Các bài toán về hình học phẳng tập 2

PRAXOLOV CÁC BÀI TOÁN VÊ HÌNH HỌC PHANG TẬP li NHÀ XUẤT BẢN HẢI PHÒNG... Các chương ở phân Ì gôm các bài toán có nội dung truyền thống, tức đê cộp tới các vấn đè cổ truyền của hình hỏc

- „ x —

v v PRAXOLOV CÁC BÀI TOÁN

VÊ HÌNH HỌC PHANG TẬP li

NHÀ XUẤT BẢN HẢI PHÒNG

Chịu trách nhiệm xuất bản :

LÊ HUY TỦY

Biên tập và sửa bản in :

HOÀNG ĐỨC CHÍNH NGUYỄN ĐẾ

Vẽ bìa: HƯƠNG L A N

In 3050 cuốn khổ 14,5 X 20,5 in t ạ i Xí nghiệp in Bắc Thái

Sắp chữ điện tử : Bộ môn.Tin học Trường Đại học H à n g hải

Giấy phép xuất bân số 30 TK/HP do Cục xuất bản cấp ngày 15 - Ì - 1994

I n xong và nộp lưu chiêu t h á n g 7 - 1994

LỜI NÓI ĐẦU

(Trích lời tác giả)

Cuốn sách này là phân tiếp tục trực tiếp của phan Ì, do đó tói chỉ xin lưu

ý một số điểm khác nhau Các chương ở phân Ì gôm các bài toán có nội dung truyền thống, tức đê cộp tới các vấn đè cổ truyền của hình hỏc phăng Ba chương đâu của phan 2 này cũng thuộc loại đó Các chương còn lại cùa phán

2, trừ hai chương cuối mang dáng đáp của các bài toán thi hỏc sinh giỏi và cửa các lớp chuyên, trong số đó có nhiêu bài đã dùng để thi và luyện thi hỏc sinh giỏi trong những năm khác nhau Điêu đó không có nghĩa là phần 2 phức tạp hơn phần 1 Nhiêu bài toán còn đơn giản hơn so với các bài ở phim Ì

và như vậy càng giúp hỏc sinh làm toán được tự tin hơn, hứng thú hơn

Hai chương cuối đê cập tới phép nghịch đảo và các phép biến đổi xạ ảnh, mang nhiêu tinh chất lý thuyết hơn so với các chương khác Do đó càn nghiên cứu chúng một cách có hệ thống Nếu như sử dụng phép nghịch đảo thường được đề xuất khi luyện hỏc sinh chuyên, thỉ các phép biến đổi xạ ảnh có thê nót hoàn toàn xa lạ đối vói hỏc sinh phổ thòng, kể cả các khối chuyên Tuy

nh iên, do tính độc đáo cùng mục đích giúp bạn đỏc thấy đây đủ vẻ đẹp phong phú của hình hỏc, chúng tòi đưa vào để các bạn tham khảo thèm

v.v Praxolov

ì

LỜI NGƯỜI DỊCH

Bằng kinh nghiệm thực tiễn giảng dạy của bản thăn, chúng tôi cho răng

ccuốn Bài tập hỉnh học phăng của tác giả v.v Praxolov là Ì tập tài liệu qui cho

ccác đối tượng đã nêu ở lời nói đâu, nhất là cho giáo viên uà học sinh chuyên cchọn phố thông Đây là một tập sách không chỉ là một "kho" tư liệu ểế bài

tặộp hỉnh học phăng nhưng được phẫn loại và sáp xếp rất có khoa h ÌC và trình

bbày trong sáng, rõ ràng nên có thể coi nó là một cuốn sổ tay hình học sơ cấp dắc tra cứu, tham khảo đối với giáo viên, để tự học, tự nâng cao đói với học sÈinh vê tất cả các mặt: kiến thức, nội dung, dạng bài và phương pháp giải

ÌWÓ cũng rất cân cho cả các giáo viên phổ thông dạy lớp thường, các sinh viên

đđại học va cao đẳng sư phạm dùng để học tập, để bôi dưỡng nâng cao, tự minh thhăy được cải đa dạng, phong phú vê thể loại, cái đẹp qua lời giải các bài toán khinh, giúp mình gân gũi và yêu mến hỉnh hoe hơn

Cuốn sách này gôm, 1318 bài toán của 29 chương trong đó có một số phân (tìmột số chương, một số đẽ mểc) còn ít tư liệu và ít được đê cập trong các tài liặệu hiện có cho đối tượng phổ thông ở nước ta, như: vecto, biến hỉnh, tọa độ, cáácphương pháp qui nạp hỉnh học, nguyên tác Dỉricle, phương pháp cực hạn, chhia, cắt, phủ, tổ hợp, trò chơi, và càng hiếm hơn vê áp dểng phép chiếu, biến đỡổi asin, biến đổi xạ ảnh, phép nghịch đào, diêm bất biên, sứ dểng tô màu, tíìinh chẵn lẻ để giải bài toán hỉnh Tập sách này có thể coi lờ nguồn bô sung cẫân thiết và kịp thời giúp việc dạy và học hình học ỏ phổ thông được tốt hơn Phương pháp trình bày, sáp xếp của cuốn sách rất khoa học, hoàn chỉnh, dễễ sử dểng và tính hiệu quảcao Người dịch đãhết sức cốgắng thể kiện ý tưởng đóó, nhưng do khả năng có hạn nên khống tránh khỏi thiếu sót Rất mong ý

kiiiến chỉ bảo của độc giả Thư góp ý xin gửi vê phòng PTTH sở Giáo dểc

-Đờào tạo Hải Phòng

Chưorng 15 I CÁC B Ấ T Đ Ẳ N G T H Ứ C H Ì N H H Ọ C

CÁC K I Ế N T H Ứ C C ơ BẢN

1 Trong c h ư ơ n g này sử dụng kí hiệu các yếu tố của tam giác n h ư sau :

a, b, c - đ ộ dài các cạnh BC, CA, A B ;

a, ậ,y - số đo góc t ạ i các đinh A ^ B , C;

ma, mt>, mc - độ dài các đường trung tuyên kẻ từ các đ i n h A, B, C;

ha, hh, he - độ dài các đường cao hạ từ các dinh À, B, C;

la, lb, le - độ dài các đường phân giác kẻ tù các đ i n h A , B, C;

r và R - bán kính các dường tròn n ộ i tiếp và ngoại tiếp

2 N ê u A, B, c là các đ i ể m bát kì, thì A B < A C + CB, đẳng thức xảy ra khi và

c h ú k h i đ i ế m c nằm t r ê n đoạn thẳng A B (bất đẳng thức tam giác)

3 Đ ư ờ n g trung tuyến của tam giác nhặ hơn nửa tổng các cạnh c ù n g xuất p h á t

6 Đ ố i diện v ớ i cạnh l ớ n hơn của tam giác là góc l ớ n hơn (bài 15.91)

7 Đ ộ dài đoạn thẳng nằm trong đa giác lõi k h ô n g t h ế l ớ n hơn hoặc là cạnh lớn nhảẫt, hoặc là đường c h é o l ớ n nhất (bài 15.105)

8 K h i giải một số bài toán trong c h ư ơ n g này căn phải biế t vận dụng các bát

đẳrng thức đ ạ i số Các k i ê n thức vê các bất đẳng thức này và các chứng m i n h của

