Các bài toán về hình học phẳng tập 1

Chứng minh rằng các đường trùng tuyến của tam giác đông quy tại một điểm và bị chia bởi điểm đó theo t i số 2 : Ì tính từ đinh.. Ta chứng minh rằng các giao điểm E và F cùa đường thẳng

Dùng cho học sinh khá và các lóp chuyên, cnợn

Là tài liệu tham khảo cho các thày giáo và sinh viên khoa toán bậc Cao đẳng và Oại học

Có nhiều dê thi chọn lọc quõc gia và quốc tẽ

N H À X U Ấ T B Ả N H Ả I P H O N G 1994

LỜI NÓI ĐẦU

Tập tài liệu %ôm 2 tập, mồi tập cỉ khoảng 600 Sai tập Nó không chỉ được coi là một tập tư liệu bài tập hình học sơ cốp, mà còn là một cuốn cám nang

đê tự bôi dưỡng, nâng cao thêm vê hình học

Dê giúp bạn đọc sứ dụng một cách dễ dàng, nhanh chóng tìm được các bài tập ức một đê tài nào đó còn quan tăm, cuốn sách được chia ra làm 29 chương mồi chương gôm từ 5 đến 10 mục nhỉ Cơ số đề chia ra như vậy lờ dựa rối nôi dung bài tập và nhất là dựa (lào phương pháp để giòi các bài tập hỉnh học- Trong mỗi mục các bài toán đưoc xếp từ đơn giản đến phức tạp

Mồi c hương được bổi đàu bòng tóm tát một số kiến thức lý thuyết căn nám vững tít' giai toán l à một số bài toán mó đón • lò các bài toán đơn giản nhưng thìtờny hay được SỪ dụng đê giải các bài toàn khác phức tạp hơn Salt mỗi chứâhi có một su bài tạp đi' bạn đọc tự giải và lời giai (f'â\ đủ các bài tọp trong chương

v.v Praxolov

3

LỜI NGƯỜI DỊCH

Bằng kinh nghiệm thực tiễn giảng dạy của bản thân, chúng tòi cho rằng cuốn Bài tập hình học phăng cua tác giả V V Praxolov là Ì tập tài liệu qui che các đối tượng đã nêu ờ lời nói đầu, nhất là cho giáo viên và học sinh chuyên chọn phổ thông Đây là một tập sách khống chớ là một "kho" tư liệu vê bài tập hình học phăng nhưng được phàn loại và sáp xếp rất có khoa học và trình bày trong sáng, rõ ràng nên có thể coi nó là một cuốn sổ tay hình học sơ cấp

để tra cứu, tham khảo đoi với giáo viên, để tự học, tự nâng cao đối với học sinh vê tất cả các mặt: kiến thức, nội dung, dạng bài và phương pháp giải

Nó cũng rất căn cho cá các giáo viên phổ thòng dạy lớp thường, các sinh viên đại học và cao đẳng sư phạm dù ng để học tập, để bói dương năng cao, tự mình thấy được cái đa dạng, phong phú vê thể loại, cái đẹp qua lời giải các bài toán hình, giúp mình gân gũi uàyẽu mến hình học hơn

Cuốn sách này gom 1318 bài toán cùa 29 chương trong đó có một số phần (một số chương, một số đê mục) còn ít tư liệu và tí được đê cập trong các tài liệu hiện có cho đối tượng phổ thông ở nước ta, như: vecto, biến hớnh, tọa độ, các phương pháp qui nạp hình học, nguyên tắc Diricle, phương pháp cực hạn, chia, cái, phủ, tổ hợp, trò chơi, và càng hiếm hơn vè áp dụng phép chiếu, biến đổi afin, biến đổi xạ ánh, phép nghịch đảo, điểm bất biến, sử dụng tô màu, tinh chẵn lẻ để giải bài toán hình Tập sách này có thể coi là nguồn bổ sung căn thiết và kịp thời giúp việc dạy và học hình học ỏ phổ thông được tốt hơn Phương pháp trình bày, sắp xếp cùa cuốn sách rất khoa học, hoàn chớnh,

dễ sử dụng và tính hiệu quả cao Người dịch đã hết sức cố gắng thể hiện ý tưởng đó, nhitng do khả năng có hạn nôn không tránh khói thiếu sót Rất mong ý kiến chớ bảo cùa độc giả Thư góp ý xin gửi về phòng PTTH sà

Giáo dục - Dào tạo Hải Phòng

Chương I

T A M GIÁC ĐÒNG DẠNG

C Á C K I Ế N T H Ứ C C ơ BÀN

1 Tam giác A B C đ ô n g d ạ n g v ớ i tam giác A i B i C i ( k í h i ệ u A A B C _ AA1B1C1)

k h i va chi k h i thỏa m ã n m ộ t trong các đ i ề u k i ệ n t ư ơ n g đ ư ơ n g sau :

a) A B B C : C A = A1B1 : B i d : C1A1

b) A B : B e = A1B1 : B i C i và A B C = A1B1C1

c) A B C = A1B1C1 và B Á C = B i A i d

2 Nêu c á c đ ư ờ n g t h ẳ n g song song cắt ra k h ỏ i g ó c đ i n h A các tam giác AB1C1

và AB2C2, t h ì c á c tam g i á c đ ó d õ n g d ạ n g và A B i : A B 2 = A C i : AC2 (các đ i ế m

B i và B2 nằm t r ê n một cạnh cùa góc, C i và C2 nằm t r ê n cạnh kia)

3 Đ ư ờ n g trung b i n h của tam giác là đ o ạ n t h ẳ n g n ố i trung đ i ể m hai cạnh của

nó Đ o ạ n thẳng đ ó song song v ớ i cạnh t h ứ ba và bằng nửa đ ộ dài của nó

Đường trung bình của h ì n h thang là đoạn thẳng n ố i trung đ i ể m các cạnh bên của hình thang Đ o ạ n thẳng đ ó song song với các đáy và bằng nửa tổng đ ộ dài của chúng

4 T i sô d i ệ n t í c h của các tam giác đỏng dạng bằng bịnh p h ư ơ n g t i số đ ô n g dạng,

tức là bằng b ì n h phuong t i số đ ộ dài các cạnh t ư ơ n g ứ n g Đ i ê u đ ó đ ư ợ c ổóiy ra,

CÁC BÀI TOÁN M Ở ĐẦU

1 Chứng minh rằng các đường trùng tuyến của tam giác đông quy tại một điểm

và bị chia bởi điểm đó theo t i số 2 : Ì tính từ đinh

2 Trên cạnh BC cùa A Aốc lấy điếm A i sáo cho B Ấ i : ẤiC = 2 : 1 Hỏi dường

trung tuyển CCi chia đoạn thắng A A i theo l i số nào ?

3 Trong tam giác nhọn ABC kẻ các đường cao ÁAi và BBi Chứng minh rằng

AiC : BiC = AC : Be

4 Đuơng phân giác AD của Á ABC cắt đuờng tròn ngoại tiếp t ậ i điểm p Chứng

minh rằng A ABP _ A BDP

5 Trong A ABC nội tiếp mộtiiình vuông sao cho một cạnh của hình vuông nằm

trên cạnh Be, còn hai đinh còn lại của hình vuông nằm trên các cạnh AB và AC

Tính cạnh của hình vuông, nêu biết độ dài cạnh Be và đường cao hạ xuongflc

§1 dè đoạn thẳng nằm giữa các đường thẳng song song

1.1 Các đáy của hình thang bằng a và b

a) Tính độ dài của đoạn thắng định bởi các dugng chéo trên dường trung bình

b) Tính độ dài của đoạn thắng định bởi các cạnh bên của hình thang trôn

đường thắng đi qua giao điếm các đường chéo và song song với cádacy

1.2 Chứng minh rằng các trung điểm của các cạnh của một tứ giác bất kì là các

đinh của một hình binh hành Đối với các tứ giác nào thì hình bình hành đó là hình

chữ nhật, hình thoi, hình vuông ?

1.3 Các điếm A i và Bi chia các cạnh Be và AC theo các t i sỗ B A I : A i C =

= 1 : p và A B i : BiC = Ì : q H ỏ i đoạn thắng A A i bị chia bởi đoạn thắng BBi

theo ti sỗ nào ?

