)(
1 (
) 1 )(
1 ( :
1
1
2
2 3
x x x x x
x x x
x x x
+
− +
− +
+
−
−
+
−
=
) 2
1 )(
1 (
) 1 )(
1 ( : 1
) 1
)(
1 (
2
2
x x x
x x x
x x x x
+
− +
+
−
−
− + +
= ( 1 2 ) :(11 )
x
x
−
+ = (1+x2)(1−x) 1,0
b)Với x khác -1 và 1 thì A<0 khi và chỉ khi ( 1 +x2 )( 1 −x) < 0 (1) 1,0
Vì 1 +x2 > 0 với mọi x nên (1) xảy ra khi và chỉ khi 1 −x< 0
1
>
⇔ x KL:
1,0 1,0
2 x - 30x + 31x - 30 = 0 <=>4 2 (x - x + 1 x - 5 x + 6 = 02 ) ( ) ( ) (*) 1,0
Vì x2 - x + 1 = (x - 1
2)
2 + 3
4 > 0 ∀x(*) <=> (x - 5)(x + 6) = 0 1,0
x - 5 = 0 x = 5
x + 6 = 0 x = - 6
0,5 0,5 2
(4đ)
1 Giải phương trình nghiệm nguyên
5x2 + 9y2 – 12xy + 8 = 24( 2y – x – 3 )
⇔ 5x2 + 9y2 – 12xy + 8 +24x – 48y +72 = 0 0,5
⇔4x2 + 9y2 + 64 – 12xy – 48y + 32x +x2 – 8x +16 = 0
⇔ ( 2x – 3y + 8 )2 + ( x – 4 )2 = 0 0,5 suy ra x – 4 = 0 và 2x – 3y + 8 = 0 =>x =4 và y = 16/ 3 0,5 Vậy phương trình không có nghiệm nguyên 0,5
2 Ta có A= n3 – n2 + n - 1= (n-1)(n2+1) 0,75
A là một số nguyên tố 2 1 1 1
0
1 1
n n
Vậy n=0 hoặc n=1 thì A là số nguyên tố 0,5 3
(3đ)
P=(x-1)(x+6)(x+2)(x+3)=(x2+5x-6)(x2+5x+6)=(x2+5x)2-36 0
0
1,0
Trang 3Ta thấy (x2+5x)2 ≥0 nên P=(x2+5x)2-36 ≥ -36
Do đó Min P=-36 khi (x2+5x)2=0
1,0
Từ đó ta tìm được x=0 hoặc x=-5 thì Min P=-36 1,0 4
(6đ)
và BEC có:
Góc C chung
CD CA
CE =CB (Hai tam
giác vuông CDE và CAB đồng dạng)
Do đó, chúng dồng dạng (c.g.c)
Suy ra: BEC· =ADC· =135 0(vì tam giác AHD vuông cân tại H theo giả thiết)
Nên AEB· =45 0 do đó tam giác ABE vuông cân tại A
Suy ra: BE= AB 2 =m 2
2,0
BM BE AD
BC = ×BC = ×AC (do ∆BEC: ∆ADC)
mà AD AH= 2 (tam giác AHD vuông vân tại H)
BC = ×AC = × AC = AB = BE (do DABH : DCBA)
Do đó DBHM : DBEC (c.g.c), suy ra:
· =· =135 0Þ · =45 0
c Tam giác ABE vuông cân tại A, nên tia AM còn là phân giác góc BAC.Suy ra: GB AB
GC = AC ,
mà AB = ED(DABC : DDEC) =AH (ED/ /AH) =HD
GC =HC ⇒GB GC =HD HC ⇒BC = AH HC
5
(1đ)
Ta có: n5 + 1 M n3 + 1⇔n5 + n2 – n2 + 1 M n3 + 1
⇔n2(n3 + 1)- ( n2 – 1) ⇔M n3 + 1
⇔(n – 1)(n + 1) M(n+1)(n2 – n + 1)
⇔n – 1 Mn2 – n + 1
⇒n(n – 1) Mn2 – n + 1Hay n2 – n Mn2 – n + 1
⇒(n2 – n + 1) – 1 Mn2 – n + 1⇒ 1Mn2 – n + 1
0,5
Xét hai trường hợp:
+ n2 – n + 1 = 1 ⇒ n2 – n = 0 ⇔n(n – 1) = 0
⇔n = 0, n = 1 thử lại thấy thoả mãn đề bài
0,5
Trang 4+n2–n+1 =-1⇔n2–n+2=0,không có giá trị nào của m thoả mãn
Vậy với n=0 hoặc n=1thì n5+1 chia hết cho n3+1