Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình H quanh trục Ox.. PHẦN RIÊNG 3,0 điểm Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần phần A hoặc B A.. Lập phương trình mặt cầu S c
Trang 1Sở GD&ĐT Bạc Liêu
Trường THPT Hiệp Thành
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC- CAO ĐẲNG NĂM 2011
Môn: Toán; Khối: A-B
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH ( 7,0 điểm)
Câu I (2,0 điểm)
Cho hàm số y x= +3 2mx2+3(m−1)x+2 (1), m là tham số thực
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m=0
2 Tìm m để đồ thị hàm số cắt đường thẳng :∆ y= − +x 2 tại 3 điểm phân biệt (0; 2)A ; B; C sao cho tam
giác MBC có diện tích 2 2 , với (3;1) M
Câu II (2,0 điểm)
1 Giải phương trình 2sin sin 2 cos sin 22 1 2 2
4
x x− x x+ = cos x−π
2 Giải phương trình −2x3+10x2−17x+ =8 2x2 35x x− 3
Câu III (1,0 điểm) Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường y x y= 2; = 2−x2 Tính thể tích của khối
tròn xoay tạo thành khi quay hình H quanh trục Ox
Câu IV (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a ( a>0) Góc ·ABC bằng 1200, cạnh
SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA a= Gọi 'C là trung điểm cạnh SC Mặt phẳng ( )α đi qua AC '
và song song với BD cắt các cạnh SB, SD lần lượt tại ', '.B D Tính thể tích khối chóp S AB C D ' ' '
Câu V (1,0 điểm) Cho các số thực dương , , a b c Chứng minh rằng 2 2 2 ( )2
9
1 a 1 b 1 c a b c
+ +
II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm)
Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B)
A Theo chương trình chuẩn
Câu VIa (2,0 điểm)
1 Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho tam giác ABC có điểm A cố định nằm trên đường thẳng
( ) : 2∆ x−3y+ =14 0, cạnh BC song song với ( )∆ , đường cao CH có phương trìnhx−2y− =1 0 Biết trung điểm của cạnh AB là điểm M( 3;0)− Xác định toạ độ các đỉnh A, B, C
2 Trong khong gian với hệ toạ độ vuông góc Oxyz cho hai mặt phẳng ( )α1 : x−2y+2z− =3 0;
( ) : 2α2 x y+ −2z− =3 0 và đường thẳng ( ) : 2 4
− − Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm I thuộc (d) và tiếp xúc với hai mặt phẳng ( )α1 và ( )α2
Câu VIIa (1,0 điểm) Cho hai số phức 1 3 6 ; 2 2 1
3
i
z = − + i z = − z có các điểm biểu diễn trong mặt phẳng phức tương ứng là A, B Chứng minh rằng tam giác OAB vuông tại O
B Theo chương trình nâng cao
Câu VIb (2,0 điểm)
1 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba đường thẳng ∆ ∆ ∆1, 2, 3 lần lượt có phương trình 3x+4y+ =5 0,
4x−3y− =5 0,x−6y− =10 0. Viết phương trình đường tròn có tâm I thuộc đường thẳng ∆3 và
tiếp xúc với hai đường thẳng ∆ ∆1, 2
2 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm (4; 2;1).E Giả sử ( )α là mặt phẳng đi qua E và cắt tia
Ox tại M, tia Oy tại N, tia Oz tại P Viết phương trình mặt phẳng ( )α khi tứ diện OMNP có thể tích nhỏ nhất
Câu VIIb (1,0 điểm) Giải hệ phương trình
log ( ) 1 log 2 log ( 3 )
Trang 2
Trường THPT Hiệp Thành
