Về các dãy số nguyên tố và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN THANH BẰNG VỀ CÁC DÃY SỐ NGUYÊN TỐ VÀ ỨNG DỤNG CHUYÊN NGÀNH: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

NGUYỄN THANH BẰNG

VỀ CÁC DÃY SỐ NGUYÊN TỐ VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGHỆ AN - 2013

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

NGUYỄN THANH BẰNG

VỀ CÁC DÃY SỐ NGUYÊN TỐ VÀ ỨNG DỤNG

CHUYÊN NGÀNH: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ

Mã số: 60 46 05

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học PGS.TS NGUYỄN THÀNH QUANG

NGHỆ AN - 02/2013

CÓ ỨNG DỤNG TRONG LÝ THUYẾT MẬT MÃ

19

2.1 Bài toán kiểm tra số nguyên tố lớn………….… ……… 192.2 Bài toán phân tích thành thừa số nguyên tố …… ………… 272.3 Hệ mã mũ của Pohlig và Hellman……….………… 30

MỞ ĐẦU

Các số nguyên tố là vật liệu cơ bản để xây dựng tất cả các số tự nhiên Vìcác số tự nhiên tăng lên vô hạn, nên câu hỏi đầu tiên đặt ra là: Có bao nhiêu sốnguyên tố? Có thể liệt kê tất cả chúng ra hay chúng lập thành một dãy vô hạn?

Để chứng minh điều này, Euclid đã đưa ra một lập luận, xuất phát từ giả thuyếtrằng dãy số nguyên tố là hữu hạn và đi đến việc chỉ ra có một số nguyên tố mớikhác với các số nguyên tố đã có

Sau khi Euclid chứng minh có vô số các số nguyên tố, nhiều câu hỏi xungquanh các số nguyên tố đã được nêu ra Một số câu hỏi đó, dưới những phát biểuđơn giản, đã trở thành những bài toán trong lịch sử toán học mà cho đến nay vẫnchưa có lời giải trọn vẹn

Người ta không nhận thấy một sự tuần hoàn nào trong dãy số nguyên tố.Trùm lên trên các số nguyên tố dường như có một sự huyền bí nào đó Sự phân

bố của các số nguyên tố tỏ ra rất phức tạp và không có quy luật S.G Telang

(xem [8]) viết: Chưa ai có thể đưa ra lý do phân tích được sự phân bố không

quy luật của các số nguyên tố (Nobody has been able to put forward any reason which will account for this extreme irregularity in the distribution of primes).

Việc tìm các số nguyên tố lớn trong một thời gian dài là sự quan tâm củanhiều nhà toán học Cho phép chúng tôi nhắc lại ở đây một vài tên tuổi của cácnhà toán học lớn trong lịch sử nhân loại gắn liền với các kết quả nghiên cứu về

số nguyên tố: Euclid, Euler, Goldbach, Fermat, Dirichlet, Waring, Wilson,Leibniz, Vinogradov, Brun, J R Chen, P M Ross, … Tuy nhiên, đến naytrong Số học vẫn còn tồn tại nhiều giả thuyết mở về số nguyên tố

Hơn nữa, trong thời đại công nghệ thông tin ngày nay việc nghiên cứu về

số nguyên tố càng được kích thích bởi sự kiện là các số nguyên tố tỏ ra rất có íchtrong việc mã hóa và giải mã các thông tin Tính bảo mật và an toàn của hệ mật

mã RSA (do ba nhà khoa học của Học viện Công nghệ Massachusetts công bốnăm 1978) được đảm bảo bằng độ phức tạp của bài toán số học phân tích một sốnguyên thành tích các thừa số nguyên tố Nói khác đi, vấn đề thời gian tiêu tốn

cho việc chạy máy tính để thực hiện bài toán phân tích một số nguyên đủ lớnthành tích các thừa số nguyên tố, được sử dụng làm chỉ tiêu định lượng đánh giá

độ an toàn của hệ mã RSA Vì vậy, hệ mật mã này hiện được cộng đồng quốc tếchấp nhận rộng rãi trong việc thực thi mật mã khóa công khai

Nhân được đọc và dịch một phần của cuốn sách về Số học bằng tiếng Anhđược viết bởi của S.G.Telang – Giáo sư Trường Đại học Bombay, Ấn độ ([8]),với mục đích tìm hiểu sâu hơn về ứng dụng của Số học trong lĩnh vực công nghệthông tin, chúng tôi tập trung tìm hiểu các vấn đề xung quanh số nguyên tố, dãy

số nguyên tố và ứng dụng của chúng trong Lý thuyết mật mã Vì vậy, mục đíchchính của bản luận văn này là:

