Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C của hàm số đã cho.. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị C tại giao điểm của đồ thị C với trục tung.. Tìm tọa độ tâm I và bán kính của mặt cầu S.
Trang 1SỞ GD-ĐT QUẢNG NAM KỲ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG NĂM 2011 TRƯỜNG THPT BẮC TRÀ MY Môn thi: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề
I - PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu 1 (3,0 điểm)
1
x y x
−
=
− có đồ thị (C)
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho
2 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại giao điểm của đồ thị (C) với trục tung
Câu 2 (3,0 điểm)
1 Giải phương trình: 7x +2.71 −x −9=0 ( x ∈ R )
2 Tìm GTLN và GTNN của hàm số
x
x x
f( )= ln2 trên đoạn 1; e3
3 Tính tích phân
1
2x+lnx
dx x
e
Câu 3 (1,0 điểm)
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với AC = 2a; SA ⊥ (ABC); góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SAC) bằng 600 Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a
II – PHẦN RIÊNG (3,0 điểm)
Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần 1 hoặc phần 2).
1 Theo chương trình Chuẩn
Câu 4.a (2,0 điểm)
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình x2 + y2 +z2 −2x−4y−4z=0 và mặt phẳng (P) có phương trình: 2x - y + 2z + 3 = 0
1 Tìm tọa độ tâm I và bán kính của mặt cầu (S) Chứng minh mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S)
2 Viết phương trình mặt phẳng (Q) là tiếp diện của mặt cầu (S) biết mặt phẳng (Q) song song với mặt phẳng (P)
Câu 5.a (1,0 điểm)
1 i+ 2 i z 8 i− = + + +1 2i z Tính môđun của số phức z
2 Theo chương trình Nâng cao
Câu 4.b (2,0 điểm)
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d:
1
3 2
3 1
−
x
và mặt phẳng ( )α có phương trình: 2x y 2z 9 0+ − + =
1 Tìm tọa độ điểm I thuộc đường thẳng d sao cho khoảng cách từ I đến mặt phẳng ( )α bằng 2
2 Gọi A là giao điểm của d và ( )α Viết phương trình tham số của đường thẳng ∆ nằm trong ( )α , qua A và vuông góc với d
Câu 5b (1,0 điểm)
Giải phương trình x2− +(3 4 )i x− + =1 5 0i trên tập số phức
-Hết -Thí sinh không được sử dụng tài liệu Giám thị không giải thích gì thêm.
ĐỀ THI THAM KHẢO
Trang 2SỞ GD-ĐT QUẢNG NAM KỲ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG NĂM 2011 TRƯỜNG THPT BẮC TRÀ MY Môn thi: TOÁN
ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM
Câu 1
(3,0 điểm)
1 (2,0 điểm)
b) Sự biến thiên:
* Chiều biến thiên:
Ta có: ( )2
1
1
x
−
Do đó hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞; 1) và (1: +∞)
* Cực trị:
Hàm số không có cực trị
0,50
* Giới hạn và tiệm cận:
limx→1+ y= −∞, limx→1−y= +∞; limx→−∞y=1, limx→+∞y=1.
Suy ra, đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng là đường thẳng x = 1 và một tiệm cận ngang là đường thẳng y = 1
0,50
* Bảng biến thiên:
x -∞ 1 +∞
y' + +
y +∞ 1
1 -∞
0,25
c) Đồ thị:
(C) cắt trục tung tại điểm ( )0; 2 và trục hoành tại điểm ( )2; 0
0,50
2 (1,0 điểm)
Ta có: ( )2
1 '
1
y x
=
−
y' 0( ) =1
0,50
Do đó phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm A là: y = x + 2 0,25
y
2
2
1 1
Trang 3Câu 2
(3,0 điểm)
1 (1,0 điểm)
Đặt t = 7 ,x t>0
Khi đó phương trình đã cho trở thành: t 14 9 0 t2 9t 14 0
t
Với t = 2 thì 7x = ⇔ =2 x log 27
Với t = 7 thì 7x = ⇔ =7 x 1
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là: T={log 2; 17 }
0,25
2 (1,0 điểm)
Ta có:
2
x
1
x e
=
0,50
Suy ra: Min1; 3 ( ) 0
x e f x
∈ = khi x = 1 và 1; 3 ( ) 2
4 Max
x e f x
e
3 (1,0 điểm)
2
e e
0,50
1
e
Câu 3
(1,0 điểm) Trong ∆ vuông cân ABC, kẻ BI ⊥ AC
⇒ I là trung điểm của AC
BI SA
⊥
Trong ∆ vuông SAC, kẻ IK⊥ SC, AH ⊥ SC
Khi đó:
* SC IK SC (BIK)
SC BI
⊥
Suy ra: góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SAC)
chính là ·BKI Do đó: · BKI =600
* AH // IK ⇒ AH AC 2 AH 2IK
0,25
Trong ∆ vuông BIK, ta có:
0
3 2
AC
Suy ra: AH = 2 3
3
a
SA = AH − AC = a − a = a ⇒ =
Trong ∆ vuông cân ABC, ta có: 2AB2 =4a2 ⇒AB a= 2=BC
0,50
S
B
I K H
60 0
Trang 4Khi đó:
2
ABC
S∆ = AB BC a=
S ABC ABC
a
0,25
Câu 4.a
(2,0 điểm)
1 (0,75 điểm)
* Tâm I và bán kính R của mặt cầu (S): I(1; 2; 2) và R = 3 0,25
* Khoảng cách h từ I đến (P):
( )2
3
Vì 7 3
3
h= < =R nên (P) cắt mặt cầu (S) (đpcm)
0,50
2 (1,25 điểm)
Vì (Q) song song với (P) nên phương trình (Q) có dạng:
Ta có: ( ( ) )
( )2
,
3
(Q) là tiếp diện của mặt cầu (S) nên d I Q( ,( ) ) =R
⇔ 4 3 5
13 3
D D
D
=
Do đó có hai mặt phẳng (Q) thỏa đề bài là:
2x – y + 2z + 5 = 0 và 2x – y + 2z – 13 = 0 0,25
Câu 5.a
(1,0 điểm)
Ta có:
2
1 2i z 8 i
8
2 3
1 2
i
i
+
+
0,50
Câu 4.b
(2,0 điểm) 1 (0,75 điểm)
Phương trình tham số của d là:
1
3 2 3
= −
= − +
= +
Do I∈d nên I(1 ; 3 2 ;3− − +t t +t)
0,25
( )
( )2
+ + −
2
2 2
2
4 3
t t
t
= −
Do đó có hai điểm I thỏa đề bài là: I(3; -7; 1) và I(-3; 5; 7)
0,50
2 (1,25 điểm)
Do A∈d nên A(1− − +t1; 3 2 ;3t1 +t1)
Do A∈(α) nên ta có: 2 1( − − +t1) 3 2t1−2 3( + + = ⇔ =t1) 9 0 t1 1
Do đó A(0; -1; 4)
0,25
Mặt phẳng (α) có vectơ pháp tuyến nr=(2;1; 2− )
Đường thẳng d có vectơ chỉ phương ur = −( 1; 2;1)
0,50
Trang 5Ta có: n ur r, = (5;0;5)
Do vectơ ur∆ = n ur r, có phương song song hoặc trùng với đường thẳng ∆ nên u∆
r
là một vectơ chỉ phương của ∆
Suy ra phương trình tham số của đường thẳng ∆ là:
5 ' 1
4 5 '
x t y
=
= −
= +
0,50
Câu 5.b
1
2
1 2
3 4 1 2
2 3 2
+ − +
+ + +
0,50
HẾT