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC- CAO ĐẲNG NĂM 2011
Môn: Toán; Khối: A-B
Đáp án- thang điểm gồm 4 trang
I
(2,0 điểm) 1 (1,0 điểm)• Tập xác đinh: D R=
• Sự biến thiên:
-Chiều biến thiên: y' 3= x2−3, ' 0y = ⇔ = ±x 1
0.25
Hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞ −; 1) và (1;+∞),nghịch biến trên (−1;1)
- Giới hạn: xlim (→−∞ x3− + = −∞3x 2) ; lim (x→+∞ x3− + = +∞3x 2) 0,25 -Bảng biến thiên:
x -∞ -1 1 +∞
'
y + 0 - 0 +
y 4 +∞
-∞ 0
0.25
• Đồ thị:
0,25
2 (1,0 điểm)
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị với ( )∆ là:x3+2mx2+3(m−1)x+ = − +2 x 2
2
( ) 2 3 2 0(2)
= ⇒ =
0.25
Đường thẳng ( )∆ cắt dồ thị hàm số (1) tại ba điểm phân biệt A(0;2), B, C ⇔
Phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt khác 0
%
2 (0) 0 3 2 0
3
m hoacm
> <
∆ > − + >
0,25
Gọi B x y và ( 1; 1) C x y , trong đó ( 2; 2) x x là nghiệm của (2); 1, 2 y1= − +x1 2 và y1= − +x2 2
Ta có ( ;( )) 3 1 2
2
2
MBC
S BC
h
Mà BC2 =(x2−x1)2+(y2−y1)2 =2 ( x2+x1)2−4x x1 2=8(m2−3m+2)
0.25
Suy ra 8(m2−3m+2)=16⇔ =m 0(thoả mãn)hoặc m=3(thoả mãn)
0,25
I
(2,0 điểm)
1 (1,0 điểm)
Phương trình đã cho tương đuơng với 2sin sin 2 cos sin 22 1 1 2
2
x x− x x+ = +cos x−π
2
2sin sin 2x x−cos sin 2x x+ = +1 1 sin 2x
0.25
sin 2 2sinx x cos sin 2x x 1 0
2sin cos sin 2 1 0
x
=
Trang 33
1 2sin 1 0 sin
2
2
k
0.25
3 3
3
; 2
;
1
sin ;
arcsin 2
2
k
k
π π
π
0,25
2 (1,0 điểm)
Nhận thấy x=0không phải là nghiệm, chia cả hai vế phương trình cho x3, ta được
3
1
− Đặt y 1(y 0)
x
= ≠ Khi đó ta có 8y3−17y2+10y− =2 2 53 y2−1
0.25
(2y 1) 2(2y 1) 5y 1 2 5y 1
Suy ra f(2y− =1) f (35y2−1), trong đó f t( )= +t3 2t
0,25
Do f t( )= +t3 2t là hàm đồng biến trên R nên f(2y− =1) f (35y2− ⇔1) 2y− =1 35y2−1
8y 17y 6y 0 y y(8 17y 6) 0
0.25
Giải ra tìm được y=0(loại); 17 97
16
12
x
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường cong là:x2 = 2−x2 ⇔ = −x 1hoặcx=1
0.25 Khi x∈ −[ 1;1]thì 2−x2 ≥0 và đồ thị hàm số y x y= 2; = 2−x2 cùng nằm phía trên trục Ox
0,25 Vậy 1( 2 4)
1
2
−
=
1
1
44 2
x x x
−
Gọi O là giao điểm AC và BD; I là giao điểm SO
và AC’
Trong mặt phẳng (SBD), qua I kẻ đường thẳng song song cắt SB, SD lần lượt tại B’ và D’
TừBD⊥(SAC) ' ' ( ) ' ' '
0.25
2
C D
S
'
C
D’
O I B’
Trang 4Do I là trọng tâm tam giác SAC ' ' 2 2
a
2 ' ' '
1 ' ' '
AB C D
a
Vậy đường cao h của hình chóp S AB C D chính là đường cao của tam giác đều ' ' ' SAC'
3 2
a h
S AB C D AB C D
a
V
(1,0 điểm) Đặt biểu thức ở vế trái là M, áp dựng bbất đẳng thức x2+y2+ ≥z2 13(x y z+ + )2ta được
2 2
M
0,25
Áp dụng bất đẳng thức 2 2 2 ( )2
x y z
+ +
+ + , ta có
b c a ab bc ca ab bc ca
+ +
+ + (2)
0.25
Đặt S = ( )2
a b c
ab bc ca
+ + + + , áp dụng bất đẳng thức
x +y + ≥z xy yz zx+ + suy ra S ≥3
Từ (1) và (2) có 1(3 2 )2
3
M ≥ + S
0.25
9
1 a 1 b 1 c a b c
+ +
2
(3 2 )S 27S (S 3)(4S 3) 0
⇔ + ≥ ⇔ − − ≥ luôn đúng vì S≥3 Dấu bằng xảy ra khi a b c= =
0.25
VIa 1 (1,0 điểm)
Vì AB CH⊥ nên AB có phương trình: 2x y c+ + =0
