Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.. 0 dấu đẳng thức chỉ xảy ra tại hữu hạn điểm.. 0 dấu đẳng thức chỉ xảy ra tại hữu hạn điểm.. 0 dấu đẳng thức chỉ xảy ra tại hữu hạn điểm
Trang 1CHƯƠNG I: ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM – KSHS GIẢI TÍCH 12
CHỦ ĐỀ 1: SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ
Bài tốn: Xét sự biến thiên của hàm số y = f(x).
P 2: Ta cần thực hiện các bước sau:
B1: Tìm miền xác định của hàm số.
B2: Tính đạo hàm f ’(x), rồi giải phương trình f ‘(x) = 0.
B3: Lập bảng biến thiên của hàm số.
B4: Kết luận.
Bài tập ơn luyện: Khảo sát chiều biến thiên của các hàm số.
Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
1 y = 1 + 4x –x2
2 y = 2x2 -3x -1
3 y = x2(4 – x2)
4 y = x4 – 2x3 + 2x +1
5 y = 1 3 2
3x − x + x−
2
x
y
x
−
=
+
2
x x
y
x
− +
=
−
8 2
1
x
y
x
=
+
9 2 1
y
x x
=
− +
10 22 3 2
x x
y
x x
− +
=
+ −
11 y= − +2x 4 x2+1
12 y= − +x 2 x2+4
13 y = 3x2 – 8x3
14 y = x3 – 6x2 + 9x
15 y = 16x + 2x2 – 16
3 x3 – x4
16 y = x4 + 8x2 + 5
17 2 2
1
x y
x x
−
= + +
18 y= x x( −1),(x>0)
19 3 2
7
x y
x
−
= +
20 22
9
x y x
=
−
21 2 2 3
1
x x y
x
− +
= +
22 2 5 3
2
x x y
x
− +
=
−
23 y= 25−x2
24
100
x y
x
= +
25 1 4 3
5 2
y= x + − +x x
26 3 4 3 3 2
y= x − x + x − +x
27 3 4 5
8 5
y x= − x +
28 7 6 7 5
6
y= x − x + x +
29 1 1
y
x
= −
−
3
x y x
+
=
31 23
1
x y x
= +
32 y= x2+2x+3
CHỦ ĐỀ 2: SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ TRÊN MỘT MIỀN.
Bài tốn: Xác định m để hàm số y = f(x, m) đồng biến (hay nghịch biến) trên khoảng I.
P 2: Ta cần thực hiện các bước sau:
B1: Tìm miền xác định của hàm số.
B2: Tính đạo hàm f ‘(x).
B3: Lập luận cho các trường hợp (tương tự cho tính nghịch biến) như sau:
•Hàm số đồng biến trên R H f xàm'( ) x,
số xác định với mọi x
0 dấu đẳng thức chỉ xảy ra tại hữu hạn điểm
•Hàm số đồng biến trên [a, +∞) àm
H
f x x a
⇔ ≥ ∀ ≥
số xác định với mọi x [a,+ )
0 dấu đẳng thức chỉ xảy ra tại hữu hạn điểm
•Hàm số đồng biến trên (-∞, b] àm ( , ]
f x x b
∈ −∞
⇔ ≥ ∀ ≤
số xác định với mọi x
0 dấu đẳng thức chỉ xảy ra tại hữu hạn điểm
•Hàm số đồng biến trên (a, b) H f xàm'( ) x ( , ),a b ∈( , ) a b
số xác định với mọi x
0 dấu đẳng thức chỉ xảy ra tại hữu hạn điểm của (a,b).
• Hàm số đồng biến trên đoạn cĩ độ dài bằng k.⇔ f ‘(x) ∀ ∈ −x [a k a, ], đẳng thức chỉ xảy tại hữu hạn điểm của [a – k, a] và ∀ ∉x [a – k, a] khơng thoả mãn
Trang 2CHƯƠNG I: ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM – KSHS GIẢI TÍCH 12
Để giải các biểu thức điều kiện của y ‘ phương pháp được sử dụng phườngổ biến nhất là phương pháp tam thức bậc 2, tuy nhiên trong những trường hợp riêng biệt có thể sử dụng ngay phương pháp hàm số để giải, cụ thể như:
•f ‘(x) ≥ 0 với ∀ ∈ ⇔x D min '(x) 0x D∈ f ≥ .
