4/ Cho tứ giỏc ABCD, chứng minh rằng uuur uuurAB DC= ⇒uuur uuurAD BC= 5/ Cho hỡnh bỡnh hành ABCD.. Dựa vào các quy tắc đã học: - Quy tắc ba điểm - Quy tắc hình bình hành - Quy tắc trung
Trang 1CHUYấN ĐỀ VECTƠ LỚP 10
Chuyên đề toán véc tơ
Dạng1:VECTƠ
A CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ.
1 Vec tơ là đoạn thẳng cú hướng
2 Để xỏc định một vec tơ cần biết một trong hai điều kiện
* Điểm đầu và điểm cuối của vec tơ * Độ dài và hướng
3 Hai vec tơ →a và→b được gọi là cựng phương nếu giỏ của chỳng song song hoặc trựng nhau Nếu hai
vec tơ cựng phương thỡ chỳng cú thể cựng hướng hoặc ngược hướng
4 Độ dài của một vec tơ là khoảng cỏch giữa điểm đầu và điểm cuối của vec tơ đú
5 →a=→b ⇔|→a|=|→b|và →a,→b cựng hướng
B BÀI TẬP.
1/ Cho hỡnh vuụng ABCD tõm O Liệt kờ tất cả cỏc vec tơ bằng nhau nhận đỉnh và tõm của hỡnh vuụng làm điểm đầu và điểm cuối
2/ Cho tứ giỏc ABCD Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của cỏc cạnh AB, BC, CD, DA Chứng minh
MN PQ và
MQ
3/ Cho tam giỏc ABC Gọi M, N là trung điểm cỏc cạnh AB và AC So sỏnh độ dài của hai vec tơ
BC
và
NM Vỡ sao cú thể núi hai vec tơ này cựng phương?
4/ Cho tứ giỏc ABCD, chứng minh rằng uuur uuurAB DC= ⇒uuur uuurAD BC=
5/ Cho hỡnh bỡnh hành ABCD Dựng AM =BA,MN =DA,NP=DC,PQ=BC Chứng minh AQ =→0
Dạng 2: Chứng minh các đẳng thức véc tơ
A Ph ơng pháp
*C1: Biến đổi một vế chỉ ra bằng vế còn lại
*C2: Biến đổi tơng đơng (Đa ĐT cần chứng minh về một ĐT luôn đúng)
*C3: Xuất phảt từ một ĐT luôn đúng biến đổi đa về ĐT cần chứng minh
*C4: Tạo dựng hình phụ
Dựa vào các quy tắc đã học:
- Quy tắc ba điểm
- Quy tắc hình bình hành
- Quy tắc trung điểm -Quy tắc trọng tõm tam giỏc
B Một số ví dụ
VD1: Cho tứ giác ABCD Gọi E, F lần lợt là trung điểm của AB, CD và O là trung điểm của EF.
1 CMR : AD + → BC = 2→ →EF ;
2 CMR : OA + → OB + → OC + → OD = 0→ r ;
3 CMR : MA + → MB + → MC + → MD = 4→ MO (với M tùy ý)→
VD2: Cho ∆ABC Trên hai cạnh AB, AC lấy 2 điểm D và E sao cho AD = 2→ DB , → CE = 3→ EA Gọi →
M là trung điểm DE và I là trung điểm BC CMR :
1 AM = 3→ 1 AB + 8→ 1 AC ;→
Trang 2CHUYấN ĐỀ VECTƠ LỚP 10
2 MI→ =
6
1 →
AB +
8
3 →
AC.