Do M( 3;0)− ∈AB nên c=6 Vậy phương trình đuờng thẳng AB là: 2x y+ + =6 0
0.25
Do A∈∆ nên toạ độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình: 2 3 14 0 ( 4; 2)
x y
A
x y
+ + =
0.25
Vì M( 3;0)− là trung điểm cạnh AB nên ( 2; 2)B − − Cạnh BC song song với ∆ và đi qua B nên BC có phương trình: 2(x+ −2) 3(y+ =2) 0
2x 3y 2 0
0.25
Vậy toạ độ điểm C là nghiệm của hệ: 2 3 2 0 (1;0)
2 1 0
x y
C
x y
− − =
0.25
2 (1,0 điểm)
Do tâm I∈( )d nên I(− − −2 t; 2 ; 4 3t + t) 0.25 Mặt cấu (S) tiếp xúc với (α1) và (α2) khi và chỉ khi d I( ;( )α1 ) =d I( ;( )α2 ), thay vào ta giải
ra được t1 = −12 hoặc 2 18
19
t = −
0.25
20 36 22 35 10; 24; 32 35; ; ;
19 19 19 19
0.25
(2,0 điểm)
Vậy ta có hai mặt cầu toả mãn yêu cầu bài toán là: 0.25
Trang 5( ) (2 ) (2 )2 2 1
2
( ) : 10 24 32 35 ;
( ) :
+ + − + − =
VIIa
Suy ra OA2+OB2 =AB2 nên ·AOB=900 0.25
1 (1,0 điểm)
Ta có d I( ;∆ =1) d I( ;∆ =2) R 0.25
0
a
⇔ = hoặc 70
43
Vậy phương trình đường tròn cần tìm là:
( ) : 10 49;( ) :
C x− +y = C x− + y− =
0.25
2 (1,0 điểm)
Giả sử M m( ;0;0 ,) (N 0; ;0 ,n ) (P 0;0;p (p>0), ) suy ra phương trình mặt phẳng (MNP là: ) x y z 1
m n+ + =p .
0.25
3
4 2 1 6
6
Vậy phương trình mặt phẳng ( )α cần tìm là: 1
12 6 3
VIIb
(1,0 điểm) Điều kiện: xy x >30y 0
+ >
Từ phương trình thứ nhất biến đổi tương đương ta có: 4log 3xy −2log 3xy− =2 0
0.25
Đặt t =2log 3xy(t>0), phương trình trở thành: t2− − =t 2 0⇒ =t 2⇒log3xy= ⇔1 xy=3 (3) 0.25
Từ phương trình thứ hai biến đổi tương đương ta có: ( 2 2) ( )
log 4 x +y =log 2 x x+3y
⇔ 4(x2+y2) =2x x( +3y) ⇔x2+2y2 =3xy (4)
0.25
Từ (3), (4) giải ra ta có nghiệm của hệ phương trình là: ( ) 6
3; 3 ; 6;
2
0.25
Giáo viên
Nguyễn Trọng Tiến
Trang 6Sở GD&ĐT Bạc Liêu
Trường THPT Hiệp Thành
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC- CAO ĐẲNG NĂM 2011
Môn: Toán; Khối: D
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH ( 7,0 điểm)
Câu I (2,0 điểm)
Cho hàm số y x= +3 2mx2+3(m−1)x+2 (1), m là tham số thực
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m=0
2 Tìm m để đồ thị hàm số cắt đường thẳng :∆ y= − +x 2 tại 3 điểm phân biệt (0; 2)A ; B; C sao cho tam
giác MBC có diện tích 2 2 , với (3;1) M
Câu II (2,0 điểm)
1 Giải phương trình 2sin sin 2 cos sin 22 1 2 2
4
x x− x x+ = cos x−π
2 Giải phương trình (3 2 2+ ) (x−2 2 1− )x− =3 0
Câu III (1,0 điểm) Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường y x y= 2; = 2−x2 Tính thể tích của khối
tròn xoay tạo thành khi quay hình H quanh trục Ox
Câu IV (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a ( a>0) Góc ·ABC bằng 1200, cạnh
SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA a= Gọi 'C là trung điểm cạnh SC Mặt phẳng ( )α đi qua AC '
và song song với BD cắt các cạnh SB, SD lần lượt tại ', '.B D Tính thể tích khối chóp S AB C D ' ' '
Câu V (1,0 điểm) Giả sử , , a b c là độ dài ba cạnh của một tam giác Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P 4a 4c 4c
b c a c a b a b c
