thi tich hợp liên môn toán 12 ứng dụng của đạo hàm

Ngày soạn: 2782015. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ Tiết thứ: 8 A. Mục tiêu: 1.Về kiến thức: Biết cách tìm GTLN, NN của hàm số trên một tập hợp số. Tìm hiểu thêm các ứng dụng của đạo hàm trong các bài toán Vật lý, Hóa học, Sinh học,… 2.Kĩ năng: Biết cách tìm GTLN,GTNN của hàm số Biết cách đưa bài toán thực tiễn trong các bộ môn khác về bài toán trong toán học 3Về thái độ, tư duy: Rèn luyện tư duy logic, tư duy lý luận. Tích cực, chủ động nắm kiến thức, tham gia xây dựng bài. Biết liên hệ toán học với ứng dụng thực tiễn. BChuẩn bị 1Thầy: Giáo án, sgk, thước kẻ. 2Trò: sgk, vở ghi, thước kẻ CTiến trình bài học: 1. Ổn định lớp: Lớp 12A2 Ngày giảng Sĩ số 2Kiểm tra bài cũ: Bài 20 SGK, trang 22 (Giải tích 12 – Nâng cao). Khi nuôi cá thí nghiệm trong hồ, một nhà sinh vật thấy rằng: Nếu trên mỗi đơn vị diện tích của mặt hồ có n con cá thì trung bình mỗi con cá sau một vụ cân nặng . Hỏi phải thả bao nhiêu con cá trên một đơn vị diện tích của mặt hồ để sau một vụ thu hoạch được nhiều cá nhất? Hướng dẫn: Nếu trên mỗi đơn vị diện tích của mặt hồ có n con cá thì sau một vụ, số cá trên mỗi đơn vị diện tích mặt hồ trung bình cân nặng . Xét hàm số trên khoảng (0; + ). (Biến số n lấy các giá trị nguyên dương được thay thế bằng biến cố x lấy các giá trị trên khoảng (0;+ )). Bảng biến thiên X 0 12 + 0 Trên khoảng , hàm số đạt giá trị lớn nhất tại điểm . Từ đó suy ra rằng trên tập hợp các số nguyên dương, hàm số đạt giá trị lớn nhất tại điểm n = 12. Vậy muốn thu hoạch được nhiều nhất sau một vụ thì trên mỗi đơn vị diện tích của mặt hồ phải thả 12 con cá. Giáo viên : Nhận xét và chính xác hóa kết quả. Trên đây là ví dụ về ứng dụng đạo hàm trong đời sống thực tiễn 3Nội dung bài giảng: Hoạt động 1: ĐẶT VẤN ĐỀ Trong số những ứng dụng nổi bật nhất của việc tính toán là những cái phụ thuộc vào các giá trị cực đại hay các giá trị cực tiểu của các hàm số. Thực tế cuộc sống hàng ngày được phong phú với những bài toán như vậy và điều tự nhiên là các nhà toán học và những người khác sẽ tìm ra điều quan trọng và thú vị của chúng. Một nhà kinh doanh tìm kiếm lợi nhuận tối đa và giá cả tối thiểu. Một số kĩ sư tìm kiếm một động cơ và mong muốn tối đa hiệu quả của nó. Một phi công hàng không cố gắng làm tối thiểu thời gian chuyến bay và sự tiêu thụ chất đốt. Trong khoa học, chúng ta thường thấy rằng bản chất tự nhiên hoạt động theo con đường làm cực đại hoặc làm cực tiểu một hiện tượng nào đó. Mỗi khi chúng ta dung những từ như rộng nhất, nhỏ nhất, nhất, tốt nhất, …. Nó là lý do gợi ý rằng một vài bài toán cực đại và cực tiểu đang ẩn khuất ở bên cạnh. Nếu bài toán này có thể được biểu diễn theo những biến số và những hàm số, mà hoàn toàn không thể theo cách khác, thì những phương pháp Giải tích sẵn sàng

Equation Chapter 1 Section 1Ngày soạn: 27/8/2015.

GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ

Tiết thứ: 8

A Mục tiêu:

1.Về kiến thức: Biết cách tìm GTLN, NN của hàm số trên một tập hợp số

Tìm hiểu thêm các ứng dụng của đạo hàm trong các bài toán Vật lý, Hóa học, Sinh học,…

2.Kĩ năng: Biết cách tìm GTLN,GTNN của hàm số

Biết cách đưa bài toán thực tiễn trong các bộ môn khác về bài toán trong toán học

3-Về thái độ, tư duy:

Rèn luyện tư duy logic, tư duy lý luận

Tích cực, chủ động nắm kiến thức, tham gia xây dựng bài

Biết liên hệ toán học với ứng dụng thực tiễn

B-Chuẩn bị

1/Thầy: Giáo án, sgk, thước kẻ

2/Trò: sgk, vở ghi, thước kẻ

C-Tiến trình bài học:

1 Ổn định lớp:

Ngày giảng

Sĩ số

2-Kiểm tra bài cũ: Bài 20- SGK, trang 22 (Giải tích 12 – Nâng cao)

Khi nuôi cá thí nghiệm trong hồ, một nhà sinh vật thấy rằng: Nếu trên mỗi đơn vị diện tích của mặt hồ có n con cá thì trung bình mỗi con cá sau một vụ cân nặng

P n = − n gam

Hỏi phải thả bao nhiêu con cá trên một đơn vị diện tích của mặt hồ để sau một vụ thu hoạch được nhiều cá nhất?

Hướng dẫn:

Nếu trên mỗi đơn vị diện tích của mặt hồ có n con cá thì sau một vụ, số cá trên mỗi đơn

vị diện tích mặt hồ trung bình cân nặng

2

f n =n P n = n− n gam

Xét hàm số

2

(x) 480 20

f = x− x

trên khoảng (0; +∞

)

(Biến số n lấy các giá trị nguyên dương được thay thế bằng biến cố x lấy các giá trị trên khoảng (0;+∞

))

f = − x f x = ⇔ =x

Bảng biến thiên

X

0 12 +∞

'( )

f x + 0 -

(x)

f

(12)

f

Trên khoảng

(0;+∞)

, hàm số

f

đạt giá trị lớn nhất tại điểm x=12

Từ đó suy ra rằng trên tập hợp

*

¥ các số nguyên dương, hàm số

f

đạt giá trị lớn nhất tại điểm n = 12 Vậy muốn thu hoạch được nhiều nhất sau một vụ thì trên mỗi đơn vị diện tích của mặt

hồ phải thả 12 con cá

Giáo viên : Nhận xét và chính xác hóa kết quả

Trên đây là ví dụ về ứng dụng đạo hàm trong đời sống thực tiễn

3-Nội dung bài giảng:

Hoạt động 1: ĐẶT VẤN ĐỀ

Trong số những ứng dụng nổi bật nhất của việc tính toán là những cái phụ thuộc vào các giá trị cực đại hay các giá trị cực tiểu của các hàm số

Thực tế cuộc sống hàng ngày được phong phú với những bài toán như vậy và điều

tự nhiên là các nhà toán học và những người khác sẽ tìm ra điều quan trọng và thú vị của chúng Một nhà kinh doanh tìm kiếm lợi nhuận tối đa và giá cả tối thiểu Một số kĩ sư tìm kiếm một động cơ và mong muốn tối đa hiệu quả của nó Một phi công hàng không

cố gắng làm tối thiểu thời gian chuyến bay và sự tiờu thụ chất đốt Trong khoa học,

chỳng ta thường thấy rằng bản chất tự nhiờn hoạt động theo con đường làm cực đại hoặc làm cực tiểu một hiện tượng nào đú

