Hệ điều khiển sai phân và các định tính

-ĐÀM THỊ THU TRANG HỆ ĐIỀU KHIỂN SAI PHÂN VÀ CÁC ĐỊNH TÍNH Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS... Mục lụcChương 1 Tính

-ĐÀM THỊ THU TRANG

HỆ ĐIỀU KHIỂN SAI PHÂN VÀ CÁC ĐỊNH TÍNH

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

HÀ NỘI, 2014

-ĐÀM THỊ THU TRANG

HỆ ĐIỀU KHIỂN SAI PHÂN VÀ CÁC ĐỊNH TÍNH

Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH

Mã số: 60.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

PGS TS NGUYỄN SINH BẢY

HÀ NỘI, 2014

Mục lục

Chương 1 Tính điều khiển được và tính quan sát được 5

1.1 Phương trình sai phân 5

1.2 Hệ điều khiển 7

1.2.1 Hệ điều khiển dạng tổng quát 7

1.2.2 Hệ điều khiển dạng tuyến tính 7

1.2.3 Tính điều khiển được hoàn toàn của hệ tuyến tính autonom 8 1.3 Hệ quan sát 20

1.3.1 Giới thiệu bài toán 20

1.3.2 Liên hệ giữa tính điều khiển được và tính quan sát được 21

1.3.3 Tính quan sát được hoàn toàn của hệ tuyến tính autonom 21

1.3.4 Ước lượng trạng thái hệ thống 23

1.3.5 Khả năng tách tập phổ 25

Chương 2 Tính ổn định và tính ổn định hóa được 29 2.1 Tính ổn định 29

2.1.1 Các định nghĩa về ổn định 29

2.1.2 Tính ổn định của hệ thuần nhất autonom 30

2.1.3 Phương pháp phổ để nghiên cứu tính ổn định 32

2.1.4 Hệ tuyến tính thuần nhất không autonom 33

2.1.5 Phương pháp hàm Lyapunov 34

2.1.6 Mở rộng định lý Lyapunov 39

2.2 Tính ổn định hóa được 45

2.2.1 Khái niệm ổn định hoá 45 2.2.2 Liên hệ giữa tính điều khiển được và tính ổn định hóa được 45

Lời nói đầu

Các hệ thống hoạt động trong quá trình tăng dần của biến thời gian liên tụcthường được mô tả bằng các phương trình vi phân, khi biến thời gian là rời rạc thìđược mô tả qua các phương trình sai phân (xem [1, 2, 5, 6, 9,12]) Các hệ thống

có bộ phận tiếp nhận sự tác động có ý thức của chủ thể hệ thống vì một mục đíchxác định nào đó được gọi là các hệ điều khiển (xem [2, 6, 7, 8, 9]) Trong hơn mộtthế kỷ đã qua, lý thuyết điều khiển đã đóng một vai trò quan trọng trong nhiềulĩnh vực Khoa học, Công nghệ, Kinh tế, Chính trị - Xã hội, Môi trường, Trongluận văn này chúng tôi tập trung nghiên cứu các hệ điều khiển rời rạc, nghĩa làcác hệ được mô tả qua các phương trình sai phân (xem [3, 4, 9, 10]) Phương trìnhtổng quát của các hệ điều khiển rời rạc không có chậm được cho bởi

hai chương:

Chương một trình bày một số kiến thức cơ sở về hệ điều khiển và hệ quan sát,điều kiện cần và đủ để hệ sai phân autonom là điều khiển được hoàn toàn, quan sátđược hoàn toàn, mối liên hệ giữa tính điều khiển được hoàn toàn và quan sát đượchoàn toàn Chương hai trình bày các khái niệm cơ bản về ổn định, các phươngpháp nghiên cứu tính ổn định của hệ phương trình sai phân Chương này cũngtrình bày kết quả về định lý Lyapunov mở rộng cho hệ autonom và kết quả về tính

