Bộ đề thi THPT chuyên (98 trang)

c Chứng minh tâm E của đờng tròn ngoại tiếp tam giác CPD luôn nằm trênmột đờng thẳng cố định.. f Chứng minh tâm E của đờng tròn ngoại tiếp tam giác CPD luôn nằm trênmột đờng thẳng cố địn

Trang 1

Sở Giáo dục & Đào tạo

(Lớp 10: Văn, Hoá, Sử, Địa, Anh, Pháp)

Thời gian: 150 phút (không kể giao đề)

-Câu 1 (2 điểm) Cho biểu thức:

22

2x2x2

11

2x

12x12x

12xA

−

=a) Rút gọn A

2x

a) Chứng minh rằng phơng trình luôn có nghiệm với mọi k

b) Tìm k để phơng trình có hai nghiệm cùng dấu Khi đó hai nghiệm mangdấu gì ?

c) Tìm k để phơng trình có tổng hai nghiệm bằng 6 Tìm hai nghiệm đó

−+

=+

+

0)8xy(2yx

4xy4yx4

2 2

b) Trong 3 thùng có tất cả 64,2 kg đờng Thùng thứ hai có số đờng bằng

5

4thùng thứ nhất, thùng thứ ba có số đờng bằng 42,5% thùng thứ hai Tính số đờngtrong mỗi thùng

Câu 4 (3 điểm) Cho đờng tròn tâm O, bán kính R có AB là đờng kính cố định còn

CD là đờng kính thay đổi Gọi d là tiếp tuyến với đờng tròn tại B; AC và AD lần lợtcắt d tại P và Q

a) Chứng minh tứ giác CPQD nội tiếp đợc đờng tròn

b) Chứng minh trung tuyến AI của tam giác AQP vuông góc với DC

c) Chứng minh tâm E của đờng tròn ngoại tiếp tam giác CPD luôn nằm trênmột đờng thẳng cố định

Câu 5 (1 điểm) Cho x ≥1, y≥1 Chứng minh rằng:

xy1xy1y

-Họ tên thí sinh: Chữ ký của cán bộ coi thi số 1

Số báo danh: Phòng thi số:

Trang 2

2x2x2

11

2x

12x12x

12xA

−

=a) Rút gọn A

2x

−

Câu 2 (2 điểm) Cho phơng trình:

x2 - 2(k-1)x + 2k - 5 = 0 với k là tham số

−+

=+

+

0)8xy(2yx

4xy4yx4

2 2

5

d) Chứng minh tứ giác CPQD nội tiếp đợc đờng tròn

e) Chứng minh trung tuyến AI của tam giác AQP vuông góc với DC

f) Chứng minh tâm E của đờng tròn ngoại tiếp tam giác CPD luôn nằm trênmột đờng thẳng cố định

xy1xy1y

Đề thi chung cho các lớp

−

2 2

4

2

x1

x1x1x

11

xx

1xM

a) Rút gọn M

b) Tìm x để M đạt giá trị nhỏ nhất

đề Dự bị

Trang 3

x2 – (m – 1)x – m2 + m – 2 (1)a) Chứng minh rằng phơng trình (1) có hai nghiệm trái dấu ∀m.

b) Gọi hai nghiệm của phơng trình (1) là x1, x2 Tìm giá trị m để 2

+

=++

4y3x

yx32xyx

2 2 2

Câu 4 (3 điểm) Cho tam giác ABC vuông ở A và đờng cao AH Vẽ đờng tròn tâm

O đờng kính AH, đờng tròn này cắt AB và AC lần lợt tại E và F

a) Tứ giác AEHF là hình gì ? chứng minh E, O, F thẳng hàng

b) Tiếp tuyến với đờng tròn vẽ từ E và F cắt BC theo thứ tự ở M và N Tamgiác MON có đặc điểm gì ?

c) Cho AB = 8 cm, AC = 14 cm Tính diện tích tứ giác MEFN

d) Giả sử A chuyển động nhng luôn nhìn BC dới góc vuông Tìm vị trí của A

để tứ giác AEHF có diện tích lớn nhất

Câu 5 (1 điểm) Chứng minh rằng:

Nếu x + y + z = 1 thì

3

1 z y

x 2 + 2 + 2 ≥ (với x, y, z ∈ R)

122921

4255

1229

b) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác

Chứng minh rằng phơng trình: x2+(a+b +c)x+ ab+bc+ca = 0 vô nghiệm

Câu 3 (2 điểm)

a) Giải hệ phơng trình:

đề chính thức

Trang 4





=+

+

5yx

5xyyx

2 2b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:

1x2y3xy2x

Câu 4 (2 điểm) Cho đờng tròn (O) nội tiếp tam giác ABC Gọi D, E, F thứ tự là

các tiếp điểm của đờng tròn (O) với các cạnh BC; AC; AB Điểm P nằm trên cungnhỏ DE Tiếp tuyến với đờng tròn (O) tại P cắt hai cạnh AC; BC thứ tự ở M vàN

a) Tính góc MON theo các góc của tam giác ABC

b) Đờng thẳng vuông góc với OC tại O cắt hai cạnh AC, BC lần l ợt tại I

và J Chứng minh: IM JN = OI 2 = OJ 2

Câu 5 (2 điểm) Cho ABCDE là ngũ giác lồi nội tiếp trong đờng tròn bán kính

bằng 1 Trong đó AE là đờng kính; biết AB = a, BC = b, CD = c, DE = d

1 3

2

1 2

1

1 A

+ +

24

1 3

1 2

1 1

=

+

2ay2ax

ayx

Tìm a để hệ phơng trình có vô số nghiệm và tìm nghiệm thoả mãn x2 + y2

có giá trị nhỏ nhất

đề Dự Bị

Trang 5

Câu 4 (4 điểm) Cho tam giác ABC vuông ở A và đờng cao AH Vẽ đờng tròn tâm

O đờng kính AH, đờng tròn này cắt AB và AC lần lợt tại E và F

a) Tứ giác AEHF là hình gì ? chứng minh E, O, F thẳng hàng

b) Tiếp tuyến với đờng tròn vẽ từ E và F cắt BC theo thứ tự ở M và N Tamgiác MON có đặc điểm gì ?