7

c h ú n g ta có t h ể xem ở phần "Phụ lục cho chương 15", nhưng.cần lưu ý r ằ n g ch ú n n g chi cân dế giải những bài toán phức tạp, còn đổ giải các bài toán đon g i ả n c h i cầân

bất đầm; thức Vab < - (a + b) và các hệ quá của nó

3 Đ i ể m B nằm trong đường t r ò n đường k í n h A C khi và chi khi A B C > 90

4 GÓC ngoài của tam giác l ớ n hơn góc trong k h ô n g kề với n ó

5 M ồ i đường chéo của tứ giác nhỏ hcAi nửa chu vi của nó

6 D i ệ n tích t ứ giác A B C D k h ô n g vượt quá - ( A B BC + A D D C )

2

7 Bán kính của hai dường tròn bằng R và r, còn khoảng cách giũa tâm của chtnng

bằng d Điêu kiện cần và đủ để hai đường tròn đó cắt nhau là I R — r | < đ < R 4 r r

§1 Đường trung tuyến của tam giác

15.4 Cho các đ i ể m A i , An k h ô n g c ù n g nằm t r ê n mỏt đường thẳng Giảssử

hai đ i ế m phân b i ệ t p và o thỏa mãn tính chất A i P + , + A n P = A i Q + - + + AnQ = s, khi đ ó A i K + + A n K < s v ớ i đ i ể m K nào đ ó

(Ì) Dể tiết kiệm chồ rư bài toán sau ta bỏ cụm từ "Chứng minh rằng" Niu ìậậy các bại toán cho dưới dạng dinh lí dìu phải chứng minh

15.5 T r ê n b à n đ ể 50 cái đ ô n g h ò chạy c h í n h xác Sẽ có một lúc nào đ ó tổng

k t h o ả n g c á c t ừ t â m hàn đen các dâu k i m p h ủ i lớn hơn tổng khoảng cách từ tâm bàn (Ken c á c t â m đ ồ n g hô

§22 C h u vi c ủ a đa giác ngoài lớn hơn chu vi của đa giác trong

15.6 a) K h i chuyển từ một da giác khôníi lõi sang bao lôi của nó chu vi sẽ giảm

(EBao l ồ i của một đa giác là da giát l ồ i n h ỏ nhát chứa nó ; xem trang ) b) N ê u m ộ t đa giác lôi nằm b ê n trong một đa giác l ồ i khác, thì chu vi của đa

gi lác n g o à i k h ô n g nhỏ hơn chu vi cùa đa giác trong

15.7 N ê u o là đ i ế m nằm trong tam giác A B C chu v i p thì P/2 < A O + BO +

+ - C O < p

15.8 N ê u t r ê n cạnh đáy A D của hình thang A B C D tìm được đ i ể m E đố cho chu

vi i các tam giác A B E , BCE và C D E bằng nhau thì BC = A D / 2

§33 C á c bài t o á n đại s ố dựa vào bất dẳng thức tam giác

15.9 Đ i ê u k i ệ n cần và (lù để các sẳ a, b, c là đ ộ dài các cạnh của một tam giác

l à i a = V + z , b = z + X, c = x + y, trong đ ó X, V, z là c á c s ố dương

2 2 2

15.10 N ê u a, b, c là đ ộ d à i các cạnh cùa m ộ t tam giác, thì a + b + c <

< 2(ab + be + ca)

15.11 C h ó a , b, c là các sỏ dương Nếu với m ọ i số t ự n h i ê n n từ các đoạn thẳng

có) đ ộ dài an, hn, c"' có t h ể dựng dược một tam giác thì trong các số đã cho có hai

s õ i bằng nhau

15.12 Nêu a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác,, thì

a ( b - c )2 + b (c - a )2 + c(a - b ) 2 + 4abc > a3 + b3 + c3

15.13 Ta gọi " h ệ số không cân" của tam giác với cáccạnha < b < c là số nhỏ nhất

trcong các sô b/a và c/b H ỏ i "hệ số không cân" k có thổ lẫy các giá trị n h ư thê nào ?

15.14 Biẽt rằng t ừ ha đoan thẳng bãi ki trong sô năm đoạn thẳng cho trước đ ề u

có) t h ể dựng được tam giác K h i đ ó trong tát cả các tam giác dựng đnợc có ít nhát

§4.Tểng độ dài các đường chéo c ủ a tứ giác lồi lớn hơn tổng đô dài c ủ a c á c c ạ i n h Ì đối nhau

15.17 N ế u A B C D là t ứ g i á c l ồ i , t h ì A B + C D < A C + B D

15.18 N ế u A B C D là tứ g i á c l ồ i có A B + B D < A C + CD, t h ì A B < A C

15.19 M ộ t tứ giác l ồ i đặt trong một tứ giác lôi khác Tổng độ dài các đ u x ờ n g ị

c h é o cùa tứ giác ngoài có thể nhỏ h ơ n 2 lân so với tổng độ dài các đ ư ờ n g c h é o của ì

tứ giác trong được k h ô n g ? Còn 1,99 lần ?

15.20 T r ê n mặt phang cho n > 2 đ i ể m , trong số đó k h ô n g có ba đ i ế m n à o t h i n g s

hàng Trong số các đường eãp khúc k h é p kín đi qua các đ i ể m đã cho, đưừníỊ k h ô ne ì

tự cằt sẽ có độ dài nhỏ nhất

15.21 M ộ t đa giác lõi có tất cả các đường c h é o bằng nhau có t h ể có bao n h i ê u J

cạnh ?

15.22 T r ê n mặt phang cho n đ i ế m đỏ và n đ i ế m xanh, trong số đ ó k h ô n g c ó ba Ì

đ i ề m nào thẳng hàng K h i đó luôn có t h ế kỏ được n đoạn thẳng v ớ i các đ â u k h á c ; màu nhau và không cằt nhau

§5 Các bài toán khác dựa vào bất đẳng thức tam giác

15.23 Đ ộ dài hai cạnh của một tam giác bằng 3,14 và 0,67 T í n h đ ộ d à i c ạ n h Ì

t h ứ ba, b i ế t rằng nó là một số nguyên

15.24 Tổng độ dài các đường c h é o của ngũ giác l ồ i l ớ n hơn chu v i , n h ư n g nhỏ^

hơn hai lân chu v i

15.25 Đ ộ (lài các cạnh của một tam giác không đêu có thè là ba phân tử liên t i ế p )

của một cấp số nhân dược hay không ? Có thè nói gì về công bội của cáp số này ?

2 2 2 15.26 Nêu độ (lài các cạnh của mội tam giác thỏa mãn bát đẳng thức a + b > 5c ,,

thì c là độ dài cạnh n h ỏ nhất

15.27 Nêu hai đường cao của một tam giác bằng 12 và 20, thì dường cao t h ứ ba Ì

n h ỏ hơn 30

15.28 Cho ba h ì n h tròn k h ô n g cằt nhau có các tâm thẳng h à n g Nế u có một!

đường tròn t i ẽ p xúc v ớ i tất cả ba h ì n h đ ó , thì bán k í n h của nó l ớ n hơn bán kính Ì

một hình tròn trong số đã cho

15.29 Cho các đ i ể m C i , A i , B i n ằ m t r ê n các cạnh A B , BC, C A của tam giác;

A B C sao cho BAI = ẢBC, C B i = Ẳ C A , A C Ì = ẲAB, trong đó 1/2 < Ả < 1 Nếm

gọi p và p là chu vi các tam giác A B C và A 1 B 1 C 1 thì (2 A - 1)P < p < Ắp

15.3(l.'Trong một ngũ giác l ồ i luôn c ó t h ể chọn dược ba đường chéo đế từ đó có thuế d ự n g dược mót tam giác