•f ‘(x) ≤ 0 với ∀ ∈ ⇔x D max '(x) 0x D∈ f ≤
Chú ý: Ta cần nhớ rằng với y’= g(x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0) thì:
1 ( ) 0 x 0
0
a
g x >
≥ ∀ ⇔ ∆ ≤
0 ( ) 0 x
0
a
g x <
≤ ∀ ⇔ ∆ ≤
2.g x( ) 0 x > (hay x ( ; + ))≥ ∀ α ∈ α ∞ khi một trong
hai trường hợp xảy ra:
•TH1: Nếu ∆ ≤0, điều kiện a > 0
Tóm lại: 0
0
a>
∆ ≤
• TH2: Nếu ∆ >0, điều kiện là a > 0 và phương
trình g(x) = 0 có hai nghiệm thoả mãn
1 2
x <x ≤α
0 ( ) 0 2
a ag S
α α
>
<
2 g x( ) 0 x > (hay x ( ; + ))≤ ∀ α ∈ α ∞ khi một
trong hai trường hợp xảy ra:
•TH1: Nếu ∆ ≤0, điều kiện a < 0
Tóm lại: 0
0
a<
∆ ≤
•TH2: Nếu ∆ >0, điều kiện là a < 0 và phương trình g(x) = 0 có hai nghiệm thoả mãn
1 2
x <x ≤α
0 ( ) 0 2
a ag S
α α
<
<
3 g x( ) 0 x < (hay x (- ; ))≥ ∀ α ∈ ∞α khi một trong
hai trường hợp xảy ra:
•TH1: Nếu ∆ ≤0, điều kiện a > 0
Tóm lại: a>00
∆ ≤
•TH2: Nếu ∆ > 0, điều kiện là a > 0 và phương
trình g(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt thoả
mãn α ≤ <x1 x2
0 ( ) 0 2
a
a g S
α α
>
>
3 g x( ) 0 x < (hay x (- ; ))≤ ∀ α ∈ ∞α khi một trong
hai trường hợp xảy ra:
•TH1: Nếu ∆ ≤0, điều kiện a < 0
Tóm lại: a<00
∆ ≤
•TH2: Nếu ∆ > 0, điều kiện là a < 0 và phương trình g(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt thoả
mãn α ≤ <x1 x2
0 ( ) 0 2
a
a g S
α α
<
>
4 g x( ) 0 x ( ; )≥ ∀ ∈ α β khi một trong hai trường
hợp sau xảy ra:
•TH1: Nếu ∆ ≤0, điều kiện a > 0
Tóm lại: 0
0
a>
∆ ≤
•TH2: Nếu ∆ > 0, xét hai khả năng sau:
o Nếu a > 0 thì điều kiện là phương trình
g(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt thoả:
4 g x( ) 0 x ( ; )≤ ∀ ∈ α β khi một trong hai trường
hợp sau xảy ra:
•TH1: Nếu ∆ ≤0, điều kiện a < 0
Tóm lại: 0
0
a<
∆ ≤
•TH2: Nếu ∆ > 0, xét hai khả năng sau:
o Nếu a < 0 thì điều kiện là phương trình g(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt thoả:
Trang 3CHƯƠNG I: ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM – KSHS GIẢI TÍCH 12
1 2
1 2
x x
x x
α β
α β
< ≤ <
< ≤ <
( ) 0
2 ( ) 0 2
a g S
a g S
α α β β
≥
<
⇔ ≥
>
o Nếu a < 0 thì điều kiện là phương trình
g(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt thoả:
( ) 0 ( ) 0
a g
a g
α
α β
β
≤
≤ < ≤ ⇔ ≤
1 2
1 2
x x
x x
α β
α β
< ≤ <
< ≤ <
( ) 0
2 ( ) 0 2
a g S
a g S
α α β β
≥
<
⇔ ≥
>
oNếu a > 0 thì điều kiện là phương trình g(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt thoả:
( ) 0 ( ) 0
a g
a g
α
α β
β
≤
≤ < ≤ ⇔ ≤
Bài tập ôn luyện – nâng cao
Bài 1: Tìm m sau cho hàm số:
1 y = mx 3 – (2m – 1)x 2 + (m – 2)x – 2 luôn đồng biến.