ổn định tiệm cận của hệ sai phân dạng Volterra

Luận văn này được thực hiện tại trường Đại học Khoa học Tư nhiên, Đại họcQuốc gia Hà Nội, dưới sự hướng dẫn của PGS TS Nguyễn Sinh Bảy Nhân dịpnày tác giả xin bày tỏ sự kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc tới thầy về sự địnhhướng đề tài, sự chỉ bảo, kiểm tra nghiêm khắc trong việc thực hiện các nội dungcủa luận văn Tác giả xin tỏ lòng biết ơn tới các thầy, cô khoa Toán - Cơ - Tin,trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội về sự quan tâm vànhững kiến thức quý báu mà tác giả nhận được sau thời gian học tập tại trường.Xin cám ơn khoa Sau Đại học về những điều kiện thuận lợi đã đem lại cho tác giảtrong quá trình học tập và làm các thủ tục bảo vệ luận văn Cám ơn bạn bè tronglớp, trong Semina về những ý kiến trao đổi, đóng góp Tác giả xin cám ơn Banlãnh đạo trường Đại học Thương mại, các thầy cô trong khoa Hệ thống thông tinKinh tế và nhất là trong bộ môn Toán Kinh tế về sự giúp đỡ để tác giả có điềukiện tham gia khoá học một cách thuận lợi Cuối cùng, tác giả muốn nói lời cám

ơn đến gia đình, người thân, chỗ dựa tinh thần để tác giả có thể vượt qua khókhăn hoàn thành khoá học và hoàn thành bản luận văn này

Hà Nội, ngày 5 tháng 5 năm 2014

Đàm Thị Thu Trang

Bảng các ký hiệu, chữ viết tắt

R - tập các số thực

R+ - tập các số thực không âm

X - không gian Banach tổng quát

Rn - không gian véc tơ n-chiều

σ(A) - tập phổ của A (ma trận vuông)

λmax(A) - bán kính phổ của A

rank(A) - hạng của A

range(A) - không gian sinh bởi A

|A| hoặc det(A) - định thức của ma trận vuông A

(A, B) - một cặp ma trận điều khiển

Φ(k, k) - ma trận cơ bản của x(k + 1) = A(k)x(k)

A - tập hút

GC - điều khiển được hoàn toàn

GR - đạt được hoàn toàn

GNC - điều khiển được hoàn toàn về 0

Chương 1

Tính điều khiển được và tính quan sát được

Các hệ điều khiển rời rạc là những phương trình sai phân trong đó có một bộphận nhiễu do con người đưa vào để qua đó tác động có ý thức lên hệ thống Vìvậy, trước khi tìm hiểu loại phương trình đặc biệt này ta sẽ nhắc lại một cách sơlược khái niệm phương trình sai phân

Xét đẳng thức:

x(k + 1) = f (k, x(k)), (1.0)

trong đó

f :Z+×Rn −→Rn.

Ta nói đây là một phương trình sai phân cấp một trong không gian Rn Với tuỳ ý

(k0, x0) ∈Z+×Rn, ta ký hiệu nghiệm thỏa mãn điều kiện ban đầu này làx(k0, x0, k).

Điều đó có nghĩa rằng nghiệm này phải thỏa mãn đẳng thức x(k0, x0) = x0

Nghiệm x(k0, x0, k) được tính bằng công thức truy hồi sau:

x(k0+ 1) = f (k0, x(k0)) = f (k0, x0),

x(k0+ 2) = f (k0+ 1, x(k0+ 1)) = f (k0+ 1, f (k0, x0)),

x(k0+ 3) = f (k0+ 2, x(k0+ 2)) = f (k0+ 2, f (k0+ 1, f (k0, x0))),

· · · x(k0+ i) = f (k0+ i − 1, x(k0+ i − 1))

= f (k 0 + i − 1, f (k 0 + i − 2, f (k 0 + i − 3, f (· · · , f (k 0 , x 0 ) · · · )))).

