Chứng minh AM là tiếp tuyến của đường trũn O.. a Chứng minh tứ giác QPER nội tiếp đợc trong một đờng tròn.. Chứng minh rằng điểm M luôn nằm trên cung tròn cố định khi tia Qx thay đổi vị
Trang 11) Rút gọn biểu thức:
−
2.
Cho biểu thức: A = 2 1 3 112
a/ Rút gọn biểu thức A b/ Tìm x để A < 2 c/ Tìm x nguyên để A nguyên
3 Cho biểu thức
1 1
P
a/Rỳt gọn P b/Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của P.
4 Rút gọn các biểu thức sau : a) 2 3 3 27+ − 300
b) 1 1 : 1
5.
a) Rỳt gọn biểu thức: A = 2( x 2) x
x 4 − + x 2
− + với x ≥ 0 và x ≠4.
6 Rỳt gọn biểu thức: P =
−
+
−
−
+
2 2
1 :
1 1
1
a
a a
a a
7 Hóy rỳt gọn biểu thức: B = x - 2x - x
x -1 x - x , điều kiện x > 0 và x ≠1
8 Rút gọn:
−
−
−
+ +
+
1
1
x x x
x x
9.
a 1
= − − − ữ + + − ữ
a) Rỳt gọn biểu thức K b) Tớnh giỏ trị của K khi a = 3 + 2 2 c) Tỡm cỏc giỏ trị của a sao cho K < 0
10 Cho biểu thức : M = 1 1 1 1
− −
− + ữ ữ
a, Rút gọn biểu thức M b, Tính giá trị của M khi a = 1
9
11 1 Rỳt gọn cỏc biểu thức sau: a) 3 13 6
2 3 +4 3+ 3
b) x y y x x y
− + −
− với x > 0 ; y > 0 ; x≠y
2 DẠNG TOÁN LẬP PT:
1) Một hỡnh chữ nhật cú chiều dài hơn chiều rộng 2 cm và diện tớch của nú là 15 cm2 Tớnh chiều dài
và chiều rộng của hỡnh chữ nhật đú
2) Hai ô tô cùng xuất phát từ A đến B, ô tô thứ nhất chạy nhanh hơn ô tô thứ hai mỗi giờ 10
km nên đến B sớm hơn ô tô thứ hai 1 giờ Tính vận tốc hai xe ô tô, biết quãng đờng AB là
300 km
Trang 23km/h, vỡ vậy thời gian về ớt hơn thời gian đi là 36 phỳt Tớnh vận tốc của người đi xe đạp khi đi từ A đến B
4.
Một mảnh vườn hỡnh chữ nhật cú diện tớch là 720m2, nếu tăng chiều dài thờm 6m và giảm chiều rộng đi 4m thỡ diện tớch mảnh vườn khụng đổi Tớnh kớch thước (chiều dài và chiều rộng) của mảnh vườn
5.
Một hình chữ nhật có chu vi là 160m và diện tích là 1500m2 Tính chiều dài và chiều rộng hình chữ nhật ấy
6 Một ngời đi xe đạp phải đi trong quãng đờng dài 150 km với vận tốc không đổi trong một
thời gian đã định Nếu mỗi giờ đi nhanh hơn 5km thì ngời ấy sẽ đến sớm hơn thời gian dự
định 2,5 giờ Tính thời gian dự định đi của ngời ấy
7.