C Bài tập
Bài 1: Cho 4 điểm A, B, C, D Chứng minh rằng: AB CD AD CBuuur uuur uuur uuur+ = +
Bài 2: Cho tam giác ABC, gọi G là trọng tâm của tam giác và M là một điểm bất kì Chứng minh rằng:
1 GA GB GC 0uuur uuur uuur r+ + =
2 MA MB MC 3MGuuuur uuur uuur+ + = uuuur
Bài 3: Cho tam giác ABC Gọi M, N, P lần lợt là trung điểm của BC, CA, AB Chứng minh rằng:
AM BN CP 0+ + =
uuuur uuur uuur r
Bài 4: Cho hai tam giác ABC, A’B’C’ lần lợt có trọng tâm là G, G’ CMR: AA ' BB' CC' 3GG 'uuuur uuuur uuuur+ + = uuuur
Bài 5: Cho tam giác ABC, gọi M là trung điểm của AB và N là một điểm trên cạnh AC : NC=2NA Gọi K
là trung điểm của MN
1 CMR: AK 1AB 1AC
uuur uuur uuur
;
2 Gọi D là trung điểm của BC CMR: KD 1AB 1AC
uuur uuur uuur
Bài 6: Cho tam giác ABC, gọi G là trọng tâm của tam giác và H là điểm đối xứng với B qua G
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
2 Gọi M là trung điểm của BC Chứng minh rằng: MH 1AC 5AB
uuuur uuur uuur
Bài 7: Cho tam giác ABC, gọi I là điểm trên cạnh BC sao cho 2CI = 3BI Gọi J là điểm trên đ ờng BC kéo
dài sao cho 5JB = 2JC
1 Chứng minh rằng: AI 3AB 2AC ; AJ 5AB 2AC
uur uuur uuur uur uuur uuur
2 Gọi G là trọng tâm tam giác ABC Chứng minh: AG 35AI 1 AJ
Bài 8: Cho tam giác ABC, gọi O, G, H lần lợt là tâm đờng tròn ngoại tiếp, trọng tâm, trực tâm tam giác
ABC Gọi I là tâm đờng tròn đi qua trung điểm của 3 cạnh tam giác ABC
1 Chứng minh rằng: HA HB HC 2HOuuur uuur uuur+ + = uuur
2 Chứng minh rằng HG 2HO
3
=
uuur uuur
Từ đó suy ra H, G, O thẳng hàng
3 Chứng minh rằng: OA OB OC OH 3OGuuur uuur uuur uuur+ + = = uuur
4 Chứng minh rằng: OH 2OIuuur= uur
Bài 9: Cho tứ giác ABCD.Chứng minh rằng tồn tại duy nhất điểm G : GA GB GC GD 0uuur uuur uuur uuur r+ + + = (1)
Điểm G thoả mãn (1) gọi là trọng tâm của tứ giác ABCD hay cũng gọi là trọng tâm của hệ 4 điểm
Bài 10: Cho tam giác đều ABC tâm O M là một điểm tuỳ ý bên trong tam giác.
Chiếu M xuống 3 cạnh của tam giác thành D, E, F Chứng minh rằng: MD ME MF 3MO
2
uuuur uuur uuur uuuur
Dạng 3: Biểu diễn véc tơ
A Ph ơng pháp
*C1: Từ giả thiết xác định tính chất hình học, từ đó khai triển véc tơ cần biểu diễn bằng phơng pháp xen điểm hoặc hiệu
*C2: Từ giả thiết thiết lập mối quan hệ giữa các đối tợng, từ đó khai triển biểu thức này
Dựa vào các quy tắc đã học:
- Quy tắc ba điểm;
- Quy tắc hình bình hành;
- Quy tắc trung điểm
-Quy tac trong tam tam giac
B Một số ví dụ
Trang 3CHUYấN ĐỀ VECTƠ LỚP 10
VD1: Cho tam giác ABC, gọi M, N, P lần lợt là trung điểm của BC, CA, AB Hãy biểu diễn các véc tơ
, ,
AB BC CA
uuur uuur uuur
theo hai véc tơ BN CPuuur uuur,
VD2: Cho ∆ABC, lấy M, N, P sao cho MB = 3→ MC ;→ NA +3→ NC = 0→ r và PA + → PB = 0→ r Hãy biểu diễn
→
PM , PN theo hai véc tơ → AB và → AC →
C Bài tập
Bài 1: Cho tam giác ABC, gọi G là trọng tâm của tam giác và B’ là điểm đối xứng với B qua G Hãy biểu
diễn các véc tơ CB AB MBuuur uuuur uuuur', ', '(M là trung điểm của BC) theo hai véc tơ ar uuur r uuur=AB b BC, =
Bài 2 : Cho tam giác ABC, gọi I là điểm trên cạnh BC sao cho 2CI = 3BI, gọi J là điểm trên BC kéo dài
sao cho 5JB = 2JC
1 Biểu diễn uur uur AI AJ theo AB AC , uuur uuur , ;
2 Gọi G là trọng tâm tam giác ABC Biểu diễn uuurAG theo uuurAI và uurAJ
Bài 3: Cho tam giác ABC, gọi I là điểm trên cạnh BC kéo dài sao cho IB=3IC.
