India MO 2011

Chứng minh rằng tam giác ABC đều.. Tính tổng các số tự nhiên không là "trung thành"?. Chứng minh rằng luôn có 4 đỉnh trong đó tạo thành một hình thang.. 5 Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường

INDIA MO 2011

——————————————————————————————–

1 Gọi D; E; F là các điểm thuộc các cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC sao cho:

BD= CE = AF; [BDF= [CED= dAFE

Chứng minh rằng tam giác ABC đều

2 Ta gọi số tự nhiên n là "trung thành", nếu và chỉ nếu:

n= a + b + c; a; b; c ∈ N, a < b < c; a | b; b | c

? Chứng minh rằng trừ ra một số hữu hạn còn đâu mọi số tự nhiên đều là "trung thành"

? Tính tổng các số tự nhiên không là "trung thành"

3 Cho P(x) = ∑nk=1akxk; Q(x) = ∑nk=1bkxk∈ Z[x] thoả mãn:

an− bnlà số nguyên tố và anb0− a0bn6= 0; an−1= bn−1 Giả sử ∃ r ∈ Q thoả mãn P(r) = Q(r) = 0, chứng minh rằng r ∈ Z

4 Chọn ra tùy ý 5 trong số 9 đỉnh của một đa giác đều 9 cạnh.

Chứng minh rằng luôn có 4 đỉnh trong đó tạo thành một hình thang

5 Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (Γ) Gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm của các cung

AB, BC,CD, AD của (Γ)

Giả sử AC · BD = EG · FH, chứng minh rằng AC, BD, EG, FH đồng quy

6 Tìm hàm f : R → R thoả mãn :

f(x − y) f (x + y) = ( f (x) + f (y))2− 4x2f(y)