Một đội xe cần chở 480 tấn hàng Khi sắp khởi hành đội đợc điều thêm 3 xe nữa nên mỗi xe chở ít hơn dự định 8 tấn Hỏi lúc đầu đội xe có bao nhiêu chiếc? Biết rằng các xe chở
nh nhau
8 Giải bài toán sau bằng cách lập phơng trình hoặc hệ phơng trình:
Một ca nô chuyển động xuôi dòng từ bến A đến bến B sau đó chuyển động ngợc dòng từ B về A hết tổng thời gian là 5 giờ Biết quãng đờng sông từ A đến B dài 60 Km và vận tốc dòng nớc là 5 Km/h Tính vận tốc thực của ca nô (( Vận tốc của ca nô khi nớc đứng yên )
Cõu 1 (3,5 điểm)
Cho điểm A nằm ngoài đường trũn tõm O bỏn kớnh R Từ A kẻ đường thẳng (d) khụng đi qua tõm O, cắt đường trũn (O) tại B và C ( B nằm giữa A và C) Cỏc tiếp tuyến với đường trũn (O) tại B và C cắt nhau tại D Từ D kẻ DH vuụng gúc với AO (H nằm trờn AO), DH cắt cung nhỏ BC tại M Gọi I là giao điểm của DO và BC
1 Chứng minh OHDC là tứ giỏc nội tiếp được
2 Chứng minh OH.OA = OI.OD
3 Chứng minh AM là tiếp tuyến của đường trũn (O)
4 Cho OA = 2R Tớnh theo R diện tớch của phần tam giỏc OAM nằm ngoài đường trũn (O)
Bài 2 (3,0 điểm): Cho tam giác PQR vuông cân tại P Trong góc PQR kẻ tia Qx bất kỳ cắt PR
tại D (D không trùng với P và D không trùng với R) Qua R kẻ đờng thẳng vuông góc với Qx tại E Gọi F là giao điểm của PQ và RE
a) Chứng minh tứ giác QPER nội tiếp đợc trong một đờng tròn
b) Chứng minh tia EP là tia phân giác của góc DEF
c) Tính số đo góc QFD
d) Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng QE Chứng minh rằng điểm M luôn nằm trên cung tròn cố định khi tia Qx thay đổi vị trí nằm giữa hai tia QP và QR
Bài 3: (3,5 điểm)
Cho đường trũn (O ; R) đường kớnh AB và dõy CD vuụng gúc với nhau (CA < CB) Hai tia BC và DA cắt nhau tại E Từ E kẻ EH vuụng gúc với AB tại H ; EH cắt CA ở F Chứng minh rằng :
1/ Tứ giỏc CDFE nội tiếp được trong một đường trũn
2/ Ba điểm B , D , F thẳng hàng
3/ HC là tiếp tuyến của đường trũn (O)
Câu 4:(3,0 điểm)
Cho đờng tròn tâm O đờng kính AB cố định H thuộc đoạn thẳng OA( H khác A;O và trung
điểm của OA) Kẻ dây MN vuông góc với AB tại H MN cắt AK tại E
1 Chứng minh tứ giác HEKB nội tiếp
2 Chứng minh tam giác AME đồng dạng với tam giác AKM
Trang 33 Cho điểm H cố định, xác định vị trí của K để khoảng cách từ N đến tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác MKE nhỏ nhất
Bài 5 ( 3,5 điểm )Cho đường trũn (O), đường kớnh AB cố định, điểm I nằm giữa A và O sao cho
AI = 2
3AO Kẻ dõy MN vuụng gúc với AB tại I Gọi C là điểm tựy ý thuộc cung lớn MN sao cho C khụng trựng với M, N và B Nối AC cắt MN tại E
a) Chứng minh tứ giỏc IECB nội tiếp được trong một đường trũn
b) Chứng minh ∆AME ∆ACM và AM2 = AE.AC
c) Chứng minh AE.AC - AI.IB = AI2
d) Hóy xỏc định vị trớ của điểm C sao cho khoảng cỏch từ N đến tõm đường trũn ngoại tiếp tam giỏc CME là nhỏ nhất
Bài6: (3,0 điểm)
Cho A là một điểm trên đờng tròn tâm O, bán kính R Gọi B là điểm đối xứng với O qua A Kẻ đờng thẳng d đi qua B cắt đờng tròn (O) tại C và D (d không đi qua O, BC < BD) Các tiếp tuyến của đờng tròn (O) tại C và D cắt nhau tại E Gọi M là giao điểm của OE và
CD Kẻ EH vuông góc với OB (H thuộc OB) Chứng minh rằng:
a) Bốn điểm B, H,M, E cùng thuộc một đờng tròn
