2 Tia phân giác của góc ABC cắt AH tại E và cắt AC tại F.. Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H.. Tia phân giác của gĩc AMB cắt AB tại E, tia phân giác của gĩc AMC cắt AC tại D... B
Trang 1I) Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö
Bµi 1: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö
2 x 4 – 4x 3 + 4x 2 12 a 2 + 2ab + b 2 – 2a – 2b + 1
3 2ab 2 – a 2 b – b 3 13 a 2 – b 2 – 4a + 4b
4 a 3 + a 2 b – ab 2 – b 3 14 a 3 – b 3 – 3a + 3b
5 x 3 + x 2 – 4x - 4 15 x 3 + 3x 2 – 3x - 1
6 x 3 – x 2 – x + 1 16 x 3 – 3x 2 – 3x + 1
7 x 4 + x 3 + x 2 - 1 17 x 3 – 4x 2 + 4x - 1
8 x 2 y 2 + 1 – x 2 – y 2 18 4a 2 b 2 – (a 2 + b 2 – 1) 2
10 x 4 – x 2 + 2x - 1 19 (xy + 4) 2 – (2x + 2y) 2
Bµi 2: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö.
1 x 2 – 6x + 8 17 x 3 – 5x 2 y – 14xy 2
2 x 2 – 7xy + 10y 2 18 4x 2 – 17xy + 13y 2
3 a 2 – 5a - 14 19 - 7x 2 + 5xy + 12y 2
6 x 3 – 5x 2 – 14x 22 x 2 + 3x – 18
16 x 3 + 9x 2 + 26x + 24
Bµi 3: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö.
1 (x 2 + x) 2 + 4x 2 + 4x – 12
2 (x 2 + 4x + 8) 2 + 3x(x 2 + 4x + 8) + 2x 2
3 (x 2 + x + 1)(x 2 + x + 2) – 12
4 (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) – 24
5 (x 2 + 2x) 2 + 9x 2 + 18x + 20
6 x 2 – 4xy + 4y 2 – 2x + 4y – 35
7 (x + 2)(x + 4)(x + 6)(x + 8) + 16
8 (x 2 + x) 2 + 4(x 2 + x) – 12
9 4(x 2 + 15x + 50)(x 2 + 18x + 72) – 3x 2
Trang 2II) Giải phơng trình và bất phơng trình
Bài 1: Giải các phơng trình:
a) 7x + 21 = 0 l) (2x - 1)2 – (2x + 1)2 = 0
b) -2x + 14 = 0 m) (2x – 1)(x – 2) = 0
c) 3x + 1 = 7x – 11 n) 3x(2x + 5) – 5(2x + 5) = 0
d) 15 – 8x = 9 – 5x p) (x - 3)(2x - 5)(3x + 9) =0
e) 1,2 – (x – 0,8) = -2 (0,9 + x) f) 3,6 – 0,5 (2x + 1) = x – 0,25(2 – 4x)
2 1 2 1
x
− + =
− + g) 3
2 1 6 5
h)
4
) 7 ( 2 3 5 6
2
3x− − = − x+ i) (4x-10)(24 +5x) = 0 j) (x +2) (3 – 4x) + (x2 + 4x + 4) = 0
x+ + x+ = x+ + x+
Bài 3: Giải các phơng trình chứa ẩn ở mẫu:
a)
) 5 ( 6
7 2
50
15 )
5
(
4
3
−
=
−
+
1
3 2 3 1
1
+
+
= + +
−
x
x x
x
( 3)(2 7) 2 7 9
x
11 3 2
1
1
2
− +
−
=
−
−
x x
1 2
2 5 2 5 2 1 2
3
+
−
=
−
x x
1 16