(Đẳng thức cuối cói − 1 lớp ngoặc) Đây là một công thức tường minh nhưng biểuthức sẽ rất cồng kềnh nếuf (.)phức tạp và k lớn Nếu phương trình là autonom thìcông thức này sẽ giản tiện hơn Trong trường hợp đó phương trình sai phân có dạng:

x(k + 1) = f (x(k)), k ∈Z+, (1.1)

ở đây, f :Rn −→Rn , k ∈Z+

Với điều kiện ban đầu (k0, x0), trong đó k0 ∈ Z+ và x0 ∈ Rn Nghiệm x(k0, x0, k)

(hoặc ký hiệu đơn giản là x(k)) của (1.1) thỏa mãn

x(k 0 , x 0 ) := x(k 0 ) = x 0 (1.2)

sẽ được tìm như sau:

x(k0+ 1) = f (x(k0)) = f (x0), x(k0+ 2) = f (x(k0+ 1)) = f [f (x0)] = f2(x0), x(k0+ 3) = f3(x0),

· · · x(k 0 + i) = fi(x 0 ).

Phương trình (1.0) hoặc (1.1) mô tả các quá trình phụ thuộc vào thời gian trênlưới thời giank ∈Z+ Người ta nói quá trình đó là một hệ động lực rời rạc hay một

hệ thống rời rạc, x(k) gọi là trạng thái của hệ thống tại thời điểm k ∈ Z+ Khônggian Rn chứa x(k) gọi là không gian trạng thái

Định nghĩa 1.1 Điểm x∗ ∈Rn được gọi là một trạng thái cân bằng (hoặc điểmcân bằng) của (1.1) nếu

x∗= f (x∗).

Với ánh xạ f :Rn −→Rn thì x∗ còn gọi là một điểm bất động

Chú ý 1.1 • Nếu x∗ là một điểm cân bằng của (1.1) thì

f : D ⊂Za ×X−→X.

1.2 Hệ điều khiển

1.2.1 Hệ điều khiển dạng tổng quát

Xét hệ thống được mô tả bởi phương trình

x(k + 1) = f (k, x(k), u(k)), (1.3)trong đó k ∈Z+, x(k) ∈ Rn, u(k) ∈ Ω ⊆Rm, f : Z+×Rn× Ω → Rn, x(k) là trạngthái (state) của hệ thống tại thời điểmk,u(k) là hàm điều khiển (control function).Nếu Ω 6=Rm thì hệ điều khiển là bị hạn chế

Nếu Ω =Rm thì hệ điều khiển là không bị hạn chế

Hàm điều khiển được xây dựng như một hàm của trạng thái

được xác định bởi x(i) với i = k 0 , k 0 + 1, , k − 1

Trong trường hợp hệ không dừng (khi A, B là các ma trận phụ thuộc k):

Φ(k, i) được gọi là ma trận cơ bản của hệ thuần nhất x(k + 1) = A(k)x(k).

Hàm điều khiển dạng phi tuyến

Xét hệ điều khiển

x(k + 1) = f (k, x(k), x(k − h 1 ), · · · , x(k − h r )) + Bu(k). (1.5)Hàm u(k) = φ[x(k)] gọi là điều khiển phản hồi bằng thông tin tức thời Nói chung

φ(.) có dạng tuỳ ý Tuy nhiên, để đáp ứng tính thuận tiện trong quá trình điềukhiển, người ta hay dùng loại hàm điều khiển có dạng tuyến tính

Định nghĩa 1.2 • Hệ được gọi là điều khiển được hoàn toàn (GC) nếu với bất

kì k0 ∈Z+, bất kì trạng thái ban đầux(k0) = x0, bất kì trạng thái kết thúc xf,tồn tại thời gian hữu hạn N > k0 và một biến điều khiển u(k), k0< k < N saocho x(N ) = xf.

• Hệ được gọi là điều khiển được về 0 (GNC) nếu với bất kì k0 ∈ Z+, x(k0) =

x0 ∈ R n, tồn tại thời gian hữu hạn và một điều khiển u(k), k0< k ≤ N sao cho

x(N ) = 0.

• Hệ được gọi là đạt được hoàn toàn (GR) nếu với trạng thái ban đầu x(k0) = 0,bất kì trạng thái kết thúc xf, tồn tại thời gian hữu hạn N > k0 và một điềukhiển u(k), k 0 < k < N sao cho x(N ) = xf.