' Ì 1.4 Trên cạnh A D của hình bình hành ABCD lấy điếm p sao cho ÁP = - AD; <

n

Q là giao điếm của các đường thắng AC và BP Chứng minh rằng AQ = —-— AC

n + Ì

1.5 Một trong các đường chéo của tứ giác nội tiếp trong đường tròn là đường

kính của đường tròn đó Chứng minh rằng các hình chiêu của các cạnh đ ỗ i nhau

lên đường chéo kia bằng nhau

1.6 Các đ i ể m A và B d i n h t r ê n đuờiỊg t r ò n tâm o một cung có số do 6 0 ° T r ê n

cung d ó láy một đ i ể m M Chứng m i n h rằng đường thẳng đi qua trung đ i ề m của các

đ o ạ n thẳng M Ạ và OB v u ô n g góc v ớ i đường thẳng đi qua trụng đ i ể m của các đoạn thẳng M B vá O A

1.7 Trong h ì n h chữ nhật A B C D đ i ể m M

là (rung đ i ể m của cạnh A D , N là trung điểm của

cạnh BC T r ê n phần kéo dài cùa đoạn thẳng CD

vè phía D lây m ộ i diêm p K i hiồu giao điểm của

các đường than? PM và A C là Q Chứng minh

r ằ n g Q N M = MNP (hình 1)

1.8 Các đường kính A B và CD của t ương

t r ò n s v u ô n g góc với nhau Dây cung E A cài

đ ư ờ n g k í n h C D tại đ i ể m K, dây cung EC r ắ t

d ư ờ n g k í n h A B t ạ i điểm L Chứng m i n h rằng

n ế u CK : K D = 2 : 1 thì A L : L B = 3 : 1

§ 2 T ỉ s ố c á c c ạ n h c ù a c á c tam giác đ ồ n g d ạ n g

1.9 B E là đường p h â n giác của góc B trong Hình Ì

A A B C (hay đ ư ờ n g phân giác ngoài của góc B)

v ớ i E là đ i ể m t r ê n đường thẳng A C Chứng minh rằng A B : BC = A E : EC

1.10 C á c đường c h é o của tứ giác A B C D cắt nhau t ạ i đ i ể m o Chứng minh rằng

A O B O = C D D O k h i và chi k h i B C I I A D

1.11 Đ i ể m H là trực t â m của A A B C ; A i , B i , C i là c h â n của các đường cao

A A i , B B i , C C i Chứng minh rằng A H A i H = B H B i H = C H C i H

1.12 C á c đ i ể m M và K nằm t r ê n c á c cạnh A B và BC của Á A B C ; các đoạn thẳng

A K và C M cắt nhau t ạ i đ i ể m p B i ế t rằng các đoạn thẳng A K và C M bị chia b ớ i

đ i ể m p theo t i số 2:1 tính từ đ i n h Chứng m i n h rằng A K và C M là các đường trung tuyên của tam giác

1.13 X u ố n g các cạnh BO và C D của h ì n h b ì n h h à n h A B C D (hay xuống c á c

p h ầ n k é o d à i của c h ú n g ) hạ các đ ư ờ n g v u ô n g góc A M và A N C h ứ n g minh r ằ n g

À M A N _ ầ A B C

1.14 Qua m ộ t đ i ế m p bất kì t r ê n cạnh A C của A A B C ké các đường thẳng song

song v ớ i c á c đ ư ờ n g trung tuyển A K và C L , cắt các cạnh BC và A B t ạ i các đ i ể m E

và F t ư ơ n g ứng Chứng minh rằng c á c đ u ờ n g trung tuyên A K v a C L chia đoạn thẳng

E F t h à n h ba phần bằng nhau

1.15 G i ả sử hai cạnh và hai góc của m ộ i tam giác bằng hai cạnh và hai góc của

m ộ t (am giác khác C ó t h ể két luận các tam giác đ ó bằng nhau dược H a y không ?

1.16 G i ả sử B là trung đ i ể m của đoan thẳng A C Các đ i ể m D và E nằm ve một

phía so với dường thẳng A C và A D B = E B C , D A B = B C E Chứng minh rằng

B D E = A D B

1.17 T r ê n đường p h â n giác của một góc vuông lẩy diêm p Qua n ó kẻ một (luông

Ihẳng bát kì đ ị n h ra trên các cạnh của góc các đoạn thẳng dài a và b Chứng minh rằng d ạ i lượng - + khôni! phừ thuộc vào đường thẳng đ ó

a b

1.18 G i ả sử ra, I"b, Te là bán kính các dường tròn bàng t i ế p của A A B C , tiếp xúc

với các cạnh Be, CA, A B t ư a n e ứng, r là bán kính đường tròn n ộ i t i ế p , s và p là

diện lích và nửa chu vi của tam giác ABC Chứng minh rằng :

a) S = ( p - a ) ra

b) — + — + — = -

ra rb rc r

1-19 T r ê n cạnh BC của lam niác đ ê u A B C n h ư t r ê n đường kính vê phía ngoài

dựng nửa dường t r ò n , t r ẽ n (ló lay các đ i ể m K và L chia nửa đ ư ờ n g tròn ra t h à n h các cung bằng nhau Chứng minh rang các đ u ừ n g thẳng A K và A L chia đoạn thẳng

B C ra t h à n h các p h â n bằng nhau

1.20 Đ i ế m o là tâm (lường t r ò n n ộ i t i ế p của A A B C T i ê n các cạnh A C và BC

chọn các đ i ể m M và K tương ứng sao cho B K A B = B O2 và A M A B = A O2 Chứng minh rằng các đ i ể m M , o và K thẳng h à n g

1.21 Đ ộ dài hai cạnh của một tam giác bằng 10 và 15 Chứng m i n h rằng độ dài

đường p h â n giác của góc giữa chung k h ô n g l á n hơn 12

1.22 Chứng minh rằng giao đ i ể m của các đường chéo, giao đ i ể m các phân k é o

dài của các cạnh b ê n và trung đ i ế m các đáy của một hình thang bát kì nằm t r ê n

c ù n g một đường thẳng

1.23 Trong một h ì n h thang giao đ i ể m các đường c h é o nằm cách đ ê u các đường

thẳng chứa các cạnh b ê n Chứng minh rằng h ì n h thang đó cân

1.25 G i ả sử AC là dường c h é o lởn him của hình bình h à n h A B C D T ừ (liếm c

xuống p h â n kéo dài của các cạnh A B và A D hạ các dường vuông góc C E va CF

C h ứ n g m i n h rằng A B A E + A D A F = A C2

L.26 Đoạn thẳng B E chia A A B C ra (hành hai tam giác dồng dạng, đòn lí thời l i sô

đồng dạng bằng Vĩ Tính các góc của A ABC

* § 3 T ỉ s ố diện tích của các tam giác đồng dạng

1.27 Qua một điềm nào đ ó nằm trong tam giác kỏ ba dường thẳng soniĩ sontí với cạnh của nó Các (luông thẳng này chia tam giác ra thành sáu p h â n ironn sò ứỏ

có ba lam giác với các diện tích là S i , S 2 , Sĩ T í n h d i ệ n tích của lam giác đã cho

1.28 T r ê n cạnh A C của A A B C lây một đ i ế m E Qua đ i Ị m E kỏ (luông t hắn a

D E song son^ với cạnh BC và duờne thắm; E F sòm; song với cạnh A B ( D và E lít

các đ i Ị m t r ê n các cạnh) Chứnc m i n h rằng S I J D E F = 2 V S A D E - S[=FC

1.29 Qua một điỊm nằm trong tam giác cho trước kẻ ba (luông thẳng song song với

các cạnh của nó Các duờne thẳng này chia tam giác ra Ihành sáu phân trong số đó cố

ba h ì n h bình hành với các diện tích S i ' Sì, Sỉ' Tính diện tích của tam giác

1.30 T r ê n các cạnh của h ì n h vuóntỊ A B C D d i ệ n tích s lây các đ i Ị m K, E M , H

( K n e n A B , V A ' ) sao tho A K = BE = C M = D H = - A B T í n h d i ệ n tích tứ giác

4

uiới hạn bởi các d u ủ n ẹ thằne A E , B M , C H và D K

§ 4 Các tùm giác phụ bang nhau

1.31 Cạnh góc vuông Be của tam giác vuông A B C (góc c vuông) bị chia b ở i

các d i ố m D và E ra t h à n h ba phần bằng nhau CTúrniỉ minh rằng nêu B C = 3AC, thì tổng các góc A E C , A D C và A B C bằng 9 0 °

1.32 Đ i ế m •' ỉa truno đ i Ị m cạnh A B cùa hình vuông A B C D , còn diêm L chia

dirừng c h é o AC ihco t i sỏ A L : L C = 3:1 Chứng minh rằng góc K.LD vuông

1.33 Các tam tỊiác vuông cân A B C và C D E vói c á t đinh góc vuông B và D cho trước t r ê n mặt phẳnỏ có dinh churl!" c (dnng t h ờ i các chiêu quay t ừ A B đ ẽ n BC và

từ C D đ e n D E là n h ư nhau) C h ư n g minh pinn vị t r í trung đ i Ị m của đ o ạ n thẳng