4 8 1 4
2 4
1
3
2 −
+
− +
=
x x
3 2
4 3
5 2
1
1
3
− +
+ +
+
−
−
−
x x x
x
x
x
Bài 4: Giải các phơng trình sau:
1) 3x− 1 =x+ 1 2) 2x+ 3 − 5 = x
3) 4x+ 5 = 3x+ 5 4) 1 − 5x = x− 3
Bài 5: Giải bất phơng trình và biểu diễn tập nghiệm trên trục số:
a)2x – 7 ≤ 0 ; b) -2x + 7 ≥0 ; c) -3x – 9 > 0 ; d) 2 ≤ 2x3+3
4
1−x > ;f)
3
4 2
3 2
−
−
≤
−
x
; g) 2(3x – 1) < 2x + 4 ; h) (x-1)2 < x (x+3) g)
8
5 1 2
4
2
1 − x− < − x
2
4
+
−
x
x
; i) x2 – 3x +2 > 0 III) Rút gọn biểu thức
Bài 1 : A= + +
−
−
−
−
−
+
1
2 1
: 1
1 1
1 2
2
2 3
2
x x
x x
x
x
a)Rỳt gọn biểu thức A =
3 +
x
x
b) Tính A biết x− 2 = 3 ; c)Tìm x∈Z để A∈Z ; d)Tìm x để A=-2
− +
−
−
+ +
−
+
x x
x x
x
x x
x
x x
2
2 2
1
1 1 : 1
Trang 3a)Rút gọn E=
1
2
−
x
x ; b)Tìm x để E>1 ; c)Tìm GTNN của E với x > 1 ;d)Tìm x ∈Zđể E∈Z
e)Tính E tại 2x+ 1 = 5
+
− +
−
+
−
+ +
+
−
+
1
1 1
1 : 1 1 1
1
x x
x x
x x
x x
x
a)Rút gọn G =
x
x
4
1
2 2 + ; b)Tính G tại x−3 =2 ;c)Tìm x với G =1 ;h) Tính K tại 2
x − + =x
Bài 4 : A= (
4
2 −
x
x
+
2
1 +
x –
2
2
−
x ) : (1 –
2 +
x
x
) a) Rút gọn A= 3
2
x
−
− ; b) Tính giá trị của A khi x= - 4 ; c) Tìm x∈Z để A∈Z
−
+
−
− +
+
−
−
−
+
1
2 1
1
1 : 1
1 1
1
2
x x
x x
x
x x
x
a)Rút gọn M= 2
4
x
x + x+ ;b)Tìm x để M=1/2 ; c)Tính M tại 2 x− =3 8; d)Chứng minh M≥0; e)So sánh M với 1
−
−
−
+
−
−
+
2 2 : 9
3 3 3 3
2
2
2
x
x x
x x
x x
x
a)Rút gọn P=
3
3 +
−
x ; b)Tìm x∈Zđể P∈Z ; c)Tính P tại x+ 3 = 5
Bài 7: Cho R=1: + + − −
+ +
−
+
1
1 1
1 1
2 2 3
2
x x
x
x x
x
a)Rút gọn R ; b)So sánh R với 3 ; c)Tìm GTNN của R;d)Tìm x∈Z để R>4 ;e)Tính R tại x=1/4
Bài 8 : Cho P =
1
4 6 1
3
−
− +
+
x x
x x
a) Rút gọn P=
1
1 +
−
x
x
; b)Tìm x∈Zđể P∈Z ; c) Tính P tại x=3
2 2
1 1
1 1
1
−
⋅
−
+
− +
x x
x x
x
a)Rút gọn P=
x
x2
1 − b)Tính P với 3x− + =2 1 5 c)Tìm x để P > - 1 ; d)Tìm x∈Zđể P∈Z; e)Tìm x để P = -3/2
Trang 4Bài 10 : Cho P =
−
−
−
+
−
+
4 2
: 2
4
x x
x x x
x x
x
a) Rút gọn P= 4
3
x x
− + ; b) Tìm x để P = -1 ;c) Tính P tại ;d)Tìm x để P > 1 ;e) So sánh P với 1
Bài 11 : Cho P = 2
−
a) Rút gọn P = 1
1
x x
− + ;b) Tìm x để P < 1 ; c)Tìm x∈Zđể P∈Z ; d)Tìm x để P= - 2
Bài 12 : Rút gọn các biểu thức sau
