Phương trình và bất phương trình laplace

Cæng thùc t½ch ph¥n tøng ph¦n... Cæng thùc Poisson... Líi cam oanTæi xin cam oan, Luªn v«n n y l cæng tr¼nh nghi¶n cùu cõa tæid÷îi sü h÷îng d¨n trüc ti¸p cõa PGS... Do thíi gian v ki¸n t

„I HÅC THI NGUY–NTR×ÍNG „I HÅC KHOA HÅC

TR†N V‹N TÎI

PH×ÌNG TRœNH V€ B‡T PH×ÌNG TRœNH LAPLACE

Chuy¶n ng nh: TON ÙNG DÖNG

M¢ sè: 60 46 01 12

LUŠN V‹N TH„C Sž TON HÅC

H÷îng d¨n khoa håcPGS TS H€ TI˜N NGO„N

Th¡i Nguy¶n - 2014

Möc löc

1 Nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh v  b§t ph÷ìng tr¼nh Laplace 31.1 C¡c ành ngh¾a Cæng thùc t½ch ph¥n tøng ph¦n 31.1.1 H m i·u háa, h m d÷îi i·u háa v  h m tr¶n

i·u háa 31.1.2 Cæng thùc t½ch ph¥n tøng ph¦n 41.2 ¯ng thùc v  b§t ¯ng thùc èi vîi gi¡ trà trung b¼nh 51.2.1 C¡c ¤i l÷ñng trung b¼nh 51.2.2 ành lþ v· gi¡ trà trung b¼nh 61.3 Nguy¶n lþ cüc ¤i v  cüc tiºu 71.3.1 Nguy¶n lþ cüc ¤i m¤nh v  nguy¶n lþ cüc tiºu

m¤nh 71.3.2 T½nh duy nh§t nghi»m cõa b i to¡n Dirichlet

cho ph÷ìng tr¼nh Laplace v  ph÷ìng tr¼nh Poisson 8

2.1 B§t ¯ng thùc Harnack 112.2 Cæng thùc Green 132.2.1 Cæng thùc Green thù nh§t v  cæng thùc Green

thù hai 132.2.2 Nghi»m cì b£n cõa ph÷ìng tr¼nh Laplace 13

2.2.3 H m Green 15

2.3 H m Green cõa b i to¡n Dirichlet trong h¼nh c¦u Cæng thùc Poisson 16

2.3.1 H m Green cõa b i to¡n Dirichlet trong h¼nh c¦u 16 2.3.2 Cæng thùc Poisson 18

2.4 ành lþ hëi tö 19

2.4.1 i·u ki»n c¦n v  õ º mët h m l  i·u háa 19

2.4.2 C¡c ành lþ hëi tö 20

2.5 ¡nh gi¡ b¶n trong mi·n èi vîi c¡c ¤o h m cõa h m i·u háa 21

2.5.1 ¡nh gi¡ b¶n trong mi·n èi vîi ¤o h m c§p 1 21 2.5.2 ¡nh gi¡ b¶n trong mi·n èi vîi ¤o h m b§t ký 21 2.6 B i to¡n Dirichlet Ph÷ìng ph¡p h m i·u háa d÷îi 22

2.6.1 Mð rëng kh¡i ni»m h m d÷îi i·u háa v  h m tr¶n i·u háa 23

2.6.2 C¡c t½nh ch§t cõa h m d÷îi i·u háa v  h m tr¶n i·u háa mð rëng 23

2.6.3 Ph÷ìng ph¡p Perron (Ph÷ìng ph¡p h m i·u háa d÷îi) 25

2.6.4 H m ch­n t¤i mët iºm tr¶n bi¶n, kh¡i ni»m iºm ch½nh quy 26

2.6.5 T½nh gi£i ÷ñc cõa b i to¡n Dirichlet 28

2.6.6 i·u ki»n h¼nh c¦u ngo i 30

2.7 Dung l֖ng 30

Líi cam oan

Tæi xin cam oan, Luªn v«n n y l  cæng tr¼nh nghi¶n cùu cõa tæid÷îi sü h÷îng d¨n trüc ti¸p cõa PGS TS H  Ti¸n Ngo¤n

