Lê Quang Dũng – THPT số 2 Phù Cát , Bình Định
LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2011- CHIỀU BIẾN THIÊN – CỰ C TRỊ Bài 1 : Cho hàm số y x3 3x2 mx 1 , m là tham số ,Tìm m để :
a)Hàm số đồng biến trên R b) Hàm số đồng biến trên (3,+oo) c) Hàm số nghịch biến trên (1,3)
HD :
D=R , y ' 3x2 6x2 m
a) Hàm số đồng biến trên R y’ x 0, x R 3x2 6x2 m 0, x R
9 3m 0 m 3
b) Hàm số đồng biến trên (3,+oo) y’ x 0, x 3, 2 2
3x 6x m 0, x 3,
m 3x 6x, x 3,
Ta có g(x)= 3x2 6x , g’(x)=-6x+6 , g’(x)=0 x=1=> m g(3) g(x), x 3,
Giá trị cần tìm là m 9
c) Hàm số nghịch biến trên (1,3) y’ x 0, x 1, 3 2 2
3x 6x m 0, x 1, 3
m 3x 6x, x 1, 3
Ta có g(x)= 3x2 6x , g’(x)=-6x+6 , g’(x)=0 x=1=> m g(3) g(x), x 1, 3
Giá trị cần tìm là m 9
Bài 2 : Định m để hàm số
3
2
mx
3
,nghịch biến trên (1,+oo)
HD: D=R, y ' mx2 4mx 14
Hàm số nghịch biến trên (1,+oo) y’ x 0, x 1, 2
mx 4mx 14 0, x 1,
14(2x 4)
(x 4x)
5
Giá trị m cần tìm là : 14
m 5
Bài 3 : a) Tìm m đề hàm số y x3 3 x2 3( m2 1) x 3 m2 1có cực đại và cực tiểu , và các điểm cực trị cách đều gốc tọa
độ
b) Tìm m đề hàm số y x3 3 x2 mx 2có cực đại và cực tiểu , và các điểm cực trị cách đều đường thẳng y= x+2
c) Xác định m để hàm số y x3 3 ( m 1 ) x2 9 x m đã cho đạt cực trị tại x1, x2 sao cho x1 x2 2
HD:
a) D=R , y ' 3 x2 6 x 3( m2 1)
Hàm số có cực đại , cực tiểu y’(x)=0 có hai nghiệm phân biệt <=> m khác 0
Khi đó y’(x)=0 x=1-m,x=1+m
Các điểm cực trị của đồ thị hàm số : A(1-m, -2-2m2),B(1+m,-2+2m2)
Các điểm CĐ, CT cách đều gốc tọa độ OA=OB <=> <=> 1
m 2
b) D=R , y ' 3 x2 6 x m
Hàm số có cực đại , cực tiểu y’(x)=0 có hai nghiệm phân biệt <=> m <3, Khi đó y’(x)=0 x=x1,x=x2
Các điểm cực trị A(x1,r(x1)), B(x2,r(x2)) , 2 1
Các điểm A,B cách đều đường thẳng y=x+2
2 (m 3) 1 3
m 2 1
m 2 2 3
Kết hợp điều kiện , ta có giá trị m cần tìm là : m=2
c) Ta cã y ' 3 x2 6 ( m 1 ) x 9
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only
Trang 2Lờ Quang Dũng – THPT số 2 Phự Cỏt , Bỡnh Định
+) Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x1, x2 phương trình y ' 0 có hai nghiệm pb là x1, x2
Pt x2 2 ( m 1 ) x 3 0 có hai nghiệm phân biệt là x1, x2
3 1
3 1 0
3 ) 1 (
m
m
+) Theo định lý Viet ta có x1 x2 2 ( m 1 ); x1x2 3 Khi đó
2
1 x x x x x m
x
( m 1 )2 4 3 m 1 ( 2 )
Từ (1) và (2) suy ra giá trị của m là 3 m 1 3 và 1 3 m 1
Bài 4 : a) Định m để hàm số
4
2
y m x m m đạt cực tiểu tại x=3, giỏ trị cực tiểu bằng 125
2
b) Định m để cỏc điểm cực đại , cực tiểu của đồ thị hàm số y x4 2mx2 m4 m2 1 tạo thành một tam giỏc đều
c) Định m để cỏc điểm CĐ,CT của đồ thị hàm số 1 4 2 2
2
y x mx m tạo thành một tam giỏc cú diện tớch bằng 7
2
HD:
a) D=R , y ' 2 x3 2( m2 10) x , y’’=6x2+2(m2-10)
Hàm số đạt cực tiểu tại x= 3 , y(3)=8 y’(3)=0, y(3)=8, y’’(3)>0
y’(3)=0 m=1,m=-1
2
8 m 26 m 18 0 m=1 , m=9/4 Khi đú m=1 , y’’(3)=54-18>0 thừa món
Vậy giỏ trị m cần tỡm là : m=1
b) D=R , y ' 4 x3 4 mx2 4 ( x x2 m )
Hàm số cú CĐ,CT y’(x)=0 cú 3 nghiệm phõn biệt <=> x2=m cú 2 nghiệm phõn biệt m>0
Khi đú y’(x)=0<=> x=0, x m
Cỏc điểm cực trị A(0, m4-m2+1) , B1,2 ( m m , 4 2 m2 1)
A,B,C lập thành một tam giỏc dều AB=AC=BC m+m4 =4m m=33
c) D=R , y ' 2 x3 8 mx 2 ( x x2 4 ) m
Hàm số cú CĐ,CT y’(x)=0 cú 3 nghiệm phõn biệt <=> x2=- m cú 2 nghiệm phõn biệt m<0
Khi đú y’(x)=0<=> x=0, x m
Cỏc điểm cực trị A(0, 4m2) , B1,2 (
2
, 2
m m )
A,B,C lập thành một tam giỏc cú diện tớch bằng 7
2 AH.BC=7
2
7
2
m m m
Bài tập tương tự
1) Tỡm m để hàm số 1 3 2
3
f x x m x mx m nghịch biến trờn (1,+oo) 2) Tỡm m để hàm số 3 2
( ) 3 1 3( 1) 3
f x x m x m x m nghịch biến trờn (-1,0) 3)Tỡm m để hàm số f x ( ) x3 3 x2 m x2 m cú cỏc CĐ và CT đối xứng qua đt x-2y+5=0
4) Tỡm cỏc giỏ trị của m để cỏc điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số y (m 2)x 3 3x2 mx 5 đó cho cú hoành độ là cỏc
số dương
f x mx m x m cú đỳng 1 cực trị
3
f x x m x m x đạt cực trị tại x x1, 2 thừa món điều kiện: x12 x22 1
Generated by Foxit PDF Creator â Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only