A E k h ô n g phụ thuộc vào vị t r í d i ê m c

1.34 a) Trên các cạnh BC và C D của hình vuông A B C D dựng về p h í a ngoài các

lam giác đ ê u BCK và D C L Chứng minh rằng A A K L đêu

b) T r ê n các t ạ n h BC và C D t ủ a h ì n h bình h à n h A B C D dựng vệ phía ngoài các lam giác- (lêu BCK và D C L Chứng minh rằng A A K L đêu

1.35 B ê n trong h ì n h v u ô n g ; A B C D lẩy đ i ể m p sao cho

§5 Áp dụng các tính chựt của góc nội tiếp đ ể c h ú n g minh các tam giác đồng dạng 1.38 Trên đoạn thẳng A B như trên đường kính dựng một nửa dường tròn Đường thẳng Ì tiếp xúc với nửa đường tròn đó tại điểm c Từ các điểm A và B xuống dường thẳng Ì hạ các đường vuông góc A M và B N G i ả sử D là hình chiếu của điểm c lên A B Chứng minh ràng C E T = A M B N

1.39 Cho hai đường tròn cắt nhau tại các điểm A và D A B và C D là các tiếp tuyên của đường tròn thứ nhựt và thứ hai (B và c là các điểm trên các đường tròn)j _ u k A C _ C D 2

Chứng minh rang —— =

B D A B 2

1.40 Cho hình bình hành A B C D với góc ở đinh A nhọn Trên các tia A B và

C B đặt c á c đ i ể m H và K t ư ơ n g ứng sao cho C H = Be và A K = A B Chứng minh rằng:

1.43 a) T ừ đ i ế m c kỏ hai đường thẳm; l i ế p xúc với d ư ờ n g tròn t ạ i các đ i ể m A

và B Chứng minh rằng (lộ dài đường vuôn? "óc hạ từ mót (liếm p bát kì của (lườm;

tròn xuống đường-ti.ẳnẹ A B , bằng trung hình nhân của các d ụ dài các dường vuông

nóc c ù n c hạ từ d i ê m dỏ cùa đường tròn xuống các dưc/ng t h ẳ m ; A C và B e

b) Từ một đ i ể m o bát ki của dường trùn n ộ i tiếp trong A A B C hạ các đường

V U Ô I I Í ; góc O A ' , O B \ o e xuống các cạnh của A A B C và các đường vuông góc OA",

•OB", o e xuồng các cạnh của tam giác với các đ i n h tại các tiếp đ i ể m Chứng minh

rằng OA'.OB'.OC" = OA".OB".OC"

1.44 Cho một cóc dinh o và một đường tròn l i ế p xúc với các cạnh của nó t ạ i

các Jicm A và B T ừ đ i ể m A ké một tia song soni! vói OB cắt ưườne tròn t ạ i đ i ể m

c Đoạn thắng o e cắt dường tròn t ạ i đ i ể m E, còn các đuùniở thẳnc A E và OB cắt

nhau t ạ i (liếm K Chứnii minh rằng O K = K B

1.45 Qua trunụ đ i ể m c của dây cung A B bát kì của (lườm: tròn kẻ hai dây cung

§ 6 Tam giác t ạ o bởi t h â n c á c dinrn" cao

1.46 Giả sử A A i và BBi là các đ ư ờ n g cao của A A B C Chứng m i n h

rằng A A i B i C _ A ABC T i sô đòng dạng bằng bao nhiêu ?

1.47 Tam (Ịiác A B C nhọn và B Á C = (í T r ê n cạnh BC như trên (lườm; k í n h

dựnii nứa đ ư ử n g tròn cắt các cạnh A B và B e t ạ i các điếm p vá o (ưomg ứng T í n h

t i sô diện tích của các tam giác A B C vá A P Q

Ì 48 Từ đ i n h c của tam giát nhọn ABC hạ (lươn? cao C H từ điếm H hạ các d lít mu '^ôni> gốc H M và H N xuống các cạnh B e và A C tuôn!! ứng C h ư n " minh rằng t á c tam

giác A B C và M N C dòng (lạjig

1.49 Trong tam eiác nhọn A B C kố các duừnu cao A D , BE va CF Chứng minh

rằng — = — , trong đ ó p là chu vi của A E D F , p là chu vì của A A B C

p R

1.50 a) Chứng minh rằng các dường cao A A i , B B i , CCi của tam giác nhọn A B C

chia đôi các góc cùa tam giác A 1 B 1 C 1

b) T r ô n các cạnh A B , BC, C A của lam giác nhọn A B C lây các đ i ế m C i , A i ,

1.55 Trong tam giác cân A B C từ trunc diem H của dày BC hạ đưừnu VUÓIIỊI uỏc

H E xuống cạnh bên A C , o là irune đ i ề m của (loạn thẳng H E Chứng minh i ằ n u

các dường thẳng A O và BE vuôniĩ uóc

1.56 Chứng minh rằng các h ì n h chiêu của chân dường tao cùa lam giác lên các cạnh cùng xuất p h á t l ừ một dinh vái dường cao đ ó , và len hai d ư ơ n g cao khác, cùm; nằm trên một đường thắng

1.57 T r ê n đ o ạ n thẳng A C lấy một đ i ể m B và trôn các đoạn thẳnu A B , B e , CA

dắng các nửa (liiừnp iròn S i , S i , S3 vè cùng một phía so vói A C D là điỂm l ấ n S i

có hình chiêu lòn A C trùng v ớ i đ i ể m B T i ế p tuyến chung của S i và S2 (lép xúc với các nửa đường tròn đ ó l ạ i các đ i ế m F và E tương ứng Chứng minh rằng :

a) ĐuxYnị! thang EF son lĩ song v ớ i t i ế p luyến của S3 kè qua đ i ể m D:

b) B F D E là h ì n h chữ nhật

1.58 T ừ một diem M bất kì cùa đuừne tròn ngoại l i ế p quanh h ì n h chữ n h ạ i

A B C D hạ các d ư ử n li vuông góc M Q và MP xuống hai cạnh đói nhau cùa nó và các

đường vuông nóc M R và M T xuống p h â n kéo dài của hai cạnh kia Chứng minh

rằng các đường thẳng PR và Q T vuông góc với nhau còn giao đ i ế m của chúnc nằm trôn đường c h é o của hình chữ nhật A B C D

1.59 T á i hai dường tron nằm !U»oài nhau kẻ m ộ t t i ế p tuyến chung ngoài và một tiếp tuyên chung Ì ròn lí Xét hai dướn lí thẳng, mỗi đường đi qua các tiếp điểm nằm trên một dường Iron Chứng minh rằng giao điểm của các dường tháng đ ó nằm

t r ê n d ư ờ n g thảng nối lâm t ủ a các dường (ròn

C Á C BÀI TOÁN T Ự G I Ả I

1.60 Dáy của một lam giác cân chiêm - chu v i cùa lam líiác T ừ một d i ê m bất

4

kì của đáy kè các d i K M i t ! Ihẳntĩ song song v ớ i các cạnh bên H ỏ i chu v i của tam I»iác

l ớ n han chu vi của hình b ì n h h à n h vừa lạo được bao nhiêu lãn ?

1.61 Các duụni; c h é o của một hình tham: vuòniỊ góc v ớ i nhau Chứng minh rằng

tích đ ộ đài t á c đáy của h ì n h Ihanií bằm: tổnu các tích dụ dài các đoạn t h ẳ n ẹ của

m ộ i dường chéo và độ dài các đoạn thẳng cùi! (lươnlĩ chéo kia, nhận được khi chia các dường c h é o bởi liiao đ i ế m của c h ú n c

1.62 Các cạnh của hình vuône bằne 1 ọ ja làm của nỏ kở mội dườni! thẳnn T í n h

tổng bình phucmj! khoảng cách tù 4 diêm cite hình vuônu đến dường thẳng đó

1.63 C ó thổ bằng hai nhát cài thẳng di qua hai đinh cùa lam giác chia nó ra

t h à n h bốn p h à n sao cho ba phàn là các tam giác tương đương dược hay k h ô n g ?