c) Cho AB = 8 cm, AC = 14 cm Tính diện tích tứ giác MEFN

d) Giả sử A chuyển động nhng luôn nhìn BC dới góc vuông Tìm vị trí của A

để tứ giác AEHF có diện tích lớn nhất

Câu 5 (1 điểm) Tìm c để phơng trình: x2 – cx – 5 = 0 có hai nghiệm x1, x2 thoả

mãn: x1 < x2 và trong khoảng (x1, x2) có đúng 5 số nguyên -2, -1, 0, 1, 2

Sở giáo dục & Đào tạo

Hng Yên

-Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT Chuyên

Năm học 2006 – 2007 Môn thi: Toán

(Đề thi vào các lớp chuyên Toán, Tin)

- - -

Câu I: (2,0 điểm) Cho biểu thức:

xx

1

xx11xP

2m

4

+

=

−

Câu III: (2,0 điểm)

a) Ngời ta viết thêm chữ số 0 vào giữa hai chữ số của một số có hai chữ số

để tạo thành số mới có ba chữ số Lập tỷ số có tử số là số có ba chữ số vừa tạothành và mẫu số là số có hai chữ số đã cho Hỏi giá trị nguyên lớn nhất và giá trịnguyên nhỏ nhất của tỷ số đó là bao nhiêu ?

b) Cho hai phơng trình: x2 + mx + n = 0 và x2 – 2x – n = 0 Chứng minhrằng với mọi giá trị của m và n, ít nhất một trong hai phơng trình trên có nghiệm

Câu IV: (4,0 điểm) Cho đờng tròn tâm O và đờng thẳng (d) không đi qua O cắt

đ-ờng tròn (O) tại hai điểm phân biệt A, B Gọi M là một điểm chạy trên (d) và nằmngoài đờng tròn (O), qua M kẻ các tiếp tuyến MP và MN với đờng tròn (O) (P, N

là các tiếp điểm)

a) Chứng minh đờng tròn ngoại tiếp tam giác MNP luôn đi qua hai điểm cố định

b) Xác định vị trí điểm M để tam giác MNP là tam giác đều

c) Tìm tập hợp tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác MNP

d) Chứng minh NP đi qua một điểm K cố định và KA là tiếp tuyến của đờng tròn (O)

Câu V: (1,0 điểm) Cho ba số thực a, b, c thoả mãn điều kiện abc = 1 Tính tổng

Đề chính thức

Trang 6

1bc

b1

1ab

a1

1S

++

+++

= - Hết -

Họ tên thí sinh: ……….…………

Số báo danh: ………Phòng thi số:………… Chữ ký của cán bộ coi thi số 1

Hng Yên

-Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT

2x

1Q

−

=

b) Rút gọn các biểu thức sau:

1275

27

2

33

CâuIV (4 điểm) Cho đờng tròn tâm O bán kính R, đờng kính CD Gọi Cx và Dy

là các tiếp tuyến của đờng tròn Lấy điểm M thuộc Cx ( M khác C), kẻ MP tiếpxúc với đờng tròn (O) tại P, MP cắt Dy tại N

a) Chứng minh rằng tứ giác CMPO và tứ giác DNPO nội tiếp đợc trong đờng tròn

b) Chứng minh tam giác MON và tam giác CPD đồng dạng

c) Chứng minh rằng: CM.DN = R2

d) Khi CM =

2

R, hãy tính tỷ số diện tích tam giác MON và tam giác COP

CâuV (1điểm) Giải phơng trình x4 = 2x2 + 8x + 3

- Hết

-Họ tên thí sinh: ……….…………

Trang 7

Hng Yên

3x

1Q

−

=

b) Rút gọn các biểu thức sau:

1275

27

2

55

CâuIV (4 điểm) Cho đờng tròn tâm O bán kính R, đờng kính EF Gọi Ex và Fy là

các tiếp tuyến của đờng tròn Lấy điểm M thuộc Ex ( M khác E), kẻ MI tiếp xúcvới đờng tròn (O) tại I, MI cắt Fy tại N

a) Chứng minh rằng tứ giác EMIO và tứ giác FNIO nội tiếp đợc trong đờng tròn

b) Chứng minh tam giác MON và tam giác EIF đồng dạng

c) Chứng minh rằng: EM.FN = R2

d) Khi EM =

2

R, hãy tính tỷ số diện tích tam giác MON và tam giác EIO

CâuV (1điểm) Giải phơng trình x4 = 7x2 + 18x + 8

- Hết

Hng Yên

Trang 8

+

10 y 3 x 4

m y x 2

(1) ( m là tham số)

a) Giải hệ phơng trình (1) với m = 2

b) Tìm m để hệ phơng trình (1) có nghiệm thoả mãn x>0 và y>0

CâuIII (1điểm) Một khu vờn hình chữ nhật có chiều dài lớn hơn chiều rộng 10m.

Nếu giữ nguyên chiều dài và bớt chiều rộng của khu vờn 10m thì diện tích của khuvờn giảm đi một nửa Tính chu vi và diện tích của khu vờn

Câu IV (4 điểm) Cho tam giác nhọn ABC có AB < AC Gọi AD, BE, CF là các

đ-ờng cao và H là trực tâm của tam giác ABC Vẽ hình bình hành BHCG, đđ-ờng thẳngqua G song song với BC cắt AH tại M

a) Chứng minh tứ giác ABGC và tứ giác ABMG nội tiếp đợc trong đờng tròn.b) Chứng minh tam giác ABD và tam giác AGC đồng dạng

c) Chứng minh H và M đối xứng với nhau qua BC

d) Gọi O là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC và K là trung điểm của

BC, AK cắt OH tại I Chứng minh rằng I là trọng tâm của tam giác ABC

Câu V (1điểm) Cho x, y thoả mãn x.y = 2 và x >y

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

yx

y

x2 2

−

+ - Hết -

Hng Yên

Câu II: ( 2điểm) Cho hệ phơng trình:

Trang 9

+

10 y 4 x 3

m y 2 x

(1) ( m là tham số)

a) Giải hệ phơng trình (1) với m = 2

b) Tìm m để hệ phơng trình (1) có nghiệm thoả mãn x>0 và y>0

CâuIII (1điểm) Một thửa ruộng hình chữ nhật có chiều dài lớn hơn chiều rộng

10m Nếu giữ nguyên chiều dài và bớt chiều rộng của thửa ruộng 10m thì diện tíchcòn lại sẽ bằng hai phần ba diện tích ban đầu Tính chu vi và diện tích của thửaruộng đó

Câu IV (4 điểm) Cho tam giác DEF nhọn có DE < DF Gọi DA, EB, FC là các

đ-ờng cao và H là trực tâm của tam giác DEF Vẽ hình bình hành EHFG, đđ-ờng thẳngqua G song song với EF cắt DH tại M

a) Chứng minh tứ giác EDFG và tứ giác EDGM nội tiếp đợc trong đờng tròn

b) Chứng minh tam giác EDA và tam giác FDG đồng dạng

c) Chứng minh H và M đối xứng với nhau qua EF

d) Gọi O là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác DEF và K là trung điểm của

EF, DK cắt OH tại I Chứng minh rằng I là trọng tâm của tam giác DEF

Câu V (1điểm) Cho hai số thực a,b thoả mãn a.b = 2 và a >b

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

b a

b

−

+ - Hết -

(Lớp 10: Văn, Hoá, Sử, Địa, Anh, Pháp)

-Câu 1 (2 điểm) Cho biểu thức:

22

2x2x2

11

2x

12x12x

12xA

−

=a) Rút gọn A

2x

−

Câu 3 (2 điểm)

a) Giải hệ phơng trình:

Trang 10





=+

−+

=+

+

0)8xy(2yx

4xy4yx4

2 2

5

g) Chứng minh tứ giác CPQD nội tiếp đợc đờng tròn

h) Chứng minh trung tuyến AI của tam giác AQP vuông góc với DC

i) Chứng minh tâm E của đờng tròn ngoại tiếp tam giác CPD luôn nằm trênmột đờng thẳng cố định

xy1xy1y

2x2x2

11

2x

12x12x

12xA

−

=a) Rút gọn A

2x

−

−+

=+

+

0)8xy(2yx

4xy4yx4

2 2

5

Trang 11

j) Chứng minh tứ giác CPQD nội tiếp đợc đờng tròn

k) Chứng minh trung tuyến AI của tam giác AQP vuông góc với DC

l) Chứng minh tâm E của đờng tròn ngoại tiếp tam giác CPD luôn nằm trênmột đờng thẳng cố định

xy1xy1y

Sở Giáo dục và Đào tạo

(Thời gian làm bài 150 phút)

c) Tính giá trị của x khi y = 5

2) Tìm x, y sao cho biểu thức: C = 2x 2 + 9y 2 – 6xy – 6x – 12y +2034 có giá trị nhỏ nhất Tìm giá trị đó.

Câu 2: (2,0 điểm)

1) Giải phơng trình: 36x−36 - 9x − 9 - 4x−4 = 16 - x−1

2) Giải bài toán bằng cách lập phơng trình:

Một ôtô đi từ tỉnh A đến tỉnh B với vận tốc xác định Nếu vận tốc tăng thêm 20 km/h thì thời gian đi sẽ giảm một giờ, nếu vận tốc giảm bớt 10 km/h thì thời gian đi tăng thêm một giờ Tính vận tốc và thời gian đi của ôtô.

Bài 3: (2,0 điểm)

Cho phơng trình: (m 2 – m – 2)x 2 + 2(m + 1)x + 1 = 0 (1) (m là tham số)

1) Giải phơng trình (1) với m = 1;

2) Tìm giá trị của m để phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt;

3) Tìm giá trị của m để phơng trình (1) chỉ có một nghiệm;

Câu 4: (3,0 điểm)

Cho hai đờng tròn có bán kính bằng nhau cắt nhau tại A và B Trong cùng nửa mặt phẳng bờ OO’ vẽ hai bán kính OC và O’D song song với nhau Gọi D’ là điểm đối xứng của D qua O’.

1) Chứng minh AB, OO’, CD’ cắt nhau tại trung điểm của mỗi đoạn.

2) Chứng minh A là trực tâm của tam giác BCD.

3) Gọi M là một điểm của đờng tròn O và N là một điểm để tứ giác O’MNO’ là hình bình hành Chứng minh rằng một trong 4 điểm A, B, M, N là trực tâm của tam giác tạo bởi 3 đỉnh còn lại.

Bài 5: (1,0 điểm)

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ trong đó góc BAC bằng 90 0 ;

Trang 12

BC = 15cm; AB = 9cm; AC’ = 20cm

a) Chứng minh rằng tam giác ABC’ vuông.

b) Tính diện tích toàn phần và thể tích hình lăng trụ.

-Họ và tên thí sinh:

Số báo danh: Phòng thi: Chữ ký giám thị 1: Chữ ký giám thị 2:

-I - Các chú ý khi chấm thi:

1) HDCT này chỉ trình bày sơ lợc cách giải hoặc chỉ nêu kết quả Trong làm bài, thí sinh phải trình bày lập luận đầy đủ.

2) Nếu thí sinh giải đúng, cách giải khác với đáp án, thì giám khảo chấm cho điểm theo số điểm quy định dành cho bài (hay phần đó).

3) Cặp chấm thảo luận chi tiết để thống nhất việc vận dụng HDCT.

4) Các điểm thành phần và điểm cộng toàn bài giữ nguyên không đợc làm tròn.

II- Tóm tắt đáp án và cách chấm điểm:

⇔ x =

5 1

−

0 5

0 2 3

x

y x

5

y x

Vậy C min = 2005 khi x=5 và y = 7/3

Vậy x = 65 là nghiệm của phơng trình đã cho.