1 Tìm hiểu các kết quả mới về sự phân bố số nguyên tố, dãy số nguyên tố

4 Giải một số bài toán về dãy số nguyên tố nhằm chỉ ra một số điều kiện

đủ về sự tồn tại hoặc xây dựng những dãy con vô hạn hoặc hữu hạn các sốnguyên tố thoả mãn một số tính chất nào đó

Luận văn gồm có 3 chương:

Chương 1 trình bày các kiến thức cơ sở về số nguyên tố và dãy số nguyên tố,chỉ ra một số bất đẳng thức trong dãy số nguyên tố

Chương 2 giới thiệu các bài toán:

- Phân bố số nguyên tố trong dãy số tự nhiên;

- Bài toán giải mã có sử dụng số nguyên tố

Chương 3 trình bày một số lời giải các bài toán về dãy số nguyên tố

Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình và chu đáo củaPGS.TS Nguyễn Thành Quang Tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâusắc tới thầy giáo hướng dẫn khoa học, người đã dành nhiều thời gian và công sứcgiúp đỡ cho tôi để hoàn thành luận văn này

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đến các thầy cô giáo thuộc chuyên ngành Đại

số và Lý thuyết số, Khoa Toán học, Phòng Đào tạo Sau Đại học – Trường Đại họcVinh, những người đã tận tình giảng dạy và tổ chức thành công cho khóa học Xin trân trọng cảm ơn Trường Đại học Sài Gòn đã tạo mọi điều kiện thuận lợicho chúng tôi hoàn thành nhiệm vụ học tập và nghiên cứu

Xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu Trường Trung học Phổ thông NguyễnBỉnh Khiêm - Sở Giáo dục và Đào tạo Đồng Nai, các đồng nghiệp, bạn bè, gia đình

đã động viên và giúp đỡ tôi hoàn thành nhiệm vụ học tập

Mặc dù đã có nhiều cố gắng, song luận văn vẫn còn nhiều thiếu sót, tác giảmong nhận được sự đóng góp của thầy cô giáo và các đồng nghiệp

TÁC GIẢ

CHƯƠNG 1 PHÂN BỐ SỐ NGUYÊN TỐ

1.1 Dãy số nguyên tố

Lý thuyết số có thể được cắt nghĩa ngắn gọn như là sự nghiên cứu các tínhchất của các số nguyên, trong đó có các số nguyên tố Các số nguyên tố đóng mộtvai trò rất quan trọng trong Lý thuyết số Dù khái niệm về số nguyên tố rất đơn giảnnhưng các vấn đề liên quan đến chúng lại là rất khó Thật ngạc nhiên khi định lýđầu tiên quan trọng liên quan đến các số nguyên tố lại được chứng minh một cách

dễ dàng Điều này liên quan đến câu hỏi: Có bao nhiêu số nguyên tố trong tập hợp

vô hạn các số nguyên dương? Một định lý nổi tiếng của Euclid khẳng định rằng có

vô hạn các số nguyên tố Chứng minh của Euclid đơn giản một cách đáng ngạcnhiên mà không cần một sự trợ giúp nào ngoài định nghĩa số nguyên tố Đó là mộtchứng minh tuyệt đẹp, dù rằng cho đến ngày nay nhân loại đã tìm được rất nhiềucách chứng minh khác Bài toán xác định các tập hợp con vô hạn của tập hợp các sốnguyên tố là những bài toán khó, thậm chí đã trở thành những giả thuyết lớn của Sốhọc mà hiện nay vẫn chưa có lời giải và được nhiều người trong và ngoài ngànhtoán quan tâm

1.1.1 Định nghĩa Số nguyên tố là số nguyên lớn hơn 1, không chia hết cho số

nguyên dương nào ngoài 1 và chính nó Số nguyên lớn hơn 1 không phải là số

nguyên tố được gọi là hợp số.

Nhận xét rằng, mỗi số nguyên lớn hơn 1 luôn có ít nhất một ước nguyên tố

1.1.2 Định lý (Định lý Euclid) Tồn tại vô hạn các số nguyên tố.

Chứng minh Giả sử rằng chỉ tồn tại hữu hạn các số nguyên tố được sắp thứ tự

p¹ p " =i k Thật vậy, nếu p = nào đó, thì từ tính chất p là ước của N p i

ta suy ra p là ước của 1, vô lý Như vậy, tồn tại một số nguyên p khác với tất các

số nguyên tố p p1, , ,2 L p k Điền này mâu thuẫn với giả thiết rằng chỉ có hữu hạn số

nguyên tố ■

Trong chứng minh Định lý Euclid ta có thể đặt

1 2 k 1

-và lập luận tương tự, chúng ta sẽ thu được hệ quả sau đây

1.1.3 Hệ quả Nếu p k là số nguyên tố thứ k, thì:

(i) p p p p – ; k+1≤ 1 2 k 1

(ii) p p k+1< 1k với k ≥3

1.1.4 Bảng phân bố số nguyên tố

Sự phân bố của các số nguyên tố tỏ ra rất phức tạp và không có quy luật

S.G Telang viết: Chưa ai có thể đưa ra lý do phân tích được sự phân bố không

quy luật của các số nguyên tố (Nobody has been able to put forward any reason which will account for this extreme irregularity in the distribution of primes) Ta

quan sát bảng thống kê sau ([8]):

Nhà toán học nổi tiếng Dirichlet (1805-1859) người Đức đã chứng minhđược định lý sau đây.