b) OM.OE = R2
c) H là trung điểm của OA
Bài 7 Cho hỡnh vuụng ABCD, điểm M thuộc cạnh BC (M khỏc B, C) Qua B kẻ đường thẳng
vuụng gúc với DM, đường thẳng này cắt cỏc đường thẳng DM và DC theo thứ tự tại H và K
1 Chứng minh: Cỏc tứ giỏc ABHD, BHCD nội tiếp đường trũn;
2 Tớnh ãCHK ;
3 Chứng minh KH.KB = KC.KD;
4 Đường thẳng AM cắt đường thẳng DC tại N Chứng minh 12 1 2 12
AD =AM +AN
Câu 8: Cho nửa đờng tròn tâm O đờng kính AB Từ điểm M trên tiếp tuyến Ax của nửa đờng
tròn vẽ tuyếp tuyến thứ hai MC(C là tiếp điểm) Hạ CH vuông góc với AB, đờng thẳng MB cắt
đờng tròn (O) tại Q và cắt CH tại N Gọi giao điểm của MO và AC là I Chứng minh rằng:
a/ Tứ giác AMQI nội tiếp
b/ ãAQI = ãACO
c/ CN = NH
Cõu 9: Cho đường trũn (O) đường kớnh AB, C là một điểm nằm giữa O và A Đường thẳng qua C
vuụng gúc với AB cắt (O) tại P,Q.Tiếp tuyến tại D trờn cung nhỏ BP, cắt PQ ở E; AD cắt PQ tại F .Chứng minh:
a/ Tứ giỏc BCFD là tứ giỏc nội tiếp
b/ED=EF
c/ED2=EP.EQ
Bài 10 (3,0 điểm)
Cho điểm M nằm ngoài đờng tròn (O;R) Từ M kẻ hai tiếp tuyến MA , MB đến đ-ờng tròn (O;R) ( A; B là hai tiếp điểm)
a) Chứng minh MAOB là tứ giác nội tiếp
b) Tính diện tích tam giác AMB nếu cho OM = 5cm và R = 3 cm
c) Kẻ tia Mx nằm trong góc AMO cắt đờng tròn (O;R) tại hai điểm C và D ( C nằm giữa M và D ) Gọi E là giao điểm của AB và OM Chứng minh rằng EA
là tia phân giác của góc CED
Câu 11(3,0 điểm)
1/ Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đờng tròn tâm O Các đờng cao BH và CK tam giác ABC cắt nhau tại điểm I Kẻ đờng kính AD của đờng tròn tâm O, các đoạn thẳng DI và BC cắt nhau tại M.Chứng minh rằng
a/Tứ giác AHIK nội tiếp đợc trong một đờng tròn
b/OM⊥BC
Trang 4E I
H B
O
A C
2/Cho tam giác ABC vuông tại A,các đờng phân giác trong
của goác B và góc C cắt các cạnh AC và AB lần lợt tại D và
E Gọi H là giao điểm của BD và CE, biết AD=2cm, DC= 4
cm tính độ dài đoạn thẳng HB
Cõu 1(3,5 điểm)
Giải
a) Ta cú: DH ⊥AO (gt) ⇒ OHD = 900
CD ⊥OC (gt) ⇒ DOC = 900
Xột Tứ giỏc OHDC cú OHD + DOC = 1800
Suy ra : OHDC nội tiếp được trong một đường trũn
b) Ta cú: OB = OC (=R) ⇒
O nằm trờn đường trung trực của BC; DB = DC (T/C của hai tiếp tuyến cắt nhau)
⇒ D nằm trờn đường trung trực của BC
Suy ra OD là đường trung trực của BC => OD vuụng gúc với BC
Xột hai tam giỏc vuụng ∆OHD và ∆OIA cú DOA chung
⇒ ∆OHD đồng dạng với ∆OIA (g-g)
Trang 5⇒ OH.OA OI.OD
OA
OD OI
OH = ⇒ = (1)
c) Xột ∆OCD vuụng tại C cú CI là đường cao Áp dụng hệ thức lượng trong tam giỏc
vuụng,
ta cú: OC2 = OI.OD mà OC = OM (=R) ⇒ OM2 = OC2 = OI.OD (2)
Từ (1) và (2) : OM2 = OH.OA
OM
OH OA
OM =
Xột 2 tam giỏc : ∆OHM và ∆OMA cú : AOM chung và
OM
OH OA
OM =
Do đú : ∆OHM ∆OMA (c-g-c)
⇒OMA = OHM= 900.⇒ AM vuụng gúc với OM tại M⇒ AM là tiếp tuyến của (O)
d) Gọi E là giao điểm của OA với (O); Gọi diện tớch cần tỡm là S
⇒ S = S∆AOM - SqOEBM
Xột ∆OAM vuụng tại M cú OM = R ; OA = 2R
Áp dụng định lớ Pytago ta cú AM2 = OA2 – OM2 = (2R)2 – R2 = 3R2
⇒ AM = R 3⇒ S∆AOM =
2
1 OM.AM = R2
2
3 (đvdt)
Ta cú SinMOA =
2
3 OA
AM = ⇒ MOA = 600
⇒ SqOEBM =
6
Π.R 360
.60 Π.R2 = 2 (đvdt)
=> S = S∆AOM - SqOEBM =
6
Π 3 3 R 6
Π.R 2
3
R2 − 2 = 2 − (đvdt).