2) (1,0đ) Gọi vận tốc xác định của ôtô là x km/h (điều kiện x > 0) và thời gian đi của

Thực ra nếu để ý việc ôtô giảm vận tốc 10 km/h và thời gian giảm 1 giờ thì cần phải có

điều kiện x > 10 và y > 1.

Trang 13

Thì quãng đờng AB dài xy (km)

Theo bài ra, nếu vận tốc tăng thêm 20 km/h thì Ôtô đến B trớc 1 giờ nên ta có phơng

−

=

− +

) 2 ( )

1 )(

10 (

) 1 ( )

1 )(

20 (

xy y

x

xy y

−

=

− +

) 2 ( )

1 )(

10 (

) 1 ( )

1 )(

20 (

xy y

x

xy y

) ' 1 ( 20 20

y x

y y

∆ ’ > 0 ⇔ (m + 1) 2 – (m 2 - m – 2) > 0 ⇔ 3m + 3 > 0 ⇔ m > - 1

Điều kiện phải tìm là: -1 < m ≠ 2

0 ,75đ

3) (0,75đ)

Với m = - 1, phơng trình (1) có dạng 0x + 1 = 0 vô nghiệm

Với m = 2, phơng trình (1) có dạng 6x + 1 = 0, nghiệm x = - 1/ 6

Với m ≠ - 1 , m ≠ 2, (1) là phơng trình bậc hai có nghiệm, nó có một nghiệm (nghiệm

kép) khi và chỉ khi ∆ ’ = 0 ⇔ 3m + 3 = 0 ⇔ m = - 1 trái với điều kiện trên

Vậy phơng trình (1) chỉ có một nghiệm khi m = 2

0,75đ

Câu 4: (3,0 điểm)

a) AOBO’ là hình thoi (AO = OB = BO’ =

O’A) nên AB và Ô’ cắt nhau tại I là trung

điểm chung của AB và OO’.

D’ đối xứng của D qua O nên D’ ∈ (O’)

OCO’D’ là hình bình hành (OC // O’D’,

OC = O’D’)

AB và CD’cắt nhau tại trung điểm của

mỗi đoạn Nhng trung điểm của AB là I,

nên CD’ đi qua I

Vậy AB, OO’, CD’ cắt nhau tại I, trung

điểm của mỗi đoạn thẳng

b) Tứ giác OCDO’ là hình bình hành nên OO’ // CD.

Vì BA ⊥ OO’ nên BA ⊥ CD (1)

Tứ giác ACBD’ có IA = IB, IC = ID nên ACBD’ là hình bình hành do đó AD’ // CB.

Vì DA ⊥ AD’ (DD’ là đờng kính) suy ra DA ⊥ CB (2)

Từ (1) và (2) suy ra A là trực tâm của tam giác BCD (đpcm)

Trang 14

c) A là trực tâm của tam giác BMN, A’ là giao điểm của O’A và đờng tròn (O’).

Ta có tứ giác OAO’B là hình thoi (vì OA = OB = O’A = O’B)

⇒ OB // O’A nhng OB = O’A’ nên ta có hình bình hành OO’A’B (1)

Mặt khác kết hợp hình bình hành OMNO’ (2) ta có MB // NA’ nhng NA’ ⊥ NA nên MB

⊥ NA (3)

Ta lại có OO’ ⊥ AB nên theo (2) suy ra MN ⊥ BA (4).

Từ (3) và (4) ta kết luận A là trực tâm của tam giác MBN, dễ thấy rằng M là trực tâm

tam giác ABN, D là trực tâm tam giác AMB và B là trực tâm tam giác AMN.

BA ⊥ mp (A’AC) suy ra BA ⊥ AC’ hay tam

giác ABC’ vuông tại A

-Bài 1: (2,0 điểm)

1) Cho hàm số bậc nhất y = (1 - 3 )x – 1

a) Hàm số trên là đồng biến hay nghịch biến trên tập hợp số thực R? Vì sao?

b) Tính giá trị của y khi x = 1 + 3

c) Tính giá trị của x khi y = 3

2) Xác định x, y để biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất

A = x 4 – 8xy – x 3 y + x 2 y 2 – xy 3 + y 4 + 2021

Trang 15

2) Giải bài toán bằng cách lập phơng trình:

Hai ôtô khởi hành cùng lúc từ A và từ B, ngợc chiều về phía nhau Tính quãng

đờng AB và vận tốc mỗi xe biết rằng sau 2 giờ hai xe gặp nhau tại địa điểm cách điểm chính giữa quãng đờng AB là 10 km, và nếu xe đi chậm tăng vận tốc gấp đôi thì hai xe gặp nhau sau 1

5

2 giờ.

c) Chứng minh rằng tam giác ABC’ vuông.

d) Tính diện tích toàn phần và thể tích hình lăng trụ.

⇔ x =

3 1

Trang 16

0 ) 4 (

0 ) (

) (

2

2 2

2

xy

y xy x y x

⇔ x = y = ± 2 Vậy A nhỏ nhất là 2005 ⇔ x = y = ± 2

=

−

) 2 ( ) ( 2 ) 2 ( 5 7

) 1 ( 10

y x y

x = 40 > 0, y = 30 > 0 thoả mãn điều kiện của ẩn

Vậy vận tốc xe đi nhanh: 40 km/h , vậy tốc xe đi chậm 30 km/h 0,25đ

6

(*) 0

6 4

n m

Từ (*) và (**) suy ra 10m – 30 = 0 ⇒ m = 3 ⇒ n = 6

3) Cho m = 5 phơng trình đã cho có dạng x 2 + 5x – n = 0 (2)

(2) là một phơng trình bậc hai nếu ac < 0 thì phơng trình luôn có hai nghiệm trái dấu

Do đó muốn phơng trình (2) có nghiệm dơng thì phải có

a

c < 0 nghĩa là - n < 0 hay n > 0.