1.1.5 Định lý (Dirichlet [8]) Giả sử , a b là các số nguyên dương và nguyên tố

Một số trường hợp riêng của Định lý Dirichlet có thể chứng minh dễ dàngbằng cách sử dụng các kiểu lý luận áp dụng cho Định lý Euclid:

- Tồn tại vô hạn các số nguyên tố có dạng 4 k +3, kÎ ¥.

- Tồn tại vô hạn các số nguyên tố có dạng 6 k + , k5 Î ¥.

Định lý này mở rộng từ Định lý Euclid về số nguyên tố: tập hợp số nguyên

tố là vô hạn (dạng 4x + 3, là các số nguyên tố Gauss, hoặc 2x + 1 với mọi số

nguyên tố lẻ) Chú ý định lý này không phát biểu rằng có vô hạn số nguyên tốtạo thành một cấp số cộng

Tính phân bố không quy luật của dãy các số nguyên tố làm phát sinh nhiềugiả thuyết số học mà nhiều trong chúng cho đến nay vẫn còn chưa được chứngminh Chẳng hạn giả thuyết dường như rất đơn giản sau:

1.1.6 Giả thuyết Có vô hạn số nguyên tố dạng k + 2 1

5 = 2 +1; 17 = 4 +1; 6 +1 = 37; 10 +1 = 101

Hiện tại vẫn chưa ai có thể chứng minh hay bác bỏ được giả thuyết này,nhưng các bằng chứng thể hiện trên bảng số nguyên tố, ủng hộ quan điểm chorằng dự đoán trên là đúng

Nếu ký hiệu p là số nguyên tố thứ n trong dãy các số nguyên tố n

1

2, 5, 7, , , p p n n+, thì chúng ta có một đánh giá chặt giữa số nguyên tố p n

với thứ nguyên n > 3 như sau.

1.1.7 Định lý Nếu n > thì 3 p > n + n 2

định lý đúng với n = k Điều này dẫn đến p k > + Do đó:k 2

n= k hoặc n = 2k + 1, tức là n ≥ 2k với mọi n.

(ii) Giả sử n ≥ 8 Khi đó 3

k i

t s− < p +

Số các số nguyên thuộc S nhiều hơn số các số nguyên tố của dãy (3) bởi vì

p k > n – (k – 1) Điều đó dẫn đến có một hoặc nhiều hơn một số nguyên trong S

không chia hết cho bất kỳ số nguyên tố nào của dãy (3) Hơn nữa, không có số

nguyên nào trong S chia hết cho p p1, 2, ., p k-1 Do đó, ta đi đến kết luận rằng

tồn tại ít nhất một số nguyên thuộc S không chia hết cho bất cứ số nguyên tố nào

trong dãy p p1, 2, , p Giả sử đó là số lu – 1 sao cho 1 n ≤ ≤l p k Thế thì, số1

lu− là số nguyên tố lớn hơn p n hoặc chia hết cho số nguyên tố lớn hơn p n Từ

định lý đúng với n = h Điều này dẫn đến p h > 2h + 3 Do đó

1.1.12 Định lý Nếu n > , thì 4 3

1 1 2

p+ <p p L p Chứng minh

Cũng như trên, ta có thể chứng minh trong S tồn tại ít nhất một số nguyên

không chia hết cho bất cứ số nguyên tố nào trong dãy p , p , , p Giả sử đó là 1 2 n

số lu – 1 sao cho 1 ≤ l ≤ p k Khi đó, lu – 1 là một số nguyên tố lớn hơn p n hoặc

chia hết cho một số nguyên tố lớn hơn p n Do đó:

1.1.13 Số nguyên thoả mãn tính chất P Một số nguyên N > được gọi là1

thoả mãn tính chất P nếu tất cả các số nguyên dương nhỏ hơn N và nguyên tố

cùng nhau với N chỉ là số 1 hoặc là số nguyên tố.