1
: 1
+
B =
2 2
+ − + − −
+ − − ữ − ữ
2 9 1
2 2 6
1 3 2
6
1
3
x x
x x
x
C
−
− +
−
−
−
+
D = 2 1 2 1 : 4
4 9
12 4 3 2
1 3
2
2
x
x x
x
x
−
− +
−
−
F =
7 7
4 : 1
1 1
1
−
+
−
−
−
+
x
x x
x x
x
2
1 6 3
6 4
+
+
−
−
x
x
V) Phần Hình Học:
Baứi 1: Cho tam giaực ABC vuoõng taùi A coự AB = 6cm; AC = 8cm Keỷ ủửụứng cao AH
a) CM: ∆ABC ~ ∆HBA
b) CM: AH2 = HB.HC
c) Tớnh ủoọ daứi caực caùnh BC, AH
d) P/giaực cuỷa goực ACB caột AH taùi E, caột AB taùi D Tớnh tổ soỏ dieọn tớch cuỷa hai tam giaực ACD vaứ HCE
Baứi 2: Cho xAÂy Treõn tia Ax laỏy 2 ủieồm B vaứ C sao cho AB = 8cm, AC = 15cm Treõn tia
Ay laỏy 2 ủieồm D vaứ E sao cho AD = 10cm, AE = 12cm
a) Cm: ∆ABE : ∆ADC đồng dạng b) Cm: AB.DC = AD.BE
c) Tớnh DC Bieỏt BE = 10cm d) Goùi I laứ giao ủieồm cuỷa BE vaứ CD Cm: IB.IE = ID.IC
Trang 5Bài3 :Cho ∆ABC vuông tại A , có AB = 6cm , AC = 8cm Đường phân giác của góc ABC cắt cạnh AC tại D Từ C kẻ CE ⊥ BD tại E
a) Tính độ dài BC và tỉ số DC AD b) Cm ∆ABD ~ ∆EBC Từ đó suy ra BD.EC = AD.BC
c) Cm CD BC =CE BE d) Gọi EH là đường cao của ∆EBC Cm:
CH.CB = ED.EB
Bài 4 : Cho ∆ ABC có AB = 5 cm ; AC = 12 cm và BC = 13 cm Vẽ đường cao AH, trung tuyến AM ( H, M thuộc BC ) và MK vuông góc AC.Chứng minh :
a ∆ ABCvuông b ∆ AMCcân c ∆ AHB~ ∆ AKM d.AH.BM = CK.AB
Bài 5: Cho ∆ ABC vuông tại A, đường cao AH, biếtù AB = 5 cm và AC = 12 cm
1) Tính BC và AH
2) Tia phân giác của góc ABC cắt AH tại E và cắt AC tại F Chứng minh :
a) ∆ ABF~ ∆ HBE b) ∆ AEF cân c) EH.FC = AE.AF
Bài 6 : Cho hình bình hành ABCD ( AB > BC ), điểm M ∈ AB Đường thẳng DM cắt AC
ở K, cắt BC ở N
1) Chứng minh : ∆ ADK~ ∆ CNK
2) Chứng minh : KMKD = KAKC Từ đó chứng minh : KD 2 = KM.KN
3) Cho AB = 10 cm ; AD = 9 cm ; AM = 6 cm Tính CN và tỉ số diện tích ∆ KCD và
KAM
Bài 7: Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn và AB < AC Các đường cao AD, BE, CF cắt
nhau tại H
1) Chứng minh : ∆ ACD~ ∆ BCE 2) Chứng minh : HB.HE =
HC.HF
3) Cho AD = 12 cm ; BD = 5 cm ; CD = 9 cm Tính AB và HC
Bài 8 : Cho hình thang ABCD (AB //CD) cĩ CD = 2AB Gọi O là giao điểm hai đường chéo