Vậy với n = 1 là số nguyên nhỏ nhất thì phơng trình (2) có nghiệm dơng.

Bài 4: (3,0 điểm)

Trang 17

1) (1,0đ) (hình1)

Nối E với B và F với B

Ta có: ∠ EBA = 1v (góc nội tiếp

chắn nửa đờng tròn đờng kính AE)

Hình1

0,25đ

∠ FBA = 1v (góc nội tiếp

⇒ AB vừa là đờng cao vừa là phân giác

⇒ ∠ ABO 2 = 1/2 ∠ O 1 BO 2 = 60 0 /2 = 30 0 và đờng cao BI =

BA ⊥ mp (A’AC) suy ra BA ⊥ AC’ hay tam

giác ABC’ vuông tại A

Trang 18

1 4

2) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P = 3 - x2 −2x

Bài 2: (2,0 điểm)

1) Giải và biện luận phơng trình:

8

) 2

2 x−

2) Trên quãng đờng AB dài 60 km, ngời I đi từ A đến B, ngời II đi từ B đến A.

Họ khởi hành cùng một lúc và gặp nhau tại C sau khi khởi hành 1 giờ 12 phút Từ C, ngời I đi tiếp đến B với vận tốc giảm hơn trớc 6 km/h, ngời II đi tiếp đến A với vận tốc nh cũ Kết quả ngời I đến nơi sớm hơn ngời II là 48 phút Tính vận tốc mỗi ngời.

1) Biết AB = 20cm, BC = 25cm, tính chu vi tam giác AHB.

2) Chứng minh 3 điểm O, E, O’ thẳng hàng.

Trang 19

Câu 1: (2,0 điểm)

1a) (0,75đ) A = 3+2 2 + 3−2 2

= 2+2 2 +1 + 2−2 2 +1 0,25đ

= ( 2)2 +2 2 +1 + ( 2)2 −2 2 +1 0,25đ = ( 2 + 1 ) 2 + ( 2 − 1 ) 2 = 2 + 1 + 2 - 1 = 2 2 0,25đ 1b) (0,75đ) B =

2 4

1 4

) 1 2

1 2

Trang 20

thì vận tốc ngời II là 50 – x (km/h) Quãng đờng CB dài

) 50 ( 6

−

x x

(giờ) Ngời II đi quãng đờng CA với vận tốc 50 – x (km/h) hết

) 50 ( 5

4 ⇔ x 2 + 85x – 3450 = 0 ⇔ x 1 = 30 , x 2 = - 115 (loại) 0,5đ

x 1 = 30 thoả mãn điều kiện của ẩn

Vậy vận tốc ngời I là 30 km/h ; ngời II là 50 – 30 = 20 (km/h) 0,25đ

Bài 3: (1,5 điểm)

1) Thay x = 2 vào phơng trình ta đợc: (m – 4)2 - 2 2 m + m – 2 = 0

⇔ - 2 2 m +3m – 10 = 0 ⇔ (3 - 2 2 )m – 10 = 0 ⇔ m =

2 2 3

4 ( '

4

m m

4 : (4 - 3

4 ) = 3

4 8

3 = 2 1

2b) Phơng trình có hai nghiệm phân biệt khi:

4

m m

Công thức tính nghiệm của phơng trình là: x 1 =

4 3 4

−

− +

Bài 4: (3,0 điểm)

1) (1,0đ) Trong tam giác vuông ABC theo

định lí Pitago, ta có AC = BC2 −AB2

= 25 2 − 20 2 = 15 (cm)

Ta có ∠ AHB = 1v (góc nội tiếp chắn nửa đờng

tròn đờng kính AB); ∠ BAC = 1v (gt)

∆ AHB ∼∆ BAC (vì hai tam giác vuông có ∠ B

chung) nên

HB AB HA

AC BC AB

+ +

Do đó HA + AB + HB =

5

4 (AB + BC + AC)

Trang 21

2) Vì ∠ BAC = 1v nên ∠ CAF + ∠ FAB = 1v ; ∠ AHF = 1v nên ∠ CFA + ∠ HAF = 1v

và ∠ HAF = ∠ FAB (góc nội tiếp cùng chắn hai cung bằng nhau) do đó ∠ CAF = ∠ CFA hay

tam giác CAF cân

0,25đ

Ta có ∠ CEA = 1v (góc nội tiếp chắn nửa đờng tròn đờng kính AC) nên CE ⊥ AD

đờng cao CE trong tam giác cân CAF cũng là trung tuyến nên EA = EF; trong tam giác

ABF có OA = OB và EA = EF nên EO // BF hay EO // BC

Chứng minh tơng tự có EO’ // BC

Qua E ở ngoài BC chỉ dựng đợc một và chỉ một đờng thẳng song song với BC mà thôi, do

đó EO ≡ EO’ hay 3 điểm O, E, O’ thẳng hàng (đpcm)

Bài 5: (1,0 điểm)

c) (0,5đ)

Bốn mặt bên hình chóp là 4 tam giác đều

cạnh a do đó diện tích xung quanh của hình

chóp là S xq = 4

4

2 2

a

= a2 3

0,25đ

Ta tính độ dài đờng cao SH = ?