2 y = x 3 + 3x 2 + (m + 1)x + 4m nghịch biến trong (-1; 1) Đs: m≤ −10
3 y = (m 2 + 5m)x 3 + 6mx 2 + 6x – 6 đơn điệu trên R
4 y = x 3 – 3(m – 1)x 2 + 3m(m-2)x + 1 hàm số đồng biến trên R.
5 y = x 4 – 2mx 2 + 2m + m 4 luôn đồng biến.
6 y = 1
3x 3 – 2x 2 + 3x, hàm số nghịch biến trên khoảng (-2; 0)
7 y = 1
3
m−
x 3 + mx 2 + (3m – 2)x luôn đồng biến.
8 y = -1
3x 3 + (m – 1)x 2 + (m + 3)x đồng biến trong (0; 3)
9 y = x 3 – 3(2m + 1)x 2 + (12m + 5)x + 2 đồng biến trong khoảng (2; +∞).
10 y = x 3 – (m+1)x 2 – (2m 2 – 3m + 2)x + 2m(2m – 1) đồng biến khi x≥ 2.
11 y = x 2 (m – x) – m Tìm m để hàm số:
a Đồng biến với mọi x.
b Đồng biến trong (1; 2)
12 y = 1
3mx 3 – (m – 1)x 2 + 3(m - 2)x + 1
3.
13 Cho hàm số y = x 3 – 2x 2 + (m - 1)x + m + 3
a Tìm m để hàm số đồng biến với mọi x.
b Tìm m để hàm số đồng biến trong khoảng (−∞ −; 1] và (2; +∞).
14 Cho hàm y = 3 ( 1) 2 ( 3) 4
3
x
− + − + + −
a Tìm m để hàm số đồng biến trong khoảng (0; 3).
b Tìm m để hàm số đồng biến trong khoảng (3; +∞).
3
y= m+ x − x +mx.
a Tìm m để hàm số luôn đồng biến.
b Tìm m để hàm số luôn nghịch biến.
16 Cho hàm số y = x 2 (m – x) – mx + 6 Tìm m để hàm số luôn nghịch biến.
3
y= − mx +mx −x luôn nghịch biến.
18 Cho hàm số y = x 3 – 3mx 2 + m – 6 Tìm m để hàm số đồng biến trong khoảng (-∞; 0).
19 Cho hs y = mx 3 – (2m – 1)x 2 + (m – 2) – 2 Tìm m để hàm số luôn đồng biến
20 Cho hs y = (2m + 3)sin 2 x + (2 – m)x Tìm m để hàm số luôn đồng biến
Trang 4CHƯƠNG I: ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM – KSHS GIẢI TÍCH 12
3
y= − x −mx + m− x m− + .Tìm m để hs nghịch biến trong khoảng (-2; 0).
23 Cho hs y = x 3 + 3x 2 + mx + m nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 1 (đs: m = 9/4)
24 Cho hs y = -1
3x 3 + 2x 2 + (2m + 1)x -3m + 2, nghịch biến trên R Đs:
25 Cho hs y = x 3 + 3x 2 + (m + 1)x + 4m, nghịch biến trên (-1; 1).
y= x + m− x + m− − .
a Đồng biến trên khoảng (1; +∞).
b Đồng biến trên R.
27 Cho hs y = x 3 – 3mx 2 + 3(2m – 1)x + 1, đồng biến trên R.
(3 2) 3
m x
y= − +mx + m− x, luôn đồng biến trên R.
29 Cho hs y = (m – x)x 2 + m, đồng biến trên (1; 2) Đs: m≥3
3
y= − x + m− x + m+ x−
a Luôn luôn giảm Đs: Không có giá trị m
b Luôn tăng trên (0; 3) Đs: 12
7
m≥
y x= − m+ x − m + m+ x+ , luôn nghịch biến trên (-1; 1).Đs:
8 52 3
4 76 3
m m
< −
+
>
32 Cho hs y = x 3 – mx 2 + 3x – 1, luôn đồng biến Đs: − ≤ ≤ 3 m 3
33 y = 2x + mcosx, tăng trên R Đs: − ≤ ≤2 m 2
34 y = 2x 3 + 3x 2 + 6(m + 1)x + m 2 , nghịch biến trên (-2; 0) Đs: m≤ − 3
(sin cos ) sin 2
y= x − m+ m x + x m, đồng biến trên (−∞ +∞; )
36 y = x 3 + (m - 1)x 2 – (2m 2 + 3m + 2)x, đồng biến trên (2;+∞) Đs: 3 2
− ≤ ≤
37 y = x + msinx, đồng biến trên R Đs: − ≤ ≤1 m 1
38 y = (m – 3)x – (2m + 1)cosx, nghịch biến trên R Đs: 4 2
3
m
− ≤ ≤
39 y = x 3 + 2mx 2 + m – 2, nghịch biến trên (1; 3) Đs: 9
4
m≤ −
3
y= x − m− x + m− x− , luôn tăng trên R Đs: 1≤ ≤m 3
Bài 2: Tìm m sao cho hàm số:
3
mx
y
x m
−
=
+ − luôn nghịch biến.