§6S D i ệ n tích tam giác không lớn hơn nửa tích độ dài hai cạnh của nó

1 5 3 1 Trong tam giác có diện tích Ì và các cạnh a < b < c, thì b > V ĩ

15.32 N ê u E, F, G, Hí là trung đ i ể m các cạnh AB, Be, CD, DA của tứ giác

15.35 N ê u trong đường tròn bán k í n h R n ộ i t i ế p mội ùa giác có d i ệ n tích s và

chiứa t â m đuừng t r ò n , t r ê n môi cạnh của nó lẫy một đ i ể m bất kì thì chu vi của đa giẩác l ụ i có các đinh là các đ i ể m được lấy k h ô n g nhụ hơn 2S/R

15.36 G ọ i o là đ i ể m nằm trong tứ giác lôi A B C D diện tích s thụa m ã n hệ thức

ACO2 + B O2 + C O2 + D 02= 2S, khi đ ó A B C D là hình vuông và o là tâm của nó

15.40 Nêu t r ê n các cạnh B e , CA, A B cùa tam giác A B C lấy các đ i ể m A i , B i ,

O i t ư ơ n g ứng, thì trong các tam giác A B i C i , A l B C i , A i B i C có một tam giác có

diệện tích không v ư ợ t quá một p h â n tư d i ệ n tích tam giác A B C

15.41 G ọ i s, S i , S 2 tương ứng là d i ệ n tích của các tam giác A B C , A 1 B 1 C 1 ,

A 2 2 B 2 C 2 có A B = A i B i + A 2 B 2 , A C = A i d + A 2 C 2 , B e = B 1 C 1 + B 2 C 2 , thì

s ; > 4 V S 1 S 2

l i

15.42 Cho A B C D là tứ giác lõi d i ệ n tích s Nêu góc giữa A B và C D b ằ i n g (CH ,

góc giữa A D và BC bằngỊ3 , thì

A B C D s i n « + A Ọ B C sin/? < 2S < A B C D + A D B C

15.43 Nêu tất cả các cạnh cùa một đa giác lôi được xê dịch ra phía n g o à i muội

khoảng bằng h, thì diện tích của nó sẽ được t ă n g lén một lượng bằng Ph -+ 7T'h , trong đó p là chu v i đa giác

15.44 N ế u một hình vuông được cắt ra t h à n h các hình chữ nhật thì tổrag d i i ẽ n

tích các hình tròn ngoại tiếp quanh các hình chữ nhật đó không nhỏ h ơ n dtíện t ích hình tròn ngoại t i ế p quanh h ì n h vuông ban đởu

15.45 N ê u t ấ t cả c á c đ ư ờ n g p h â n g i á c của tam giác n h ỏ hơn Ì, thù diiệ n

t í c h của nỏ n h ỏ h ơ n : a) 1; b) 1/V3

15.46 Tống d i ệ n tích của 5 tam giác tạo bởi các cặp cạnh kề nhau và các đ ư ờ n g

c h é o lương ứng cùa một ngũ giác lõi lớn hơn d i ệ n tích cùa cả ngũ giác

15.47 N ế u hai hình chữ nhật bằng nhau được xếp sao cho biên của c h ú n g cắt

nhau t ạ i 8 đ i ể m , thì d i ệ n tích phởn chung của c h ú n g lớn hơn một nứa d i ệ n Ì ích (Của

h ì n h chữ nhật

15.48 a) Trong mọi lục giác lôi d i ệ n tích s luôn tìm được đường c h é o cai ra

một tam giác có d i ệ n tích k h ô n g l ớ n han S/6

b) Trong mọi bát tam giác l ồ i d i ệ n tích s luôn tìm được đường c h é o cắn ra

một tam giác có d i ệ n tích k h ô n g l ớ n h ơ n S/8

§8 Diện tích Một hình nằm trong một hình khác

15.49 Bên tronii hình vuông cạnh Ì cho n đ i ể m Trong số các tam giác có d i n h

tại các diêm đó hay t ạ i các đ i n h của h ì n h vuông luôn có một tam giác có d i ệ n t í c h

k h ô n g vượt quá l / 2 ( n + 1)

15.50 Bên ư o n c hình vuông cạnh Ì cho n đ i ể m , trong số đó không có ba đ i ể m

nào thẳng hàng K h i đó luôn tìm được một tam giác có các đ i n h t ạ i các đ i ế m đ ó và

có d i ệ n tích k h ô n g vượt quá 1/n—2

15.51 N ê u một đa giác d i ệ n tích B n ộ i t i ế p trong đường tròn d i ệ n tích A và

ngoại tiếp quanh đường tròn d i ệ n tích c thì 2B < A + c

15.52 Trong h ì n h tròn bán k í n h Ì đặt hai tam giác có diện tích đ ề u lớn hơn Ì,

k h i đó hai tam giác đó sẽ phải cắt nhau

15 53 a) D i ệ n tích h ì n h bình h à n h n ộ i t i ế p trong một tam giác k h ô n g lớn hơn

nuột n ứa d i ệ n tích của tam giác

b) D i ệ n tích h ì n h b ì n h h à n h nằm trong một lam giác không lớn hơn một nứa

d i ệ n t ích lam giác

15 54 D i ệ n tích cùa tam giác có các đinh nằm t r ê n các cạnh cùa một hình b ì n h

h à n h k h ô n g lớn hơn một nứa d i ệ n tích của h ì n h b ì n h h à n h

15 55 a) Trong một đa giác lôi d i ệ n tích s và chu vi p luôn có thể đặt một h ì n h

15.57 M ộ t n-giác lõi đ ặ t trong h ì n h vuông cạnh 1 K h i đó luôn tìm được ba

đ i n h A , B, c của n — g i á c đó sao cho d i ệ n t í c h tam g i á c A B C k h ô n g v ư ợ t quá

a) 8 / n2; b) 16JT/n3

§9 C á c bất đẳng thức về các đường trung tuyến của tam giác

15.58 N ế u a > b thì ma < rrib

2 2 2 15.59 a) N ê u a, b, c là đ ộ dài các cạnh của một tam giác bat kì, thì a + b" >c /2

b) ma2 + t ĩ i b2 5: 9c2/8

15.60 a) ma2 + mt>2 + nu-2 ắ 27R2/4

b) ma + mb + me < 9R/2

15.61 Nếu lam giác k h ô n g tù thì ma + mb + me 2: 4R

§ 1 0 C á c bất đảng thức v í các đuừnị; cao của tam giác

15.62 — < + — <

-2r ha hh r

15.63 Nêu bán k í n h d ư ờ n g tròn n ộ i t i ế p của tam giác bằng 1/3, thì đường cao

lớn n h á t của tam giác k h ô n g nhỏ hern 1

15.64 ha + hb + he > 9r

15.65 ha s ^ p ( p a) < trong đó p là nửa chu v i

15.66.

13

§ 1 1 Các bất đẳng thức về các góc của tam giác

15.70 3r/R < cos a + cos/3 + cosy < 3/2

15.71 s i n ậ s i n Ệ s i n Z < 1/8

2 2 2 15.72 a) a + b + c < 3 V J R ;

b) sina + sin/? + s i n / < 3 V3/2

15.73 a) s i n Ẹ + s i n ặ + s i n ! < 3/2;

2 2 2 b) c o s £ + cosỂ + cosZ < 3V3/2

2 2 2

Ị5.74 G i ả sử « , / ? , y là các góc của một tam giác nhọn N ế u a < ộ < y, t h ì sin

2CÍ > sin 2/3 > sin ly

15.75 Nêu hai tam giác có một góc chung, thì tam giác n à o có h i ệ u hai g ó c còn

lại lớn h ơ n sẽ có tone các sin của hai góc đó n h ể hem ' 15.76 N ê u a + b < 3c, thì tg£L t g ầ < -

§12 Các bất đẳng thức trong tam giác vuông

15.79 Nêu c là độ dài cạnh huyên của tam giác vuông , thì với m ọ i n > 2 luôn

có c" > an + b"