Trong tam giác vuông SHA ta có

a

0,25đ

b) Mặt phẳng (ABCD) song song với mặt phẳng và đi qua trung điểm I của đờng cao SH

nên ta suy ra A’, B’, C’, D’ theo thứ tự là trung điểm các cạnh bên SA, SB, SC, SD Nh vậy

hình chóp cụt đều ABCD A’B’C’D’ có cạnh đáy là a và

1 4

Trang 22

-Së Gi¸o dôc & §µo t¹o

2

2x2

2x11

2x12x

12x1

2x

x33

x

2x4

x3A

x

3 2,x 3

x 1 2 x

x 2

2 x

Trang 23

0 2 x

x 2

Vậy phơng trình có nghiệm với mọi k 0.25đ

b) (0.75 điểm) Để phơng trình có hai nghiệm cùng dấu thì: x1 x 2 > 0 0.25đ

Theo định lý Viét có: 2 k 5

a

c x

x1 2 = = −

Giải bất phơng trình 2k – 5 > 0 ta đợc k >

2 5

bx

2 24yx

2yx2

4 y x

2 y x 2

4 y x

2 y x

4 y x

2 y x 2

4 y x

2 y x 2

0.25đ Giải các hệ phơng trình trên tìm đợc 4 cặp nghiệm 0.5đ (Tìm đúng 2 cặp nghiệm thì cho 0.25 điểm)

2 ( − và (-2; 2)

5 , 42 y x 2 , 64

x 5

4 y

0.25đ

* Giải hệ phơng trình tìm đợc x = 30; y = 24 0.25đ

Trang 24

* Đối chiếu với điều kiện trả lời 0.25đ

⇒ Tứ giác CPQD nội tiếp đờng tròn (0.25đ)

b) (1 điểm) Ta có CAD = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đờng tròn)

∆PAQ vuông tại A có AI là trung tuyến ⇒ IA = IQ = IP =

2

1 PQ

⇒ QAI = AQI

Có D 1 = P 1 (cmt) ⇒ QAI + D 1 = AQI + P 1 0.25đ Vì PAQ = 90 0 ⇒ AQI + P 1 = 90 0

⇒ QAI + D 1 = 90 0 ⇒ AKD = 90 0 ⇒ AI vuông góc với CD 0.25đ

c) (1 điểm) Vì tứ giác CPQD nội tiếp (cmt)

⇒ Đờng tròn ngoại tiếp ∆CPD là đờng tròn ngoại tiếp tứ giác CPQD 0.25đ

Qua O dựng đờng thẳng vuông góc với CD

Qua I dựng đờng thẳng vuông góc với PQ

Hai đờng thẳng này cắt nhau tại E thì E là tâm đờng tròn ngoại tiếp CPD 0.25đ

1 y

≤

− +

1 y

1 y x

1 x

= +

≤

− +

−

-Ghi chú:

Trang 25

- Các cách giải khác đúng cho điểm tơng đơng nh đáp án.

- Các bớc giải phải có lý luận mới cho điểm tối đa.

(Đề thi vào các lớp chuyên Toán, Tin)

- - -

I Hớng dẫn chung.

1 Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án mà vẫn đúng thì

cho đủ điểm từng phần nh hớng dẫn quy định.

2 Việc chi tiết hoá thang điểm (nếu có) so với thang điểm trong hớng dẫn

chấm phải đảm bảo không sai lệch với hớng dẫn chấm và đợc thống nhất thực hiện

trong hội đồng chấm thi.

3 Tuyệt đối không làm tròn điểm dới mọi hình thức.

II Hớng dẫn chấm cụ thể.

0 x

xx

1

xx1x11x

++

0 x

0 x ⇔ x = 9 ( t/m)

0,25 điểm 0,25 điểm

2 m

Trang 26

* Khi m ≠4 ta có x =

m 4

2 m

−

Để x =

m 4

2 m

−

− là nghiệm dơng của phơng trình thì

m 4

2 m

a) ( 1đ) Gọi số đó là ab ĐK a và b là các chữ số, a > 0

Khi thêm chữ số 0 vào giữa hai chữ số của ab ta đợc số mới là a 0 b

Đặt k =

b a 10

b a 100 ab

b 0 a

b a

Dấu “=” xảy ra khi b = 0, với mọi a

Vậy giá trị nguyên lớn nhất của tỷ số đó bằng 10

* k > 5 ⇔ 5

b a 10

b a 100

Với k là một số nguyên thì k ≥ 6 Với a = 1; b = 8 thì k =6

Vậy giá trị nguyên nhỏ nhất của tỷ số đó là 6

b) ( 1đ) Phơng trình x2 + mx + n = 0 là một phơng trình bậc 2 có

∆1 = m2 - 4n

Phơng trình x2 - 2x - n = 0 là một phơng trình bậc 2 có ∆2 = 4 + 4n

 ∆1 + ∆2 = m2 + 4 > 0 với mọi m, n Nên trong hai số ∆1, ∆2 luôn luôn

có ít nhất một số dơng Hay nói một cách khác trong hai phơng trình đã

cho luôn luôn có ít nhất một phơng trình có nghiệm với mọi m, n

0,25 điểm 0,25 điểm

0,25 điểm

0,25 điểm 0,25 điểm 0,50 điểm

Câu IV: (4,0 điểm)

Trang 27

a) ( 1đ) Hạ OH ⊥ d tại H  H cố định và H ≠ O.

Ta có ∠MNO = ∠MPO = 900 (Tính chất tiếp tuyến)

 ∠MNO = ∠MHO = ∠MPO

 M, N, O, H, P thuộc đờng tròn tâm I đờng kính OM

Mà O và H là hai điểm cố định Nên đờng tròn ngoại tiếp ∆MNP đi

qua hai điểm cố định là O và H

b) (1đ) Ta có MN, MP tiếp xúc với (O) tại N, P  MN = MP và ∠

MNO = 900  ∆MNP cân tại M và MO là phân giác ∠NMP

Do vậy ∆MNP đều ⇔ ∠NMP = 600 ⇔ ∠NMO = 300

⇔ OM = 2ON = 2R ⇔ M ∈(O, 2R)

Vậy ∆MNP đều khi M là giao của đờng tròn tâm O, bán kính 2R với d

c) (1 đ) * Phần thuận: Khi M chạy trên d và ở ngoài (O), kẻ tiếp tuyến

MN, MP theo câu a) thì (I) ngoại tiếp ∆MNP qua O, H  IO = IH mà O,

H cố định  I nằm trên đờng thẳng (t) là đờng trung trực của OH

* Giới hạn: Do I là giao của OM với (t), mà M không thuộc đoạn AB

nên I không thuộc đoạn EF (E, F là giao của t với OA, OB)  I nằm trên

đờng thẳng (t) là trung trực đoạn OH trừ đi đoạn EF

* Phần đảo: Trên đờng thẳng (t) lấy một điểm I’ (I’ không thuộc đoạn

EF), nối OI’ cắt d tại M’  M’ nằm ngoài (O) Kẻ tiếp tuyến M’N’ và

M’P’ với đờng tròn (O) Chứng minh tơng tự câu a) ta đợc M’N’OP’ nội

tiếp đờng tròn đờng kính OM’ Từ đó suy ra I’O = I’M  I’ là tâm đờng

tròn ngoại tiếp tam giác M’N’P’

0,50 điểm 0,50 điểm 0,25 điểm

0,25 điểm

Trang 28

* Kết luận: Vậy quỹ tích tâm I của đờng tròn ngoại tiếp ∆MNP là

đ-ờng thẳng t là trung trực của OH bỏ đi đoạn EF

d) (1đ) Gọi giao của MO với NP là G, giao NG với OH là K.