1 Biểu diễn uurAItheo hai véc tơ uuur uuurAB AC, ;
2 Gọi J, K lần lợt là các điểm thuộc cạnh AC, AB sao cho JA=2JC, KB=3KA Hãy biểu diễn uuurJK
theo uuur uuurAB AC, ;
3 Biểu diễn BCuuurtheo uurAI, uuurJK
Bài 4: Cho hình bình hành ABCD tâm O Hãy biểu diễn các véc tơ uurAI(I là trung điểm BO),
BG
uuur
(G là trọng tâm của tam giác OCD) theo hai véc tơ uuur uuurAB AD,
Bài 5: Cho lục giác đều ABCDEF Hãy biểu diễn các véc tơ uuur uuur uuur uuurAC AD AF EF, , , theo hai véc tơ uuur uuurAB AE,
Dạng 4: Tìm điểm M thoả mãn một đẳng thức véc tơ, độ dài
A Ph ơng pháp
- Biến đổi đẳng thức véc tơ đã cho về dạng OM vuuuur r= hoặc dạng OMuuuur = vr trong đó O là điểm cố định;
vr là véc tơ cố định
B Một số ví dụ
VD: Cho tam giác ABC, tìm các điểm I, J, K lần lợt thoả mãn các đẳng thức véctơ sau:
1 uurIA+2IBuur r=0;
2 uurJA+2uur uuurJB CB= ;
3 KA KB 2KC 0uuur uuur+ + uuur r=
C Bài tập
Bài 1: Cho hai điểm A, B Xác định điểm M thoả mãn: 2 MAuuur−3MBuuur r=0
Bài 2: Cho tam giác ABC, gọi M là trung điểm của AB và N là một điểm trên cạnh AC sao cho NC=2NA.
1 Xác định K sao cho 3AB 2AC 12AK 0uuur+ uuur− uuur r= ;
2 Xác định D sao cho 3AB 4AC 12KD 0uuur+ uuur− uuur r=
Bài 5: Cho ∆ABC và một điểm M bất kì
1 Chứng minh rằng v 3MA 5MB 2MCr= uuuur− uuur+ uuur không đổi;
2 Xác định điểm I thoả mãn 3IA 2IB IC 0uur− uur uur r+ = ;
BÀI TẬP LÀM THấM
1/cho tam giỏcABC nội tiếp trong đường trũn (O) Gọi H là trực tõm tam giỏc ABC; B’ là điểm đx với B qua O.Hóy so sỏnh cỏc vecto: uuurAHv B C ABàuuuur uuuur, ; ,&HCuuur
2/ Cho HBH ABCD Hai điểm M&Nlà trung điểm BC&AD
a/ Tỡm tổng của 2 vecto: uuurNC&MCuuuur ;uuuurAM&CDv ADuuur uuurà &NCuuur
Trang 4CHUYÊN ĐỀ VECTƠ LỚP 10
b/ C/M : AM AN AB ADuuuur uuur uuur uuur+ = +
3/ Cho lục giác đều ABCDEF tâm O C/M :OA OB OC OD OE OFuuur uuur uuur uuur uuur uuur r+ + + + + =0
4/ Cho VABC.Các điểm M,N,P là trung điểm :AB;AC;BC
a/ Tìm hiệu :uuuur uuuurAM −AN; MN NCuuuur uuuur− ; MN PNuuuur uuuur− ; BP CPuuur uuur−
b/ Phân tích AMuuuur theo 2 vecto :MNuuuur&MPuuur
5/Cho 6 điểm :A,B,C,D,E,F CMR : AD BE CF AE BF CDuuur uuur uuur uuur uuur uuur+ + = + +
6/ Cho ABCV Gọi M,N,Plà trung điểm AB;AC;BC.CMR với điểm O tùy ý ta có :
OA OB OC OM ON OPuuur uuur uuur uuuur uuur uuur+ + = + +
7/ Cho ngũ giác ABCDE CMR AB BC CD AE DEuuur uuur uuur uuur uuur+ + = −
8/ChoVABC có G là trọng tâm.Cho các điểm D.E.F là trung điểm BC;CA;AB.Gọi I là giao điểm của