15.80 N ế u trong tam giác A B C góc c v u ô n g thì :

a) ĩ < - a ; b) r < - c ; c) r < c / 2 ( l + yfl )

15.81 Trong tam giác vuông luôn có 0,4 < r/h < 0,5, trong đó h là đường cao hạ

t ừ đinh góc vuông

§13.Các bất đẳng thức liên hệ các yếu tố của tam giác

15.82 Trong tam giác nhọn luôn có :

ma rrib mc J + R

15.83 N ê u trong một tam giác nhọn ha = lb = mc, thì tam giác đó đêu

15.84 N ế u trong tam giác A B C cạnh c lớn n h ấ t , còn a nhỏ n h á t , thì le < h a 15.85 r rc £ c2/4, trong dó re là bán kính dường tròn b à n g t i ẽ p góc c của tam giác A B C

§u Các bất đẳng thức vê diện tích của tam giác

15.88 Nêu a, b, c là độ dài các cạnh của tam giác d i ệ n tích s, t h ì :

c) s <

-15.90 a2 + b2 + c 2- (a - b ) 2 - ( b - c )2 - ( c - a ) 2 > 4 Vĩ s

§15 Đ ố i diện vói các cạnh lớn hơn là góc lớn hơn

15.91 Trong tam giác A B C : A B C < B Á C khi và chi k h i A C < Be, tức là t r o

tam giác đ ỗ i diện với góc lớn hơn là cạnh lớn h ơ n , và đ ố i d i ệ n với cạnh l á n hum

góc lớn han

15.92 Trong tam giác : góc A nhọn k h i vá chi k h i ma > —a

2

15.93 Có sáu h ì n h tròn dược vẽ t r ẽ n mặt phang sao cho chúng có ehumg mi

đ i ể m o nào đó, khi đ ó luôn có một h ì n h tròn trong số đó chứa tâm của m ô n hìn tròn k h á c

15.94 Cho A B C D và A i B j C i D j ^ là hai tứ giác l ồ i có các cạnh tương ứ n g bằn nhau Nêu A > A i thì B < BÌ , c > C Ì , D < D i

15.95 Nêu trong tam giác nhọn A B C đường cao l ớ n nhất A H bằng đường: trùn,

tuyên B M , thì B < 6 0 °

15.96 N^ũ giác lôi A B C D E có các cạnh bằng nhau và các góc thổa m ã n bã t J ẳ n j

thức A > B > C > D > E là một ngũ giác đêu

§16 Các bất đẳng thin: khác trong tam giác

15.97 a) Trong một tam í»iác k h ô n g cân đường p h â n giác BD nằm giữa órờng

trung tuyên B M và dưònii cao B H

b) B H < B D < B M

/V / N / \

15.98 Các góc của một tam giác thổa m ã n bát đẳng thức A > B > c H ổ dinh

nào của tam £iá*FỊ|Mj*j»ậfl tả4ữj4iH>pg J rò n n ộ i t i ế p h ơ n cả ?

15.99 Nâu q f a f r ^ W r f i ^ & t f f f t i f g i ã i A B C kẻ một'dường thẳng cắt cát cạnh

của tam giác t ạ i M và ĩ k t ^ t ì N Õ ^ 2MO

15.100. NcuịvẩiT'Ìtó^íM*Í0á£'AB<t t ò n t ạ i đ i ế m D sao cho A D = Ai, thì

A B < A C * — ~*f™x*S*T \

-~~'-15.101 Nếu trên đường kéo dài cùa cạnh lơn n h á t A C của tam giác A Ì C vè

phía c lây điếm D sao cho C D = CB, k h i đó góc A B D k h ô n g nhọn

15.102 T r o n g tam giác A B C kẻ các đường p h â n giác A K và C M Nếu A B > BC,

(thì AM > MK > Ke

15.103 T r ê n các cạnh Be, CA, A B của tam giác A B C lấy các đ i ể m X , Y , z sao

cbho các đường thẳng A X , B Y , cz đ ô n g quy t ạ i một đ i ế m o K h i đó t r Ig các t i

sèo A O : ox, B O : O Y , co: O Z có ít n h á t một số không lớn hơn 2 và một số k h ô n g

n i h ỏ hơn 2,

15.104 N ê u đường tròn Si t i ế p xúc v ớ i các cạnh A C và A B cùa tam giác A B C ,

(Hường tròn Sz t i ế p xúc với các cạnh BC và A B , dõnii thời Si và S2 t i ế p xúc ngoài

Vi ớ i nhau, thì tổng bán kính các đưừni; tròn đó lớn hơn bán kính đường tròn n ộ i

tiiếp s

§ U 7 Đoạn thẳng nằm trong tam giác nhò him cạnh lớn nhất

15.105 a) B ê n trong tam giác A B C đặt đoạn M N K h i dó độ dài đoạn M N k h ô n g

v ượt quá cạnh l ớ n nhất của tam giác

b) Bên trong một da giác lõi dặt đ o ạ n M N khi đó độ dài đoạn M N k h ô n g

v ư ợ t quá cạnh l ở n nhất hoặc đưởnii c h é o lớn nhát của du giác ấy

15.106 Bên trong hình quạt AOB của h ì n h t r ò n bán kính R = A O = BO đ ạ i

đtoạn M N N ê u giọ sứ A O B < 180° , thì M N < R hoặc M N < A B

15.107 T r o n lĩ góc đinh A n ộ i t i ế p một dường tròn t i ế p xúc với các cạnh của góc

t ạ i các đ i ế m B và c Nêu trong m i ề n g i ớ i hạn bởi các đoạn A B , A C và cung nhỏ

B e dặt một đ o ạ n thẳng, thì độ dài của n ó k h ô n g vượt quá A B

15.108 N ế u b ê n trong dường tròn đ ặ t một nnũ giác lôi thì nó có ít nhát một

cạnh khổng l ớ n hem cạnh của niỉũ giác đêu nội t i ế p trong đường tròn đó

15.109 Cho tam giác A B C với các cạnh a > b > c và m ộ i đ i ể m o hãi kì irons'

n ó Nêu gọi p, Q, R là giao đ i ế m của các đường thẳng A O , BO, co với các cạn) của tam giác t h ì OP + OQ + OR < a

§18 Đuửng v u ô n g góc ntỉán hơn đirỆ^^^SS^3S%h ư n đ u * P B K" khúc

15.110 T r o n g một tam giác tổng chu v i

15.111 N ế u M là đ i ể m nằm trên đường p h â n giác ngoài của góc c trong tam

giác A B C ( M k h á c C), thì M A + M B > CA + GB?

17

15.112 M ộ t đa giác ( k h ô n g nhất thiet phải l ồ i ) dược cắt ra từ giãy và d u ọ t c g;ãp

l ạ i theo một đường thẳng nào đó, hai nửa sau đó dược d á n l ạ i với nhau H ở i c h U i vi

da giác mới nhận được có thể lớn him chu v i đa giác ban đâu hay k h ô n g ?

