Đề thi thu ĐH 2011

Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm A trên các cạnh SB và SC.. Viết phương trình mặt phẳng P qua A, cắt các trục tọa độ lần lượt tại I, J, K mà A là trực tâm của tam giác

Môn Thi: Toán – Khối A

Thời gian: 180 phút, không kể thời gian giao đề

I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)

Câu I (2 điểm) Cho hàm số y= − +x3 3x2−2 (C)

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)

2) Tìm trên đường thẳng (d): y = 2 các điểm mà từ đó có thể kẻ được ba tiếp tuyến đến

đồ thị (C)

Câu II (2 điểm)

1) Giải phương trình: 2x2+11x + +15 x2+2x − ≥ +3 x 6

2) Giải phương trình: 2 2 cos2x sin2 cosx x 3 4sin x 0

+  + ÷−  + ÷=

Câu III (1 điểm) Tính tích phân: I 2 4x 4x 6x 6x dx

0 (sin cos )(sin cos )

π

Câu IV (2 điểm) Cho hình chóp S.ABC, đáy ABC là tam giác vuông tại B có AB = a,

BC = a 3, SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), SA = 2a Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm A trên các cạnh SB và SC Tính thể tích của khối chóp A.BCNM

Câu V (1 điểm) Cho a, b, c, d là các số dương Chứng minh rằng:

a4 b4 c4 abcd b4 c4 d4 abcd c4 d4 a4 abcd d4 a4 b4 abcd

II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm)

A Theo chương trình chuẩn.

Câu VI.a (2 điểm)

1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, gọi A, B là các giao điểm của đường thẳng (d): 2x – y – 5 = 0 và đường tròn (C’):x2+y2 20 50 0− x+ = Hãy viết phương trình đường tròn (C) đi qua ba điểm A, B, C với C(1; 1) 2) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A(4; 5; 6) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, cắt các trục tọa độ lần lượt tại I, J, K mà A là trực tâm của tam giác IJK

Câu VII.a (1 điểm) Chứng minh rằng nếu a bi (c di)+ = + n thì a2+b2=(c2+ d2)n

B Theo chương trình nâng cao

Câu VI.b (2 điểm)

1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có diện tích bằng 32, A(2; –3), B(3; –2), trọng tâm của ∆ABC nằm trên đường thẳng (d): 3x – y –8 = 0 Viết phương trình đường tròn đi qua 3 điểm A, B, C

2) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(4;5;6); B(0;0;1); C(0;2;0); D(3;0;0) Chứng minh các đường thẳng AB và CD chéo nhau Viết phương trình đường thẳng (D) vuông góc với mặt phẳng Oxy và cắt các đường thẳng AB, CD

Câu VII.b (1 điểm) Giải hệ phương trình:

x

y

2 2

2

log ( ) log (2 ) 1 log ( 3 ) log ( 1) log (4 2 2 4) log 1

 ÷



Môn Thi: Toán – Khối B

Thời gian: 180 phút, không kể thời gian giao đề

I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)

Câu I (2 điểm) Cho hàm số y = − x3 + 3 mx2 + ( m − 1 ) x − 2

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số với m = 1.

2) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua hai điểm cực đại, cực

tiểu của đồ thị hàm số vuông góc với đường thẳng x + 2y – 5 = 0

Câu II (2 điểm)

1) Giải phương trình: 2x+ + 3 x+ = 1 3x+ 2 2x2 + 5x+ − 3 16

2) Giải phương trình: 2 2 cos2x sin2 cosx x 3 4sin x 0

+  + ÷−  + ÷=

Câu III (1 điểm) Tính tích phân:

∫2 +

0 2 sin 2

2 sin

π

dx x

Câu IV (1 điểm) Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông

AB = AC = a, AA’ = a 2 Gọi M, N lần lượt là trung điểm của đoạn AA’ và BC’ Chứng minh MN là đường vuông góc chung của các đường thẳng AA’ và BC’ Tính thể tích khối chóp MA’BC’

Câu V (1 điểm) Cho a, b, c, d là các số dương Chứng minh rằng:

a4 b4 c4 abcd b4 c4 d4 abcd c4 d4 a4 abcd d4 a4 b4 abcd

II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm)

A Theo chương trình chuẩn.

Câu VI.a (2 điểm)

1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, gọi A, B là các giao điểm của đường thẳng (d): 2x – y – 5 = 0 và đường tròn (C’):x2+y2 20 50 0− x+ = Hãy viết phương trình đường tròn (C) đi qua ba điểm A, B, C với C(1; 1) 2) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, hãy lập phương trình mặt phẳng ( ) α đi qua giao tuyến của hai mặt phẳng (P): 2x – y + 3z + 1 = 0 và (Q) : x + y – z + 5 = 0, đồng thời vuông góc với mặt phẳng (R) : 3x – y + 1 = 0

Câu VII.a (1 điểm) Tìm nghiệm phức của phương trình: 2(1 + i)z2 – 4(2 – i)z – 5 – 3i = 0

B Theo chương trình nâng cao

Câu VI.b (2 điểm)

1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có diện tích bằng 32, A(2; –3), B(3; –2), trọng tâm của ∆ABC nằm trên đường thẳng (d): 3x – y –8 = 0 Viết phương trình đường tròn đi qua 3 điểm A, B, C

2) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(4;5;6); B(0;0;1); C(0;2;0); D(3;0;0) Chứng minh các đường thẳng AB và CD chéo nhau Viết phương trình đường thẳng (D) vuông góc với mặt phẳng Oxy và cắt các đường thẳng AB, CD

Câu VII.b (1 điểm) Giải hệ phương trình:

x

y

2 2

2

log ( ) log (2 ) 1 log ( 3 ) log ( 1) log (4 2 2 4) log 1



 

 ÷



Môn Thi: Toán – Khối D

Thời gian: 180 phút, không kể thời gian giao đề

Câu I (2 điểm) Cho hàm số y= − +x3 3x2−2 (C)

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)

2) Tìm m để phương trình : x2 x − 3 x2 = log2m có 4 nghiệm phân biệt

Câu II (2 điểm)

1) Giải phương trình: 2x+ + 3 x+ = 1 3x+ 2 2x2 + 5x+ − 3 16

2) Giải phương trình: 









 +

=











 −

4 sin 2 sin 4

3

Câu III (1 điểm) Tính tích phân: ∫2 +

1 x 1 x3

dx

Câu IV (1 điểm) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B, ACB = 60 °, BC = a

và cạnh SA vuông góc với đáy, SA = a 3 Gọi M là trung điểm cạnh SB Chứng minh hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) vuông góc với nhau và tính thể tích khối tứ diện MABC

Câu V (1 điểm) Tìm m để bất phương trình x2 − 3 x + 2 ≥ m − x2 − 3 x + 4 nghiệm đúng với mọi x ≥ 3

Câu VI (2 điểm)

1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): ( x + 1 ) (2 + y − 3 )2 = 16 và điểm M(2;4) Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và cắt đường tròn (C) tại hai điểm A và B sao cho M là trung điểm của đoạn thẳng AB Tìm tọa độ hai điểm A, B ? 2) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng

1

2 1

1 2

:

1

+

=

−

−

x d

và









=

+

=

+

−

= 3 1

2 1 :

2

z

t y

t x

d Hãy viết phương trình đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng

(P): 7x + y – 4z = 0 và cắt cả hai đường thẳng d1 và d2

Câu VII (1 điểm) Tìm các số thực b và c để phương trình z2 + bz + c = 0 nhận số phức

z = 1 + i làm một nghiệm