1.64 Các diêm A ' , B' và C" dôi xúm; với tâm (lươn!! tròn ngoại Ì lép qua các cạnh

của A A B C C h ư n e minh rằnc t á c tam giác A B C và A ' B ' C bằng nhau

1.65 Trong hình bình hành A B C D các đ i ể m E và F là Iruna d i ê m của các cạnh

A D và BC; K, L , M , N là các giao (liếm của A F và B D , D F vã A C , CE và BO, A C

vã BE lương ứng Chứng minh rằng tứ giác K L N M là hình b ì n h h à n h

1.66 G ó c A của A A B C lem gã|) đôi góc B ChứniỊ minh rằnc

B C2 = ( A C + A B ) A C

1.67 Chứng minh rằng nêu trực tâm chia các đường cao của tam ciác theo cùn lĩ

một t i sô, thi tam giác là đ ề u

1.68 Bên tronụ A A B C cho d i í m K mà các dường thẳnc di qua K và soniỉ son ụ

v ớ i các cạnh của A A B C được dinh bởi các cạnh của tam giác các đoạn thẳng c ó

c ù n g đ ộ dài X T í n h X, nếu đ ộ đài các cạnh cùa lam giác bằng a, b, c

1.69 G i ả sụ o là mội đ i ề m bát kì trê n đường trung tuyên A A | của A A B C

Đ ư ờ n g t h á n g BO cắt cạnh A C t ạ i đ i ế m B i Qua B i kẻ dưừnu thằng song song v á i

dày B e và cắt cạnh A B t ạ i đ i ể m C i Chứng minh rằng các đ i ể m c, o, Gi c ù n g nằm

t r ê n m ộ t đ ư ờ n g thẳng

1.70 Qua đ i ể m o lẩy t r ê n đ ư ờ n g cao BH cùa A ABC kỏ các đ ư ờ n g thẳng AO

và CO, c h ú n g cắt các cạnh B e và BA tương ửní> l ạ i các điểm K và M Chứng minh

rằng K.HB - M H B

1.71 T r o n g t ứ giác A B C D đ i ể m E là trung đ i ể m cạnh A B , F là trung đ i ế m cạnh

C D C h ư n g m i n h rằng trung đ i ể m của các đoạn thẳng A F , CE, B F và P E là các

hltah-bijih h à n h , R õ rarfgTCĩJýỉN là h ì n h chữ nhật nếu các đ ư ờ n g c h é o A C và B D

v u ô n g góc; là l ỳ n h thoi nếu A C = B D ; và là h ì n h vuông nếu các d ư ờ n g c h é o A C

và B D vừa v u ô n g góc vừa bằng nhau

1.3 Kí hiệu giao đ i ể m c ủ a c á c đ o ạ n t h ẳ n g A A i và B B i là o K ẻ t r o n g

A B i B C đ o ạ n t h ẳ n g A 1 A 2 I I B B i K h i đ ó B i C : B1A2 = ( l + p ) : Ì, và do

đ ó A O ; Ộ X I U A B I : B1A2 = - B i C : B1A2 = : Ì =

q q q

cùa dường tròn ngoại t i ế p

xuống B D R õ r à n g p là trung d i ê m cùa đoạn t h ẳ n g B D C á c đ ư ờ n g t h ẳ n g A A i

OP, C C i song song, và A O = oe, cho n ê n A t P = P C ] B ở i vì p là t r u n g đ i ể m c ù a

B D , suy ra B A I = D C i

L.6 G i ả sứ c, D , E, F là trung đ i ế m các cạnh A O ; O B , B M , M A của t ứ giác

A O B M Bởi vi A B = M O = R, trong đó R là bắn kíni^sàa^hajaựr*Ei»RfT«ffFffểi,

n h ư ta đã biết qua bài 1.2, C D E F là một h ì n h thoi I|t> ( f * l l j ư w i ^ l t à t t £ » ^ ! W Ị ô Ị ^

góc v ớ i dườne thằng D F ^ ^

1.7 Kò qua t â m o của h ì n h chữ nhắt A B C D (lircftsfftilNg<apilt-sl<wy^ii&i}l

Đường thảng đó cắt Q N tại diêm K (h.4) Bởi vì (IuửngU*ổ«n Mu S S r f p o n f VỎITC,

^ / V /s / N K K ' D K '

a = D A M = M E E ' , y = B C P = P E E ' (h.5) Khi đó \ga = — = — =

A K ' A K '

D K _ Ì _ Lư 'BU _ B L _ Ì « r\\A _ ' ' n n Ì

= —— = - và Igỵ = — - = -—- = — = - Cho nên D M = - a và BP = - a

1.9 Cách thứ nhai : Hạ lừ các đinh A và c các đường vuông góc A K và C L

xuõnt; dưửne thẳng B E Các tam giác vuông B L C và B K A đ ò n g dạng với nhau, bởi

vì C B L - A B K Các tam giác vuông C L E và A K E cũniỉ đồng dạng với nhau, bởi

* vì C E L = K E A Từ đó ta được — = — = —

B e C L E C

đích thứ hoi : Nêu B E là đuìrng phân giác trong, thì A B E = C B E và

B E A = Ì Sơ' - B E C Nếu B E là đường phán giác ngoài, thì

A B E = ì Xơ' - C B E và B E A = ĐÉC Trong cả hai trường hợp sin A B E =

= sin C B E và sin B E A = sin B E C Do đó áp dọng định lí sin cho các tam giác A B E

1.11 C ác tam uiác vuôniỊ A A i C và B B i C có góc nhọn chung là góc c, do đó

B | B C = A [ A C , tức là các tam giác vuông A B i H và B A i H đông dạng với nhau

T ừ đó la dược -5tL = ~ , tức là A H A i H = B H B i H Dẳng thức thứ hai

A i H B | H cũnc nhân được bằng cách ttrơne, tự

cung nhọn) Ngoài ra các cạnh của các tam giác dó tương ứng vuông góc v ớ i nhau

Do đ ó A B C = M A N Các tam giác vuông A B M và A D N có các góc n h ọ A B n M 4f

và A D N bằng nhau, do đó — = — = — , tức là A A B C _ A M A N

1.14 Kí hiệu o là trọng tâm của

A A B C , các lĩiao đ i ể m cùa đường trung

tuyên A K với các đường thẳng FP và FE là

Q và M , các giao đ i ể m của đường trung

tuyển C L với các đường thẳng É P và E F là

1.17 Kí hiệu đinh của góc là c, các giao điểm của dường thẳng với các cạnh cùa

cóc là A và B Giả sử a = CA, b = CB Hạ từ điểm p các đường vuông góc PK và

PL xuõntỉ các cạnh AC và BC tương ứng Bởi vì các tam giác AKP và PLB đồng dạng, nôn = — , tức là ^ — - = —-— trong đó h = PK = LP Từ dẳng

KP LB h b - h

Ihức đó ta dúm- - + - = Rõ rànií đại lượng h chi phụ thuấc vào điểm P chứ

a b h khônc phụ thuấc vào cách chọn đường thẳng AB

1.18 ii) Giá sử o là tâm dường tròn nấi tiếp, O a là tâm dường tròn bàng tiếp

tiếp xúc với cạnh BC Hạ lừ các điểm o và Oa các đường vuông góc OK và OaL lên

đường thẳm: AC Bởi vì các diêm o và Oa nằm trên đường phân giác của góc A, nên các tam giác AK.O và ALO;i dòng dạ ne Từ đẳng thức đấ dài các tiếp tuyên

cùng xuất phát từ mất điểm, dỗ dàng nhận được A L = p và AK = p — a Suy ra

= OAB + BO A + ABO = 180°, tức là các điểm K, o và M thẳng hàng

1.21 Cách thứ nhất Ta giải bài toán trong trường hợp tống quát G i ả sử

CB = a, AC = b, CD là đường phân giác của góc c Kỏ qua đinh B mất đường

thẳng song song với CD Dường thẳng đ ó cắt đường thẳng AC tai (liếm E

Tam giác ECB cân, bởi vì CEB = ACD = DCB = CBE Do đó CE = CB = li

Do các tam giác ACD và AEB đồng dạng, ta (lược

1.22 Giả sử các phàn kéo dài của các

cạnh AB và CD cùa hình thang cắt nhau tại

điếm K, còn các đường chéo của nó cắt

nhau tại điểm L (h.7) Ta chứng minh rằng

các giao điểm E và F cùa đường thẳng K L

với các cạnh Be và AD là các trung điểm

của các cạnh đó

Ti sỗ đồng dạng của cúc tam giác KBE

và K A F bằng t i sô dông dạng của các tam

giác KEC và KFD, du (ló A F = pBE,

FD = pEC Ti sô done dạng của các tam

giác ECLvà AFL bằng ti sô đông (lạng cùa

các tam giác BEL và DFL, do đó AF = qEC

và FD = q B E N h â n hai đ ắ n g t h ứ c

A F = pBE và FD = qBE, ta dược AF.FD =

= pq B E2 Nhân hai dẳng thức còn lại ta

dược AF.FD = pq EC2 Suy ra BE = EC,

1.23 G i ả sử các phần kéo (lài cùa các cạnh bên A B và C D cái nhau tại điểm K còn các dường chéo của hình thang cắt nhau lại đ i ể m L Theo bài trên đường thẳm?