15.113 Trong tam giác A B C đường cao A M k h ô n g n h ằ hơn BC, còn đ ư ờ n g cao

B H k h ô n g nhằ hơn AC T í n h các góc của tam giác A B C

§19 Các bất đẳng thức với góc

15.114 Nêu các góc của một ngũ ?iác l ồ i lập t h à n h một cáp số cộng, t h ì cá c g ó c

đó đêu lớn hơn 36°

15.115 Trong tam giác A B C các cạnh bằng a, b, c; còn các góc t ư ơ n g ứ n g ( đ o

bằng radian) bằng a,/?, y luôn có : ĩ < à a + b ^ * L ỵ < -

15.116 Nếu hai góc đ ố i nhau của một t ứ giác là các góc tù, thì dướn? c h é o mõi

đinh các góc đó ngắn hơn đường c h é o kia

í 5,517 Cho A B C D là một tứ giác lõi, nêu A + c < 180° , thì hợp của c á c h ì n h

t r ò n ngoại t i ế p các tam giác A B D và B C D chứa trong hợp của các hình t r ò n n g c ạ i

t i ế p các tam giác A C D và A B C

15.118 Cho đa giác bảy cạnh A1A2 A711ỘÌ t i ế p trong đường tròn, nếu t â m c ù a

' đ ư ờ n g tròn đó nằm trong đa giác bảy cạnh, thì tổng các góc thuộc các đ i n h A i , A3,

15.120 Trong tam giác nhọn A B C đuờríg phân giác A D , trung tuyên B M và dường

cao CH đông quy l ạ i một điểm H ằ i giá trị cóc A có thế thay đ ố i trong khoảng nào ?

§20 Đirìmg gấp k h ú c trong hình vuông

15.121 Nêu bên trong hình vuông cạnh Ì đặt một đ u ờ n u găp khúc k h ô n g tự cắt dài 1000, thì luôn tìm đirợc một đường thẳng song song với cạnh cùa hình vuông

và cắt (fưSíĩf gap khúc đò tại ít nhất 500 điểm

15.122 Trong h ì n h vuông cạnh Ì đ ặ t một đường gap k h ú c có độ dài L Nế u biết

rằng m ỗ i đ i ế m của h ì n h vuông cách m ộ t đ i ể m nào đó cùa đường gấp k h ú c một

khoảng nhằ hơn 8 , thì L > — - —e

l ĩ 2

15.123 Nế u b ê n trong h ì n h vuông cạnh Ì đặt n đ i ể m , thì tồn tại một đường

gằãp khúc đi qua tai cả các đ i ể m đó và có độ dài k h ô n g vượt quá a)2n + l ; b)2n

15.124 Bên trong hình vuông cạnh 100 đặt một đường gấp khúc có tính ctìẵt

lài m ọ i điếm của h ì n h vuông đ ề u cách L một khoảng không lớn hơn 0,5 Khi đỏ trrên L có hai đ i ể m mà khoảhg cách giữa c h ú n g không lớn hơn Ì, nhưng k h e1; ' cíách dọc theo L giữa c h ú n g k h ô n g nhỏ hơn 198

§121 Một hình nằm trong một hình khác,

15.125 N ế u một đa giác l ồ i có diận tích l ớ n hơn 0,5 được đặt trong một hình

'viuông cạnh Ì, thi b ê n trong đa giác đó có íhc đặt một đoạn thẳng dài 0,5 song sons

VÓẾỈỈ một cạnh của h ì n h vuông

15.126 Luôn có t h ể đặt được đường gẫp k h ú c k h é p kín có độ dài banc Ì vào

mong một hình t r ò n bán kính 0,25

15.127 Nêu một tam giác nhọn được đặt vào trong mội đường tròn, thì bán

kí nh của đường t r ò n dó k h ô n g nhỏ hơn bán k í n h đường tròn ngoại tiế p tam giác Két luận đó còn d ú n e kftông đ ố i với một tam giác tù ?

15.128 Chu vi của một tam giác nhọn k h ô n g nhỏ hơn 4R

§ 2 2 Phinmg pháp chiếu

L5.129 Nêu độ dài các hình chiêu của một đoạn thẳng lên hai đuờng thẳng

v u ô n g góc v ớ i nhau bằng a và b, thì độ dài của nó k h ô n g nhỏ hơn (a + b) / Vĩ

15.130 N ế u các đ i n h của tứ giác l ồ i nằm t r ê n các cạnh khác nhau của h ì n h

vuông cạnh Ì, thì chu vi của nó khòm; nhỏ hem 2 V ĩ

15.131 N ế u độ dài các h ì n h chiếu của một đa giác lên các trục tọa độ bằng a và

b, thì chu vi cùa nó k h ô n g nhỏ hơn V2 (a + b)

15.134 N ê u p và Q là hai đ i ể m nằm bên trung mội da giác lôi, thì luôn tim được

một dinh A của đa giác sao chí) PA > QA

19

15.135 Nêu các đ ư ờ n i ! chéo cùa một tứ giác lôi bằng 2a và 2b, thì có m ô n ccạnh của tứ giác không nhỏ hơn \^a2 + b2

15.136 G i ả sử D và E là trung đ i ế m các cạnh A B và Be cùa tam giác n h ọ n /AABC, còn M nằm trên cạnh A C Nếu M D < A D , thì M E > EC

15.137 Tron tỉ rừng mọc những cây có dạng hình trụ A n h lính thông tin cầm c căng mội đường dày từ điếm A đen điểm B Nêu biết khoảng cách giữa hai điểm đó bằằấng Ì, thì dế làm việc dó anh lính thông tin chi cân một cuộn dây dài 1,61 là dù

15.138 Bằng các cạnh của một đa giác lõi chu vi p luôn có t h ế ghép l ạ i t l h h à n h hai đoạn thẳng có độ dài hơn kém nhau không quá P/3

15.139 Trong một vườn cây biết rằng khoảng cách giữa hai cây bất kì kđhtoông vượt quá hiệu chiêu cao của chúng Nêu biết thêm tát cả các cây đêu k h ô n g c a o ) ) quá

100 m, thì khu vườn do có thế quây bằng một bờ rào dài 200m

15.140 Cho A B C D E là một ngũ giác lõi nội tiế p trong đ ư ờ n g t r ò n b á n k k í n h

k h ô n g phải cắt kéo dài của nó

• 15.143 Đường c h é o A C của tứ giác A B C D bị chia dôi bởi đường chéo B D NNcu

BA > Be, thì A D < DC

15.144 Nêu trong h ì n h thang với các đáy (lài 2 và 11 có t h ể n ộ i tiế p một đ ư ờ ờ n g

t r ò n , thì các cạnh bên của h ì n h thang đó khi kéo dài sẽ cắt nhau d ư ớ i một sóc n ĩ i o ọ n

15.145 Nếu n ỗ i các trung đ i ế m các cạnh liên t i ẽ p của một n-giác lôi M , t h ì ì đa

giác nhận được có :

a) Chu vi không nhỏ hern nửa chu vi của M khi n > 3

b) D i ệ n tích k h ô n g nhỏ hơn nửa d i ệ n tích của M k h i n > 4

15.146 N ế u g ọ i a, b, c là c á c cạnh của tam g i á c , p = a + b + c, T = ab + + toe + ca, thì 3 T < p2 < 4T

15.147 N ế u tích các cạnh A B và CD của tứ giác l ồ i A B C D bằng tích các cạnh

A D và Be, và đường c h é o B D chia đôi đường c h é o A C , thì A B = BC và A D = D C

15.148 Đ ố i với m ọ i tam giác —ỉ— < — + — +

-2Rr a2 b2 c2

15.149 Tích hai cạnh bất kì của một tam giác lớn hơn 4Rr

15.150 N ế u các đường truniỊ tuyên A D và BE của tam giác A B C vuông góc với

nhau, thì ctg a + ctgfi > 2/3

15.151 Trong đường tròn bán kính Ì n ộ i t i ế p một đa giác có các cạnh nhỏ hơn

n h ư n g l ớ n hơn 1 Hãy t í n h số cạnh của đa giác đó

15.152 N ê u trên các cạnh của tam giác Ẩ B C về phía ngoài dựnc (ác tam giác

đ ề u với các tâm là D , E F thì S D E F - S A B C

15.153 N ê u irons h ì n h b ì n h hành Pi n ộ i t i ế p hình b ì n h hành ?2, còn trong ?2

nội t iẽp h ì n h b ì n h hành P3 có các cạnh song song với các cạnh của P i , thì có ít nhất

một cạnh của P3 k h ô n 2 nhỏ hơn một nẳa cạnh song song v ớ i nó của P i

15.154 T r ê n mặt phang cho các tam giác A B C và M N K sao cho đưừnt> thẳng

M N đi qua trung đ i ể m các cạnh A B và A C , và giao cùa các tam giác đó là một lục

giác d i ệ n tích s với các cặp cạnh đ ố i song song K h i đó 3S < S A B C + S M N K