AD&EF Đặt u AEr uuur= ; v AFr uuur= Hãy phân tích các vecto uur uuur uuur uuurAI AG DE DC; ; ; theo vecto: à ?uv vr uur
9/ Cho hbh ABCD cmr : uuurAB+2uuur uuurAC AD+ =3uuurAC
10/ Cho tứ giác ABCD Xác định điểm G sao cho: GA GB GC GDuuur uuur uuur uuur r+ + + =0
11/Cho VABC có trung tuyến AM Phân tích AMuuuur theo 2 vectơ uuurAB&uuurAC
12/Cho ABCV Gọi M là trung điểm AB và N thuộc AC : NA=2NC gọi K là trung điểm MN Phân tích
AK
uuur
theo vecto ABuuur và ACuuur
13/Cho ABCV Điểm I trên cạnh AC sao cho CI=1
4CA , Jlà điểm mà 1 2
BJ = AC− AB
uuur uuur uuur
4
BI = AC AB−
uur uuur uuur
b/CM B,I,J thẳng hàng c/ Hãy dựng điểm thỏa ĐK bài toán
14/Cho ABCV a/Tìm điểm K sao cho KAuuur+2uuur uuurKB CB= b/Tìm M: MA MBuuur uuur+ +2MCuuuur r=0
15/Cho VABC.Gọi A’là điểm đối xứng với B qua A; B’ là điểm đối xứng với C qua B ;C’là điểm đối xứng vớiA qua C CMR với điểm O bất kì ta có :OA OB OC OA OB OCuuur uuur uuur+ + =uuur uuur uuuur'+ '+ '
16/Cho 2 hình bình hành chung đỉnh A :ABCD vàAB’C’D’.CMR :
a/ BB CCuuur uuuur uuuur r'+ '+DD' =0 b/ Hai tam giác ∆BC D' và ∆B CD' 'có cùng trọng tâm
17/Cho hinh binh hành ABCD tam O va M
a/ CMR : OA + → OB + → OC + → OD = → r0
b/ CMR : MA→ + MB→ + MC + → MD→ = 4 MO→
18/ Cho hinh binh hanh ABCD co tam O va M, N la trung điem BC, CD
a/ CMR : OA + → OM + → ON = → r0
b/ CMR : AM→ =
2
1
(AD→ + 2AB→ )
19/Cho hinh binh hanh ABCD co O la tam Goi I la trung điem BC va G la trong tam ABCV
a/ ChƯng minh : 2→AI = 2AO + → AB→
b/ ChƯng minh : 3 DG = → DA→ + DB→ + DC→
CHÚC CÁC EM HỌC TẬP TỐT
Trang 5CHUYÊN ĐỀ VECTƠ LỚP 10
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRÊN TRỤC VÀ TRONG MẶT PHẲNG
1 Trục tọa độ
• Trục toạ độ (trục) là một đường thẳng trên đĩ đã xác định một điểm gốc O và một vectơ đơn vị er
Kí hiệu (O e ; r )
• Toạ độ của vectơ trên trục: ur=( )a ⇔ =u a er r.
• Toạ độ của điểm trên trục: M k( )⇔OM k euuur= r.
• Độ dài đại số của vectơ trên trục: AB a= ⇔uuurAB a e= r
Chú ý:+ Nếu uuurAB cùng hướng với e r thì AB AB= .
+ Nếu uuurAB ngược hướng với e r thì AB AB= − .
+ Nếu A(a), B(b) thì AB b a= − .
+ Hệ thức Sa–lơ: Với A, B, C tuỳ ý trên trục, ta cĩ: AB BC AC+ = .
2 Hệ trục toạ độ
• Hệ gồm hai trục toạ độ Ox, Oy vuơng gĩc với nhau Vectơ đơn vị trên Ox, Oy lần lượt là i jr r,
O là gốc toạ độ, Ox là trục hồnh, Oy là trục tung.