2 y x2 2mx m 2
x m
=
− đồng biến với mọi x > 1.
1
mx x m
y
mx
+ +
=
+ đồng biến trong khoảng (0; +∞).
1
y
x
=
+ đồng biến trong (0; +∞).
1
y
x m
+ + −
=
+ − đồng biến trong (1; +∞).
Trang 5CHƯƠNG I: ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM – KSHS GIẢI TÍCH 12
1
x m x m
y
x
=
+ luôn đồng biến trên miền xác định của nó.
7 y (m 1)x2 2mx (m3 m2 2)
x m
=
− luôn nghịch biến trên miền xác định của nó.
1
y
x
=
− luôn nghịch biến trên miền xác định của nó.
2
y
m x
− +
=
− nghịch biến trong (1; +∞).
10 y 2x2 (1 m x) 1 m
x m
+ − + +
=
− đồng biến trong (1; +∞) Đs: m< −3 2 2
11 y 2x2 (1 m x) 1 m
x m
+ − + +
=
− + nghịch biến trong (2;+∞).
12 Cho hàm số 2 2 3
x x m y
x
− − +
=
+ Tìm m để hàm số nghịch biến
1
2
− +∞
2
y
x m
− +
=
− Tìm m để hs đồng biến trên (1;+∞).
1
x mx y
x
+ −
=
− đồng biến trên (-∞; -1) và (1; +∞).
2
mx x y
x
+ −
=
+ nghịch biến trên [1; +∞) Đs:
14 5
m≤ −
16 Cho hs
2 ( 1) 4 2 4 2
( 1)
y
x m
=
− − nghịch biến trên (0; +∞) Đs:
1
− ≤ ≤
17 Cho hs y 2x2 (1 m x m) 1
x m
− − + +
=
− + nghịch biến trên (2; +∞) Đs: m≤ −5 3 2
18 Cho hs 2 2 3
1
x x m y
x
− +
=
− , đồng biến trên (3; +∞)
19 Cho hs y x
x m
=
− ,
a Luôn đồng biến trên từng khoảng xác định của nó Đs: m < 0
b Luôn đồng biến trên (-1; +∞) Đs: m < -1
20 Cho hs y mx 4
x m
+
= + ,
a Đồng biến trên (3; +∞) Đs: m > 2
b nghịch biến trên (−∞;1) Đs: − < ≤ − 2 m 1
CHỦ ĐỀ 3: ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
•Bài toán: Sử dụng tính chất đơn điệu của hàm số để chứng minh bất đảng thức.
P 2: Dùng đạo hàm chúng ta có thể xét được tính đồng biến và nghịch biến của một hàm số trên một miền nào đó, vì vậy có thể ứng dụng để chứng minh khá nhiều bất đẳng thức
Cụ thể: Xét hàm số f(x) trên đoạn [a; b],
- Nếu f ‘(x) ≥ ∀ ∈0, x [a; b]⇔hàm số f(x) đồng biến trên [a; b] ⇒ f x( )≥ f a( ) hoặc f x( )≤ f b( ).
- Nếu f ‘(x) ≤ ∀ ∈0, x [a; b]⇔hàm số f(x) đồng biến trên [a; b] ⇒ f x( )≤ f a( ) hoặc f x( )≥ f b( ).
•Bài Tập Áp Dụng:
Bài 1 Cho 0
2
x π
< < Chứng minh rằng:
a sinx < x b tanx > x
Bài Giải
Trang 6CHƯƠNG I: ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM – KSHS GIẢI TÍCH 12
a Xét hàm số f(x) = sinx – x với 0
2
x π
< <
Đạo hàm: f ‘(x) = cosx – 1 < 0 với 0
2
x π
< < ⇔ hàm số f(x) nghịch biến trên (0; )
2
π
Do đó: f(x) < f(0) với 0
2
x π
< < ⇔ sinx – x < 0 với 0
2
x π
< < ⇔ sinx < x với 0
2
x π
< < (đpcm)
b Xét hàm số f(x) = tanx – x với 0
2
x π
< < .