Mỗi khi chỳng ta dung những từ như rộng nhất, nhỏ nhất, nhất, tốt nhất, … Nú là

lý do gợi ý rằng một vài bài toỏn cực đại và cực tiểu đang ẩn khuất ở bờn cạnh Nếu bài toỏn này cú thể được biểu diễn theo những biến số và những hàm số, mà hoàn toàn

khụng thể theo cỏch khỏc, thỡ những phương phỏp Giải tớch sẵn sàng

Tất cả cỏc bài toỏn như vậy đều cú thể sử dụng cụng cụ đạo hàm để giải quyết Cỏc em cú biết trong mỗi gia đỡnh hiện nay đều cú mỏy tớnh đạo hàm ở trong nhà

khụng?

Một ứng dụng rất vui trong đời sống hàng ngày mà ta không để ý đến đó chính là:

Đồng hồ đo công tơ mét của xe máy ở nhà ta.

Lúc xe máy khởi hành là x=10 giờ thì đồng hồ công tơ mét chỉ quãng đờng xe

đã đi trớc đó f(x)= 30025 km Quãng đờng đi đợc f(x+a)-f(x)=4km, thời gian a=6 phút hay 1/10 giờ Vậy tôi đang đi tốc độ là [ f(x+a)-f(x)]=40km Khi đó kim tốc độ

sẽ chỉ 40km/h

Hóa ra kim tốc độ chính là chiếc máy tính đạo hàm mà con đờng ta đi theo thời gian Khi kim chỉ số 0 tức là quãng đờng không tăng không giảm tức là ta đang đứng yên

Bây giờ chúng ta cùng nghiên cứu ứng dụng của đạo hàm trong các bài toán Vật lý, Hóa học, Sinh học …

Hoạt động 2: Ứng dụng trong môn Vật lí.

Ví dụ 1: Một con cá hồi bơi ngược dòng để vượt một khoảng cách là 300km Vận tốc

dòng nước là 6km/h Nếu vận tốc bơi của con cá khi nước đứng yên là v (km/h) thì năng lượng tiêu hao của cá trong t giờ được cho bởi công thức

3

E v =cv t

trong đó c là một hằng số, E được tính bằng Jun Tìm vận tốc bơi của con cá khi nước đứng yên để năng lượng tiêu hao là ít nhất

- Trên con sông, dòng chảy đứng yên, một

con thuyền chạy vận tốc v thuyền

Trên con sông có dòng nước chảy với vận

tốc v0

Khi thuyền xuôi dòng thì vận tốc xuôi

dòng bằng : v thuyền + v dòng nước

Khi thuyền ngược dòng thì vận tốc ngược

dòng bằng : v thuyền – v dòng nước

Học sinh lên bảng trình bày

Vận tốc của cá khi bơi ngược dòng là v-6

(km/h) Thời gian cá bơi để vượt khoảng

- Nêu công thức tính vận tốc của vật

chuyển động ngược dòng nước, xuôi dòng nước?

Energy: năng lượng

-Yêu cầu học sinh nêu hướng làm?

cách 300km là

300 6

t v

=

− (giờ) Năng lượng tiêu hao của cá để vượt

khoảng cách đó là

3

v

- Coi E(v) là một hàm số với ẩn là v áp

dụng các kiến thức về tìm giá trị lớn nhất

nhỏ nhất của hàm số để giải quyết bài toán

2

2

9

( 6)

v

v

−

=

−

E v = ⇔ =v v=

(loại do v>6) BBT

X 6 9

+∞

E’

(x

)

- 0 +

E(

x)

E(9)

Để tiêu hao năng lượng ít nhất thì cá

phải bơi với vận tốc (khi nước đứng

yên ) là 9 (km/h)

-Để tìm vận tốc v sao cho năng lượng tiêu hao là ít nhất ta phải làm gì?