Xét số nguyên 18 Các số nguyên nhỏ hơn 18 và nguyên tố cùng nhau với

Chứng minh Giả sử số nguyên N > thoả mãn tính chất P Khi đó, mỗi1

hợp số không vượt quá N, sẽ không nguyên tố cùng nhau với N

Ta có nhận xét rằng, mỗi số nguyên N lớn hơn 3 hoặc là bình phương, hoặc

là nằm giữa các bình phương của hai số nguyên tố liên tiếp:

p£ p là ước của N, hay nói cách khác p2£ N là một hợp số và nguyên tố

cùng nhau với N Điều này mâu thuẫn với giả thiết N là số có tính chất P Vì

vậy, tất cả các số nguyên tố p p1, , , 2 p là ước của N hay tích n p p1 2L p n cũng

Luôn luôn tồn tại ít nhất một số nguyên tố nằm giữa n 2 và (n+1) 2

1.1.16 Giả thuyết Riemann Tại đại hội Toán học Thế giới năm 1900 ở Paris,

Riemann đã đưa Giả thuyết vào danh sách 23 bài toán dành cho những nhà Toánhọc của thế kỷ 20 Bây giờ thì nó đang tiếp tục thách thức những nhà Toán học ởthế kỷ 21 Giả thuyết Riemann (RH - Riemann Hypothesis) đã tồn tại rất lâu và

hiện tại cũng chưa hẳn là thời kỳ hấp dẫn nhất trong lịch sử bài toán Tuy nhiênnhững năm gần đây đã chứng kiến một sự bùng nổ trong nghiên cứu bắt nguồn

từ sự kết hợp giữa một số lĩnh vực trong Toán học và Vật lý.Trong 6 năm qua, Viện Toán học Mỹ (AIM - American Institute ofMathematics) đã tài trợ cho 3 đề án tập trung vào RH Nơi đầu tiên (RHI) là ởSeattle vào tháng 8 năm 1996 tại đại học Washington (University ofWashington) Nơi thứ hai (RHII) là ở Vienna vào tháng 10 năm 1998 tại ViệnSchrodinger (Erwin Schrodinger Institute), và nơi thứ ba (RHIII) là ở New Yorkvào tháng 5 năm 2002 tại Viện Toán Courant (Courant Institute of MathematicalSciences)

Năm 1859 trong một báo cáo seminar "Ueber die Anzahl der Primzahlenunter eine gegebener Grosse", G B F Riemann đã chỉ ra một số tính chất giảitích căn bản của hàm zeta:

Chuỗi này hội tụ nếu phần thực của s lớn hơn 1 Riemann chứng minh

rằng ( )V có thể mở rộng bởi sự liên tục thành một hàm giải tích trên cả mặt s

phẳng phức ngoại trừ tại điểm s=1 (simple pole)

Thật ra hàm zeta đã được nghiên cứu trước đó bởi Euler và một số ngườikhác, nhưng chỉ như một hàm với biến số thực Nói riêng, Euler chỉ ra rằngtrong đó tích vô hạn (gọi là tích Euler) lấy trên tất cả các số nguyên tố Tích này

hội tụ khi phần thực của s lớn hơn 1 Đây là một phiên bản giải thích cho Định

lý cơ bản của số học, rằng mỗi số nguyên có thể phân tích một cách duy nhấtthành các thừa số nguyên tố Euler đã dùng tích này để chứng minh rằng tổngnghịch đảo của các số nguyên tố là không bị chặn Chính tích Euler đã thu hút

sự quan tâm của Riemann tới hàm zeta: khi đó ông đang cố gắng chứng minhmột giả thuyết của Legendre và trong một dạng chính xác hơn phát biểu bởiGauss:

trong đó ( )p x là số các số nguyên tố nhỏ hơn x

Riemann đã tạo ra một bước tiến lớn tới giả thuyết của Gauss Ông nhận rarằng số phân bố các số nguyên tố phụ thuộc vào sự phân bố các không điểm củahàm zeta

Giả thuyết Riemann: Mỗi không điểm của hàm V đều nằm trên trên đường

2

Im(z)=

1.2 Hàm số nguyên tố

1.2.1 Bài toán Hãy tìm một hàm số nguyên tố tức là tìm một hàm số f sao

cho ( )f n là số nguyên tố với mọi số nguyên tố n

Trước hết chúng ta xét một hàm đa thức sau:

Nhận xét Ta có ( )f n ® ¥ khi n ® ¥ và do đó tồn tại một số nguyên m sao

cho ( ) 1f n > với mọi n m³

1.2.2 Định lý ( )f n là hợp số với vô hạn các giá trị của số tự nhiên n¹ 0

nguyên của t Chẳng hạn, (9 +13 ) 13 +195 f t = t +169t 2 là bội của 13 với mọi

giá trị nguyên của t Do đó, ( ) f n = n - n - 2 3 41 là bội của 13 với n =9, 22, 35, .