Đạo hàm: f ‘(x) = 12
cos x – 1 = tan2x > 0 với 0
2
x π
< < ⇔ hàm số f(x) đồng biến trên (0; )
2
π
Do đó: f(x) > f(0) với 0
2
x π
< < ⇔ tanx – x > 0 với 0
2
x π
< < ⇔ tanx > x với 0
2
x π
< < (đpcm)
Bài 2: Chứng minh rằng: 3 sin
6
x
x− < x với x > 0
Bài Giải:
Xét hàm số f(x) = 3 sin
6
x
x− − x với x > 0
Đạo hàm: f ‘(x) = 1 2 cos
2
x
x
− − ; f ‘’(x) = -x + sinx; f ‘’’(x) = -1 + cosx < 0 với x > 0 ⇔ f ‘’(x) nghịch biến với x > 0
⇒ f ‘’(x) < f ‘’(0) với x > 0 ⇔ f ‘’(x) < 0 với x > 0 ⇔ f ‘(x) nghịch biến với x > 0
⇒ f ‘(x) < f ‘(0) với x > 0 ⇔ f ‘(x) < 0 với x > 0 ⇔ f(x) nghịch biến với x > 0
⇒ f(x) < f(0) với x > 0 ⇔ 3 sin 0
6
x
x− − x< với x > 0 ⇔ 3 sin
6
x
x− < xvới x > 0
Lưu ý: Đôi khi chúng ta không thể khẳng định được ngay rằng f ‘(x) ≥ ∀ ∈0, x [a; b] hoặc
f ‘(x) ≤ ∀ ∈0, x [a; b] Trong các trường hợp như vậy, một thủ thuật thông thường được áp dụng là
chúng ta liên tiếp tính đạo hàm để hạ bậc dần đa thức ẩn x.
Bài 3: Chứng minh rằng: sin200 > 1
3
Bài Giải
Áp dụng công thức: sin3x = 3sinx – 4sin3x
Ta có: sin600 = 3sin200 -4sin3200
Do đó sin200 là nghiệm của phương trình 3 3
2 = x− x
Xét hàm số f(x) = 3x – 4x3
Đạo hàm: f ‘(x) = 3 – 12x2
Bảng biến thiên:
x -∞ 1
2 − 1
2 +∞
y’ 0 + 0
y +∞
-∞
Ta có: sin200 - 1
3
1 1 ( ; )
2 2
∈ − là khoảng đồng biến của hàm số f(x)
Nên: sin200 > 1
3
⇔ > ⇔ > ⇔ > ⇔ >
Lưu ý: Một số bài toán bất đẳng thức khi đưa về xét hàm số cần quan tâm tới các cực trị.
Trang 7CHƯƠNG I: ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM – KSHS GIẢI TÍCH 12
BÀI TẬP TỔNG HỢP
BÀI TẬP TÍNH ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ
1 y x = − 6
2 y = − + 8 x 1
3 y x = 2− 4 x − 1
4 y = − 3 x2+ 5 x − 1
5 y = − 2 x2+ 1
6 y x = 3− 2 x2+ − x 1
7 y x = 3+ 2 x2 + − x 1
3
3
10 y = − − x3 3 x2+ 9 x − 1
11 y x = 3− x2 − 8 x − 1
12 y x = 3− x2 + 8 x − 1
13 y x = 3− 3 x2 + 3 x − 1
3
15 1 3 3 2
3
17 y = 2 x3+ 3 x2 + 1
18 y x = 3− 2 x2+ + x 1
19 y x = 4− x2 − 1
20 y = 2 x4− 4 x2+ 5
21 y x = 4+ x2 − 1
4
23 3
x y
x
−
= +
y x
x
= +
25 y x = 4− 2 x2− 5
2
x y x
−
= +
27
1
y
x
− − +
=
+
28 y x = 3− 6 x2 + 17 x + 4
29 y x = 3+ − x cos x − 4
3
32
5
y
x
− +
=
−
2
1
x
= − +
+
34
2
y
x
+
=
+
35 y= x2−2x+3
36 f x ( ) = 1 − x2 nghịch biến trên[ ] 0;1
37:y = 4−x2
38: y = 2 x x − 2
39:
Câu 39: Chứng minh hàm số y= − +x x2+8nghịch biến trên ¡