Nhận xét 1.1 Một hệ là điều khiển được hoàn toàn (GC) thì hệ đó là đạt đượchoàn toàn (GR) và điều khiển được về 0 (GNC)

Hệ (1.4) hoàn toàn xác định bởi ma trận A, B nên chúng ta có thể nói về tínhđiều khiển được của cặp (A, B)

Chúng ta xây dựng ma trận điều khiển của hệ là ma trận cỡn × nm

W = [B, AB, A2B, , An−1B].

Định lý 1.1 ([2]) Hệ (1.4) là điều khiển được hoàn toàn khi và chỉ khi rankW = n.

Nhận xét 1.2 Trường hợp đơn giản, hệ chỉ có một tín hiệu vào duy nhất, khi đó

ma trận B chỉ là một véc tơ b (cỡ n × 1) Do đó ma trận điều khiển W trở thành

Bổ đề 1.1 Nếu W có hạng bằng n thì với mọi N ≥ n, hạng của ma trận

[B, AB, A2B, , AN −1B]

bằng hạng của ma trận điều khiển W

Chứng minh bổ đề Xét ma trận W (n) = [B, AB, A2B, , An−1B], n = 1, 2, khi

n tăng lên 1 đơn vị thì hạng của W hoặc không đổi hoặc tăng lên ít nhất 1 đơn vị.Giả sử với r > 1 ta có rankW (r + 1) = rankW (r), khi đó thì mọi cột của ma trận

ArB phụ thuộc vào các cột của ma trận

W (r) = [B, AB, A2B, , Ar−1B].

Vì vậy ArB = BM 0 + ABM 1 + + Ar−1BM r−1 (∗)

trong đó M là ma trận cỡ m × m Bằng cách nhân hai vế của (∗) với A ta được

Ar+1B = ABM0+ A2BM1+ + ArBMr−1.

Như vậy, các cột củaAr+1B phụ thuộc vào các cột của ma trận W (r + 1) nên ta có

rankW (r + 2) = rankW (r + 1) = rankW (r).

Bằng cách lặp lại quá trình trên, ta thu được kết quả sau

rankW (n) = rankW (r), n > r.

Chứng minh Định lí 1.1

Giả sử rankW = n Cho x 0 , xf là hai véc tơ bất kì trong Rn

Theo công thức nghiệm Cauchy ta có

Điều kiện cần Giả sử hệ (1.4) là điều khiển được hoàn toàn vàrankW < n Theo

bổ đề đã chứng minh, tồn tại r ∈Z+ sao cho

rankW (1) < rankW (2) < < rankW (r) = rankW (r + 1) = = rankW.

Hơn nữa,rankW (N ) = rankW với mọi N > n và W (j + 1) = (W (j), AjB) nên

rangeW (1) ⊂ rangeW (2) ⊂ ⊂ rangeW (r) = rangeW (r + 1) =

= rangeW = = rangeW (n)

với mọi N > n

Theo điều giả sử rankW < n hay rangeW 6= Rn nên tồn tại ξ / ∈ rangeW, ξ ∈ Rn.

Suy raξ / ∈ rangeW (n) với mọin ∈Z+.Chox(0) = 0và theo công thức(1.6), ta được

x(n) = W (n)u(n). Khi đó, nếu ξ = x(i) với i nào đó thì ξ phải thuộc rangeW (n).Vậy, điều giả sử là sai, nghĩa là chỉ có thể rankW = n Định lý được chứng minhxong

Ví dụ 1.1 Xét tính điều khiển được của hệ



x(k + 3) = 2x(k + 2) + 3x(k + 1) + 4x(k) + 5u(k), x(i), u(i) ∈R1.

Vậy hệ là điều khiển được hoàn toàn.

Dấu hiệu để hệ tuyến tính autonom là điều khiển được hoàn cũng thường đượcphát biểu qua định lý Hautus dưới đây Định lý được trình bày ở [8], chúng tôichứng minh phần đảo theo cách khác

VìuT 6= 0 nên đẳng thức cuối cùng mâu thuẫn với giả thiết rank(A, B) = n.