K L đi qua trung điểm của đoạn thẳng A D , còn theo giả thiết cùa bài toán dường thẳng đó chia đôi góc A K D Do đó tam giác A K D c â n , c ó nghĩa là hình thang A B C D cũng cân

1.24 U y trên đường c h é o A C các điểm D ' v à B ' sao c h o B B ' l i D D ' I I í

1.25 Hạ từ đinh B dường vuông gcl'BG xuống A C (h.9) D o các tam giác A B G

và A C E đông dạng, nên — = — , tức là A C A G = A E A B Các đường thẳng

A E A G

A F và C B song song, nên các góc G C B và C A F bằng nhau và các tam giác vuông

Á P C O

1.26 Do A E B + BEC = 180", n ê n các góc d ó khống t h ế là các góc k h ô n g bằng

nhau của các tam giác A B E và B E C dồng dạng được, tức là c h ú n g p h ả i bằng nhau

và B E là dường v u ô n g góc

Bây giờ có t h ổ cỏ hai khả n ă n g : A B E = C B E hoặc A B E = B C E Khả n ă n g

t h ứ nhai k h ô n g t h ể xảy ra, vì k h i đ ỏ các tam giác A B E và BCE bằng nhau Còn l ạ i khả năng t h ứ hai Trong trường hợp này A B C = A B E + CBE =

= A B E + B A E = 9()°.Trong tam giác

(xem bài 1.27) Do đ ó

1.30 Kí hiệu các giao đ i ể m cùa các đường thẳng K D và A E , A E và B M , B M và

C H , C H và K D là p, Q, R, s tương ứng ( h l 1) T ứ giác PQRS là vuông b ở i n ó b i ế n

t h à n h chính nó qua p h é p quay 90° quanh tâm của h ì n h vuông A B C D

1.32 H ạ từ điềm L các đ ư ờ n g vuông góc L M xuống A B và L N xuỏnii A D Do

K M = M B = N D và K L = L B = D L , nên các tam giác v u ô n g K M I ^ và N D L bằng nhau Suy ra D L K = N L M = 9 0 °

1.33 H ạ các dường vuông góc A A i , C C i và E E i xuống đ u ờ n g thẳng B D ( h 13)

Ta cỏ C i B C = Ì so" - 90° - A B A i = A [ A B và A B = BC, n ê n các tam giác vuông

A D L = K C L Suv ra các lam lĩiác A D L và K C L bằng nhau tức là A L = K L C ú n g

rõ r à n g A K = A I ,

b) R õ ràn_g A B K = 60° + A B C và K.CB + B C D + D C L = 12Ơ' + B C D

B ở i v ì A B C + BCD = 180" n ê n A B K + ( K C B + B C D + D C L ) = 360° D o d ố

A B K = L C K Bởi vi A B = C D = C L và B K = Ke, n ê n các tam giác A B K và LCK

bằniỉ nhau, tức là A K = K L Tưomiỉ l ự cũnt; chứng m i n h được A L = K L

1.35 D ự n g trên cạnh A D cùa jt)ình vuông ve p h í a trong tam g i á c A Q D b ằ n g

tan g i á c A P B ( h 14) K h i đ ó P A Q = 90 15- 15° = 60" va Á P = A Q , cho

n ê n tam lĩiác APQ đ ê u Do PQD = 360" - 6 0 ° - 150° = 150°, n ê n các tam giác

P Q D và A Q D bằng nhau, lức là PD = D A = C D TươniỊ tự cũng chứng minh dược

CP = C D

1.36 T r ê n p h à n kéo dài của đ o ạ n t h ẳ n g A C ve p h í a c lấy diem M sao cho

C M = CH (h 15) Khi đó lam lĩiác A C E qua p h é p quay 90° quanh d i ê m c sẽ biên

t h à n h lam giác B C M Do đó M B Ì A E , t ú c la M B I I C L B ở i vì M C = CE = D C ,

va D K I I C L I I M B , cho n ê n K L = L B

1.37 Giá sử a = PAC = P B C Kí hiệu t r u n g đ i ế m của đoạn thẳng Á P là E,

trung đ i ế m của đoạn thẳng BP là F (h.16) B ở i vì tam giác A K P v u ô n g , n ê n

K É P = la và K E = É P T ư ơ n g tự M F P = 2 a v à M F = FP B ở i vì tứ giác D E P F

là h ì n h b ì n h h à n h , n ê n D É P = PFD Suy ra K.ED = M F D B ở i vì E D - P F = F M

và E K = É P = FD nên các tam giúi K F D và D F M bằng nhau Suy ra D K = D M

ta đã chứng minh được ỉa K D H là tam giác c â n

1.41 Cách thứ nhất Đặt trên đoạn thẳng Á P các điểm M và N sao cho PN = PB,

CN qua đường thẳng B N Bởi vì các'cluừng thẳng B N và N A vuông góc v ớ i nhau,

n ê n c h í cần chững minh rằng C N B = B N D D i ê u đó là h i ế n n h i ê n , vì các cung

CB và B D bằnii nhau Các cung C i M và C L bằng nhau, vì c h ú n g đ ỗ i xứng với nhau

qua đ ư ờ n c kính A N Do đó M D Q = C M L Ngoài ra C N M = M N D ; suy ra các

tam g i á c M C N và D M N dông dạng, tức là —— = — —

M N D N

1.43 a) H ạ từ đ i ể m p của đường t r ò n các đường vuông góc P A i , P B ^ , PCi xuồng

các đ ư ờ n g thắng BC, CA, A B tương ứng Ta có P B A i = P A Q và PBCi = P A B i ,

do d ó các tam lĩiác vuông P B A i và P A C i , P A B i và PBCi đồng dạng v ớ i nhau, lức

tà = , = — - N h â n c á c đ ă n í Ị thức này l ạ i ta dưậc P A 1 P B 1 = PC Ì

PB PA PA PB

b) Theo a) có OA" = V Õ B T Õ C , OB" = V Õ A " o e , ÓC" = V O A ' OW

N h â n các đẳng thức này l ạ i ta dưậc OA".OB".OC" = O A ' O B ' O C

Cách thứ hai Kẻ qua đ i ế m c t i ế p tuyến v ớ i d ư ờ n g t r ò n cắt d ư ờ n g thẳng OB

t ạ i đ i ề m M Do C O M = O C A = O A K và AOK = CMO, nên A A O K - A O M C

o A O _ O M _ O M _

-Suy ra : —— = —— = —— = 2

O K M C M B

1.45 a) H ạ từ đ i ế m Q các đường vuôniỉ góc Q K i và Q N i xuống K.L và N M , hạ

từ đ i ể m p các đirờnc vuông cóc P M i và P L i xuống N M và K L R õ r à n g

1.46 Ta có A l C = A C cosC, B i C = B C cosC, góc c chung cho cả hai tam giác

A B C và A i B i C n ê n hai tam giác đ ó đ õ n g d ạ n g v ớ i nhau, đ ò n g t h ờ i t i số đ ồ n g dạng

bằng cosC

1.47 Bởi vì CP và B Q là các đ ư ờ n g cao c ù a A A B C , n ê n các tam g i á c A Q P

và A B C đồng dạnư v ớ i nhau v ớ i t i số đ ô n g d ạ n g coscc ( x e n b à i 1.46), do đ ó

S A B C : S A P Q = Ì : COS "or •

1.48 Các diem M và N nam trên d ư ờ n g tròn d ư ờ n g k í n h C H N M C = N H C ,

bởi vì chúm" cùng chắn một cung của đ ư ờ n g t r ò n Các lam giác v u ô n g ^ C H N và

C A H có góc c chung, n ê n C A H - N H C = N M C T u ô n g t ự C B H = M N C

1.49 Theo b à i 1.46 FE = Be ' osA, F D = A C cosB, E D = = A B cosC,

do d ó p = BC cosA + A C cosB + Atl cosC G i ả sứ o là t â m đ ư ờ n g t r ò n n g o ạ i

1.53 Chu v i của tam lĩiác cắt bởi đ ư ờ n g t h ằ n g sonq song v ớ i cạnh BC, b ằ n g

l ổ n g k h o ả n g cách l ừ đ i ể m A đón các t i c p đ i ế m cùa đ ư ờ n g t r ò n n ộ i t i ổ p v ớ i c á c

cạnh A B và A C Do đó l ổ n u chu vi cùa các tam g i á c n h ỏ bằng chu v i A A B C ,

l ố c là Pi + ?2 + P3 = p T ừ sự ưôniĩ dạng của các tam iiiác rõ r à n g

của cạnh CD, còn o là trung đ i ề m của cạnh E H , nôn A B C E - A A H O , tốc là

EBC = H A O Suy ra các duừng thẳnii vuông góc BC và A H b i ế n t h à n h các d ư ờ n g thẳng B E và A O qua c ù n g một p h é p quay tốc là BE _L A O