• Toạ độ của vectơ đối với hệ trục toạ độ: ur=( ; )x y ⇔ =u x i y jr r+ r.
• Toạ độ của điểm đối với hệ trục toạ độ: M x y( ; )⇔OM x i y juuur= r+ r.
• Tính chất: Cho ar=( ; ),x y br=( ; ),x y k R′ ′ ∈ , A x y ( ; ), ( ; ), ( ; ): A A B x y B B C x y C C
+ a b x x
y y
′
=
= ⇔ ′
=
r
r
+ a br± = ±r (x x y y′; ± ′) + kar=( ; )kx ky + 0v=(0;0) +vi=(1;0) +vj=(0;1) +o(0;0) +M∈ox⇔M x( ;0) +M∈oy⇔M(0; )y
+ br cùng phương với a 0r≠r ⇔ ∃ k ∈ R: x′ =kx và y′ =ky .⇔ x y
′ ′
= (nếu x ≠ 0, y ≠ 0).
+ uuurAB=(x B−x y A; B−y A).
+ Toạ độ trung điểm I của đoạn thẳng AB: I x A x B I y A y B
+ Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC: G x A x B x C G y A y B y C
+ Toạ độ điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k ≠ 1: M x A kx B M y A ky B
( M chia đoạn AB theo tỉ số k ⇔ uuurMA kMB= uuur).
VẤN ĐỀ 1: Toạ độ trên trục tọa độ
Bài 1. Trên trục x'Ox cho 2 điểm A, B cĩ tọa độ lần lượt là −2 và 5
a) Tìm tọa độ của ABuuur
b) Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB
c) Tìm tọa độ của điểm M sao cho MA2uuur+5MBuuur r=0
d) Tìm tọa độ điểm N sao cho 2NA+3NB= −1
Bài 2. Trên trục x'Ox cho 2 điểm A, B cĩ tọa độ lần lượt là −3 và 1
a) Tìm tọa độ điểm M sao cho MA3 −2MB=1
b) Tìm tọa độ điểm N sao cho NA+3NB AB=
VẤN ĐỀ 2: Toạ độ trên hệ trục tọa độ
Trang 6CHUYÊN ĐỀ VECTƠ LỚP 10
Bài 1. Viết tọa độ của các vectơ sau: a) a 2i 3 ;j b 1i 5 ;j c 3 ;i d 2j
3
= r+ r r= r− r = r r= − r
b) a i 3 ;j b 1i j c; i 3 j d; 4 ;j e 3i
= −r r r= r r+ = − +r r r= − r = r
Bài 2. Viết dưới dạng u xir= r+yjr khi biết toạ độ của vectơ ur là:
a) ur=(2; 3);− ur= −( 1;4);ur=(2;0);ur=(0; 1)− b) ur=(1;3);ur=(4; 1);− ur=(1;0); ur=(0;0)
Bài 3. Cho ar= −(1; 2),br=(0;3) Tìm toạ độ của các vectơ sau:
a) x a b y a b zr= +r r; r= −r r; r=2ar−3br b) u 3a 2 ;b v 2 b w; 4a 1b
2
Bài 4. Cho a (2;0),b 1;1 ,c (4; 6)
2
= = − ÷ = −
r
a) Tìm toạ độ của vectơ dr=2ar−3br+5c r b) Tìm 2 số m, n sao cho: ma b nc 0r+ −r r=r
c) Biểu diễn vectơ crtheo ,a br r
Bài 5. Cho hai điểm A(3; 5), (1;0)− B
a) Tìm toạ độ điểm C sao cho: OCuuur= −3uuurAB b) Tìm điểm D đối xứng của A qua C
c) Tìm điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k = –3.