Chiều ngược lại Giả sử rank(λiI − A, B) = n, ∀λi ∈ σ(A) nhưng rank(A, B) < n.Khi đó tồn tại véc tơ v 6= 0 sao cho

Do ψ(A) không suy biến nên uT = vTψ(A) 6= 0.

Dưới đây là một kết quả quan trọng, được trình bày ở [8] với số thứ tự là Định

lý 10.19 Định lý này giúp ta có được phương tiện để xây dựng hàm điều khiểndưới các điều kiện chọn trước cho tập phổ Trước khi trình bày định lý này, ta tìmhiểu về một vài đặc điểm của đa thức đặc trưng

Đầu tiên ta lưu ý đến nhận xét sau Giả sử ta có A = (aij)n×n và

P (λ) = det(λI − A) = a0+ a1λ + a2λ2+ · · · + an−1λn−1+ λn.

Qua đây ta thấy có sự tương quan1 − 1 giữa 1 bộ nghiệm λ1, λ2, · · · , λn của phươngtrình đặc trưng với bộ n số thực a0, a1, · · · , an−1 Vì vậy, về sau khi xác định đượcmột trong hai bộ số này thì coi như bộ số kia cũng được xác định

Xét hệ điều khiển

x(k + 1) = Ax(k) + Bu(k). (1.10)Với hàm điều khiển

u(k) = Kx(k). (1.11)Định lý 1.3 ([8]) Cặp ma trận hằng (A, B) là điều khiển được hoàn toàn khi vàchỉ khi với mọi bộ n số thực tùy ý a0, a1, · · · , an−1 tồn tại ma trận thực K sao cho

P (λ) = det(λI − (A + BK)) = a0+ a1λ + a2λ2+ · · · + an−1λn−1+ λn.

Chứng minh Như đã nói ở trên, giữa bộn hệ số a0, a1, · · · , an−1 và bộn nghiệm

λ1, λ2, · · · , λn của phương trình đặc trưng có sự tương quan 1 − 1 Như vậy, các bàitoán tìm K theo bộ hệ số hay theo tập nghiệm là tương đương

Điều kiện cần Giả sử hệ số của P (λ) = det(λI − (A + BK)) là tùy ý thì luôn tồntại được K như trên nhưng cặp (A, B) là không điều khiển được hoàn toàn nghĩa

là r(A, B) < n. Nếu vậy, theo định lý Hautus tồn tại ít nhất một giá trị riêng λj

củaA sao cho

r(λjI − A, B) < n.

Vậy, tồn tại véc tơ u ∈Rn, u 6= 0 sao cho

uT(λjI − A, B) = 0,

Điều kiện đủ Giả sử (A, B) là điều khiển được, nghĩa là r(A, B) = n Ta cần chỉ

ra rằng với mọi bộ số thực cho trước a0, a1, · · · , an−1 ta luôn chọn được ma trận K

sao cho đa thức đặc trưng của A + BK có các hệ số làa 0 , a 1 , · · · , a n−1

( Tức là P (λ) = det(λI − (A + BK)) = a 0 + a 1 λ + a 2 λ2+ · · · + a n−1 λn−1+ λn )

Ta sẽ cần dùng bổ đề sau:

Bổ đề 1.2 Giả sử r(A, B) = n và b 6= 0 là một cột nào đó của B Khi đó tồn tạicác véc tơ v1, v2, · · · , vn−1 ∈Rn sao cho hệ véc tơ {z 1 , z2, · · · , zn} được xác định sauđây là độc lập tuyến tính

Ta phải chọn v1 sao cho {z 1 , z2} là độc lập tuyến tính.