Trong qu¡ tr¼nh nghi¶n cùu · t i Luªn v«n, tæi ¢ k¸ thøa th nhqu£ khoa håc cõa c¡c nh  To¡n håc v  c¡c nh  Khoa håc vîi sü tr¥ntrång v  bi¸t ìn

Th¡i Nguy¶n, th¡ng 10 n«m 2014

T¡c gi£

Tr¦n V«n Tîi

Líi c£m ìn

Luªn v«n ÷ñc ho n th nh t¤i tr÷íng ¤i håc Khoa håc, ¤i håcTh¡i Nguy¶n d÷îi sü h÷îng d¨n tªn t¼nh cõa PGS TS H  Ti¸n Ngo¤n.Tæi xin b y tä láng bi¸t ìn ch¥n th nh v  s¥u s­c v· sü tªn t¥m v nhi»t t¼nh cõa Th¦y trong suèt qu¡ tr¼nh tæi thüc hi»n luªn v«n.Tæi xin ch¥n th nh c£m ìn Ban Gi¡m hi»u, pháng  o t¤o Khoahåc v  Quan h» quèc t¸, Khoa To¡n - Tin tr÷íng ¤i håc Khoa håc,

¤i håc Th¡i Nguy¶n v  quþ th¦y cæ tham gia gi£ng d¤y lîp cao håckhâa 6 (2012 - 2014) ¢ quan t¥m, gióp ï v  mang ¸n cho tæi nhi·uki¸n thùc bê ½ch trong suèt thíi gian håc tªp t¤i tr÷íng

Tæi công xin gûi líi c£m ìn ¸n gia ¼nh, b¤n b± v  c¡c çng nghi»p

¢ ëng vi¶n, gióp ï trong qu¡ tr¼nh håc tªp cõa m¼nh

Do thíi gian v  ki¸n thùc cán h¤n ch¸ n¶n luªn v«n khæng tr¡nhkhäi nhúng thi¸u sât T¡c gi£ r§t mong nhªn ÷ñc sü gâp þ cõa quþth¦y cæ v  b¤n åc º luªn v«n ÷ñc ho n thi»n hìn

Xin tr¥n trång c£m ìn!

Th¡i Nguy¶n, th¡ng 10 n«m 2014

T¡c gi£

Tr¦n V«n Tîi

Mð ¦u

Ph÷ìng tr¼nh Laplace l  mët ph÷ìng tr¼nh cì b£n v  cê iºn cõa

lþ thuy¸t ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng ¥y l  ¤i di»n quan trångcõa lîp ph÷ìng tr¼nh elliptic Vi»c têng quan c¡c t½nh ch§t cì b£n cõanghi»m ph÷ìng tr¼nh v  b§t ph÷ìng tr¼nh Laplace l  c¦n thi¸t â l c¡c h m i·u háa, tr¶n i·u háa v  d÷îi i·u háa èi vîi c¡c h m

n y câ r§t nhi·u t½nh ch§t, ành lþ ¢ ÷ñc nghi¶n cùu Ch¯ng h¤nnh÷ nguy¶n lþ cüc ¤i, c¡c ành lþ v· gi¡ trà trung b¼nh,

èi vîi h m i·u háa, nghi»m suy rëng cõa b i to¡n bi¶n Dirichletluæn tçn t¤i Nh÷ng ð luªn v«n n y nghi¶n cùu nghi»m cê iºn cõa

b i to¡n bi¶n Dirichlet, cö thº x²t t½nh gi£i ÷ñc cõa b i to¡n bi¶nDirichlet trong mët mi·n bà ch°n, nghi¶n cùu khi n o b i to¡n Dirichlet

l  gi£i ÷ñc trong mi·n Ω Ch½nh v¼ vªy, trong luªn v«n n y ¢ ÷a

v i kh¡i ni»m iºm ch½nh quy tr¶n bi¶n m  ÷ñc ành ngh¾a thæng quakh¡i ni»m h m ch­n

K¸t qu£ cì b£n trong luªn v«n n y l  ành lþ nâi r¬ng b i to¡nDirichlet gi£i ÷ñc khi v  ch¿ khi måi iºm tr¶n bi¶n ·u l  iºmch½nh quy Ph¦n cuèi cõa luªn v«n nghi¶n cùu khi n o mët iºm l ch½nh quy

