Chứng minh rằng AM.PM = BM2.. Sau đó người A nói một số nguyên không âm bất kỳ thì người B thay một số hạng của dãy số bằng số mà người A đã nói.. Quá trình này cứ lặp lại liên tục cho đ
Trang 1JAPAN MO 2011
——————————————————————————————–
1 Cho tam giác ABC nhọn có H là trực tâm và M là trung điểm của BC Hạ HP vuông góc với AM.
Chứng minh rằng AM.PM = BM2
2 Tìm tất cả bộ năm số nguyên dương (a, n, p, q, r) sao cho an− 1 = (ap− 1)(aq− 1)(ar− 1)
3 Hai người A và B cùng chơi một trò chơi Đầu tiên, người A viết một dãy số nguyên không âm
a1, a2, , anlên bảng Sau đó người A nói một số nguyên không âm bất kỳ thì người B thay một
số hạng của dãy số bằng số mà người A đã nói Quá trình này cứ lặp lại liên tục cho đến khi dãy
số cuối cùng là dãy tăng theo nghĩa ai≤ aj khi và chỉ khi i ≤ j Hỏi người B có kết thúc cuộc chơi hay không?
4 Tìm tất cả các hàm số f : R → R thỏa
f( f (x) − f (y)) = f ( f (x)) − 2x2f(y) + f (y2), ∀x, y ∈ R
5 Cho 4 điểm trên mặt phẳng Giả sử rằng các tam giác có đỉnh là đỉnh của 4 điểm trên có cùng
bán kính đường tròn nội tiếp Chứng minh rằng các tam giác trên bằng nhau