Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C của hàm số.. Gọi I là giao điểm của các đường tiệm cận.. Tìm toạ độ điểm M sao cho đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ nhất.. Lập
Trang 1ĐỀ THỬ SỨC TRƯỚC KỲ THI ĐẠI HỌC NĂM 2011
ĐỀ SỐ 1 Phần chung cho tất cả các thí sinh (7 điểm )
Câu I: (2 điểm) Cho hàm số y 2x 3
x 2
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
2 Cho M là điểm bất kì trên (C) Tiếp tuyến của (C) tại M cắt các đường tiệm cận của (C) tại A và B Gọi I là giao điểm của các đường tiệm cận Tìm toạ độ điểm M sao cho đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích
nhỏ nhất
2 4 cos 2 sin 2 cos sin
2 sin
x
2
1 log ) 2 ( 2 2 ) 1 4 4 ( log
2 1 2
2
Câu III (1 điểm) Tính tích phân
e
dx x x x x
x I
1
2 ln 3 ln 1 ln
Câu IV (1 điểm) Cho hình chóp S.ABC có AB = AC = a BC =
2
a
SA a 3, 0
30
SAB SAC Tính thể tích khối
chóp S.ABC
Câu V (1 điểm) Cho a, b, c là ba số dương thoả mãn: a + b + c = 3
4 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
3 3
3
3
1 3
1 3
1
a c c b b a
P
Phần riêng (3 điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần: Phần 1 hoặc phần 2
Câu VIa (2 điểm)
1 Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho cho hai đường thẳng d1:2x y50 d 2 : 3x +6y – 7= 0 Lập
phương trình đường thẳng đi qua điểm P( 2; -1) sao cho đường thẳng đó cắt hai đường thẳng d1 và d2 tạo ra một
tam giác cân có đỉnh là giao điểm của hai đường thẳng d1, d2
2 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho 4 điểm A( 1; -1; 2), B( 1; 3; 2), C( 4; 3; 2), D( 4; -1; 2) và mặt phẳng (P) có phương trình: xyz2 0 Gọi A’là hình chiêú của A lên mặt phẳng Oxy Gọi ( S) là mặt cầu
đi qua 4 điểm A’, B, C, D Xác định toạ độ tâm và bán kính của đường tròn (C) là giao của (P) và (S)
Câu VIIa (1 điểm) Tìm số nguyên dương n biết:
2C n 3.2.2C n ( 1) k k k( 1)2k C k n 2 (2 n n1)2 n C n n 40200
Câu VIb (2 điểm)
1.Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho Hypebol (H) có phương trình: 1
9 16
2 2
y
x
Viết phương trình
chính tắc của elip (E) có tiêu điểm trùng với tiêu điểm của (H) và ngoại tiếp hình chữ nhật cơ sở của (H)
2 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho P :x2yz50 và đường thẳng
3 1
2
3 :
)
(d x y z , điểm A( -2; 3; 4) Gọi là đường thẳng nằm trên (P) đi qua giao điểm của ( d) và (P)
đồng thời vuông góc với d Tìm trên điểm M sao cho khoảng cách AM ngắn nhất
Câu VIIb (1 điểm): Giải hệ phương trình
1 1
3
2 3 2 2 2
3 2
1 3
x xy x
x y y
x
Trang 2ĐÁP ÁN ĐỀ SỐ 1 – THÁNG 6 - 2011
2) Sự biến thiên của hàm số:
a) Giới hạn vô cực và các đường tiệm cận:
y lim
; y lim
2 x 2
x
Do đó đường thẳng x = 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
x y x y đường thẳng y = 2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm
số
0,25
b) Bảng biến thiên:
Ta có:
1 '
Bảng biến thiên:
x - 2 +
y
2
-
+
2
* Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng ;2 và 2;
0,25
3) Đồ thị:
+ Đồ thị cắt trục tung tại
2
3
;
0 và cắt trục hoành tại điểm
0
; 2 3
+ Nhận xét: Đồ thị nhận giao điểm I( 2; 2) của hai tiệm cận làm tâm đối
xứng
0,25
O
y
x
2 3/2 3/2
2
Trang 3I 2 Tìm M để đường tròn có diện tích nhỏ nhất 1,00
2 x
3 x 2
; x
0
0
,
0 0
2 x
1 )
x ( ' y
Phương trình tiếp tuyến với ( C) tại M có dạng:
3 x 2 ) x x ( 2 x
1 y
:
0
0 0 2
0,25
Toạ độ giao điểm A, B của và hai tiệm cận là: ; B x 2;2
2 x
2 x
; 2
0
x x 2
2 x 2 2
x x
0
0 B A
y 2 x
3 x 2
y y
suy ra M là trung điểm của AB
0,25
Mặt khác I = (2; 2) và tam giác IAB vuông tại I nên đường tròn ngoại tiếp
tam giác IAB có diện tích
) 2 x (
1 )
2 x ( 2
2 x
3 x )
2 x (
0
2 0 2
0
0 2
0
3 x
1 x )
2 x (
1 )
2 x (
0
0 2
0
2 0
Do đó có hai điểm M cần tìm là M(1; 1) và M(3; 3)
0,25
2 4 cos 2 sin 2 cos sin
2 sin
2 cos 1 x sin 2
x cos x sin 2
x sin 1
0,25
0 1 2
x cos 2
x sin 2 2
x cos 2
x sin x sin 0 1 x sin 2
x cos 2
x sin x
0 1 2
x sin 2 2
x sin 2 1 2
x sin x
2
sin x 0
x k
x k x
2 sin 2 sin 1
2
1 x 2
1 x 2
1 x
0 ) 1 x ( 2
1 x 0 1 x x 4
0 x 2 1
2 2
0,25
Với điều kiện (*) bất phương trình tương đương với:
log (1 x) 1
) 2 x ( 2 x 2 ) x 1 ( log
log (1 2x) 1 0
0,25
Trang 4
0 x 4
1 x
1 ) x 1 ( 2
0 x
1 ) x 1 ( 2
0 x
0 ) x 1 ( 2 log
0 x
0 ) x 1 ( 2 log
0 x
0 1 ) x 1 ( log
0 x
0 1 ) x 1 ( log
0 x
2 2
2
2
0,25
Kết hợp với điều kiện (*) ta có:
2
1 x 4
1
hoặc x < 0
0,25
e
1 2 e
1
xdx ln x 3 dx x ln 1 x
x ln I
+) Tính
e
dx x x
x I
1
1
ln 1
ln
x
1 tdt 2
; x ln 1 t x ln 1
Đổi cận: x1t1;xet 2
0,25
3
2 2 2 t
3
t 2 dt 1 t 2 tdt 2 t
1 t I
2
1
3 2
1 2 2
1
2
1
+) Tính I x lnxdx
e
1
2
2 Đặt
3
x v x
dx du dx
x dv
x ln u
3
e
1
I1 3I2
I
3
e 2 2 2
Theo định lí côsin ta có:
SB SA AB 2SA.AB cos SAB3a a 2.a 3.a.cos 30 a 0,25
S
A
B
C
M
N
Trang 5Gọi M là trung điểm của SA , do hai tam giác SAB và SAC là hai tam giác cân nên MB SA, MC SA Suy ra SA (MBC)
Ta có S.ABC S.MBC A.MBC MBC MBC SA.SMBC
3
1 S
SA 3
1 S
MA 3
1 V
V
0,25
Hai tam giác SAB và SAC có ba cặp cạnh tương ứng bằng nhau nên chúng bằng nhau Do đó MB = MC hay tam giác MBC cân tại M Gọi N là
trung điểm của BC suy ra MN BC Tương tự ta cũng có MN SA
16
a 3 2
3 a 4
a a AM BN
AB AM AN
MN
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2
4
3 a
MN
0,25
Do đó
16
a 2
a 4
3 a 3 a 6
1 BC MN 2
1 SA 3
1 V
3
ABC
áp dụng Bất đẳng thức Côsi cho ba số dương ta có
z y x
9 z
1 y
1 x
1 9 xyz
3 xyz 3 z
1 y
1 x
1 ) z y x
(
3 3
a 3 c c 3 b b a
9 a
3 c
1 c
3 b
1 b
a
1 P
0,25
áp dụng Bất đẳng thức Côsi cho ba số dương ta có
3
3
3
0,25
3
Do đó P 3
0,25
Dấu = xảy ra
3
4
4
Vậy P đạt giá trị nhỏ nhất bằng 3 khi abc1/4
0,25
VIa.