Ta có MN = MP ( tính chất tiếp tuyến)

ON = OP = R  MO là trung trực của NP  MO ⊥ NP tại G

Từ đó suy ra ∆MHO đồng dạng với ∆KGO  OH.OK = OG.OM (1)

∆MPO vuông tại P có PG ⊥ MO  OG.OM = OP2 = R2 = OA2 (2)

Từ (1) và (2) suy ra OH.OK = R2  OK =

OH

R 2 Vì O, H cố định  K cố định

Từ (1) và (2) suy ra OH.OK = OA2 

OK

OA OA

OH

= Mặt khác ∠AOH

= ∠AOK Nên ∆OHA đồng dạng với ∆OAK (c.g.c)

 ∠OAK =∠OHA = 900  KA ⊥ OA Mà A thuộc (O) Do đó KA là

tiếp tuyến của đờng tròn (O)

bcb1

acc

aba1

cS

++

+

++

+

=

cac1

1abcc

abcac

acabc

acc

c

++

+

+++

=

acc1

1c

1ac

ac1

acc

c

++

+++

=

1 ac c

= + +

+ +

=

0,25 điểm

0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm

Ngày thi: 02 tháng 7 năm 2006

Đề Dự bị

Trang 29

- - -

(Dành cho thí sinh có số báo danh chẵn)

Câu I: (2 điểm) Cho biểu thức:

=

1 m

m m 1 1 m

m m 1

a) Rút gọn biểu thức B

b) Tính giá trị biểu thức B với m = 2

Câu II: (2 điểm) Cho đờng thẳng (d) có phơng trình y = 2x + m – 2

a) Tìm m để đờng thẳng (d) đi qua gốc toạ độ

b) Tìm m để (d) và Parabol y = 2x2 có điểm chung

Câu III: (1,0 điểm) Hai vật chuyển động đều trên một đờng tròn đờng kính 100m

xuất phát cùng một lúc, từ cùng một điểm Nếu chuyển động cùng chiều thì cứ 50giây chúng lại gặp nhau Nếu chuyển động ngợc chiều thì cứ 10 giây chúng lại gặpnhau Tính vận tốc của mỗi vật

Câu IV: (4,0 điểm) Cho đờng tròn tâm O bán kính R Đờng thẳng (d) tiếp xúc với

đờng tròn (O) tại E M là điểm chạy trên đờng thẳng (d) (M khác điểm E) Kẻ tiếptuyến MK với đờng tròn (O) (K là tiếp điểm khác E) Gọi H là chân đờng vuônggóc hạ từ K xuống (d), KH cắt MO tại Q

a) Chứng minh EQ vuông góc với MK

b) Chứng minh tứ giác EOKQ là hình thoi

c) Xác định vị trí của điểm M trên đờng thẳng (d) để diện tích tứ giácEOKQ lớn nhất

d) Chứng minh rằng điểm Q luôn thay đổi trên một đờng cố định

Câu V: (1,0 điểm) Giải phơng trình y4 = 4y + 1

- Hết

Hng Yên

- - -

(Dành cho thí sinh có số báo danh chẵn)

Câu I: (2 điểm) Cho biểu thức: m 4m 4

2m

m31

−+

=a) Rút gọn biểu thức A khi m > 2

b) Tính giá trị biểu thức A với m = 3

Đề Dự bị

Trang 30

Câu II: (2 điểm) Cho phơng trình x2 – 2(m+1)x + m2 + 3 = 0 (1) (x là ẩn)

a) Giải phơng trình (1) với m = 3

b) Chứng minh rằng phơng trình (1) không thể có hai nghiệm cùng âm

Câu III: (1,0 điểm) Hai đội thợ quét sơn một ngôi nhà Nếu họ cùng làm thì trong

2 ngày sẽ xong công việc Nếu họ làm riêng thì đội 1 hoàn thành công việc nhanhhơn đội 2 là 3 ngày Hỏi nếu làm riêng thì mỗi đội phải làm trong bao nhiêu ngày

để xong công việc

Câu IV: (4,0 điểm) Cho đờng tròn tâm O bán kính 4cm Dây cung BC của đờng

tròn (O) (độ dài BC < 8cm) Điểm M chạy trên cung lớn BC sao cho tam giácMBC nhọn Gọi MD, BE, CF là các đờng cao của tam giác MBC

a) Chứng minh tứ giác BFEC nội tiếp đợc trong một đờng tròn

b) Chứng minh tam giác MEF và tam giác MBC đồng dạng

c) Chứng minh MO vuông góc với EF

d) Tính độ dài đoạn BC khi diện tích tứ giác BFEC bằng ba lần diện tích tamgiác MEF

Câu V: (1,0 điểm) Tìm đa thức d khi chia đa thức 1 + x2004 + x2005 + x2006 + x2007cho đa thức x2 – 1

- Hết

Hng Yên

- - -

(Dành cho thí sinh có số báo danh lẻ)

Câu I: (2 điểm) Cho biểu thức:

=

1 a

a a 1 1 a

a a 1

a) Rút gọn biểu thức B

b) Tính giá trị biểu thức B với a= 3

Câu II: (2 điểm) Cho đờng thẳng (d) có phơng trình y = 2x + m – 1

a) Tìm m để đờng thẳng (d) đi qua gốc toạ độ

b) Tìm m để (d) và Parabol y = 2x2 có điểm chung

Câu III: (1,0 điểm) Hai vật chuyển động đều trên một đờng tròn đờng kính 100m

xuất phát cùng một lúc, từ cùng một điểm Nếu chuyển động cùng chiều thì cứ 100giây chúng lại gặp nhau Nếu chuyển động ngợc chiều thì cứ 20 giây chúng lại gặpnhau Tính vận tốc của mỗi vật

Đề Dự bị

Trang 31

Câu IV: (4,0 điểm) Cho đờng tròn tâm O bán kính R Đờng thẳng (d) tiếp xúc với

đờng tròn (O) tại A M là điểm chạy trên đờng thẳng (d) (M khác điểm A) Kẻ tiếptuyến MB với đờng tròn (O) (B là tiếp điểm khác A) Gọi H là chân đờng vuônggóc hạ từ B xuống (d), BH cắt MO tại I

a) Chứng minh AI vuông góc với MB

b) Chứng minh tứ giác AOBI là hình thoi

c) Xác định vị trí của điểm M trên đờng thẳng (d) để diện tích tứ giác AOBIlớn nhất

d) Chứng minh rằng I luôn thay đổi trên một đờng cố định

Câu V: (1,0 điểm) Giải phơng trình x4 = 4x +1

- Hết

Hng Yên

- - -

(Dành cho thí sinh có số báo danh lẻ)

Câu I: (2 điểm) Cho biểu thức: a 4a 4

2a

a31

−+

=a) Rút gọn biểu thức A khi a > 2

b) Tính giá trị biểu thức A với a = 3

Câu II: (2 điểm) Cho phơng trình x2 – 2(a+1)x + a2 + 3 = 0 (1) (x là ẩn)

a) Giải phơng trình (1) với a = 3

b) Chứng minh rằng phơng trình (1) không thể có hai nghiệm cùng âm

Câu III: (1,0 điểm) Hai đội thợ quét sơn một ngôi nhà Nếu họ cùng làm thì trong

2 ngày sẽ xong công việc Nếu họ làm riêng thì đội 2 hoàn thành công việc nhanhhơn đội 1 là 3 ngày Hỏi nếu làm riêng thì mỗi đội phải làm trong bao nhiêu ngày

để xong công việc

Câu IV: (4,0 điểm) Cho đờng tròn tâm O bán kính 4cm Dây cung GH của đờng

tròn (O) (độ dài GH < 8cm) Điểm M chạy trên cung lớn GH sao cho tam giácMGH nhọn Gọi MD, GE, HF là các đờng cao của tam giác MGH

a) Chứng minh tứ giác GFEH nội tiếp đợc trong một đờng tròn

b) Chứng minh tam giác MEF và tam giác MGH đồng dạng

c) Chứng minh MO vuông góc với EF

d) Tính độ dài đoạn GH khi diện tích tứ giác GFEH bằng ba lần diện tíchtam giác MEF

Đề Dự bị

Trang 32

Câu V: (1,0 điểm) Tìm đa thức d khi chia đa thức 1 + x2004 + x2005 + x2006 + x2007cho đa thức x2 – 1.

- Hết

1Q

6 2

3 3

=

0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm

0,25 điểm

0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm

Câu II: (2 điểm).

a)(1đ) Khi m =2 thì hệ PT (1) là x2 -16x +28 = 0

∆ ' =(-8)2 -28 = 36

0,25 điểm 0,25 điểm

Trang 33

PT có hai nghiệm là x1 = 2

1

6 ) 8 (− − =

x2 = 14

1

6 ) 8 (− + =

Đổi 2h30phút = h

6

5'50

;h2

5

= Gọi vận tốc dự định của ngừi đó là x(km/h) ĐK x > 10

Ta có PT:

)

6

52

5)(

10x(x2

5

+

−

= ⇔ 15x = 20(x-10)

0,25 điểm 0,25 điểm

Trang 34

∠NDO = 900

Nên T/giác OPND nội tiếp

b) Ta có ∠OMP = ∠PCO  ∠NMO = ∠PCO

R 2 = 2R

 MN = MP + PN =

2

R + 2R =

2

R 5 Chứng minh đợc dt( CPD) = 2 dt(COP)

Vậy

2

25)

R2:2

R5(2)CD

MN(2)COD(dt

)MON(dt2)COP(dt

)MON(

0,5 điểm 0,5 điểm

0,25 điểm

0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm

+

=

+

)2(0

3x2x

)1(0

1x2x2

x21x

2x21x

2

2 2

- Hết

Trang 35

-Sở giáo dục & Đào tạo

Trang 36

*

3x

1Q

10 2

5 5

=

0,25 điểm

Câu II: (2 điểm).

Khi đó PT có nghiệm kép x1 = x2 = m +2 =

4 15

Vậy với m =

4

7 thì PT đã cho có nghiệm kép x1 = x2 =

4 15

Câu III: (1,0 điểm) Đổi 21h30phút = h

3

2'40

;h2

3

= Gọi vận tốc dự định của ngời đó là x(km/h) ĐK x > 8

3

22

3)(

8x(x2

3

+

−

= ⇔ 9x = 13(x-8)

Trang 37

Nên T/giác OINF nội tiếp

b) Ta có ∠IMO = ∠IAO  ∠ NMO = ∠IEF

R 2 = 2R

 MN = MI + IN = EM + FN =

2

R + 2R =

2

R 5 Chứng minh đợc dt(EIF) = 2 dt(EIO)

0,5 điểm 0,5 điểm

0,25 điểm

0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm

Trang 38

VËy

2

25)

R2:2

R5(2)EF

MN(2)EIF(dt

)MON(dt2)EIO(dt

)MON(

+

=

+

)2(0

4x3x

)1(0

2x3x3

x31x

3x31x

2

2 2

- HÕt

Định dạng
Số trang	77
Dung lượng	6,57 MB