1.2.3 Định lý Cho ( ) f n = a - , n > Khi đó, ( ) n 1 1 f n là số nguyên tố chỉ khi

1.2.4 Hệ quả ( )f n =2 1n - là số nguyên tố chỉ khi n là số nguyên tố.

Như vậy, bài toán tìm hàm nguyên tố là chưa giải quyết được triệt để Hiệnvẫn chưa tìm được một công thức ( )f n sao cho

1.3 Phương trình Fermat với số mũ các ẩn là số nguyên tố

Trong tiết này của luận văn, nhờ công cụ số nguyên tố, chúng tôi diễn đạt

và kiểm tra sự tương đương về một dạng phát biểu đơn giản nhất của Định lýsau cùng của Fermat mà A Wiles đã sử dụng trong lời giải của mình

1.3.1 Định lý sau cùng của Fermat

Ta thấy rằng phương trình có vô hạn nghiệm nguyên (x y z , , )

Các bộ số Pythagorean cũng cho ta vô hạn nghiệm nguyên của phươngtrình x2+ =y2 z2

Tình hình sẽ như thế nào nếu số mũ của các ẩn tăng lên? Nói cách khác,các phương trình

x + =y z với n≥3

có nghiệm nguyên hay không? Nếu có thì số nghiệm là hữu hạn hay vô hạn?

Đó chính là nội dung của Định lý sau cùng Fermat nổi tiếng, một trongnhững câu hỏi lớn nhất của Toán học và chỉ mới nhận được câu trả lời trong thờigian gần đây:

Bên lề một cuốn sách Số học của Diophantine (xuất bản năm 1637) nhàtoán học người Pháp Pierre de Fermat (1601 - 1665) đã viết như sau:

đã tìm được một cách chứng minh tuyệt diệu điều khẳng định này nhưng vì lề sách quá nhỏ nên không thể viết vào đây.

Định lí sau cùng của Fermat mới được chứng minh bởi nhà toán họcAndrew Wiles, với việc sử dụng những kiến thức cao nhất của nhiều ngànhToán học khác nhau

1.3.2 Sơ lược quá trình chứng minh Định lý sau cùng của Fermat bởi Andrew Wiles

- Tháng 7 năm 1993, Nick Katz (đồng nghiệp) trao đổi email với Wiles vềnhững điểm chưa hiểu rõ, trong đó nhắc rằng trong chứng minh của Wiles cómột sai lầm căn bản

- Tháng 9 năm 1993, Wiles nhận ra chỗ sai và cố gắng sửa Wiles cố hếtsức nhưng không khắc phục được

- Tháng 11 năm 1993, ông gởi email công bố là có trục trặc trong phần đócủa chứng minh

- Richard Taylor, một sinh viên cũ của ông, tới Princeton cùng nghiên cứu

- Ba tháng đầu 1994, ông cùng Taylor tìm mọi cách sửa chữa vấn đề nhưngkhông có hiệu quả

- Tháng 9 năm 1994, ông quay lại nghiên cứu một vấn đề căn bản màchứng minh của ông được dựa trên đó

- Ngày 19 tháng 9 năm 1994 ông phát hiện cách sửa chữa những điểm trụctrặc, dựa trên một cố gắng chứng minh đã làm ba năm trước

- Tháng 5 năm 1995 đăng lời giải trên Annals of Mathematics.

- Tháng 8 năm 1995 hội thảo ở Đại học Boston, giới toán học công nhậnchứng minh của A Wiles là đúng

1.3.3 Mệnh đề Nếu phương trình x n + =y n z n có nghiệm nguyên dương thì

Chứng minh Giả sử phương trình x n+ =y n z n với n≥3, n Z∈ có mộtnghiệm nguyên ( , , )a b c , khi đó ta có: a n+ =b n c n Ta viết đẳng thức này lại nhưsau:

1.3.4 Mệnh đề Nếu Định lý sau cùng của Fermat đúng với n = 4 và với mọi số

Chứng minh Từ giả thiết của bài toán ta chỉ cần xét Định lý sau cùng của

Fermat với những hợp số n>4

1) Nếu n>4 là số lẻ thì tồn tại ước nguyên tố lẻ p của n Do đó, nếu

phương trình x n+ =y n z n có nghiệm nguyên dương thì theo Mệnh đề 1.3.3

phương trình x p+y p =z p cũng có nghiệm nguyên dương với p là số nguyên tố

lẻ Điều này mâu thuẫn với giả thiết của Định lý

2) Nếu n là số chẵn thì ta xét hai khả năng sau:

a) Nếu n = 4k Do n > 4 nên k >1 Vì vậy, nếu phương trình x n+ =y n z n

có nghiệm nguyên dương thì do 4 là ước của n, nên theo Mệnh đề 1.3.3 phương

trình x4+ =y4 z4 cũng có nghiệm nguyên dương Điều này mâu thuẫn với giảthiết của Định lý

b) Nếu n = 4k + 2 = 2(2k + 1) thì do n > 4 nên 2k + 1 > 2 hay 2k + 1 là

số lẻ lớn hơn 3 và do đó n có một ước nguyên tố lẻ p Do đó, nếu phương trình

1.3.5 Định lí Phương trình x4+ =y4 z2 không có nghiệm nguyên dương.