1.56 G i á sử A A i , B B i , C C i là các đường cao của A A B C , o là giao đ i ể m của

c h ú n g H ạ từ đ i ể m B i các dường vuông sóc B i K , B i L , B i M , B i N xuống A B , A Aầ,

C C i , Be tuung ống Các tam giác K L B i và C 1 A 1 C đồng dạng, b ở i vì

Ì t ố c

K B i A B i L B i

và KB)* = Q C A i , do đ ó K L I I C 1 A 1 T ư ơ n g t ự ,

C i C A C A l C

M N I I C1A1 Các lam giác O C 1 A 1 và BK.N đồng dạng, do đó K N I ị C [ A i Qua

một đ i ể m chi có t h ể kẻ được m ộ t đường thẳng song song v ớ i đ ư ờ n g thẳng đã cho,

n h ư vậy các d i ê m K, L , M , N thẳng hàng

1.57 a) G i ả SÙO là trung đ i ể m của A C , O i là trung đ i ể m A B , O2 là trung đ i ế m

BC Ta giả sử A B < BC K ẻ qua đ i ể m O i dường thằng O i K song song v ớ i E F ( K là

đ i ể m t r ê n đ o ạ n t h ẳ n g E O i ) ta c h ữ n g m i n h rằng các tam giác v u ô n g D B O v à o I K.O2 bằng nhau Thật vậy O1O2 = D O = - A C và BO = K O 2 = - ( B C - A B ) T ừ d ó

2 2

suy Tá BOD = O1O2E, tữc là (lường thẳng DO song song v ớ i E O 2 và t i ế p tuyến kẻ

qua đ i ể m D song song v ớ i đ ư ờ n g thẳng EF

b) Bởi vì các góc giữa dường kính A C và các t i ế p tuyến của đường t r ò n t ạ i

các diem F, D , E bằng nhau, n ê n F A B = D Á C = E B C và F B A = D C A = ECB , tữc là F nằm t r ô n đoạn thẳng A D , E nằm t r ê n đoạn thẳng DC Ngoài ra

và A M i C P i đòng dạng Bởi vì ARF = A M i R = M i T E = M i C T , nên ta có thể kí

hiệu số đo của các góc đó là a Khi đó AF = R A sinot = M l A sin2a, A G = M i T

sin a= M i C s i n2a , tức là các hình chữ nhật AFEG và AM1CP1 đòng dạng 1.59 Kí hiệu tâm của các đường tròn là Oi và Ơ2 Đường tiểp tuyển chung ngoài

tiếp xúc vói đường tròn thứ nhất tại điểm K, với đường tròn thứ hai tại điếm L, đường tiếp tuyến chung trong tiếp xúc với đuờng tròn thứ nhất tại điếm M , với đường tròn thứ hai tại điểm N Giả sứ các đường thẳng K M và L N cắt đường thẳng

O1O2 t ạ i các điếm Pi và P2 tương ứng Ta cân phải chứng minh Pi = ?2 Xét

thêm các giao điểm A, D u D2 của các dường thẳng K L và M N , K M và OiA, LN

và O Ỉ A tương ứng (h.19) Do O i A M + NAỌ2 = 9 0 ° , nên các tam giác vuông

D1O1 P1O1 AD2 P2O1

A D i D2O2 O2P1 O2P2

các tứ giác A K O i M và O 2 N A L ta được = — - — Suy ra —-— = — — , tức

D1O1 AD2 P1O1 P2O1

là P i = P2

Hình 19

Chương 2 GÓC NỘI T I Ế P

sử dụng dược suy ra từ kết luữn trên là sỗ đo của các góc chắn các cung bằng nhau thì hoặc bằng nhau, hoặc bù nhau

2 Sỗ đo của góc giữa dây cung AB và tiẽp tuyên của đường tròn kẻ qua diêm A, bằng nửa sổ do góc của cung AB

3 Sỗ đo của các cung nằm giữa hai dây cung song song bằng nhau

4 Như đã nói ở trên, sỗ đo của các gốc cùng chắn một dây cung cổ thể bằng nhau, cũng có thể bù nhau Đế không phải xét các khả năng phân bỗ khác nhau của các điểm trên đường tròn, ta đua ra khái niệm góc có định hướng giữa các đường thẳng Sỗ đo góc có định hướng giữa các đuờng thẳng AB và CD (kí hiệu : ( A B , CD) là số đo của góc quay theo chiều ngược với kim đông hô đường thẳng

AB vè vị trí song song với đường thẳng C D Khi đó các góc hơn kém nhau n 180°

•được coi là bằng nhau Cần lim ý rằng ( C D , AB) * ( A B , CD) (chúng cò tổng bằng 180° hay theo quy ước nêu trên, cũng có thể nói chúng có tống bằng u°)

Dễ dàng chứng minh đuợc các tính chát sau của các góc có định hướng :

a) (AB~CD) = - (CD^AB)

b) ( A B V C D ) + ( C D ^ E F ) = ( A B ? E F )

c) Các điểm A, B, c, D không thẳng hàng, cùng nằm trên một đường ườn khi và chi khi ( A B , BC) = ( A D , DC) (để chứng minh tính chất này cần phải xét hai trường hợp: các điềm B và D nằm cùng phía so với AC; các điểm B và D nằm khác phía so với AC)

CÁC BÀI TOÁN M Ở ĐẦU

1 a) Từ điểm A nằm ngoài dường tròn kẻ các tia AB và AC cắt đường tròn đó

Chứng minh rằng số đo của góc BÁC bằng nửa hiệu các sổ đo góc của các cung tròn nằm trong góc đó

b) Đinh của góc BÁC nằm trong đường tròn Chứng minh rằng số đo của góc BÁC bằng nửa tổng các sỗ đo góc của các cung tròn nằm trong góc BÁC và trong góc đ ố i đinh với góc đó

2 Từ mẳt diêm p nằm trong góc nhọn BÁC hạ đường các đường vuông góc PCi

và PBi xuống các đường thẳng AB và AC Chứng minh rằng ClAP = C1B1P

3 Chứng minh rằng tát cả các góc tạo bởi các cạnh và các đường chéo của n

-giác đêu đêu là bẳi cùa

tì

4 Tâm đường tròn nẳi tiếp của A ABC đối xứng với tâm đường tròn ngoại tiẽp

qua cạnh AB Tính các góc của A ABC

5 Giả sử Ai B i , Ci là trung điểm các cạnh B e , CA, AB của tam giác đều ABC

Chứng minh rằng các đường tròn ngoại tiếp của tam giác A B i C i , A l B C i , A i B i C

có điếm chung

§1 Các góc chắn các cung bằng nhau

2.1 Đinh A của tam giác nhọn ABC được nối với tâm o của đường tròn ngoại

tiếp Từ đinh A kẻ đường cao A H Chứng minh rằng BAH = OAC

2.2 Trên cạnh huyền AB cùa tam giác vuông ABC về phía ngoài dựng hình vuông

với tâm tại diêm o Chứng minh rằng c o là đường phân giác của góc vuông c

2.3 Hai đường tròn cắt nhau tại các điểm M và K Qua M và K kẻ các đường

lyhẳng AB và CD tuông ứng, cắt dường tròn thứ nhất tại các điểm A và c, cắt đường

tròn thứ hai tại các điểm B và D Chứng minh rằng AC // BD

2.4 Từ mẳt điểm M bất kì nằm trong góc đinh A cho truớc hạ các đường vuông

góc MP và MQ xuống các cạnh của góc Từ điếm A hạ đường vuông góc A K xuống đoạn thẳng PQ Chứng minh rằng PAK = M A Q ,

2.5 rrđuờng kính chia đường tròn ra làm các cung bằng nhau Chứng minh rằng

chân các đường vuông góc, hạ từ mẳt điểm M bất kì nằm trong dường tròn xuống các đường kính đó, là các đinh của mẳt đa giác đều

2.6 Trên đường tròn cho các điểm A, B, M và N Từ điếm M kẻ các dây cung

M A I và M B i vuông góc với các đường thẳng NB và NA tuông ứng Chứng minh

rằng các đường thẳng A A i và BBi song song

2.7 Tam giác vuông ABC ( A = 90°) chuyển động trân mặt phẳng sao cho các

đinh B và c trượt theo các cạnh của góc vuông p cho trước Chứng minh rằng tập

hợp các điểm A là một đoạn thẳng Tính độ dài đoạn thẳng đó

2.8 Cho ABCDEF là một lục giác nội tiẽp Chứng minh rằng nếu AB // DE và

Be // EF, thì CD // A F

2.9 Cho A i A2 An là một 2n- giác nội tiếp Vê tát cả các cặp cạnh đửi nhau cùa

nó, trừ một cặp, biẽt rằng chúng song song với nhau

a) Nếu n l ẻ Chứng minh rằng cặp cạnh còn lại cũnụ song song

b) Nếu n chẵn Chứng minh rằnc cặp cạnh còn lại cỏ độ dài bằnc nhau

§2 SỐ đo góc giữa hai dây cung

Đế giải các bài toán trong mục này, ta sử dụng kết quà sau : Ncu A, B, c, D là

các điểm nằm trên đường tròn theo thứ tự đó Khi đó góc giữa các dây cung AB và

CD bằng - ị ẤD - CB I, góc giữa các dây cung AC và BD bằng - (ẤB + CD) (Đổ

2 2 chứng minh cân kẻ qua đầu của một dây cung dây cung song song với dây cung kia)