AC và BD, F là giao điểm hai cạnh bên AD và BC
a) Chứng minh OC = 2OA
b) Điểm O là điểm đặc biệt gì ttrong tam giác FCD? Chứng minh
c) Một đường thẳng song song với AB và CD lần lượt cắt các đoạn thẳng AD, BD, AC,
BC tại M, I, K, N Chứng minh
BC
CN AD
DM = d) So sánh MI và NK
Bài9: Cho tam giác ABC cĩ trung tuyến AM Tia phân giác của gĩc AMB cắt AB tại E, tia
phân giác của gĩc AMC cắt AC tại D
Trang 6a) So sánh
EB
AE và
DC
AD
b) Gọi I là giao điểm của AM và ED Cm I là trung điểm ED
c) Cho BC=16cm, =53
DA
CD
Tính ED d) Gọi F,K lần lượt là giao điểm EC với AM,
DM Cm EF.KC = FK.EC
Bài 10 : Cho tam giác ABC cĩ 3 gĩc nhọn, các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H.
a) Cm ∆ABE và ∆ACF đồng dạng b) Cm HE.HB = HC.HF
c) Cm gĩc AEF bằng gĩc ABC d) Cm EB là tia phân giác của gĩc DEF
Bài 11 : Cho tứ giác ABCD cĩ hai Đường chéo AC và BD cắt nhau tại O Các đường thẳng
AB và CD cắt nhau tại M Biết AB = 7cm, CD = 11cm, MA = 5cm , MD = 4cm Chứng minh:
a) ∆MAD ~ ∆MCB b) gĩc MAC = gĩc MDB c) OA.OC = OD.OB d)
∆AOD ~ ∆BOC
Bài 12 : Cho tam giác ABC cĩ 3 gĩc nhọn, các đường cao AD, BE cắt nhau tại H.
HA.HD
c) Gọi F là giao điểm của CH và AB Cm AF.AB = AH.AD d) Cm
1
= + +
CF
HF BE
HE
AD
HD
Bài 13 : Cho gĩc nhọn xAy Trên cạnh Ax lấy 2 điểm B, C sao cho AB = 4cm, AC = 6cm
Trên cạnh Ay, lấy 2 điểm D, E sao cho AD = 2cm, AE = 12cm Tia phân giác của gĩc xAy cắt BD tại I và cắt CE tại K
a) So sánh
AB
AD
và
AC
AE
b) So sánh ·ACE và ·ADB c) Cm AI.KE = AK.IB
Bài 14 :Cho tam giác ABC cĩ AB = 21cm, AC = 28cm, BC = 35cm.
a) Cm ∆ABC vuơng b) Tính độ dài đường cao AH của ∆ABC
c) Cm AH2 = HB.HC
d) Trên cạnh AB và AC lấy các điểm M, N sao cho 3CM = CA và 3AN = AB Cm gĩc CMN bằng gĩc HNA
Bài 15 : Cho hình bình hành ABCD cĩ đường chéo AC > DB Vẽ AM ⊥ BC tại M, AN ⊥
CD tại N
a) Cm ∆ABM ~ ∆AND b) So sánh N ˆ A M và A ˆ B C
e) Cho AM = 16cm, AN = 20cm, chu vi hình bình hành bằng 108cm Tính diện tích hình bình hành ABCD
Bài 16: Cho ∆ABC vuơng tại A cĩ AB = 6cm, AC = 8cm, đường cao AH
a) Tính BC và AH
Trang 7b) Kẻ HE⊥AB tại E, HF⊥AC tại F Cm ∆AEH ~ ∆AHB.