Bài 6. Cho ba điểm A(–1; 1), B(1; 3), C(–2; 0)
a) Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng
b) Tìm các tỉ số mà điểm A chia đoạn BC, điểm B chia đoạn AC, điểm C chia đoạn AB
Bài 7. Cho ba điểm A(1; −2), B(0; 4), C(3; 2)
a) Tìm toạ độ các vectơ uuur uuur uuurAB AC BC, , b) Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn AB
c) Tìm tọa độ điểm M sao cho:CMuuur=2ABuuur−3uuurAC d) Tìm tọa độ điểm N sao cho:uuurAN+2BNuuur−4CNuuur r=0
Bài 8. Cho ba điểm A(1; –2), B(2; 3), C(–1; –2)
a) Tìm toạ độ điểm D đối xứng của A qua C
b) Tìm toạ độ điểm E là đỉnh thứ tư của hình bình hành cĩ 3 đỉnh là A, B, C
c) Tìm toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC
Bài 9. Cho hai đỉnh của hình vuơng là: (1; 2) ; (3; 5) Tìm hai đỉnh cịn lại của hình vuơng
Bài 10 Cho A(2; 1); B(3; 1) ; C(-4; 0) Xác định điểm D sao cho ABCD là hình thang cân đáy AB
Bai11 Cho ∆ABC :A(4; 3) , B(−1; 2) , C(3; −2)
a) Tìm tọa độ trọng tâm G của ∆ABC b) Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành
Bài 12 Cho A(2; 3), B(−1; −1), C(6; 0)
a) Chứng minh ba điểm A, B, C khơng thẳng hàng b) Tìm tọa độ trọng tâm G của ∆ABC c) Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành
Bài 13 Cho A(0; 2) , B(6; 4) , C(1; −1) Tìm toạ độ các điểm M, N, P sao cho:
a) Tam giác ABC nhận các điểm M, N, P làm trung điểm của các cạnh
b) Tam giác MNP nhận các điểm A, B, C làm trung điểm của các cạnh
Bài 14 Tam giác ABC cĩ A(1; 3) ; B(0; 1), trực tâm ( ; )8 9
5 5
H Tìm toạ độ tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC
ƠN TẬP: HÌNH HỌC CHƯƠNG I LỚP 10
ĐỀ 1:
1.Cho tứ giác ABCD Gọi I , J là trung điểm của AC và BD CMR : uuur uuurAB CD+ =2uurIJ
2.Cho bốn điểm A,B,C, D tuỳ ý Chứng minh rằng : uuur uuur uuur uuurAB CD AD CB+ = +
3 Cho tam giác ABC Gọi G là trong tâm tam giác CMR: 1 1
uuur uuur uuur
4.Cho tam giác ABC Gọi M là điểm trên cạnh BC sao cho MB = 2MC Chứng minh: AM 1AB 2AC
uuur uuur uuur
.
5.Cho hình bình hành ABCD Chứng minh rằng: uuur uuur uuurAB AC AD+ + =2uuurAC.
ĐỀ 2:
Trang 7CHUYÊN ĐỀ VECTƠ LỚP 10
Bài 1. Cho 4 điểm A, B, C, D Gọi I, J lần lượt là trung điểm của BC và CD Chứng minh: 2(uuur uur uur uuurAB AI JA DA+ + + ) 3= DBuuur.
Bài 2. Cho ∆ ABC Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC Chứng minh rằng:
a) AB 2CM 4BN
uuur uuur uuur
b) AC 4CM 2BN
uuur uuur uuur
c) MN 1BN 1CM
uuuur uuur uuur
.
Bài 3. Cho ∆ ABC cĩ trọng tâm G Gọi H là điểm đối xứng của B qua G.
a) Chứng minh: AH 2AC 1AB
uuur uuur uuur
và CH 1(AB AC)
3
uuur uuur uuur
.
b) Gọi M là trung điểm của BC Chứng minh: MH 1AC 5AB
uuuur uuur uuur
.
Bài 4. Cho hình bình hành ABCD, đặt uuurAB a AD b= r,uuur= r Gọi I là trung điểm của CD, G là trọng tâm của tam giác BCI Phân tích các vectơ BI AGuur uuur, theo a br, r.
ĐỀ3:
1.Cho ∆ABC và một điểm M thỏa hệ thức BM =2MC a) CMR : uuuurAM = AB AC
3
2 3
1 +
b) Gọi BN là trung tuyến của ∆ABC và I là trung điểm của BN
CMR : i/ 2MB+MA+MC =4MI ii/ AI+BM +CN =CI +BN+ AM
2.Cho ABC, dựng các hình bình hành ACMN; BCQP; ABRS.
a.)CMR: SRuur+PQuuur+MNuuuur=0r b) CMR: SNuur+MQuuuur=RPuuur
3.Cho ABC Gọi I, J lần lượt là 2 điểm thoả IAuur=2.IBuur, 2
3
=−
.G là trọngTâm tam giác ABC a)CMR: IJ 2 AC 2AB
5
b)Tính IG uur theo AB, AC uuur uuur c)CMR: IJ đi qua trọng tâm G
4.Cho hình bình hành ABCD.
a) Chứng minh rằng: uuur uuur uuurAB AC AD+ + =2uuurAC b) Xác định điểm M thoả mãn điều kiện: 3uuur uuur uuur uuurAM AB AC AD= + + .