Khi đó, tồn tại nghiệm x x y y z z= 0, = 0, = 0 trong đó z là nhỏ nhất Ta có0

4 4 2

0 0 0

x + =y z Ta chứng minh (x y0, 0) =1. Thật vậy, nếu ngược lại ta gọi p là ước

chung nguyên tố của x y thì 0, 0 2

x y z là một bộ số Pythagorean nguyên thuỷ và do đó tồn tại các số

nguyên dương m n, với (m n, ) =1, m ≡ n mod 2( ) và

2 2 2 0

2 0

2 2 0

Do (m n, ) =1 nên {x n m là một bộ số Pythagorean nguyên thuỷ và do0, , }

đó lại tồn tại các số nguyên dương , r s với (r s, ) =1, r ≡ s(mod 2) và

2 2 2 0

Ta gặp mâu thuẫn với giả thiết về nghiệm x x y y z z= 0, = 0, = 0 của phương

trình đang xét ■

1.3.6 Hệ quả Phương trình x4+ =y4 z4 không có nghiệm nguyên dương.

(a, b, c Ta có ) a4+ =b4 c4 hay 4 4 ( )2 2

a + =b c Do đó, phương trình x4+ =y4 z2

có nghiệm nguyên dương ( , , )a b c Điều này mâu thuẫn với Định lý 1.3.5 ■2

Như vậy, theo Định lí 1.3.5 và Hệ quả 1.3.6, chúng ta có thể phát biểu Định

lý Fermat dưới dạng đơn giản hơn như sau:

Phương trình x n+ =y n z n , với n là số nguyên tố lẻ, không có nghiệm nguyên dương.

Vào ngày 23 tháng 6 năm 1993, A Wiles đã viết trên một bảng đen trước

các diễn giả tại Viện Newton ở Cambridge, nước Anh rằng: Nếu p là một số

nguyên tố, u, v và w là các số hữu tỉ và u p + +v p w p = thì 0 uvw= Như vậy,0

A Wiles đã lần đầu tiên thông báo rằng, ông ta có thể chứng minh được Định lýsau cùng của Fermat

CHƯƠNG 2 MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ SỐ NGUYÊN TỐ

CÓ ỨNG DỤNG TRONG LÝ THUYẾT MẬT MÃ

Chương này xét ba bài toán có vai trò quan trọng trong lý thuyết mật mã: Kiểm tra số nguyên tố, phân tích một số nguyên thành tích của các thừa số nguyên tố, tính lôgarit rời rạc của một số theo modulo nguyên tố

2.1 Bài toán kiểm tra số nguyên tố lớn

Cho n là số nguyên bất kỳ Làm thế nào để biết n là số nguyên tố hay

không? Bài toán được đặt ra từ những buổi đầu của Số học và trải qua hơn 2000năm đến nay vẫn là một bài toán chưa có được những cách giải dễ dàng Bằngnhững phương pháp đơn giản như phương pháp sàng Eratosthene, từ rất sớmngười ta đã xây dựng được các bảng số nguyên tố đầu tiên, rồi tiếp tục bằngnhiều phương pháp khác tìm thêm được nhiều số nguyên tố lớn

2.1.1 Sàng Eratosthenes Đây là một thuật giải để tìm tất cả các số nguyên tố

nhỏ hơn hoặc bằng số tự nhiên n Thuật toán này do nhà toán học cổ Hy Lạp

là Eratosthenes phát minh Ban đầu, nhà toán học Eratosthenes sau khi tìm rathuật toán, đã lấy lá cọ và ghi tất cả các số từ 2 cho đến 100 Ông đã chọc thủngcác hợp số và giữ nguyên các số nguyên tố Bảng số nguyên tố còn lại trông rấtgiống một cái sàng Do đó, nó có tên là sàng Eratosthenes

Thuật giải: Để tìm các số nguyên tố nhỏ hơn hoặc bằng số tự nhiên n bằng

sàng Eratosthenes, ta làm như sau:

- Bước 1: Tạo danh sách các số tự nhiên liên tiếp từ 2 đến n.

- Bước 2: Giữ p = 2 là số nguyên tố đầu tiên.