c) Cm AH2 = AF.AC
d) Cm ∆ABC ~ ∆AFE
e) Tớnh diện tớch tứ giỏc BCFE
Bài 17: Cho ∆ABC vuụng tại A Đường phõn giỏc gúc C cắt cạnh AB tại I Gọi E, F lần lượt
là hỡnh chiếu của A, B tờn đường thẳng CI = 6cm, AC = 8cm, đường cao AH
a) Cm CE.CB = CF.CA
b) Cm
IF
IE CF
CE =
c) Kẻ đường cao AD của ∆ABC Cm ∆ABC ~ ∆DBA
d) Cm AC2 = CD.CB
2
AB
AC DB
DC
= Bài 18 Cho ∆ABC; O là trung điểm cạnh BC
Góc ảxoy = 600; cạnh ox cắt AB ở M; oy cắt AC ở N
a) Chứng minh: ∆OBM P ∆NCO
b) Chứng minh : ∆OBM P ∆NOM
c) Chứng minh : MO và NO là phân giác của ãBMN và ãCNM
Chứng minh : BM CN = OB2
Bài 19 Gọi AC là đờng chéo lớn của hbh ABCD, E, F theo thứ tự là hình chiếu của C trên
AB, và AD
a)Gọi H là hình chiếu của D trên AC CMR:
AD AF = AC AH; b)CMR: AD.AF + AB AE = AC2
Bài Cho tam giaực ABC vuoõng taùi A, ủửụứng cao AH Chửựng minh:
a AH2 = HB HC b AB2 = BH BC
c AC2 = CH CB d AH BC = AB AC
e BC2 = AC2 + AB2
20 Tửự giaực ABCD coự hai ủửụứng cheựo AC vaứ BD caột nhau taùi O, ABÂD = ACÂD Goùi E laứ giao ủieồm cuỷa cuỷa hai ủửụứng thaỳng AD vaứ BC Chửựng minh:
a ∆AOB vaứ ∆DOC ủoàng daùng
b ∆AOD vaứ ∆BOC ủoàng daùng
c EA ED = EB EC
21 Cho ∆ABC ủeàu Trung tuyeỏn AM Veừ ủửụứng cao MH cuỷa ∆AMC
d Chửựng minh: ∆ABM vaứ ∆AMH ủoàng daùng
e Goùi E, F laàn lửụùt laứ trung ủieồm cuỷa BM, MH Chửựng minh: AB AF = AM AE
Trang 8f Chửựng minh: BH ⊥ AF.
g Chửựng minh: AE EM = BH HC
22 Cho ∆ABC vuoõng taùi A, coự ủửụứng cao AH Tửứ H veừ HI ⊥ AB taùi I vaứ HJ ⊥ AC taùi J Goùi AM laứ trung tuyeỏn cuỷa ∆ABC
h Bieỏt AB = 30cm, AC = 40cm Tớnh BC, AH, BI
i Chửựng minh: IJ = AH vaứ AM ⊥ IJ
j Chửựng minh: AB AI = AC AJ; ∆AIJ vaứ ∆ ACB ủoàng daùng
k Chửựng minh: ∆ABJ vaứ ∆ ACI ủoàng daùng; ∆BIJ vaứ ∆IHC ủoàng daùng
Bài 23: Cho tam giỏc ABC ( ˆA 90 = 0), AB = 12 cm, AC = 16cm Tia phõn giỏc của gúc A cắt
BC tại D
a) Tớnh tỉ số diệntớch của hai tam giỏc ABD và ACD
b) Tớnh độ dài cạnh BC của tam giỏc
c) Tớnh độ dài cỏc đoạn thắng BD và CD
d) Tớnh chiều cao AH của tam giỏc
Bài 24 Cho tam giác ABC Một đờng thẳng song song với BCcắt cạnh AB ở D và cắt cạnh
AC ở E sao cho DC2= BC DE
a) So sánh các tam giác DEC và DBC b)Suy ra cách dựng DE
c)Chứng minh các hệ thức AD2= AC AE; AC2= AB AD