Luªn v«n gçm 2 ch÷ìng:

Ch÷ìng 1 tr¼nh b y c¡c kh¡i ni»m, t½nh ch§t cì b£n v· nghi»m cõaph÷ìng tr¼nh Laplace v  c¡c b§t ph÷ìng tr¼nh Laplace â l  c¡c ànhngh¾a v· h m i·u háa, h m d÷îi i·u háa, tr¶n i·u háa, cæng thùct½ch ph¥n tøng ph¦n, c¡c ¯ng thùc v  b§t ¯ng thùc gi¡ trà trung

b¼nh, nguy¶n lþ cüc ¤i v  cüc tiºu.

Ch÷ìng 2 nghi¶n cùu c¡c t½nh ch§t cì b£n cõa h m i·u háa â

l  b§t ¯ng thùc Harnack, ÷a v o cæng thùc Green, h m Green èivîi b i to¡n Dirichlet, nghi¶n cùu ành lþ hëi tö v  c¡c ¡nh gi¡ b¶ntrong èi vîi h m i·u háa Ph¦n cuèi nghi¶n cùu b i to¡n Dirichletcho h m i·u háa b¬ng ph÷ìng ph¡p h m i·u háa d÷îi B¬ng ph÷ìngph¡p n y ¢ ÷a v o kh¡i ni»m iºm ch½nh quy tr¶n bi¶n, ph¡t biºu

v  chùng minh ành lþ v· i·u ki»n c¦n v  õ cho t½nh gi£i ÷ñc cõa

b i to¡n bi¶n Dirichlet ÷a v o i·u ki»n õ cho t½nh ch½nh quy, â l 

i·u ki»n h¼nh c¦u ngo i cõa mi·n i·u ki»n c¦n v  õ cho t½nh ch½nhquy cõa mët iºm tr¶n bi¶n ÷ñc ph¡t biºu thæng qua kh¡i ni»m dungl÷ñng

T i li»u tham kh£o ch½nh cõa luªn v«n l  ch÷ìng 2 cõa t i li»u [2]

Ch֓ng 1

Nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh v  b§t ph÷ìng tr¼nh Laplace

H m sè u ÷ñc gåi l  h m i·u háa (h m d÷îi i·u háa, h m tr¶n

i·u háa) trong Ω n¸u nâ thäa m¢n:

∆u(x) = 0 (≥ 0, ≤ 0), ∀x ∈ Ω (1.2)Trong ch÷ìng n y chóng ta ph¡t triºn mët sè t½nh ch§t cõa h m

i·u háa, h m d÷îi i·u háa v  h m tr¶n i·u háa dòng º nghi¶ncùu t½nh gi£i ÷ñc cõa b i to¡n Dirichlet cê iºn cho ph÷ìng tr¼nhLaplace, ∆u = 0 Ph÷ìng tr¼nh Laplace v  ph÷ìng tr¼nh khæng thu¦nnh§t t÷ìng ùng cõa nâ, ph÷ìng tr¼nh Poisson −∆u = f, l  mæ h¼nh

cì b£n cõa ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh eliptic

1.1.2 Cæng thùc t½ch ph¥n tøng ph¦n

Gi£ sû Ω ⊂ Rn l  mi·n bà ch°n trong Rn vîi bi¶n ∂Ω, kþ hi»u

µ = (µ1, µ2, , µn) l  v²ctì ph¡p tuy¸n ngo i ìn và t¤i iºm x ∈ ∂Ω,

dS l  ph¦n tû di»n t½ch cõa ∂Ω

Vîi u,v ∈ C1(Ω) ∩ C0( ¯Ω), ta câ cæng thùc t½ch ph¥n tøng ph¦n:

Z

Ω(Dju)vdx = −

Z

Ωu(Djv)dx +

Z

∂ΩuvµjdS (1.3)

Tø cæng thùc tr¶n ta suy ra ành lþ ph¥n k¼ sau ¥y Cho tr÷íngv²ctì b§t k¼ w = (w1, w2, , wn) trong C1( ¯Ω) Khi â ta câ