ĐỀ 4:
Bài 1: Cho bốn điểm M, N, P, Q Gọi E, F lần lượt là trung điểm của MN và PQ.
1) Chứng minh rằng : M P + N Q =M Q + N P =2EF
uuuur uuuu r uuuur uuur uur
2) Xác định điểm G sao cho M G + N G + P G + Q G =0
uuuur uuuu r uuur uuur r Bài2 : Cho a =(2;1),b =(3; 4),- c = -( 7; 2)
Tìm tọa độ của xur sao cho x + 2a =5b- c
ur ur r r
Bài 3 : Cho ba điểm A(-1;4), B(-3;-2), C(2;3).
1) Tìm tọa độ của các vectơ A Buuur , C Auuur , B Cuuur
2) Chứng tỏ A, B, C là ba đỉnh của một tam giác
3) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC
4) Tìm tọa độ trung điểm I của GA
5) Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành
6) Tìm tọa độ điểm E nằm trên đường thẳng song song với trục tung và cắt trục hồnh tại điểm cĩ hồnh độ bằng 5 sao cho
ba điểm B, C, E thẳng hàng
ĐỀ 5:
Bài 1 Cho tam giác ABC cĩ G là trọng tâm, M là trung điểm của BC
a) Chứng minh GB GCuuur uuur+ = 2GMuuuur b) Phân tích vecto uuurAG theo uuur uuurAB AC,
Bài 2 Cho A(1; 1), B(2; –1), C(-5; 9)
a) Tìm tọa độ đỉnh D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành
b) Tìm tọa độ trọng tâm tam giác ABC
c) Tìm tọa độ điểm E sao cho B là điểm đối xứng của E qua A
Bài 3 Cho hình bình hành ABCD cĩ tâm O
a Chứng minh rằng : uuur uuur uuur uuurAB CD AD BC+ = − b Phân tích uuurOA theo uuur uuurAB AD,
Bài 4.Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường trịn tâm O Gọi G và H lần lượt là trọng tâm và trực tâm của ∆ ABC, Cịn M là trung điểm của BC
a So sánh hai vec tơ uuur uuuurHA MO,
b Chứng minh rằng : i) uuur uuur uuurHA HB HC+ + = 2uuurHO ii) OA OB OC OHuuur uuur uuur uuur+ + = iii) OA OB OCuuur uuur uuur+ + = 3OGuuur
c) Ba điểm O , H , G cĩ thẳng hàng khơng ?
ĐỀ 6:
1 Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC M, N, K lần lượt là trung điểm AB, AC, BC
Trang 8CHUYÊN ĐỀ VECTƠ LỚP 10
a Chứng minh : GM GN GK GA GB GCuuuur + uuur + uuur = uuur + uuur + uuur .
b Biết A( -1 ; 0), B( 3 ; 3), C(-6 ; 0) Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABDC là hình bình hành.
c Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.
2.Cho 4 điểm A, B, C, D Chứng minh rằng:
a ABuuur+CDuuur= ADuuur+CBuuur b ABuuur+ CAuuur+ BDuuur=ADuuur− ACuuur
3.Cho tam giác ABC Trên các đường thẳng BC, AC, AB lần lượt lấy các điểm M, N, P sao cho MBuuur= 3uuurMC, NAuuur= 3CNuuur,
PA PB 0+ =
uur uuur r
a Tính PM PNuuur uuur, theo uuur uuurAB AC, b Chứng minh ba điểm M, N, P thẳng hàng.
4 Cho ba điểm A(–1; 1), B(1; 3), C(–2; 0).
a Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng.
b Tìm các tỉ số mà điểm A chia đoạn BC, điểm B chia đoạn AC, điểm C chia đoạn AB.