Bài 2:
a) Ta có: ∠QPR = 900 ( vì tam giác PQR vuông cân ở P)
∠QER = 900 ( RE ⊥ Qx)
Tứ giác QPER có hai đỉnh P và E nhìn đoạn thẳng QR dới một góc không đổi (900)⇒
Tứ giác QPER nội tiếp đờng tròn đờng kính QR
b) Tứ giác QPER nội tiếp ⇒ ∠PQR +∠PER = 1800
mà ∠PER + ∠PEF = 1800 (Hai góc kề bù)
⇒ ∠PQR = ∠PEF ⇒ ∠PEF = ∠PRQ (1)
Mặt khác ta có: ∠PEQ = ∠PRQ (2) <Hai góc nội tiếp cùng chắn cung PQ của đờng
tròn ngoại tiếp tứ giác QPER>
Từ (1) và (2) ta có ∠PEF = ∠PEQ ⇒ EP là tia phân giác của gócDEF
c) Vì RP⊥QF và QE⊥RF nên D là trực tâm của tam giác QRF suy ra
FD⊥QR⇒ ∠QFD = ∠PQR (góc có cạnh tơng ứng vuông góc)
mà ∠PQR = 450 (tam giác PQR vuông cân ở P) ⇒ ∠QFD = 450
d) Gọi I là trung điểm của QR và N là trung điểm của PQ (I,N cố định)
Q
P
R
F
x
M
I N
Trang 61 xét tứ giác HEKB có:
EHB = 900 ( vì MN⊥AB)
EKB = 900 ( vì AKB là góc nội tiếp chắn nửa đờng tròn)
=>EKB + EHB =1800
=> Tứ giác HEKB nội tiếp vì có tổng hai góc đối bằng 1800
2 Vì MN⊥AB nên A nằm chính giữa cung nhỏ MN
=> cung AM = cung AN
=>AMN = AKM( hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau)
Xét ∆AME và ∆AKM có:
A chung
AME = AKM ( cm trên)
.
E M
O H
K I
Trang 7E N
H
M
D C
O
1
=> ∆AME đồng dạng với ∆AKM ( g.g)
Gọi I là tâm đờng tròn ngoại tiếp ∆EKM
Ta có góc AME = BME ( hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau)
=> AM là tiếp tuyến của đờng tròn tâm I( Theo bài tập 30-Tr79 SGK toán 9 tập 2)
=> I thuộc BM
=> NI ngắn nhất khi NI⊥MB
Vì M; N; B cố định nên ta có thể xác định K nh sau:
Kẻ NI vuông góc với BM, vẽ đờng tròn (I;IM) cắt đờng tròn tâm O tại đâu đó là K
Bài 5
a)
* Hỡnh vẽ đỳng * EIB 90 ã = 0 (giả thiết)
* ∠ ECB 90 = 0 (gúc nội tiếp chắn nửa đường trũn)
* Kết luận: Tứ giỏc IECB là tứ giỏc nội tiếp b) (1 điểm) Ta cú:
* sđcungAM = sđcungAN
*∠ AME = ∠ ACM
*GúcAchung,suyra∆AME ∆ACM
* Do đú: AC AM
AM = AE ⇔AM2 = AE.AC c)
* MI là đường cao của tam giỏc vuụng MAB nờn MI2 = AI.IB
* Trừ từng vế của hệ thức ở cõu b) với hệ thức trờn
* Ta cú: AE.AC - AI.IB = AM2 - MI2 = AI2
d)
* Từ cõu b) suy ra AM là tiếp tuyến của đường trũn ngoại tiếp tam giỏc CME Do đú tõm O1 của đường trũn ngoại tiếp tam giỏc CME nằm trờn BM Ta thấy khoảng cỏch NO1 nhỏ nhất khi và chỉ khi NO1⊥BM.)