2.10 Trên đường tròn cho các điểm A, B, c, D theo thứ tự dó M là trung điểm

của cung AB Kí hiệu các giao điểm của các dây cung MC và M D với dây cung AB

là E và K Chứng minh rằng KECD là một tứ giác nội tiỗp

2.11 Dọc theo cạnh của một tam giác đêu lăn một dưỡng tròn có bán kỉnh bằng

đường cao của tam giác Ch Ún li minh rằng sô do góc của cung dinh trên iluờng tròn

bởi các cạnh của tam giác luôn bằng 60°

2.12 Trên đường tròn cho các điếm A, B, c, D theo thứ đó A i , B i , Ci, D i là

trung điểm của các cung AB, BC, CD, D A tuông ứng Chứng minh rằng các đuủng^

thẳng A i C i và B i D i vuông góc vói nhau

2.13 Trên đường tròn lấy các điểm A, C i , B, A i , c, Bi theo thứ l ự đó

a) Chứng minh rằng nêu các đường thẳng A A i , BBi, CC) là các dường phân

giác của các góc trong A ABC, thì chúng là các đường cao của A A l B i C i

b) Chứng minh rằng nếu các đường thẳng A A i , B B i , CCi là các dường cao

của A ABC, thì chúng là các dường phân giác cùa các góc trong A A l B i C i

• c) Trong đường tròn nội tiếp các tam giác T i và T2, đông thời các đinh của tam giác T2 là trung điểm các cung của đường tròn bị chia bởi các đinh của tam giác T i Chứng minh rằng trong hình lục giác là giao của các tam giác T i và T2, các

đường chéo nối các đinh đỗi nhau song song với các cạnh của tam giác T i và đồng quỵ tại một điểtn

§ 3 Góc giữa tiếp tuyến và dây cung

2.14 Các đuờng tròn Si và S2 cẳt nhau tại điểm A Qua điểm Ạ kẻ đường thẳng cẳt Si tại điểm B, cẳt S2 tại điểm c Tại các điếm B và c kẻ các tiếp tuyển của các

đường tròn, chúng cẳt nhau tại điểm D Chứng minh rằng góc BDC không phụ thuộc vào cách chọn đường thẳng kẻ qua điểm A

2.15 Hai đường tròn tiếp xúc với nhau t ạ i đ i ế m A Kẻ t ớ i chúng một tiếp

tuyến chung ngoài tiếp xúc với chúng tại các điểm c và D Chứng minh rằng góc

CAD vuông

2.16 Hai dường tròn tiếp xúc trong với nhau t ạ i điếm M G i ả sử AB là dây cung của đường tròn lớn, tiếp xúc với đường tròn nhỏ t ạ i điếm T Chứng minh rằng M T -

là dường phân giác của góc A M B

§4 M ố i liêiy-hệ của số đo góc với độ dài dây cung và độ dài cung

2.17 AB và CD ià hai đường kính của một đường tròn Từ điểm M của đường tròn đó hạ các dường vuông góc MP và MQ xuống các đường thẳng AB và CD Chứng minh rằng độ dài đoạn thẳng PQ không phụ thuộc vào vị trí của điểm M 2.18 Trong đường tròn nội tiễp hai hình thang cân với các cạnh tuông ứng song song với nhau Chứng minh rằng các đường chéo của các hình thang đó bằng nhau 2.19 Một đường tròn lăn (không trượt) theo phía trong của một đường tròn cố định sao cho hai đường tròn luôn tiếp xúc với nhau Biẽt rằng bán kính đường tròn lăn bằng nửa bán kính đường tròn cố định H ỏ i một điểm K của đường tròn lăn sẽ

vẽ nên quỹ đạo gì ?

§5 T ứ giác ABCD nôi tiếp, nếu BAD + BCD + 180°

2.20 Trong A ABC góc B bằng 60°, các đường phân giác A D và CE cẳt nhau

tại điểm o Chứng minh rằng OD sa OE

2.21 Chứng minh rằng đoạn thẳng nỗi tâm các đường tròn nội tiếp và bàng tiếp của tam giác bị đuờng tròn ngoại tiễp chia đôi

2.22 Ọốn đường thẳng cẳt nhau tạo thành bốn tam giác Chứng minh rằng bổn đường tròn ngoại tiếp quanh các tam giác đó có một điểm chung

©

2.23 Các đ ư ờ n g c h é o A C và C E của lục giác đ ê u A B C D E F bị chia b ở i c á c đ i ể m

M và N sao cho A M : A C = CN : C E = Ã T í n h A, n ê u b i ế t rằng c á c đ i ể m B , M và

N t h ẳ n g h à n g

§6 Trong tứ giác nội tiếp ABCD : ABD = A C D

2.?4. T ừ đ i ế m M bất kỳ t r ê n cạnh góc v u ô n g B C của tam giác v u ô n g A B C hạ xuống cạnh huyên A B đường v u ô n g g ó c M N Chứng m i n h rằng M A N = M C N

2.25 Đ ư ờ n g t r ò n n ộ i t i ẽ p t i ễ p xúc v ọ i các cạnh A B và A C c ủ ấ t a m giác A A B C

t ạ i c á c đ i ể m M và N G i ả sử p là giao đ i ể m của đ u ờ n g thẳng M N và đ ư ờ n g p h â n giác góc B (hay k é o d à i của n ó ) Chứng m i n h rằng góc BPC v u ô n g

2.26 Bên trong tam giác n h ọ n A B C cho đ i ể m p H ạ l ừ p các đ u ờ n g v u ô n g góc

P A i , P B i và PCi xuống các cạnh, ta được A A i B i C i Ta cũng l à m n h ư vậy đ ố i

v ọ i A A i B i C i ta đ ư ợ c A A2B2C2, sau đ ó được AA3B3C3 C h ứ n g m i n h r ằ n g

A A 3 B 3 C 3 - A A B C

2.27 Chứng m i n h rằng nếu c á c h ì n h c h i ế u của giao đ i ể m các đ ư ờ n g c h é o A C

và B Ò của t ứ giác n ộ i t i ế p A B C D xuống các cạnh đirợc n ố i liên t i ế p v ọ i nhau, thì

ta sẽ nhận được m ộ t t ứ giác ngoại t i ễ p

2.28 B ê n trong t ứ giác A B C D lẫy đ i ể m M sao cho A B M D là h ì n h b ì n h h à n h

2.31 Chứng m i n h rằng các đ ư ờ n g c h é o của m ộ t t ứ giác lôi v u ô n g g ó c v ọ i nhau

k h i và chỉ k h i c á c h ì n h c h i ế u của giao đ i ể m của c h ú n g l ê n t ấ t cả b ố n c ạ n h n ằ m t r ê n

2.33 B i ễ t rằng trong m ộ t tam giác đ ư ờ n g trung tuyến, đ ư ờ n g p h â n giác và

đ ư ờ n g cao c ù n g xuẫt p h á t t ừ đ i n h c chia g ó c ra l à m b ố n phẫn bằng nhau T í n h các

g ó c của tam giác đ ó

2.34 Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC đường phân giác A E nằm giữa

đường trung tuyển A M và đường cao A H

2.35 Dựng tam giác theo đường phân giác, đường trung tuyên và đường cao

cùng xuăt phát từ một đinh

§8 Áp d ung góc nối tiếp để chúng minh các đtròng thẳng đồng quy tại một điểm 2.36 Trên các cạnh AC và BC eủa A ABC vê phía ngoài dựng các hình vuông

ACAi A2 và BCB1B2 Chứng minh rằng các đường thẳng A l B , A2B2 và A B i đông

quy tại một điếm

2.37 Trên các cạnh của A ABC vè phía ngoài dựng các tam giác đêu ABCi, AiBC và A B i C Chứn^minh rằng các đường thẳng A A i , BBi, CCi đông qui tạ? một điểm và tạo với nhau các góc 60°