II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm)
Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B)
A Theo chương trình chuẩn
Câu VIa (2,0 điểm)
1 Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho tam giác ABC có điểm A cố định nằm trên đường thẳng
( ) : 2∆ x−3y+ =14 0, cạnh BC song song với ( )∆ , đường cao CH có phương trình x−2y− =1 0 Biết trung điểm của cạnh AB là điểm M( 3;0)− Xác định toạ độ các đỉnh A, B, C
2 Trong khong gian với hệ toạ độ vuông góc Oxyz cho hai mặt phẳng ( )α1 : x−2y+2z− =3 0;
( ) : 2α2 x y+ −2z− =3 0 và đường thẳng ( ) : 2 4
− − Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm I thuộc (d) và tiếp xúc với hai mặt phẳng ( )α1 và ( )α2
Câu VIIa (1,0 điểm) Cho hai số phức 1 3 6 ; 2 2 1
3
i
z = − + i z = − z có các điểm biểu diễn trong mặt phẳng phức tương ứng là A, B Chứng minh rằng tam giác OAB vuông tại O
B Theo chương trình nâng cao
Câu VIb (2,0 điểm)
1 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba đường thẳng ∆ ∆ ∆1, 2, 3 lần lượt có phương trình 3x+4y+ =5 0,
4x−3y− =5 0,x−6y− =10 0. Viết phương trình đường tròn có tâm I thuộc đường thẳng ∆3 và
tiếp xúc với hai đường thẳng ∆ ∆1, 2
2 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm (4; 2;1).E Giả sử ( )α là mặt phẳng đi qua E và cắt tia
Ox tại M, tia Oy tại N, tia Oz tại P Viết phương trình mặt phẳng ( )α khi tứ diện OMNP có thể tích nhỏ nhất
Trang 7Câu VIIb (1,0 điểm) Giải hệ phương trình
log ( ) 1 log 2 log ( 3 )
Sở GD&ĐT Nghệ An
Sở GD&ĐT Bạc Liêu
Trường THPT Hiệp Thành
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐÁP ÁN-THANG ĐIỂM
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC- CAO ĐẲNG NĂM 2011-LẦN 2
Môn: Toán; Khối: D
Đáp án- thang điểm gồm 4 trang
I
(2,0 điểm)
1 (1,0 điểm)
• Tập xác đinh: D R=
• Sự biến thiên:
-Chiều biến thiên: y' 3= x2−3, ' 0y = ⇔ = ±x 1
0.25
Hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞ −; 1) và (1;+∞), nghịch biến trên (−1;1)
- Giới hạn: xlim (→−∞ x3− + = −∞3x 2) ; lim (x→+∞ x3− + = +∞3x 2) 0,25 -Bảng biến thiên:
x -∞ -1 1 +∞ '
y + 0 - 0 +
y 4 +∞
-∞ 0
0.25
• Đồ thị:
0,25
2 (1,0 điểm)
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị với ( )∆ là:x3+2mx2+3(m−1)x+ = − +2 x 2
2
( ) 2 3 2 0(2)
= ⇒ =
0.25
Đường thẳng ( )∆ cắt dồ thị hàm số (1) tại ba điểm phân biệt A(0;2), B, C ⇔
Phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt khác 0
%
2 (0) 0 3 2 0
3
m hoacm
> <
∆ > − + >
0,25
Gọi B x y và ( 1; 1) C x y , trong đó ( 2; 2) x x là nghiệm của (2); 1, 2 y1= − +x1 2 và y1= − +x2 2
Ta có ( ;( )) 3 1 2
2
2
MBC
S BC
h
0.25
Trang 8Mà BC2 =(x2−x1)2+(y2−y1)2 =2 ( x2+x1)2−4x x1 2=8(m2−3m+2)
Suy ra 8(m2−3m+2)=16⇔ =m 0(thoả mãn)hoặc m=3(thoả mãn)
0,25
I
(2,0 điểm) 1 (1,0 điểm)
Phương trình đã cho tương đuơng với 2sin sin 2 cos sin 22 1 1 2
2
x x− x x+ = +cos x−π
2
2sin sin 2x x−cos sin 2x x+ = +1 1 sin 2x
0.25
sin 2 2sinx x cos sin 2x x 1 0
2sin cos sin 2 1 0
x
=
3
3
1 2sin 1 0 sin
2
2
k
0.25