L Ờ I G I Ả I

ì 15.1 G ọ i C i là t r u n g đ i ề m cạnh A B K h i dó c o + O A > C A và BO +

15.6 a) K h i c h u y ổ n t ừ m ộ t đ a g i á c k h ô n g lôi sang bao tôi cứa n ỗ , một s ổ điMỜng

gấp k h ú c l ạ o b ở i c á c c ạ n h đ ư ợ c thay bằng các đoạn thing ( K I ) Mi độ d à i ị của

Hình ỉ Hình 2

Nếu đa giác ngoài và đa giác trong

không trùng nhau, thì có ít nfiat một bẵt

sở A A B E vẽ hình bình hành ABCiE Khi đó chu vi các tam giác BCiE và A B E

bằng nhau, do đó chu vi các tam giác BCiE và BCE bằng nhau Suy ra Ci = c, nếu

không trong hai tam giác BCiE và BCE sẽ có một tam giác nằm trong tam giác kia

và chu vi cùa chúng không thế bằng nhau Như vậy ta đã chứng minh dược ABCE

là hình bình hành Tương tự ta cũng được BCDE là hình bình hành

Bi Bi

Hình 3

23

15.9 Giả hệ phương trình x + y = c, x + z = b , y + z = a, ta được X = ( — a i +

có 2Ấn < Ì và ta nhận được điêu mâu thuẢn với bất đẳng thức tam giác

15.12 Do c(a - b) 2 + 4abc = c (a + b )2, n ê n a(b - c )2 + b(c - a )2 +

f c(a - b )2 + 4abc - a3 - b3 - c3 = a [(b - c )2 - a2] + b[(c - a)2 - b> ] +

+c[(a + b )2 - : j = (a + b - c)(a — b + c ) ( - a + b + c) > 0

15.13 Giả ử b/a = X, c/b =fi Doa < b < c, nên c < a + b, suy raẲ// < Ì + A

ị l i hay /ù < Ì + y Do đó k không vượt quá số nhỏ nhất trong các số Ả và Ì -+ jỵ

Á Phương trình Ả =1 + ị có nghiệm A = ĩ - — (nghiệm thứ hai ta không quaan

tâm vì nó âm), do đó số nhỏ nhất trong các số là Ả và Ì + J không vượt quaá

15.14 Kí hiệu độ dài các đoạn thẳng là ai < a2 < a3 < 34 < as Nếu tái củ cá te

lam giác có the dựng được từ các đoạn thăng dó không nhọn, thì a3 > ai" + ai :

U 4 2 > a 2 2 +• -di 2 và H5 2 > a 3 2 + ỈM2 Do đỏ as2> a 3 2 + a i2 > ( a i2 + à :2) + (a2

-H-+a3 ) ^ 2ai + 3a2 N h ư n g a r + 32 > 2aia2, nên 2ai + 3a2 > ai + 2aia2 + a2 =

- Ca Ì + a2) Ta được as > (ai + •ái)" mâu thuân với bat đang thức tam giác

5.15 Cách thứ nhất Đặt X = —a + b + c, y =a —b + c, z = a + b —cz

V + Z X + Z x + y , ,

Khi đó a = — — , b = —•—, c = — — , tức là cân phải chứng minh xyz<

2 2 2

<< (x + y)(y + z)(z + x)/8 hay 6xyz < xtf + z 2 )+ y ( x2 + z2) + z ( x2 + y2) B á t

đ a ẳ n g t h ứ c c u ổ i d ư ợ c suy ra t ử 2xy X < ( y + z ) , 2xyz < y ( x2 + z ) , 2xyz <

<? z ( x2 + y2) , b ở i v ì X, y, z là các số nguyên

CÁc/i thứ hai: B ở i vì s = - ab sinỵ và siny = C/2R nên abc = 4SR Theo công

2 thhức H c r ô n g (a + b — c)(a— b + c)(—a + b + c) = 8S /p Do đ ó cân phải chứng

i m i n h rằng 8S /p < 4SR, tức 2S < p R B ờ i vì s = pr ta đi đ ế n bất đẳng thức 2rr < R (xem bài 10.5)

đ ẳ i n g thức A B + B D < A C + C D ta được 2AB < 2AC

15.19 Trước h ế t ta chứng minh rằng nêu p là chu vi tứ giác lòi A B C D , còn d i và cl2 là độ dài các đường c h é o của n ó , t h i p > d i + d 2 > P/2 R õ ràng A C < A B + Be vài A C < A D + D C n ê n A C < ( A B + BC + A D + D C ) / 2 = P/2 T ư ơ n g tự B D < P / 2

smy ra AC + B D < p M ặ t k h á c k h i cộng các bát đẳng thức A B + C D < A C + B D

và Be + AD < AC + B D (xem bài 15.17) ta được p < 2(AC + BD)

G i ả sử p là chu v i của t ứ giác ngoài, P' là chu vi của tứ giác trong, d và cTlà tổng

đ ộ ) dài các đường c h é o cùa t ứ giác ngoài và trong tương ứng K h i đ ó d > P/2 n h ư n g

do P' < p (xem bài 15.6b), n ê n d ' < P' < p < 2d

N h ư vậy ta đã chứng m i n h rằng tổng độ dài các đường chéo của tứ giác ngoài khiông t h ậ n h ỏ h ơ n hai l â n so v ớ i tổng độ (lài các đường chéo của t ứ giác trong

25

Còn 1,99 l ầ n thì n ó có t h ế nhỏ hơn được Chẳng hạn trong trường hợp sau : : LLấy một đoạn thẳng có độ dài Ì và đặt một đ i n h của tứ giác vào một đâu của đ o ạ n thhầrng, còn ba đ i n h kia đặt gần dâu t h ứ hai của đ o ạ n thẳng Tổng độ dài các đườgn < chnéo của t ứ giác đó có t h ể cho t i ễ n gần tùy ý t ớ i 1 Bên trong t ứ giác vừa nhản đ u ư ợ c : ta đặt một tứ giác lôi có hai đ i n h nằm gân m ộ t đàu của đoạn thẳng, còn hai đinhh Hóa -gần đầu t h ứ hai của đoạn thẳng (h.4) Tống độ dài của đường c h é o của tứ r giiác trong có t h ể cho t i ễ n gần tùy ý t ớ i 2

Hình 4

15.20 G i ả sử đường gấp k h ú c có độ dài ngắn nhất tự cắt Xét hai mắt cắt r nỉiaau Các đ i n h của hai mắt này có t h ể được n ố i v ớ i nhau bằng ba cách (h.5) Ta xét đ i c ờ m g gấp k h ú c m ớ i nhản được từ đuờng gẫp k h ú c ban đầu k h i thay hai mắt cắt rhiau bằng các mắt m ớ i (xem h.5, b i ế u t h ị bằng các đường k h ô n g liên)

Hĩnh 5

K h i đó ta l ạ i nhận dược đường gấp k h ú c k h é p kín n h ư n g độ dài oủa nó nhỏ h ơ n

đ ộ dài của đ ư ờ n g ban đâu vì tổng đ ộ dài các cạnh đ ố i nhau của một tứ giác lõi nhỏ

h ơ n tống đ ộ dài các dường chéo Đ i ê u đó mâu thuẫn với giả thiết ban đầu, vậy