1
Lập phương trình đường thẳng
1 điểm
Gọi d là đường thẳng cần tìm, khi đó d song song với đường phân giác
ngoài của đỉnh là giao điểm của d1, d2 của tam giác đã cho
Các đường phân giác của góc tạo bởi d1, d2 có phương trình
) ( 0 8 y x
) ( 0 22 y 9 x 7
y 6 x 5 y x 3 6
3
7 y x ) 1 ( 2
5 y x
2
2
1 2
2 2
2
0,25
Trang 6+) Nếu d // 1 thì d có phương trình x yc0
Do Pd nên 69c0c15d:x y50 0,25 +) Nếu d // 2 thì d có phương trình x yc0
Do Pd nên 183c0c15d: xy50 0,25 Vậy qua P có hai đường thẳng thoả mãn yêu cầu bài toán d: xy50
0 5 y x
:
VIa
2
Xác định tâm và bán kính của đường tròn
1 điểm
Dễ thấy A’ ( 1; -1; 0)
* Giả sử phương trình mặt cầu ( S) đi qua A’, B, C, D là: 0,25
, 0 d cz 2 by 2 ax 2 z y
Vì A',B,C,D S nên ta có hệ:
1 d
1 c
1 b 2
5 a
0 21 d c 4 b 2 a 8
0 29 d c 4 b 6 a 8
0 14 d c 4 b a 2
0 2 d b a 2
Vậy mặt cầu ( S) có phương trình: x2 y2 z2 5x2y2z10
0,25
(S) có tâm
1
; 1
; 2
5
I , bán kính
2
29
R
+) Gọi H là hình chiếu của I lên (P) H là tâm của đường tròn ( C)
+) Gọi ( d) là đường thẳng đi qua I và vuông góc với (P)
(d) có vectơ chỉ phương là: n 1;1;1
t 1
; 1
; 2
5 H t
1 z
t 1 y
t 2 / 5 x
Do H d (P) nên:
6
5 t 2
5 t 3 0 2 t 1 t 1 t 2
5
6
1
; 6
1
; 3
5 H
0,25
6
3 5 36
75
IH , (C) có bán kính
6
186 6
31 36
75 4
29 IH
R
VII
a
Tìm số nguyên dương n biết
1 điểm
1 n k
k 1 n k 2
2 1 n 1
1 n 0
1 n 1 n
x C
x C ) 1 (
x C x C C
) x 1
* Lấy đạo hàm cả hai vế của (1) ta có:
n 1 n 1 n 1
k k 1 n k 2
1 n 1
1 n n
x C ) 1 n (
x kC ) 1 (
x C 2 C
) x 1 )(
1 n 2
0,25
Lại lấy đạo hàm cả hai vế của (2) ta có:
1 n 1 n 1 n 2
k k 1 n k
3 1 n 2
1 n 1 n
x C ) 1 n ( n
x C ) 1 k ( k ) 1 (
x C 3 C 2 ) x 1 )(
1 n (
Thay x = 2 vào đẳng thức trên ta có:
2n(2n 1) 2C 3.2.2C ( 1) k(k 1)2 C 2n(2n 1)2 C
Phương trình đã cho n(2n1)402002n2n201000n100 0,25
VIb Viết phương trình chính tắc của E líp
1 điểm
Trang 7đỉnh là M( 4; 3),
Giả sử phương trình chính tắc của (E) có dạng: 1
b
y a
x 2 2
2
2
( với a > b) (E) cũng có hai tiêu điểm F15;0 ;F2 5;0 a2 b2 52 1
0,25
4;3 E 9a 16b a b 2
Từ (1) và (2) ta có hệ:
15 b
40 a b
a b 16 a 9
b 5 a
2 2
2 2 2 2
2 2 2
0,25
Vậy phương trình chính tắc của (E) là: 1
15
y 40
x2 2
VIb
2
Tìm điểm M thuộc để AM ngắn nhất
1 điểm
Chuyển phương trình d về dạng tham số ta được:
3 1
3 2
t z
t y
t x
Gọi I là giao điểm của (d) và (P) I2t3;t1;t3
Do I P 2t32(t1)(t3)50t1I1;0;4
0,25
* (d) có vectơ chỉ phương là a(2;1;1), mp( P) có vectơ pháp tuyến là
1;2;1
n
a,n 3;3;3
Gọi u là vectơ chỉ phương của u 1;1;1
0,25
u 4 z
u y
u 1 x : Vì MM1u;u;4u , AM1u;u3;u 0,25
AM ngắn nhất AM AMuAM.u01(1u)1(u3)1.u0
3
4
u
3
16
; 3
4
; 3
7
) 2 ( 1 x xy 1 x
) 1 ( 2
3 2 2
2
x y 2 y 1 x
Phương trình (2)
0 ) 1 3
(
1 1
1 3
0 1
x x
xy x
x
x y
x x
y x x x
3 1 1 0
0 1 3
0 1
0,25
* Với x = 0 thay vào (1)
11
8 log 11
8 2 2 12 2 8 2 3 2
Trang 8* Với
x y
x
3 1
1
thay y = 1 – 3x vào (1) ta được: 23x123x1 3.2
Đặt 3 1
2
x
t Vì x1 nên
4
1
t
) 8 3 ( log 2 y
1 8 3 log 3
1 x 8
3 t
i
ạ lo 8 3 t 0 1 t 6 t 6 t
1 t )
3
(
2
2 2
0,25
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm
11
8 log y
0 x
2
) 8 3 ( log 2 y
1 8 3 log 3
1 x
2 2
0,25
