Ôn tập cuối năm Giải tích 12

III: KHOẢNG ĐƠN ĐIỆU VÀ CỰC TRỊ .1 Tìm các khoảng đơn điệu và cực trị của các hàm số... Viết các pttt đó... b Tìm các điểm trên đồ thị 1 mà toạ độ chúng là số nguyên a Khảo sát... 51 a T

TỔNG ÔN TẬP

TIẾT : 88 – 89 – 90 – 91 – 92 – 93 – 94 – 95 – 96 – 97 – 98 – 99 – 100 – 101 – 102 – 103 – 104 – 105 – 106

I : ĐẠO HÀM

1) Cho P(x) = 1 x & ( ) x2 .

4

ln9 x

Q 3

ln 3 )

1 (

3

ln 2

9

ln )

1 (

⇒ Q

2) Hàm số P(x) = ax 2 + bx + 4 lấy giá trị dương ∀ x Tìm tất cả các giá trị nguyên của a và b sao cho P’(1) = 4

P’(x) = 2ax + b ⇒ P’(1) = 2a + b = 4 ⇔ b = 4 − 2a (1)

3) Cho hàm số y = x.sinx Cmr : x.y’’ − 2 (y’ − sinx) + x.y = 0

y’ = sinx + x.cosx ; y’’ = 2.cosx − x.sinx

P(x) = ax2 + bx + 4 > 0 ∀x ⇒ a > 0 & b2 − 16a < 0 (2)

Từ (1) và (2) ⇒ a2 − 8a + 4 < 0 ⇔ 4 − 2 < a < 4 + 2

Mà a∈ Z ⇒ a = 1,2,3,4,5,6,7 ⇒ b = 2,0,−2,−4,−6,−8,−10

⇒ x.y’’ − 2 (y’ − sinx) + x.y

= x.(2.cosx − x.sinx) − 2 (sinx + x.cosx − sinx) + x.(x.sinx)

= 2 x cosx − x2 sinx − 2 x cosx + x2 sinx = 0 ⇒ đpcm

II : TIẾP TUYẾN

1) Cho hàm số y = x 2 Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị biết : a) Tiếp điểm là (1 ; 1)

b) Tung độ của tiếp điểm bằng 4

c) Tiếp tuyến song song với y = − x + 2 d) Tiếp tuyến vuông góc với 2 y = x + 2

e) Tiếp tuyến đi qua điểm (0 ; −1)

y = x 2 ⇒ y’ = 2x

a) Tại (1 ; 1) pttt (∆) : y − y1 = y’(x1) ( x − x1) y’ (1) = 2.1 = 2 ⇒ (∆) : y − 1 = 2 (x − 1) ⇔ y = 2x − 1

b) Tung độ tiếp điểm bằng 4 ⇒ 4 = x2 ⇔ x = ± 2 Tại (−2 ; 4) ⇒ y’(−2) = −4 ⇒ (∆) : y − 4 = − 4 (x + 2) ⇔ y = −4x−4

Tại (2 ; 4) ⇒ y’(2) = 4 ⇒ (∆) : y − 4 = 4 (x − 2) ⇔ y = 4x − 4

( ) ( )

: 2

k 1

x

1 x 2 y

: 2

k 1

x 1

x x

2 k

1 kx

x

1

1

2 1 1

1

2 1

c) (∆) // y = − x + 2 ⇒ (∆) : y’(x1) = − 1 ⇔ 2x1 = −1 ⇔ x1 = −1/2

y1 = ¼ ⇒ (∆) : y − ¼ = − (x + ½ ) ⇔ y = − x − ¼

d) (∆) ⊥ y = ½ x + 1 ⇒ y’(x1) = −2 ⇔ 2x1 = −2 ⇔ x1 = −1 ; y1 = 1 ⇒ (∆) : y − 1 = − 2 (x + 1) ⇔ y = − 2x − 1

e) (∆) đi qua (0 ; −1)

(∆) đi qua (0 ; −1) có hệ số góc k là (∆) : y + 1 = k (x − 0)

(∆) là tiếp tuyến ⇒ k = y’(x1) trong đó x1 là toạ độ tiếp điểm

⇔

2) Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị y = tại điểm có hoành

độ bằng π∫

π

−

6 6

dx cosx

/ /

.