* Dựng hỡnh chiếu vuụng gúc của N trờn BM ta được O1 Điểm C là giao của đường trũn đó cho với đường trũn tõm O1, bỏn kớnh O1M
Bài 6
90
BHE BME= = => BHME là tứ giác nội tiếp
đờng tròn đờng kính BE => B, H, M, E cùng
thuộc một đờng tròn
b Sử dụng hệ thức lợng trong tam giác vuông
ODE với đờng cao DM
ta đợc OM.OE = OD2 =R2
c Gọi HE cắt (O) tại N
Ta có ∆BOM đồng dạng với ∆EOH => OH.OB
= OM.OE = R2
=> OH.OB = ON2 ( vì ON=R)
=> ∆OHN đồng dạng với ∆ONB
Mà góc OHN = 900 => ã 0
90
BNO=
Xét ∆OBN có ã 0
90
BNO= và A là trung điểm của
OB => ON = NA => ∆ANO cân tại N
Mà NH là đờng cao => NH là đờng trung tuyến => H là trung điểm của OA
Bai 7;
1.
(1,0đ)
M
E
C
I
O1
N
M H
Trang 8+ Ta cú ãDAB = 90o (ABCD là hỡnh vuụng)
ãBHD = 90o (gt)
0,25
Nờn ãDAB BHD+ã = 180o
+ Ta cú ãBHD = 90o (gt)
Nờn H; C cựng thuộc đường trũn đường kớnh DB
2
(1,0đ) Ta cú:
o o
BDC BHC 180 CHK BHC 180
+ =
mà ãBDC = 45o (tớnh chất hỡnh vuụng ABCD) ⇒ ãCHK = 45o 0,5
3.
(1,0đ) Xột ∆KHD và ∆KCB
Cú
ã
o KHD KCB (90 ) DKB chung
⇒ KH KD
4.
(0,5đ) Qua A kẻ đường thẳng vuụng gúc với AM, đường thẳng này cắt đường thẳngDC tại P
Ta cú: ãBAM DAP= ã (cựng phụ ãMAD )
AB = AD (cạnh hỡnh vuụng ABCD)
ABM ADP 90= =
Trong ∆PAN cú: ãPAN = 90o ; AD ⊥ PN
nờn 1 2 12 12
AD = AP +AN (hệ thức lượng trong tam giỏc vuụng)
⇒ 12 1 2 1 2
Bai 8
Q
I
N H
M
O A
B C
+ Vẽ hình đúng cho 0,25 điểm.
Trang 9+ Ta có MA=MC(t/c tiếp tuyến)
OA=OC (bán kính)
⇒MO là trung trực của AC ⇒MO⊥AC
AQ MB ⊥ (Góc AQB là góc nội tiếp chắn nửa đờng tròn)
Suy ra Q, I cùng nhìn AM dới 1 góc vuông
⇒Tứ giác AIQM nội tiếp trong đờng tròn đờng kính AM
+ Ta cóAMI AQI ã = ã (=1
2 sđ cungAI)
Và AMI IAO ã = ã (cùng phụ với góc AMO)
Mà IAO ACO ã = ã (∆AOC cân)
Suy ra AQI ACO ã = ã
+ Tứ giác AIQM nội tiếp ⇒ MAI IQN ã = ã (Cùng bù với góc MQI)
Mà MAI ICN ã = ã (so le trong)
Suy ra IQN ICN ã = ã ⇒tứ giác QINC nội tiếp ⇒ QCI QNI ã = ã (cùng bằng 1/2 sđ cung QI)
Mặt khác QCI QBA ã = ã (=1/2 sđ cung QA)
⇒ QNI QBA ã = ã ⇒ IN // AB
Mà I là trung điểm của CA nên N là trung điểm của CH ⇒ NC=NH (đpcm)
-Gọi M là trung điểm của AB, O là giao điểm của AC và BD, trung trực của AB cắt AC và BD lần lợt tại I và J Ta có I, J lần lợt là tâm các đờng tròn ngoại tiếp ABD, ABC
∆ ∆ và R = IA, r = JB
Có AMI AOB IA AM
2 4
R IA
⇒ = = = ⇒ = Tơng tự: 2
2 4
r = a Suy ra:
+
I
D
O
B M
J
Cõu 8 (3đ)
a/ Tứ giỏc BCFD là tứ giỏc nội tiếp
ãADB=900(gúc nội tiếp chắn nửađường trũn (o))
ãFHB=90 ( )0 gt
Trang 10Q
F
O
B
1
A
D
Vậy Tứ giỏc BCFD nội tiếp được
b/ED=EF
Xột tam giỏc EDF cú
2
EFD= sd AQ PD+ (gúc cú đỉnh nằm trong đường trũn (O))