Ta có {z1, z2} = {z1, Az1 + Bv1} = {b1, Ab1+ Bv1}. Giả sử rằng điều đó là khôngthực hiện được, nghĩa là với mọiv1 hệ {z1, z2} đều phụ thuộc tuyến tính Nếu vậy,với v1 = 0 ta có {b1, Ab1} là phụ thuộc tuyến tính Do đó {b1, Bv1} là phụ thuộctuyến tính với mọi v1

Nếu chọn v1 lần lượt là các cột của ma trận đơn vị Em thì Bv1 là các cột liên tiếpcủaB Vậy b1 phụ thuộc tuyến tính vào các cột còn lại b2, b3, · · · , bm Mặt khác, vì

{b 1 , Ab1} là phụ thuộc tuyến tính nên tồn tại số α sao cho

Do đó tồn tại α, β với α2+ β2 6= 0 sao cho

Do đó rank(A, B) = 2 Mâu thuẫn nếu n > 2

Vậy chắc chắn chọn được v2 để {z1, z2, z3} là độc lập tuyến tính

Tiếp tục như vậy, ta có thể chọn được vn−1 để hệ {z1, z2, z3, · · · , zn} là độc lậptuyến tính Bổ đề được chứng minh

Bổ đề 1.3 Giả sử rank(A, B) = n và b là 1 véc tơ cột khác 0 của B Khi đó tồntại ma trận M cỡ m × n sao cho

đề được chứng minh.

Ta tiếp tục chứng minh điều kiện đủ của Định lý 1.3

Với cột b 6= 0 của B Do r(A + BM, b) = n hay cặp (A + BM, b) là điều khiển đượchoàn toàn Do b là véc tơ cột cỡ (n × 1) nên ma trận (A + BM, b) có cỡ (n × n) Gọi

f = (f1, f2, · · · , fn) là một véc tơ dòng n chiều sao cho ma trận A= (A + BM + bf )

có đa thức đặc trưng trùng với đa thức đã cho

1 + k 1 − λ −2 + k 2

2 + k1 3 + k2− λ

So sánh các hệ số của (∗) và (∗∗)ta có



4 + k1+ k2= 0 5k1− k2+ 7 = −14 ⇔

1.3.1 Giới thiệu bài toán

Khi một hệ thống đang hoạt động có rất nhiều thông số để xác định trạng tháicủa nó Tuy nhiên người ta thường chỉ quan tâm đến một lượng thông số vừa đủ

để có thể khôi phục được toàn bộ trạng thái hệ thống khi cần thiết Xét hệ độnglực được mô tả bởi hệ phương trình



x(k + 1) = Ax(k) + Bu(k), y(k) = Cx(k). (1.12)

A, B, C là các ma trận thực tương ứng có cỡ là n × n, n × m, r × n,

x(k) - véc tơ n chiều biểu thị trạng thái hệ thống tại thời điểm k,

u(k) - véc tơ m chiều biểu thị tác động đầu vào, thường gọi là hàm điều khiển,

y(k)- véc tơ r chiều biểu thị đầu ra của biến trạng thái (output)

Như vậyx(k), u(k), y(k) khi k nhận các giá trị 0, 1, 2, · · · cho ta các dãy véc tơ trongkhông gian tương ứng là Rn, Rm và Rr

Từ (1.12) ta thấy nếu cho trạng thái ban đầu x 0 và đầu vàou(k)(k = 0, 1, 2, · · · ) thìcác trạng thái x(k) và đầu ra y(k) xác định duy nhất

Nghiệm của hệ (1.12) được hiểu là mọi bộ (x(k), u(k), y(k)) của các dãy véc tơ

{x(k)}, {y(k)}, {u(k)}, thỏa mãn hệ phương trình với mọi k ∈Z+ := {0, 1, 2, 3, · · · }.

Định nghĩa 1.3 Nói hệ(1.12) hay cặp(A, C)là quan sát được hoàn toàn nếu tồntại số nguyên K ≤ n (n là số chiều của không gian trạng thái Rn) sao cho với mọi

1.3.2 Liên hệ giữa tính điều khiển được và tính quan sát được

Xét hệ điều khiển sai phân autonom (1.12)



x(k + 1) = Ax(k) + Bu(k), y(k) = Cx(k).

Ma trận điều khiển của hệ (1.13) là

¯

W = [CT, ATCT, (AT)2CT, , (AT)n−1CT].