- Nhận xét và chính xác hóa kết quả

Ví dụ 2: Giả sử một tia sáng đi từ điểm A tới điểm P trên một gương phẳng… nó phản

xạ đến điểm B như trong hình vẽ lúc đó sự đo lường cẩn thận chỉ ra rằng tia tới và tia

phản xạ đã làm với mặt gương một góc α β=

Giả sử rằng tia sáng đi theo con đường ngắn nhất từ A đến B bằng con đường gương và kiểm tra luật phản xạ này bằng cách chỉ ra rằng con đường APB là ngắn nhất khi

B A

x c-x

P

L= a + x + b + −c x

- Bài toán đưa về tìm giá trị nhỏ nhất

của hàm số

f x = a +x + b + −c x < <x c

'( )

f x

−

'(x) 0

f

−

Và phương trình được biến đổi về

b c x

a x

x c x

+ − + =

−

−

⇔ =

−

- Yêu cầu học sinh nêu các đại lượng

cố định Biểu thị mối liên hệ giữa các đại lượng với quãng đường đi L?

- Tìm giá trị nhỏ nhất của quãng đường

- Để tìm giá trị lớn nhất trên một khoảng ta giải phương trình '( ) 0

f x =

- Có thể giải phương trình cuối này một cách dễ dàng theo x Tuy nhiên không cần thiết làm điều này vì ta có thể tính đạo hàm cấp hai của hàm số f(x)

[b +(c-x) ]

f x

a x

+

với 0 x c< <

Nên tại giá trị x tìm

được của phương trình

'( ) 0

f x = chính là giá trị nhỏ nhất của L Từ

đó, ta có tanα =tanβ

hay α β= .

Chú ý: Luật phản xạ được tranh luận trong ví dụ 1 Đã được biết đến trong thời Hi Lạp

cổ đại Tuy nhiên, sự thật là tia sáng phản xạ theo con đường ngắn nhất được phát hiện muộn hơn nhiều bởi Herôn của thành Alexandria, ở thế kỉ thứ nhất trước công nguyên

Sự chứng minh hình học của Herôn thì đơn giản nhưng đã tính khéo léo Bằng chứng làm như sau: Đặt A và B là những điểm như hình và đặt B’ là ảnh của B qua gương vì rằng bề mặt của gương vuông góc với đường BB’ Đoạn AB’ cắt mặt gương tại điểm P

và đây là điểm mà tại đó tai sáng tới thì phản xạ khi nó đi từ A tới B Vì

,

α γ γ β= =

nên α β=

Chiều dài toàn bộ đường đi của tia sáng là AP PB AP PB+ = + '= AB'

Đối với điểm P’ bất kì khác ở trên mặt gương chiều dài toàn bộ của đường đi tia sáng là

AP P B AP PB+ = + > AB

vì tổng hai cạng trong một tam giác luôn lớn hơn cạnh thứ

ba Điều này chỉ ra rằng đường đi thực sự của tia phản xạ của tia sáng là đường đi ngắn nhất từ A tới B bởi mặt gương

Hoạt động 3: Ứng dụng trong môn sinh học (Giáo dục sức khỏe cho thanh thiếu niên).

Cho học sinh xem vi deo về 10 nguyên nhân chính gây nên bệnh cao huyết áp

1. Tuổi tác

2. Di truyền

B A

B’

P P’ ’

3. Giới tính

4. Thừa cân

5. Ăn mặn

6. Rượu

7. Bia

8. Căng thẳng

9. Thuốc ngừa thai

10. Lười biếng

Tác hại của bệnh cao huyết áp

Việc cấp cứu kịp thời cho những người bị cao huyết áp là rất cần thiết để không để lại những di chứng về sau Một trong những cách giảm huyết áp là tiêm thuốc nhưng tiêm bao nhiêu để mức giảm huyết áp là nhiều nhất và tính độ giảm đó?