3 3
3
; 2
;
1
sin ;
arcsin 2
2
k
k
π π
π
0,25
2 (1,0 điểm)
Phương trình tương đương với ( )2 ( )
2 1+ x−2 2 1− x− =3 0 0.25
2 1 (x 0) 2 1 x
t
Phương trình trở thành t2 2 3 0 t3 3t 2 0
t
Giải ra ta có nghiệm của phương trình là: x=log 2 1+ 2
0,25 Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường cong là:x2 = 2−x2 ⇔ = −x 1hoặcx=1
0.25 Khi x∈ −[ 1;1]thì 2−x2 ≥0 và đồ thị hàm số y x y= 2; = 2−x2 cùng nằm phía trên trục Ox
0,25 Vậy 1( 2 4)
1
2
−
=
1
1
44 2
x x x
−
Gọi O là giao điểm AC và BD; I là giao điểm SO
và AC’
Trong mặt phẳng (SBD), qua I kẻ đường thẳng song song cắt SB, SD lần lượt tại B’ và D’
TừBD⊥(SAC) ' ' ( ) ' ' '
0.25
C D
S
'
C
D’
O I B’
Trang 9Ta có: 3 2 ' 1
2
AC a= ⇒SC= a⇒ AC = SC a=
Do I là trọng tâm tam giác SAC ' ' 2 2
a
0,25
2 ' ' '
1 ' ' '
AB C D
a
Vậy đường cao h của hình chóp S AB C D ' ' ' chính là đường cao của tam giác đều SAC'
3 2
a h
S AB C D AB C D
a
V
(1,0 điểm) Đặt
x b c a y c a b z a b c= + − = + − = + − (x>0,y>0,z>0)
Ta có 2 4( ) 4( ) 4( ) 4 9 4 16 9 16
P
0.25
Áp dụng bất đẳng thứcAM-GM, ta được:
2P 2 y x 2 z x 2 z y 52
0.25
26
P
⇒ ≥ Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là 26
Đạt được
2 3 4
x y z
⇔ = =
0.25
VIa
(2,0 điểm)
1 (1,0 điểm)
Vì AB CH⊥ nên AB có phương trình: 2x y c+ + =0
Do M( 3;0)− ∈AB nên c=6 Vậy phương trình đuờng thẳng AB là: 2x y+ + =6 0
0.25
Do A∈∆ nên toạ độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình: 2 3 14 0 ( 4; 2)
x y
A
x y
+ + =
0.25
Vì M( 3;0)− là trung điểm cạnh AB nên ( 2; 2)B − − Cạnh BC song song với ∆ và đi qua B nên BC có phương trình: 2(x+ −2) 3(y+ =2) 0
2x 3y 2 0
0.25
Vậy toạ độ điểm C là nghiệm của hệ: 2 3 2 0 (1;0)
2 1 0
x y
C
x y
− − =
0.25
2 (1,0 điểm)
Do tâm I∈( )d nên I(− − −2 t; 2 ; 4 3t + t) 0.25 Mặt cấu (S) tiếp xúc với (α1) và (α2) khi và chỉ khi d I( ;( )α1 ) =d I( ;( )α2 ), thay vào ta giải
ra được t1 = −12 hoặc 2 18
19
t = −
0.25
20 36 22 35 10; 24; 32 35; ; ;
19 19 19 19
0.25
Vậy ta có hai mặt cầu toả mãn yêu cầu bài toán là:
1
2
( ) : 10 24 32 35 ;
( ) :
+ + − + − =
0.25
VIIa
Trang 101 45
Suy ra OA2+OB2 =AB2 nên ·AOB=450 0.25
VIb
(2,0 điểm)
1 (1,0 điểm)
Ta có d I( ;∆ =1) d I( ;∆ =2) R 0.25
0
a
⇔ = hoặc 70
43
Vậy phương trình đường tròn cần tìm là:
( ) : 10 49;( ) :
C x− +y = C x− + y− =
0.25
2 (1,0 điểm)
Giả sử M m( ;0;0 ,) (N 0; ;0 ,n ) (P 0;0;p (p>0), ) suy ra phương trình mặt phẳng (MNP là: ) x y z 1
m n+ + =p .
0.25
3
4 2 1 6
6
Vậy phương trình mặt phẳng ( )α cần tìm là: 1
12 6 3
VIIb
(1,0 điểm) Điều kiện: xy x >30y 0
+ >
Từ phương trình thứ nhất biến đổi tương đương ta có: 4log 3xy −2log 3xy− =2 0
0.25
Đặt t =2log 3xy(t>0), phương trình trở thành: t2− − =t 2 0⇒ =t 2⇒log2xy= ⇔1 xy=2 (3) 0.25
Từ phương trình thứ hai biến đổi tương đương ta có: ( 2 2) ( )
log 4 x +y =log 2 x x+3y
⇔ 4(x2+y2) =2x x( +3y) ⇔x2+2y2 =3xy (4)
0.25
Từ (3), (4) giải ra ta có nghiệm của hệ phương trình là: ( ) 6
3; 3 ; 6;
2
0.25
Giáo viên
Nguyễn Trọng Tiến