- Bước 3: Đánh dấu các bội số của p (2p, 3p, 4p, ) vì chúng không phải là

Khi giải thuật kết thúc, tất cả các số chưa bị đánh dấu trong danh sách là các

to lớn và phổ biến, đòi hỏi nhiều phương pháp mới có hiệu quả hơn

2.1.2 Thuật toán Agrawal-Kayal-Saxene (Thuật toán AKS)

Tháng 8 năm 2002, ba nhà toán học Agrawal, Kayal và Sexena (Việncông nghệ Kanpura - Ấn Độ) công bố thuật toán tất định thử tính nguyên tố có

độ phức tạp thời gian đa thức, khá đơn giản Thuật toán này xuất phát từ ý tưởngkhá sơ cấp và rõ ràng sau đây:

Số nguyên p là số nguyên tố khi và chỉ khi đồng dư thức sau đúng với mọi

số nguyên a nào đó nguyên tố cùng nhau với p:

(x - a)p º x p - a (mod )p

Về mặt lý thuyết thuật toán AKS có ý nghĩa lớn và đã thu hút được sựquan tâm nghiên cứu của nhiều người trong thời gian dài Tuy nhiên, việc kiểm

tra đồng dư thức trên không phải đơn giản khi p đủ lớn Vì vậy, thuật toán này

chưa tỏ ra có hiệu quả rõ rệt trong tính toán thực tiễn

Thuật toán Agrawal-Kayal-Saxena:

let q be the largest prime factor of r -1 ;

if (q ≥ 4 r log n) and ( n r- q1¹ 1(mod ))r

Trong thực tiễn xây dựng các giải pháp mật mã, có nhu cầu các số nguyên

tố rất lớn Để tìm được số như vậy, người ta chọn ngẫu nhiên một số n rất lớn và

dùng một thuật toán xác suất, chẳng hạn như thuật toán Miller-Rabin Nếu thuật

toán cho kết quả “n là số nguyên tố” với một xác suất sai ε nào đó, thì dùng tiếpmột thuật toán tất định (chẳng hạn thuật toán Thuật toán Agrawal-Kayal-

Saxena) để đảm bảo chắc chắn 100% rằng số n là nguyên tố.

Thuật toán Agrawal-Kayal-Saxena được chứng tỏ là có độ phức tạp thờigian đa thức cỡ O((log n) ) 12 khi thử trên số n Nếu số nguyên tố được thử có

dạng Sophie Gerrmain, tức dạng 2p+ , thì độ phức tạp thời gian sẽ chỉ cỡ O1((log ) )n 6 Trên thực tế thuật toán này chạy chậm hơn các phương pháp xác suất.Tiếp theo chúng tôi giới thiệu một số phương pháp kiểm tra theo xác suấttính nguyên tố của một số nguyên (kiểm tra nguyên tố theo xác suất)

2.1.3 Kiểm tra theo xác suất Các phép kiểm tra tính nguyên tố hay dùng nhất

là các thuật toán ngẫu nhiên Giả sử có một mệnh đề Q(p, a) nào đó đúng với

mọi số nguyên tố p và số tự nhiên a £ Nếu n là một số tự nhiên lẻ và mệnh p

đề Q(n, a) đúng với một a £ được lấy ngẫu nhiên, khi đó a có khả năng là một n

số nguyên tố Ta đưa ra một thuật toán, kết luận rằng n là số nguyên tố Ta gọi

đây là một thuật toán ngẫu nhiên hay thuật toán xác suất Trong các thuật toánloại này, dùng một kiểm tra ngẫu nhiên không bao giờ kết luận một số nguyên tố

là hợp số nhưng có thể kết luận một hợp số là số nguyên tố Xác suất sai của

phép kiểm tra có thể giảm xuống nhờ việc chọn một dãy độc lập các số a; nếu với mỗi số a xác suất để thuật toán kết luận một hợp số là số nguyên tố là nhỏ

hơn một 1

2 thì sau k lần thử độc lập, xác suất sai là nhỏ hơn 2

−k, độ tin cậy của

thuật toán sẽ tăng lên theo k.

Cấu trúc cơ bản của một phép kiểm tra ngẫu nhiên là:

1 Chọn một số nguyên ngẫu nhiên a.

2 Kiểm tra một hệ thức nào đó giữa số a và số n đã cho Nếu hệ thức sai thì chắc chắn n là một hợp số (số a là "bằng chứng" chứng tỏ n là hợp số) và

dừng thuật toán

3 Lặp lại bước 1 cho đến khi đạt được số lần đã định hoặc gặp bước 2

Sau một loạt lần kiểm tra, nếu không tìm được bằng chứng chứng tỏ n là hợp số thì ta kết luận n là số nguyên tố.