đường gấp k h ú c k h é p kín có độ dài nhỏ nhai k h ô n g thổ có các mắt cắt nhau

Đ ư ờ n g gap khúc có độ dài nhó nhất luôn tôn t ạ i , vì chi có một số hửu hạn các

đường gãp k h ú p k h é p kín v ớ i các đ i n h t ạ i các đ i ế m đã.cho

15.21 R õ r à n g ngũ giác đêu và h ì n h vuông thỏa mãn điêu k i ệ n bài toán Ta

chứng m i n h rằng số cạnh của đa giác n h ư vậy k h ô n g thế l ớ n hơn 5 G i ả sử tất cả

các đường c h é o của đa giác A i An bằng nhau và n > 6 K h i đó A 1 A 4 = A1A5 =

= A 2 A 4 = A 2 A 5 N h ư n g trong tứ giác l ồ i A i A 2 A 4 A 3 các đoạn thẳng A1A5 và A 2 A 4

là các cạnh đôi nhau, còn A 1 A 4 và A2A5 là các đường chéo Do đó A1A5 + A 2 A 4 <

< A 1 A 4 + A 2 A 5 Máu thuẫn

15.22 X é t tất cả các cách chia các

đ i ể m đã cho t h à n h từng cặp đ i ể m khác

màu nhau Tổng sỗ các cách chia n h ư

vậy là hửu hạn, và tôn tại cách chia sao

cho tổng đ ộ dài các đoạn thẳng, xác

định bởi các cặp đ i ể m được chia, là nhỏ

dài các đ ư ờ n g c h é o của ngũ giác nhỏ hơn hai làn chu vi

Kí h i ệ u giao đ i ế m các đường c h é o n h ư ớ hình 7 R õ ràng tống độ dài các đường

c h é o l ớ n h ơ n t ồ n g độ dài các cạnh của h ì n h ngôi sao, và lớn hơn chu v i của ngũ

27

15.25 G i ả sử các cạnh của tam giác

bằnga,aq, a q2 với q > Ì, k h i dó q thỏa

15.26 Giả sử c k h ô n g phải là cạnh n h ỏ n h á t , chẳng hạn a < c, khi đó a < c

và b < (a + c) < 4c2 Do đó a2 + b2 < 5c2 Mâu thuẫn với giả t h i ế t bài t o á n

A C + CB > A B , nên Ta + 2R + ĩb > Ta + 2r + rt>, tức là R > r

giátc ABCD, thi SABCD = - ( Á P B P + BP.CP + CP.DP + DP.AP).sin^> =

2

= — AC.BDsiny?, trong đó (f là góc giữa hai đường chéo)

ị Bởi v ì O A k + 1 =R và sin <p < Ì nên Sk < - R BkBk+1 Do đó s = Si + +

: l 5.36 Ta có 2 SAOB Í A O OB < - {AO1 + B&), đẳng thức này xảy ra khi

và c hi khi A O B = 9 0 ° và AO = BO Tương tự 2 S B O C < - (BO2 + c ò2) ,

= COD = DOA = 90° , tức khi ABCD là hình vuông và o là tâm của nó

15.37 Khône tôn tại Giả sử ha và hb lởn hơn 100 em Khi đó a > hb > 100cm

b) G i ả sứ A là góc l ớ n nhất của tam giác Trước hết ta giả sử tam giác hà i n h ọ n

T ứ giác A B C D nựm trong phần chung của các h ì n h chữ nhật, do dó ta chi càn

chứng minh rựng S A B C D 2: - a b , trong đ ó a < b là các cạnh của các h ì n h chữ

2

thẳng A F và H e nằm trong các góc D A H và A H E t ư ơ n g ứng, do đ ó đ i ể m K I nằẳm

trong tứ giác D E H A T ư ơ n g t ụ cũng chứng minh được rằng đ i ể m M n ằ m t r a n g ; tứ

giác D E H A tức là đoạn thẳng K M nằm trong tứ giác này Tương tự đ o ạ n Ithẳẳng

L N nằm trong tứ giác B C F G Giao đ i ế m của các đường c h é o K M và L N se nằằm

trong tài cả các tứ giác claim xét; kí h i ệ u đó là đ i ể m o

Ta chia hình bát giác ra t h à n h các tam giác bằng cách n ố i o v ớ i các đ i n h (Của

bát giác D i ệ n tích của một trong các tam giác đó, chẳng hạn ABO, k h ô n g lỡm hiơn

- s Đoạn A O cật cạnh K L t ạ i một đ i ể m p nào đó, do đó SABP Í SABO < - s

15.49 Kí hiệu các đ i ề m là P i , pn N ố i Pi với các đ i n h của hình v u ô n g , ta

nhận được 4 tam giác Sau dó dôi với k = 2 , n ta làm n h ư sau : Nêu đ i ể m Pk ttằằm

trong một trong các tam giác đã nhận được trước đó, thì n ố i nó với các d i n h c:ủa

tam giác dó Nêu đ i ế m Pk nằm t r ê n cạnh chung của hai tam giác, thì n ố i n ó vón ccác

dinh đ ố i diện với cạnh chung của tam giác đó Sau m ỗ i bước như vậy, trong té ttiai

trường hợp, số các tam giác tăng lên hai Cuối cùng ta sê được 2(n + l ) tam ỊÌíác

Tổng diên lích của các tam giác đó bằng Ì, do đó có một tam giác có d i ệ n tích kìômg

Ì

vượt quá

2 ( n + l )

15.50 Ta xét da giác lõi nhỏ nhát chứa tất cả các đ i ể m đã cho G i ả sử n ó xì) k

dinh N ế u k = n, thì ta có thể chia k—giác dó ra làm n —2 tam giác bằng các diởrng

chéo cùng xuất phát (ừ một đinh Còn nêu k < n, thì bên trong k — giác có ì — k

điếm và ta có thể chia nó t h à n h các tam giác theo cách đã làm ở bài toán t r ê n K l h i

đó sẽ d ư ợ c tất cả k + 2(n - k - 1) = 2 n - k— 2 tam giác B ở i vì k < nrúên

2 n - k - 2 > n - 2

Tổng d i ệ n tích các tam giác nhỏ hơn Ì, và tổng số các tam giácTchông nhỏ Hơn

n — 2, do đó phải có một tam giác trong số đó có d i ệ n tích không lớn Kem

Ị

n - 2

15.51 Giả sử o là tâm vị tự biến

đuiờng tròn n ộ i t i ế p t h à n h đường

ườn ngoại t i ẽ p Ta chia mặt phang

b ở i các tia xuất p h á t t ừ điểm o và đi

quia các đinh của đa giác và các t i ế p

d i i ể m của các cạnh của nó với đường

t r à n n ộ i tiếp (h.15) Đ ế chứng minh

b à i toán ta sẽ c h ú n g minh bát đẳng

t h ứ c đã cho đ ú n g v ớ i các p h â n của

cá(C h ì n h tròn và của đa giác nằm

t r o n g từng góc tạo b ở i các tia nói

t r ê n G i ả sử các cạnh của góc cật các

đ ư ờ n g tròn n ộ i , ngoại t i ế p t ạ i các

đ i ể m p, Q và R, s t ư ơ n g ứng, trong Hình 15

đó p là t i ế p đ i ể m , còn s là đ i n h của

đa giác D i ệ n t í c h c á c p h â n của c á c h ì n h t r ò n l ớ n h ơ n d i ệ n t í c h c á c tam

g i á c O P Q và O R S , do đ ó ta chi cân chứng minh là 2SOPS - S O P O + SORS B ở i

vì 2SOPS = 2 S O P Q + 2 S p Q S v à S o R S = S o p o + SPQS + SPRS n ê n còn l ạ i phải

c h ứ n g minh là SPQS í SPRS Điêu này là hiển n h i ê n , bới vi đường cao của các tam

g i á c PQS và PRS, hạ xuống các đáy PQ và RS bằng nhau, còn PQ < RS

15.52. Ta sẽ chứng minh cả hai tam giác đêu chứa tâm o của hình tròn Tức là

•nếu A A B C đặt trong h ì n h tròn bán kính Ì và k h ô n g chứa tâm của h ì n h tròn thì

d i ệ n tích của n ó sẽ l ớ n hơn 1 Thật vậy, d o o nằm ngoài tam giác n ê n luôn lìm được

m ộ t đ i n h của tam giác nằm khác phía v ớ i o so v ớ i dường thẳng đi qua hai dinh kia