Nhận thấy rằng ma trận quan sát V là chuyển vị của ma trận điều khiển W¯ và

V = ( ¯ W )T. Mặt khác, rank ¯ W = rank( ¯ W )T = rankV nên ta có kết luận sau

Mệnh đề 1.1 Hệ (1.12) là quan sát được hoàn toàn khi và chỉ khi hệ đối ngẫu

(1.13) là điều khiển được hoàn toàn

1.3.3 Tính quan sát được hoàn toàn của hệ tuyến tính autonom

Định lý 1.4 Điều kiện cần và đủ để hệ (1.12) quan sát được hoàn toàn là ma trậnquan sát cỡ rn × n

Với điều kiện ban đầu (k = 0, x0), ta có

x(1) = Ax(0) + f (0), x(2) = A2x(0) + Af (0) + f (1), x(3) = A3x(0) + A2f (0) + Af (1) + f (2),

· · · y(k − 1) = Cx(k − 1) = CAk−1x(0) +Pk−2j=0CAk−j−1bu(j)

Nhận thấy(1.14) là một hệ phương trình tuyến tính gồm cón × r phương trình với

n ẩn là các thành phần của vec tơ x(0) Véc tơ tự do ở bên phải có số chiều là n.r

(vì mỗi y(j) là véc tơ r chiều) Khi đầu vào u(k), k = 0, 1, 2, · · · , (n − 2) và đầu ra

y(k), k = 0, 1, 2, · · · , (n − 1) đã biết thì véc tơ tự do ở vế phải của hệ phương trình

là xác định Hệ phương trình (1.14) có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi

Như vậy, nếu biết u(k), y(k), k = 0, 1, 2, · · · , (n − 1) thì ta xác định được duy nhất

x(0) Tiếp theo, ta cần chỉ ra rằng x(1), x(2), · · · , x(k) cũng hoàn toàn xác định.Thật vậy, khi biết x(0) thì x(k)(k = 1, 2, 3, · · · ) được xác định tường minh bằngcông thức Cauchy Điều kiện đủ được chứng minh

Điều kiện cần Giả sử

Điều này chỉ có thể là rankV < n vì số cột của V là n Khi đó hệ phương trình

(1.14) sẽ không duy nhất nghiệm Nếu hệ vô số nghiệm thì với đầu vào u(k), đầu

ra y(k), trạng thái ban đầu x(0) xác định không duy nhất kéo theo các trạng thái

x(k) cũng xác định không duy nhất Hệ không phải là quan sát được hoàn toàn.Nếu hệ vô nghiệm thì khi cóu(k), đầu ra y(k)không xác định được x(k) Hệ khôngphải là quan sát được hoàn toàn Định lý được chứng minh xong

Ví dụ 1.3 Xét hệ điều khiển sau

Ta thấy ngay rằng rank(V ) = 2. Vậy hệ điều khiển là quan sát được hoàn toàn

1.3.4 Ước lượng trạng thái hệ thống

Định lý 1.3 cho ta phương pháp tìm hàm điều khiển u(k) = −Kx(k) để làm

ổn định hệ thống Ở phương pháp này nhất thiết phải biết dữ liệu về biến trạngtháix(k) Nhưng trong thực tế nhiều thành phần của véc tơ trạng tháix(k) có thểkhông xác định được Trong trường hợp đó, thay cho thông tin về x(k), ta sẽ sửdụng thông tin ước lượng z(k), xác định qua y(k) và u(k) như số liệu xấp xỉ cho

x(k) Trở lại hệ quan sát (1.12)



x(k + 1) = Ax(k) + Bu(k), y(k) = Cx(k).

1.3.2 Liên hệ tính điều khiển tính quan sát được

Xét hệ điều khiển sai phân autonom (1.12)



x(k... 1.1 Hệ (1.12) quan sát hoàn toàn hệ đối ngẫu

(1.13) điều khiển hồn tồn

1.3.3 Tính quan sát hồn tồn hệ tuyến tính autonom

Định. ..

Ví dụ 1.3 Xét hệ điều khiển sau

Ta thấy rank(V ) = 2. Vậy hệ điều khiển quan sát hoàn toàn

1.3.4 Ước lượng trạng thái hệ thống

Định lý 1.3 cho