2.38 Trên các cạnh của A ABC vỗ phía ngoài dựng các tam g i á c đồng

dạng A B C i , A i Be và ABiC sao cho CAlB = CABi = Q A B và

ABiC = A i B C = ABCi <

a) Chứng minh rằng các đường tròn ngoại tiẽp quanh các tam giác ABC Ì ,

A B i C và A i B C cắt nhau tại một điểm

b) Chứng minh rằng các đường thẳng A A i , B B i và CCi cũng cắt nhau tại điểm đó

§9 Tứ giác nội tiếp với các đường chéo vuông góc

Trong mỉc này ABCD là tứ giác nội tiếp, các đường chéo AC và BD vuông góc

với nhau Ta sẽ kí hiệu o là tâm đường tròn ngoại tiếp của tứ giác ABCD, p là giao

điếm đường chéo

2.39 Từ các đinh A và B hạ các đường vuông góc xuống cạnh CD, cắt các đường

chéo tại các điểm K và M tương ứng Chứng minh rằng AKMB là hình thoi

2.40 Biết bán kỉnh cửa đường tròn ngoại tiếp là R

a) Tính Á P2 + BP2 + CP2 + DP2

b) Tính tổng bình phương các cạnh của tứ giác ABCD

2.41 Chứng minh rằng đường gấp khúc AOC chia ABCD ra làm hai hình có

diện tích bằng nhau

2.42 Chứng minh rằng khoảng cách từ điểm o đến cạnh AB bằng nửa độ dài

cạnh CD

2.43 Chứng minh rằng đường thẳng kẻ từ điểm p vuông góc với Be, sẽ chia

đôi cạnh A D

2.44 Tính tổng bình phương các đường chéo, nếu biết độ dài đoạn thẳng OP

và bán kính đường tròn ngoại tiếp R

§10 Ba đường tròn bằng nhau cất nhau

2.45 Ba dường tròn bằng nhau có điểm chung H , còn các giao điếm khác cùa '

chúng tạo thành tam giác nhọn ABC

Chứng minh rằng H là trực tâm của tam

giác ABC

2.46 Chứng minh rằng các giao điểm

của ba đuờng tròn bằng nhau và cùng đi

qua một điểm, nằm trên đường tròn

bằng các đường tròn đã cho

2.47 Ba đường tròn bằng nhau từng

đôi cắt nhau : tỉuờng thứ nhát với đường

thứ hai cắt nhau tại điểm A và A i , thứ hai

với thứ ba tai B và B i , thú ba với thứ nhửt

tại c và C i Trong đó A, B, c là các điếm

ngoài, A i , B i , Ci là các điểm trong (h.20)

Chứng minh rằng tổng các số đo góc của

các cung A B i , BCi và CAI bằng 180°

§11 Các bài toán khác

2.48 Giả sử H là trực tâm của A ABC, o là tâm của đường tròn ngoại tiẽp

Chứng minh rằng OAH = I C - B ị

2.49 ABCD là tứ giác nội tiếp, các phần kéo dài các cạnh của nó cắt nhau tại

các điểm E và K Chứng minh rằng bốn giao điểm của các đường phân giác các góc

AED và A K B với các cạnh của tứ giác ABCD là các đỉnh của bi hình thoi

2.50 Các điểm K và p đ ố i xứng với chân H của đường cao BH của A ABC qua

các cạnh A B và Be Chứng minh rằng các giao điểm của đoạn thẳng KP với các

cạnh AB và BC (hay kéo dài của chúng) là chân các đường cao của tam giác

2.51 Trên phân kéo dài của dường kính EF của một đường tròn ta cố định một

điểm c Các điểm A và A i nằm trên đường tròn vẽ hai phía k h á c nhau so v ớ i

EFsao cho AC * A i C nhưng A C E = A i C E Chứng minh rằng vị trí giao

điểm của các đường thẳng EF và A A i không phụ thuộc vào vị trí các điểm

A và A i

2.52 Các đường tròn Si và S2 cắt nhau tại các điểm A và B, đồng thời các tiếp tuyên của Si tại các điếm đó là bán kính cùa đường tròn S2 Trên cung trong của

Si lẫy điểm c và nỗi nó với các điếm A và B bằng các đường thẳng Chứng minh

rằng các giao điểm thứ hai của các đường thẳng đó với S2 là các đầu cua một đường kính

2.53 Chứng minh rằng các giao điển của các cạnh đỗi nhau (nêu các cạnh đó

không song song) của một lục giác nội tiếp cùng nằm trên một đuờng thẳng (định

lí Pascal)

2.54 Tẻ tâm o của đường tròn hạ đường vuông góc OA xuống đường thẳng 1

Trên đường thẳng Ì lấy các điểm B và c sao cho AB = AC Qua các điểm B và

c kẻ hai cát tuyên, một cát tuyên cắt đường tròn tại các điểm p và Q, còn cát tuyến

kia tại M và N Các đuờng thẳng PM và QN cắt đường thẳng Ì tại các điểm R và

s Chứng minh rằng AR = AS

CÁC BÀI TOÁN T ự GIẢI

2.55 Chứng minh rằng đường trung trực của đoạn thẳng với các đầu tại chân

các đường cao của tam giác chia đôi cạnh đỗi diện

2.56 Chứng minh rằng nêu kẻ tẻ một đinh của đa giác đều tẫt cả các đường

chéo, thì chúng chia góc thuộc đinh đó ra làm các phân bằng nhau

2.57 Trong tứ giác lôi AB = Be = CD, M là giao điểm các đường chéo, K là

giao điếm của các đường phân giác các góc A và D Chứng minh rằng các điểm A,

M , K và D cùng nằm trên một đường tròn

2.58 Các đường tròn với tâm Oi và 02 cắt nhau tại các điếm A và B Dường

thẳng O i A cắt đường tròn tâm O2 tại N Chứng minh rằng các điểm O i , O2, B và

N cùng nằm trên một đường tròn

2.59 Các đường tròn Si và S2 cắt nhau tại các điểm A và B Đường thẳng M N

tiếp xúc với đường tròn Si tại M và với đường tròn S2 tại điểm N Giả sử A là giao điếm của các dường tròn đó nằm xa đuờng thẳng M N hơn Chứng minh rằng O1AO2 = 2 MAN

2.60. Cho tó giác nội tiêp ABCD có AB = B C Chứng minh rằng S A B C D =

= - (DA + CD).hb, trong đỏ hb là đường cao của A ABD, hạ từ đinh B

2

2.61 Tứ giác ABCD nội tiếp có AC là phân giác của góc A Chứng minh rằng

AC.BD = AD.DC + AB.BC

2.62 Trong tam giác vuông ABC từ đinh của góc vuông c kẻ đường phân giác

CM và đường cao CH, HD và HE là các đường phân giác của các tam giác AHC và

CHB Chứng minh rằng các điểm c, D, H , E và M cùng nằm trên một đường tròn

2.63 Trong tam giác nhọn ABC kẻ các đường cao BBi và CCi, o là tâm dường

tròn ngoại tiếp Chứng minh rằng các đường thẳng AO và B i C i vuông góc

2.64 Ngoài tam giác đêu ABC nhưng trong góc BÁC lẩy một điểm M sao cho

CMA = 30° và B M A = a Hỏi góc A B M bằng bao nhiêu ?

L Ờ I G I Ả I

2.1 Kẻ đường kính AD Ta có CD A = CBA, bởi vì chúng cùng chắn một cung

Do đỏ tam giác CAD và HAB vuông, nên BAH = D Á C

2.2 Do BOA = 9 0 ° , nên cácđiếm o và c nằm trên đường tròn đường kính

AB Tam giác AOB cân, suy ra BO = OA và B e o = O C A , tức c o là phân giác

2.3 Để không phải xét khả năng phân bấ khác nhau của các điếm, ta sử dụng

cấc tính chất của góc có định huớng (AC?CK) = ( A M ? M K ) = (BM?MK) =

= (BD?DK) = (BD?CK) , tức là AC // B D

2.4 Các điểm p và Q nằm trên đường tròn đường kính A M Do đó

Q M A - QPA Các tam giác PAK và MAQ vuông, suy ra PAK = M A Q

2.5 Rõ ràng các chân các đường vuôag góc hạ từ điểm M xuấng các đường kính

nằm trên đường tròn s đường kính OM (O là tâm của đường tròn ban đâu) Các

giao diêm của các đường kính đã cho với đường tròn s, khác với điểm o, sẽ chia s

ra làm n cung Bởi vì tất cả các cung không chứa điếm o , đêu chắn các góc bằng

18CP 360° , nên sấ đo góc của các cung đó bằng nhau và bằng — — Do đó sấ đo góc

n ' n

360p 360°

của cung chứa điểm Obằng 360° - ( n - 1 ) — — = — — Suy ra chân các đường

n n vuông gấc chia đường tròn s ra làm n cung bằng nhau, tức là chúng là các dinh của

n - giác đều