Các phép kiểm tra tính nguyên tố ngẫu nhiên là: Phép kiểm tra tính nguyên

tố của Fermat (kiểm tra Fermat) Đây là phép thử heuristic; tuy nhiên ít người sửdụng phép thử này

Được sử dụng nhiều hơn là kiểm tra Miller-Rabin và kiểm tra

Solovay-Strassen Với mỗi hợp số n, ít nhất 3

4 (với kiểm tra Miller-Rabin) hoặc

1

2 (với

kiểm tra Solovay-Strassen) các số a là bằng chứng tỏ n là hợp số.

2.1.4 Kiểm tra Fermat Kiểm tra Fermat là một thuật toán xác suất kiểm tra

một số tự nhiên là hợp số hay là số nguyên tố xác suất, dựa trên cơ sở định lý béFermat

2.1.4.1 Định lý bé Fermat Nếu p là số nguyên tố và a là số nguyên không chia

hết cho p thì ap-1≡1 (mod )p Nói cách khác, nếu p là số nguyên tố và a là số nguyên bất kỳ thì a p ≡a (mod )p .

Nếu ta muốn kiểm tra số n có là nguyên tố không, ta lấy ngẫu nhiên các

số nguyên a và kiểm tra xem đồng dư thức trên có đúng không Nếu nó không đúng với một giá trị nguyên a nào đó thì n là hợp số Nếu nó với nhiều giá trị của a, ta có thể nói rằng n là số nguyên tố với xác suất nào đó, hay là một số giả

nguyên tố (pseudoprime) Có thể phép thử sẽ cho ta một kết quả sai

Số nguyên a sao cho a n-1º 1 (mod )n , trong đó n là hợp số được gọi là một số giả Fermat.

Còn nếu có số nguyên a mà

1 1 (mod

thì a được xem như một bằng chứng Fermat chứng tỏ n là hợp số.

2.1.4.2 Thuật toán và thời gian thực hiện Thuật toán có thể viết như sau:

Inputs: n: giá trị để kiểm tra tính nguyên tố; k: tham số tham gia vào quá

if a mod n ≠ 1 then n-1

return composite

return probably prime

Khi dùng thuật toán tính nhanh luỹ thừa theo môđun, thời gian thi hành của

thuật toán này là O(k × log3n), trong đó k là số lần kiểm tra với mỗi số a ngẫu

nhiên, và n là giá trị ta muốn kiểm tra.

Có khá nhiều giá trị của n là các số Carmichael mà với tất cả các giá trị của a (a và n là nguyên tố cùng nhau), là số giả Fermat Mặc dù các số

Carmichael là rất hiếm, nhưng phép thử Fermat rất ít được dùng so với cácphương pháp khác như kiểm tra Miller-Rabin hay kiểm tra Solovay-Strassen

2.1.5 Kiểm tra Solovay-Strassen Kiểm tra Solovay-Strassen là một trong các

phương pháp kiểm tra tính nguyên tố theo xác suất do Robert M Solovay vàVolker Strassen phát triển

2.1.5.1 Ký hiệu Legendre Cho số nguyên tố lẻ p và số nguyên a Ký hiệu

1 nếu a là một bình phương đúng modulo p, nghĩa là nếu tồn tại một số

nguyên k sao cho k2 ≡ a (mod p);

−1 nếu a không là bình phương đúng modulo p.

2.1.5.2 Tiêu chuẩn Euler Với mọi số nguyên tố p và số mọi số nguyên a thoả

OUTPUT: FALSE nếu n là hợp số, nếu không TRUE

1 Chọn a ngẫu nhiên trong khoảng [1, n-1]

2 Tính ký hiệu Jacobi J a

n

æö÷ç

4 Nếu J ¹ x thì trả về FALSE; nếu ngược lại trả về TRUE

2.1.5.6 Định lý (Xác suất sai) Nếu n là hợp số lẻ thì tồn tại không quá ( )

2

n j

số tự nhiên dương a nhỏ hơn n, nguyên tố cùng nhau với n sao cho n là số giả nguyên tố Euler cơ sở a.

Gọi A là biến cố "Số nguyên lẻ n là hợp số"; B là biến cố: "Thuật toán

2

2.1.6 Kiểm tra Miler-Rabin Kiểm tra Miller-Rabin là một thuật toán xác suất

để kiểm tra tính nguyên tố cũng như các thuật toán kiểm tra tính nguyêntố: Kiểm tra Fermat và Kiểm tra Solovay-Strassen Nó được đề xuất đầu tiênbởi Gary L Miller như một thuật toán tất định, dựa trên giả thiết Riemann tổngquát; Michael O Rabin đã sửa chữa nó thành một thuật toán xác suất