Câu 40:Tìm m hàm số: 3 2
y x= +mx + x+ đồng biến trên ¡ ĐS: − 6≤ ≤m 6
Câu 41:Tìm m hàm số: 3
y x= + mx+ đồng biến trên ¡ ĐS: m≥ 0
Câu 42:Tìm a hàm số: 3 2
1
y x= −ax + −x nghịch biến trên khoảng ( )1; 2 ĐS: 13
4
a≥
Câu 43:Tìm m hàm số:
1
y
x
=
+ đồng biến trên từng khoảng xác định
Câu 44:Tìm m hàm số: 3
2
mx y
x m
+
= + + nghịch biến trên từng khoảng xác định
Câu 45:Tìm m hàm số:
2
1
x x m y
x
− +
=
− đồng biến trên từng khoảng xác định
Câu 46:Tìm m hàm số: 2
1
m
y x
x
= + +
− đồng biến trên từng khoảng xác định
Câu 47:Tìm m hàm số:y= −(m2+5 )m x3+6mx2+6x−6 đơn điệu trên R
Câu 48:Tìm a hàm số: 1 3 2
3
y= − x + x + a+ x− a+ luôn nghịch biến trên ¡ ĐS: 5
2
a≤ −
Câu 49:Tìm m hàm số: 3 2
y x= − m+ x + m+ x+ đồng biến trên (2;+∞) ĐS: 5
12
m≤
câu 50: Cho hàm số y x= −3 (m+1)x2−(m2−3m+2)x+2 (2m m−1).Tìm m để hàm số đồng biến khi 2
x≥ ĐS: 2− ≤ ≤m 3
Trang 8CHƯƠNG I: ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM – KSHS GIẢI TÍCH 12
Cau 51: Cho hàm số y x= +3 3x2+(m+1)x+4m Tìm m để hs nghịch biến trên ( 1;1) − ĐS: m≤ −10
Câu 52: Cho 2
3
mx y
x m
−
= + − Tìm m để hs luôn nghịch biến trong miền xác định của nó ĐS: 1< <m 2
Câu 53: Cho
2 ( 2) 2 2 2
1
y
x
=
− Tìm m để hs luôn đồng biến trên TXĐ của nó.đs: 0< ≤m 2
Câu 54: Tìm m để hàm số luôn đồng biến trong (0;+∞):
1)
2 2( 1) 2
1
y
x
=
2 1
mx x m y
mx
+ +
=
+ ĐS: 0≤ ≤m 1
Câu 55: Tìm m hàm số sau đồng biến trong (1;+∞):
1)
x mx m
y
x m
=
− ĐS:
3 17 4
4
m≥ +
2)
2
1
y
x m
+ + −
=
+ − ĐS:m≥2 2 2−
Câu 56 Chứng minh với mọi x > 0 ta có:
2
1
2
e > + + x
HD:xét hàm số :
2
2
f x = − − −e x (đồng biến mọi x > 0)
Câu 57 Chứng minh với: 0
2
x π
< < chứng minh tgx x> HD:xét hàm số : ( ) f x =tgx x− ; f x'( )=tg x2
Câu 58.:Chứng minh với: 0
2
x π
< < chứng minh 2sinx+2tgx ≥2x+ 1
HD:Dùng bđt côsi: xét hàm số : ( ) f x =tgx+sinx
Câu 59 Chứng minh với mọi x > 0 ta có:
e
x x
>
− + 2) 1 ln( 1)
x
x < + <
+
1)HD:xét hàm số: ( ) x
f x = −e x; ( ) ln(f x = x+ −1) x; ( ) ln( 1)
1
x
f x x
x
+
Câu 60 (Gk)Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a) sin x x < với ∀ > x 0, sin x x > với ∀ < x 0
b)
2 cos 1
2
x
x > − với mọi x ≠ 0 c)
3 sin
6
x
x x > − với mọi x > 0,
d
3 sin
6
x
x x < − với mọi x < 0
Câu 61 (Gk)Chứng minh rằng: sin x + tan x > 2 x với mọi 0;
2
x ∈ π ÷