Z

Ωdivwdx =

°c bi»t n¸u u l  mët h m trong C2( ¯Ω) b¬ng c¡ch °t w = Dutrong (1.4) chóng ta câ:

Z

∂ΩDu.µ.dS =

Di»n t½ch cõa m°t c¦u ìn và l : nωn

Di»n t½ch cõa m°t c¦u b¡n k½nh R l  nωnRn−1

¤i l÷ñng trung b¼nh cõa h m sè u tr¶n m°t c¦u B b¡n k½nh R l :

1

nωnRn−1

Z

∂BudS

¤i l÷ñng trung b¼nh cõa h m sè u trong h¼nh c¦u B b¡n k½nh R l :

1

ωnRn

Z

Budx

èi vîi c¡c h m i·u háa, ành lþ 1.2.1 kh¯ng ành r¬ng gi¡ trà cõa

h m t¤i t¥m cõa h¼nh c¦u B b¬ng gi¡ trà trung b¼nh t½ch ph¥n tr¶n c£m°t c¦u ∂B v  trong h¼nh c¦u B Nhúng k¸t qu£ tr¶n gåi l  ành lþgi¡ trà trung b¼nh, tr¶n thüc t¸ chóng công mæ t£ t½nh ch§t °c tr÷ngcõa h m i·u háa (xem ành lþ 2.4.1 d÷îi ¥y)

Do â, vîi ρ ∈ (0, R) b§t ký ta câ:

º nhªn ÷ñc b§t ¯ng thùc gi¡ trà trung b¼nh trong h¼nh c¦u th¼

ta vi¸t l¤i (1.6) d÷îi d¤ng sau:

1.3 Nguy¶n lþ cüc ¤i v  cüc tiºu

1.3.1 Nguy¶n lþ cüc ¤i m¤nh v  nguy¶n lþ cüc tiºu m¤nh

Tø ành lþ 1.2.1 ta suy ra ÷ñc nguy¶n lþ cüc ¤i m¤nh cho h md÷îi i·u háa v  nguy¶n lþ cüc tiºu m¤nh cho h m tr¶n i·u háa

nâ l  h¬ng sè

suy ra u = M trong BR(z) Do â ΩM mð t÷ìng èi trong Ω Tø â

ra tø ành lþ 1.3.2 trong möc d÷îi ¥y

1.3.2 T½nh duy nh§t nghi»m cõa b i to¡n Dirichlet cho

ph÷ìng tr¼nh Laplace v  ph÷ìng tr¼nh Poisson

A B i to¡n Dirichlet cho ph÷ìng tr¼nh Laplace:

Cho Ω l  mi·n bà ch°n tr¶nRn, khi â b i to¡n Dirichlet cho ph÷ìngtr¼nh Laplace l : t¼m mët h m u : Ω → R thäa m¢n

B B i to¡n Dirichlet cho ph÷ìng tr¼nh Poisson:

Cho Ω l  mi·n bà ch°n tr¶nRn, khi â b i to¡n Dirichlet cho ph÷ìngtr¼nh Poisson l : t¼m mët h m u : Ω → R thäa m¢n

i·u háa v  h m d÷îi i·u háa t÷ìng ùng, u = v tr¶n bi¶n ∂Ω, khi

â v ≤ u trong Ω T½nh ch§t n y gi£i th½ch t¤i sao v ÷ñc gåi l  h md÷îi i·u háa Nhªn x²t t÷ìng ùng công óng cho h m tr¶n i·u háa,

ngh¾a l  u l  h m i·u háa, v l  h m tr¶n i·u háa, u = v tr¶n ∂Ω th¼

u ≤ v trong Ω Sau ¥y, chóng ta sû döng t½nh ch§t h m d÷îi i·uháa v  h m tr¶n i·u háa º mð rëng nhúng ành ngh¾a èi vîi c¡clîp h m rëng hìn

u(x2) = inf

Ω0u

Do â gi£ thi¸t (2.1) ÷ñc chùng minh vîi C = 3nN

Chó þ r¬ng h¬ng sè C tr¶n (2.1) l  h¬ng sè khæng êi èi vîi c¡cph²p bi¸n êi çng d¤ng v  bi¸n êi trüc giao