G i ã sử dinh c n ằ m k h á c p h í a v ớ i o so v ớ i d ư ờ n g t h ẳ n g A B , k h i đ ó he < Ì và

AB < 2, suy ra s = - he A B < I

2

15.53 a) G i ả sử các đinh p vá Q của hình bình h à n h PQRS nam t r ê n các cạnh

A B và BC, còn cạnh RS nằm t r ê n cạnh AC Nêu ta di chuyển cạnh RS dọc theo

d i ệ n tích hình b ì n h h à n h ít nhất là hai l ầ n G i ả sử các đ i n h p, Q, R của h ì n h bình

h à n h PQRS nằm t r ê n các cạnh A B , BC, C A của A A B C Qua B kẻ đ ư ố n g nhắng

B B i // Q R ( B i nằm t r ê n cạnh A C ) G i ả sử tia PS cắt cạnh A C t ạ i đ i ế m S' (h.17) Theo bài t r ê n suy ra d i ệ n tích phân nằm tròng A B C B i của hình bình h à n h k h ô n g lớn hơn một nửa d i ệ n tích của tam giác đ ó D i ệ n tích p h â n còn l ạ i của h ì n h bình

h à n h , nằm trong A B A B i , k h ô n g lớn hon d i ệ n tích hình bình h à n h P S ' D B , mà

d i ệ n tích h ì n h b ì n h h à n h này k h ô n g l ớ n h ơ n một nửa d i ệ n tích của À B A B i

15.54 Trước hết ta xét trưống hợp : hai đ i n h A và B của A A B C nằm t r ê n một cạnh cùa h ì n h b ì n h h à n h K h i đ ó cạnh A B k h ô n g lớn hơn cạnh của h ì n h b ì n h h à n h , còn dưống cao hạ xuống cạnh đ ó k h ô n g l ớ n h ơ n đưống cao của hình bình h à n h Do

đ ó d i ệ n tích của A A B C k h ô n g l ớ n hơn một nửa diện tích của hình bình h à n h

C ò n nếu các đ i n h của tam giác nằm t r ê n các cạnh khác nhau của hình b ì n h h à n h ,

thúi hai trong ba đ i n h của tam giác n ằ m

ở hiai cạnh đ ố i nhau Kỏ qua đ i n h t h ứ ba

c ủ a tam giác đ ư ờ n g thẳng song song v ớ i

c á c ; cạnh đó (h.18) N ó chia hình b ì n h

hamh ra làm hai, n h ư n g hai lam giác này

đ e m c ó hai đ i n h nam t r ê n cạnh của h ì n h

bìimh hành t ư ơ n g ứng Ta đưa vê t r ư ờ n g

15.56 a) Ké hai duờng thẳng song song bất kì tạo t h à n h một dải chứa đa giác ớ

b ê n trong Ta dịch c h u y ê n song song đường thẳng này cho đ ế n khi nó đi qua một

đ i n h của da g i á c , giả sử dó là hai đ i n h A và B tương ứng Sau đó ta cũng làm như

39

vậy cho hai đường thẳng song song v ớ i A B G i ả sử t r ê n các đường thẳng đ ố (XÓ các

đ i n h c và D tương ứng (h.19) Đa giác đã cho nằm trong h ì n h b ì n h h à n h vùra tạo

được, do đó d i ệ n tích của h ì n h b ì n h h à n h không n h ỏ hơn 1 M ặ t k h á c tốm;g d i ệ n tích của các tam giác A B C và A B D bằng một nửa d i ệ n tích của h ì n h b ì n h hiàmlh, do

đó có một trong hai tam giác đó có d i ệ n tích k h ô n g nhỏ hom -

4

•

Hình 19 Hình 20

b) Cũng n h ư ở p h â n a) ta quây tam giác bằng một dải tạo b ở i hai đường t h ẳ n g

song song sao Gác đ i n h A và B nằm t r ê n các đường thẳng đó G i ả sử bè r ộ n g của

dái đó bằng d Ta ké ba đường thẳng chia dải đó t h à n h bốn dải bằng nhau c ố bè

4 tại các diêm K, L và M , N tương ứng (h.20) K h i kéo dài các cạnh chứa K , L , M ,

N cho liên khi c h ú n g cắt các cạnh của dải ban đầu và cắt đường thẳng chia đôi dải

đó K h i đó sẽ tạo t h à n h hai h ì n h thang có các đường trung bình là K L v à M N , c h i ê u

cao của c h ó n g bằng - B ở i vì các h ì n h thang này phủ toàn bộ đa giác, n ê n tống

2

d i ệ n tích của c h ú n g - k h ô n g nhỏ hơn diện tích đa giác, tức

-~d.KL + -á M N > Ì Tổng diện tích các tam giác A M N và BKL, chứa trong

15.57 Ta sẽ chứng minh rằng luôn tìm được ba đinh liên tiếp của đa giác thỏa

rtmãn yêu câu đầu bài

Giả sử CL\ là góc giữa các cạnh thứ i và thứ i + Ì, ậ\ = TI — ai, còn ai là độ

diài cạnh thứ i

a) Diện tích tam giác tạo bởi các cạnh thú Ì và thứ i + Ì bằng

Sỉi = - ai ai + Ì sin ai Giả sử s là diện tích nhỏ nhất trong các diện tích đó Khi đó

2

22S < aiai+1 sinai, đo đó (2S)n < ( a i2 an 2) sin ai sin a n £ a i2 an2 Theo bất

I n (Hằng thức Cosi v a i an á - (ai + + a„), ta có 2S < V a f a i <

2ỈS < Vaf , aỂ V s i n a i s i n a n £ — V s i n a i s i n a n Bởi vì sin«i = sin/?!

15.58 G i ả sử A i là trung điểm cạnh Be Á p dụng định lí cosin cho các tarn g i á c

' A B A i và A C A i , ta được mi = - (2b2 + 2 c 2 - a 2 ) Tương tự, mê = - (2.a 2 +

4 4 + 2c 2 - b 2) Do đó mị - mi = - ( a2 - b 2 ) > 0

4

15.59 a) Bởi vì c < a + b, nên c2 < (a + b )2 = a2 + b2 + 2ab 2 ( a2 + ti 2 )

b) Giả sử o là trọng tâm của A A B C Theo bài trên ta có

+mcm a ) s 3 ( m a ỉ ± mb 2 '+me 2 ), bởi vì 2m a mh < m a 2 + mb , 2mbm c < m b 2 +

+ m c , 2 m c m a s m c + ma K ế t hợp với ma + mb + m c < — - — đ ư ợ c đ i è u phải

4 chứng minh

15.61. G ọ i M là trọng tâm và o là tâm đường tròn ngoại tiếp của A A B C D O

A A B C không tù nên o nổm trong hoặc trên biên cùa tam giác, không mất t inh

tổng quát, giả sử o nổm trong hoặc trên biên của A A M B Khi đó A O + B O <

2 a + b + c