Ví dụ 3:Độ giảm huyết áp của bệnh nhân được cho bởi công thức

2

( ) 0,025 (30 ),

G x = x − x

trong đó x là liều lượng thuốc được tiêm cho bệnh nhân (x được tính bằng miligam) Tính liều lượng thuốc cần tiêm cho bệnh nhân để huyết áp giảm nhiều nhất và tính độ giảm đó

2 3

G x = x − x x >

2

'( ) 1,5 0,075 ;

G x = x− x

G x = ⇔ = ∨ =x x

X

0 12 +∞

'( )

f x 0 + 0 -

(x)

f 100

0

max ( ) G(20) 100

x G x

Liều lượng thuốc cần tiêm cho bệnh nhân để

huyết áp giảm nhiều nhất là 20mg Khi đó, độ

giảm huyết áp là 100

- Yêu cầu học sinh nêu hướng giải quyết bài toán?

- Gọi học sinh trình bày

-Nhận xét và chính xác kết quả

Hoạt động 4: Ứng dụng trong môn Hóa học

Ví dụ 4: Viết phương trình phản ứng tạo thành nitơ (IV) ôxít từ nitơ (II) ôxít và ôxy

Hãy xác định nồng độ khí ôxy tham gia phản ứng để phản ứng xảy ra nhanh nhất (Biết

theo thực nghiệm vận tốc phản ứng

2 2

[NO] [O ]

v k=

)

Các yếu tố ảnh hưởng đến tốc độ phản ứng hóa học

Nồng độ Áp suất Nhiệt độ Diện tích bề mặt Chất xúc tác

Chú ý:

Biểu thức vận tốc phản ứng :

- Vận tốc phản ứng tỉ lệ thuận với tích nồng độ của các chất tham gia phản ứng, với số

mũ là hệ số hợp thức của các chất tương ứng trong phương trình phản ứng hóa học

- Xét phản ứng: aA + bB → pC + qD => Biểu thức vận tốc tức thời: v = k A[ ] [ ]m B n

(1)

+ k: hằng số tốc độ (hằng số vận tốc chính là tốc độ phản ứng khi nồng độ các chất = 1 ) + [A], [B]: nồng độ mol của chất A và B

+ m, n gọi là bậc của phản ứng, cho biết nồng độ mỗi chất tác dụng ảnh hưởng như thế nào đến tốc độ p/ ứng

+ Ở biểu thức (1) thì : m là bậc của phản ứng đối với chất A

n là bậc của phản ứng đối với chất B

(m + n) là bậc chung của phản ứng Lưu ý: + Các số m, n, k chỉ có thể xác định bằng thực nghiệm

+ Tuy nhiên một số phản ứng đơn giản thì m, n có thể trùng với a, b

Phương trình phản ứng:

2NO + O2 = 2NO2

Vận tốc của phản ứng:

2

v kx y=

= − = − + < <

200

3

v = ⇔ = ∨ =x x

Áp dụng đạo hàm

ta có vận tốc lớn nhất khi

200 3

x=

Lúc này

nồng độ phần trăm khí oxy là

100 3

y =

-Yêu cầu học sinh viết phương trình phản ứng hóa học

Gọi

4 Củng cố: Hệ thống ND bài.

-

[ ]

T

t tr

≤ ≤ + −

2

×m gtln, nn cña hµm sè: y = cos2x +cosx-2

Gi¶i:

§Æt t = cosx ; ®k -1 t 1

Bµi to¸n trë thµnh t×m gtln, nn cña hµm sè:

5 Hướng dẫn về nhà: Làm BT (SBT)

Đọc trước bài mới

Đề kiểm tra 15 phút

Đề số 1

Câu 1 Tìm các khoảng đơn điệu của hàm

số

4 8 2 1

Câu 2 Tìm GTLN và GTNN của hàm số

6 3

trên đoạn [− 1,1]

Đề số 2 Câu 1 Tìm các khoảng đơn điệu của hàm

số

3 3 2 2.

Câu 2 Tìm GTLN và GTNN của hàm số

2 5

x y x

−

=

−

trên đoạn [ ]3;4