2
EDF = sd AP PD+ (gúc tạo bởi tiếp tuyến và dõy cung)
Do PQ⊥AB => H là trung điểm của PQ( định lý đường kớnh dõy cung)
=> A là trung điểm của ằPQ=>PA AQằ =ằ => ãEFD EDF= ã
tam giỏc EDF cõn tại E => ED=EF
c/ED2=EP.EQ Xột hai tam giỏc: EDQ;EDP cú
àE chung Và à ả Q1=D1(cựng chắnằPD )
=>∆EDQ ∆EPD=> ED EQ ED2 EP EQ
EP = ED => = Bài 10
D C
E O M
A
B a) Ta có: MA ⊥ AO ; MB ⊥ BO ( T/C tiếp tuyến cắt nhau) => ãMAO MBO=ã =900 Tgiác MAOB có : ãMAO MBO+ã =900 + 900 = 1800 => Tgiác MAOB nội tiếp đg tròn b) áp dụng ĐL Pi ta go vào ∆ MAO vuông tại A có: MO2 = MA2 + AO2
MA2 = MO2 – AO2
MA2 = 52 – 32 = 16 => MA = 4 ( cm)
Vì MA;MB là 2 tiếp tuyến cắt nhau => MA = MB => ∆MAB cân tại A
MO là phân giác ( T/C tiếp tuyến) = > MO là đờng trung trực => MO ⊥AB Xét ∆AMO vuông tại A có MO ⊥AB ta có: AO2 = MO EO ( HTL trong∆vuông)
=> EO = AO2
MO = 9
5(cm)=> ME = 5 - 9
5 = 16
5 (cm)
áp dụng ĐL Pi ta go vào tam giác AEO vuông tại E ta có:AO2 = AE2 +EO2
Trang 11 AE2 = AO2 – EO2 = 9 - 81
25 = 144
25 = 12
5
AE =12
5 ( cm) => AB = 2AE (vì AE = BE do MO là đờng trung trực của AB)
AB = 24
5 (cm) => SMAB =1
2ME AB = 1 16 24
2 5 5 = 192
25 (cm2) c) Xét ∆AMO vuông tại A có MO ⊥AB áp dụng hệ thức lợng vào tam giác vuông AMO ta có: MA2 = ME MO (1)
mà : ãADC MAC=ã =12Sđ ằAC ( góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn 1 cung)
∆MAC : ∆DAM (g.g) => MA MD
MC = MA => MA2 = MC MD (2)
Từ (1) và (2) => MC MD = ME MO => MD ME
∆MCE : ∆MDO ( c.g.c) ( ảM chung; MD ME
MO =MC ) => MEC MDOã =ã ( 2 góc tứng) ( 3) Tơng tự: ∆OAE : OMA (g.g) => OA
OE =OM
OA
=> OA
OE=OM
OE = OD ( OD = OA = R) Tacó: ∆DOE : ∆MOD ( c.g.c) ( àO chung ;OD OM
OE = OD ) =>OED ODMã =ã ( 2 góc tứng) (4)
Từ (3) (4) => OED MECã = ã mà : ãAEC MEC+ã =90; ãAED OED+ã =900
=> ãAEC=ãAED => EA là phân giác của ãDEC
Câu 11
1/
a) ∆AHI vuông tại H (vì CA⊥HB)
∆AHI nội tiếp đờng tròn đờng kính AI
∆AKI vuông tại H (vì CK⊥AB)
∆AKI nội tiếp đờng tròn đờng kính AI
Vậy tứ giác AHIK nội tiếp đờng tròn đờng kính AI
b)
Ta có CA⊥HB( Gt)
CA⊥DC( góc ACD chắn nửa đờng tròn)
=> BH//CD hay BI//CD (1)
Ta có AB⊥CK( Gt)
AB⊥DB( góc ABD chắn nửa đờng tròn)
=> CK//BD hay CI//BD (2)
Từ (1) và (2) ta có Tứ giác BDCI là hình bình hành( Có hai cặp cạnh đối song song)
Mà DI cắt CB tại M nên ta có MB = MC
=> OM⊥BC( đờng kính đi qua trung điểm của dây thì vuông góc với dây đó)
2/
Vì BD là tia phân giác góc B của tam giác ABC;
nên áp dụng tính chất đờng phân giác ta có:
AB BC
BC
AB BC
AB
DC
AD
2 4
2
=
⇒
=
⇔
=
Vì ∆ABC vuông tại A mà BC = 2AB nên
.
A
B
C
D M
I O H
K
B
1 2
1