24

2

4

2'

x x

x y

π π

dx x x

24

2

x x

13

1

Δpttt

Vậy

6 / 6 /sin π−π

III: KHOẢNG ĐƠN ĐIỆU VÀ CỰC TRỊ

1) Tìm các khoảng đơn điệu và cực trị của các hàm số

4 x

2

=+

++

−

x

x

x ⇔ x =1± 50

0 (−1)/8

y −(+1) / 8 0

Lập bảng xét dấu y’

BBT :

x −∞ π/3 π 3π/2 +∞

y’ − + 0 −

22

y

− ∞ − ∞

2 ) y = cos 3x − 15 cos x + 8 trên đoạn







2

3

3 ;

y’ = − 3 sin 3x + 15 sin x = 0 ⇔ 5 sinx = 3 sinx − 4 sin3x ⇔ 2 sinx (1 + 2 sin2 x) = 0 ⇔ sin x = 0 ⇒ x = π

2) y = cos 3x − 15 cos x + 8 trên đoạn







2

3

3 ;

y’ = − 3 sin 3x + 15 sin x = 0

⇔ 5 sinx = 3 sinx − 4 sin3x

⇔ 2 sinx (1 + 2 sin2 x) = 0 ⇔ sin x = 0 ⇒ x = π

BBT : x −∞ π/3 π 3π/2 +∞

y’ − + 0 −

22

y

− ∞ − ∞

b) y = x2 + 4 trên đoạn [ − 1 ; 3 ]

4

'

2 +

=

x

x

4

'

+

x

x y

BBT :

x −∞ −1 0 3 +∞

y’ − − 0 +

y

2

⇒ min y = 2 khi x = 0 ; max y = 13 khi x = 3

V : KHẢO SÁT HÀM SỐ

1) Khảo sát hàm số y = x 3 − 3x + 4 (1) Từ điểm M (0 ; 4) kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị (1) Viết các pttt đó

D = R

y’’ = 6x − 6 = 0

; y’ = 3x2 − 6x = 0 ⇔ x = 0 ; x = 2

⇔ x = 1 ; qua đó y’’ đổi dấu ⇒ y có điểm uốn (1;2)

+∞

=

−∞

=

+∞

→

−∞

lim

x x

− 1 O 2 x

BBT x −∞ 0 1 2 +∞

y’ + 0 − − 0 +

4 +∞

y 2

−∞ 0

Từ M (0 ; 4) ∈ (1) kẻ tiếp tuyến

Đường thẳng qua M có hệ số góc k : (∆) : y = kx + 4

(∆) là tiếp tuyến với (1) tại x0 ⇔ k = y’(x0) = 3x02 − 6x0

9 y

: 4

9 k

2

3 x

4 y

: 0

k 0

x

2 0

1 0

Vậy qua M kẻ được 2 tiếp tuyến với (1)

1 +∞

b) Chứng minh : Tâm I (1 ; 1) là tâm đối xứng của (1)

Công thức đổi trục

y

1X

x

thay vô

1

1+

−

=

x

x y

( ) ( 1 ) 1

1

1 1

− +

+

+

= +

⇔

X

X Y

Xét

0 12

±Xét dấu y’’

y 5 5

−∞ 1 − ∞

20

4 + 250

Điểm cắt trục toạ độ : y = 0 ⇒ x = ±

1 5

x

+ +

m

y = −

• 2 − m/4 > 5 ⇔ m < − 12 ⇒ ptr vô nghiệm

• 2 − m/4 = 5 ⇔ m = − 12 ⇒ ptr có 2 kép x = ± 2

4) Cho hàm số y = ( )1

1 x

1 x

x 2

+

++

a) Khảo sát hàm số (1)

b) Tìm các điểm trên đồ thị (1) mà toạ độ chúng là số nguyên a) Khảo sát

D = R\{−1} ; y’ =

(x 1) 0 x 0; x 2

x 2

+

1x

:TCĐy

x y

TCX x

⇔ x + 1 = ± 1

x = 0 ⇒ y = 1 Vậy có 2 điểm phải tìm

(−2 ; − 3) ; (0 ; 1)

dx 29)

C x

8

cos 2

1

II : TÍCH PHAÂN

34) = ∫

1 0

2x dx e

x

35) = ∫

e 1

x dv

dx/x du

.dx e

dv

dx du

0

2

1 x.e

2

1 I

1 0

2x

2

e 4

1 2

1

4

1 lnx

x 4

1

1

4 4

4

x 4

1 4

e

−

= = 163 e4 +161

36) = ∫ − −

4 0

2 x 6 dx x

2 6

x x

3 x

V 2 x

với 6

x

x 6

0

2 x 6 dx x x 6 dx x

I

4

3

2 3

3

0

2 3

2 3

: t 2

0 : x

dt t cos

2 dx

tgt 2

= /4

0

4 / 0

4 / 0

2

1 dt

2

1 dt

4 t tg 4 t cos

2 I

40) Cho P(x) = a.sin2x − b.cos2x

1 3

1 2

1

dx x

III : DIỆN TÍCH VÀ THỂ TÍCH

a) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi :

3

0

2 3

2

3x3

x

x + −

=

47) Tìm thể tích của vật thể tròn xoay , sinh ra bởi hình phẳng : a) y = 5x − x 2 và y = 0 quay quanh trục Ox

b) y 2 = 4x và y = x quay quanh trục Ox hoặc Oy

b) Tính thể tích vật thể tròn xoay :

a) Tính V ? 5x − x2 = 0 ⇔ x = 0 ; x = 5 = ∫5 ( − )

0

2

2 dx x

2 10x x dx 25x

π

5

0

5 4

3

5

x 2

5x 3

2

1 y y

V π = ∫4 −

0

2 dx x

4x

π = ∫4 ( − )

0

2 dx x

4x π

4

0

3 2

3

x 2x

.dy

y 4

y

π = ∫4  2 − 4 .dy

16

yy

80

y 3

§ 3 : ÑÁI SOÂ TOƠ HÔÏP

48) Vôùi caùc chöõ soâ 1,2,3,4,5 coù theơ laôp ñöôïc bao nhieđu :

a) Soâ chaün coù 3 chöõ soâ khaùc nhau

b) Soâ coù 3 chöõ soâ khaùc nhau vaø khođng lôùn hôn 345 ?

c) Soâ chaün coù 3 chöõ soâ khaùc nhau vaø khođng lôùn hôn 345 ?

a) Soâ chaün coù 3 chöõ soâ khaùc nhau

Soâ abc vôùi c ñöôïc chóïn { 2 , 4} ⇒ coù 2 caùch

a ñöôïc chón {1,2,3,4,5} \ {c} ⇒ coù 4 caùch

b ñöôïc chón {1,2,3,4,5} \{a , c} ⇒ coù 3 caùch Vaôy caùc soâ phại tìm coù : 2.4.3 = 24 soâ

b) Soâ abc ≤ 345 1 bc

soẫ 12 3

4 coù

bc

Dáng coù 4.3 = 12 soâ ; c chón töø :{1,2,3,4,5} \ {b,3} ; coù 3 caùch ≤ 345 ⇒ b chón töø : {1,2,4} : 3 caùch ⇒ coù 9 soâ

c) Số abc chẵn ≤ 345

2 b

1

4 b

1 4 b

2

2 b

3 4 b 3

Xét các trường hợp có thể xảy ra :

b được chọn từ : {3 , 4, 5} ⇒ có 3 cách

b chọn từ : {2,3,5} ⇒ có 3 cách

b chọn từ : {1,3,5} ⇒ có 3 cách

b chọn từ : {1,4} ⇒ 2 cách

b chọn từ : {1,2} ⇒ có 2cách Dạng

Vậy có : 3 + 3 + 3 + 2 + 2 = 13 số phải tìm

51) a) Tìm 3 hệ số đầu trong sự khai triển nhị thức Nưu tơn

(x 0)

x 2

1 x

n 4

1 2

b) Xác định số mũ n , biết rằng 3 hệ số nói trên lập thành

một cấp số cộng theo thứ tự đó

a) Tìm 3 hệ số đầu

2

2

1 2

1

1 4 1 1

2

1

C x

1 1

.

2 4 1 2

1

0 4

1 2

1 1

2

− +

=

n

n n

08

BÀI TỔNG HỢP

Bài 2 : Cho hàm số y =

b) Xác định m để hàm số có 2 cực trị có hoành độ dương

c) Khảo sát khi m = 2 (C2)

d) Viết phương trình tiếp tuyến với (C2) đi qua A(4/9 ; 4/3)

e) Tính thể tích vật thể tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi (C2) ; y = 0 ; x = 0 ; x = 1 quay quanh trục Ox

−

=

−+

−

0

23

1

01

2

3

2

x x

y

x x

1

y x

3

1

x 3 − m x 2 + (2m − 1) x − m + 2 (C m ) a) Tìm các điểm cố định của họ (C m )

0 '

S P

0

0

1 2

m m

1

m m