ĐỀ 7:
Bài 1.Cho hình bình hành ABCD tâm O Gọi I là trung điểm BC
a) Chứng minh : OA+OB+OC+OD=0 b) Chứng minh :2AO+AB=2AI
c) Cho điểm P định bởi: 3AP+8AC=11AB Chứng minh ba điểm B,P,C thẳng hàng
Bài 2.Trong hệ trục tọa độ (O;i; j) Cho tam giác ABC cĩ A(2; 3), B( − 1; − 1), C(6; 0).
a) Tính tọa độ AB, AC b) Xác định tọa độ trung điểm I của cạnh AC và trọng tâm G của tam giác ABC
c) Xác định tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành
d) Cho x=2i+(2m−1)j, ( m là số thực).Tìm m để x và ACcùng phương
Bài 3.Cho tam giác ABC cĩ AB=c ,BC=a ,AC=b và trọng tâm G
Chứng minh : Nếu a.GA+ b GB+ c GC=0 thì tam giác ABC đều
Bài 4.Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC cĩ A(1;3), B(2;-3),C(-2;1).
a)Tìm tọa dộ điểm N nằm trên đường thẳng y= 3x biết N thuộc đường thẳng AC
b)Tìm hai số m và n thỏa hệ thức : m AB n AC BCuuur+ uuur uuur=
Bài 5: Cho A(0; 2) , B(6; 4) , C(1; − 1) Tìm toạ độ các điểm M, N, P sao cho:
a) Tam giác ABC nhận các điểm M, N, P làm trung điểm của các cạnh.
b) Tam giác MNP nhận các điểm A, B, C làm trung điểm của các cạnh.
ĐỀ SỐ 8 Bài 1 Cho hình chữ nhật ABCD CMR : uuur uuurAB AD+ = uuur uuurAB AD−
Bài 2 Cho ABC, dựng các hình bình hành ACMN; BCQP; ABRS.
a) CMR: uur uuur uuuur rSR PQ MN+ + = 0 b) CMR: uuur uuuur uuurSN MQ RP+ =
Bài 3 Cho ∆ ABC cĩ trọng tâm G Gọi I, J lần lượt là 2 điểm thoả uur uuurIB BA= , 2
3
= −
uur uuur
a) CMR: 2
2 5
= −
uur uuur uuur
IJ AC AB b) Tính uurIG theo uuur uuurAB AC, c) CMR : IJ đi qua trọng tâm G
Bài 4: Cho ba điểm A(1; − 2), B(0; 4), C(3; 2).
a) Tìm toạ độ các vectơ uuur uuur uuurAB AC BC, , b) Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn AB.
c) Tìm tọa độ điểm M sao cho: CMuuur=2uuurAB−3ACuuur d) Tìm tọa độ điểm N sao cho: uuurAN+2BNuuur−4CNuuur r=0.
ĐỀ SỐ 9 Bài 1 Cho 2 điểm A(1;2) ,B(3;–4) Tìm tọa độ điểm C biết C là điểm đối xứng với A qua B.
Bài 2 Cho A(–1;2), B(3;5), C(m;2m+1) Xác định m để A,B,C thẳng hàng
Bài 3Cho A(3;7), B(1;0), C(–5;7) Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành.
Bài 4 Cho ∆ ABC.
a) Xác định điểm I sao cho: IAuur+3IBuur−2ICuur r=0 b) Xác định điểm D sao cho: 3DBuuur−2DCuuur r=0.
c) Chứng minh 3 điểm A, I, D thẳng hàng.
d) Tìm tập hợp các điểm M sao cho: MAuuur+3uuurMB−2MCuuur = 2MA MB MCuuur uuur uuur− − .
Bài 5: Cho tam giác ABC Gọi M là trung điểm của AB, D là trung điểm của BC, N là điểm thuộc AC sao cho CNuuur=2NAuuur K là trung điểm của MN Chứng minh:
a) AK 1AB 1AC
uuur uuur uuur
b) KD 1AB 1AC
uuur uuur uuur
.
CHÚC CÁC EM HỌC TẬP TỐT.
Trang 9CHUYÊN ĐỀ VECTƠ LỚP 10