2.2 Cæng thùc Green

2.2.1 Cæng thùc Green thù nh§t v  cæng thùc Green thù

hai

Nh÷ mët sü mð ¦u º x²t sü tçn t¤i, b¥y gií chóng ta suy ra mët

v i h» qu£ xa hìn cõa ành lþ ph¥n k¼, â l  cæng thùc Green

Cho Ω l  mët mi·n m  ð â ành lþ ph¥n k¼ câ thº ¡p döng, gi£

sû u v  v l  h m sè tr¶n C2( ¯Ω) Chóng ta chån w = vDu trong cængthùc (1.4) º câ ÷ñc cæng thùc Green thù nh§t:

Z

∂Ω

v(y)∂u(y)

∂µy dSy, (2.3)

trong â µy l  vectì ph¡p tuy¸n ngo i ìn và t¤i y ∈ ∂Ω

êi ché u v  v trong (2.3) v  thüc hi»n ph²p trø chóng ta ÷ñccæng thùc Green thù hai:

2.2.2 Nghi»m cì b£n cõa ph÷ìng tr¼nh Laplace

Ph÷ìng tr¼nh Laplace câ r2−n l  nghi»m vîi n > 2 v  logr vîi

n = 2, trong â r l  kho£ng c¡ch tø iºm x ¸n iºm y Ti¸p töc tø(2.4) chóng ta cè ành iºm x trong Ω v  ÷a v o h m sè sau:

12πlog|x − y|, n = 2.

(2.5)

Khi â, Γ(x − y) x¡c ành nh÷ tr¶n gåi l  nghi»m cì b£n cõaph÷ìng tr¼nh Laplace H m Γ(x − y) x¡c ành vîi måi x 6= y

B¬ng c¡ch t½nh to¡n ìn gi£n ta câ: vîi Dj = ∂

Rã r ng Γ l  h m i·u háa vîi x 6= y

Chóng ta câ c¡c ÷îc l÷ñng sau èi vîi ¤o h m:

ρ õ nhä Sau â chóng ta câ thº k¸t luªn tø (2.4) r¬ng:

udS → −u(x), vîi ρ → 0.

Do â, cho ρ ti¸n ¸n 0 ð cæng thùc (2.8) chóng ta câ cæng thùcGreen:

°t G(x, y) = Γ(x − y) + h(y), tø (2.9) v  (2.11) chóng ta câ ÷ñcmët cæng thùc têng qu¡t hìn v· cæng thùc ¤i di»n Green

(2.12)

N¸u chån G(x, y) = 0 khi y ∈ ∂Ω chóng ta câ cæng thùc biºu di¹nsau èi vîi h m i·u háa

2.3 H m Green cõa b i to¡n Dirichlet trong h¼nh

H m Green x¡c ành bði (2.15) câ t½nh ch§t

G(x, y) = G(y, x), G(x, y) ≤ 0, vîi x, y ∈ ¯BR (2.16)Hìn núa, b¬ng c¡ch t½nh to¡n trüc ti¸p t¤i x ∈ ∂BR ¤o h m thængth÷íng cõa h m G ÷ñc vi¸t bði:

V¸ ph£i cõa cæng thùc (2.18) ÷ñc gåi l  t½ch ph¥n Poisson cõa h m

u Mëi lªp luªn ìn gi£n cho th§y r¬ng cæng thùc t½ch ph¥n Poissonti¸p töc óng vîi u ∈ C2(BR) ∩ C0( ¯BR)

Chó þ r¬ng b¬ng c¡ch cho y = 0, chóng ta l¤i câ cæng thùc c¡c

ành lþ v· gi¡ trà trung b¼nh cho c¡c h m i·u háa Trong thüc t¸ t§tc£ c¡c ành lþ tr÷îc cõa ch÷ìng n y câ thº ÷ñc suy ra l  h» qu£ cõa(2.13) vîi Ω = BR(0)

Thi¸t lªp sü tçn t¤i cõa b i to¡n Dirichlet cê iºn tr¶n h¼nh c¦uchóng ta c¦n k¸t qu£ ng÷ñc l¤i cõa cæng thùc (2.18), v  b¥y gií chóng

ta chùng minh i·u n y

∂µ l  i·u háa tr¶n x, ho°c nâ câ thº x¡c

ành bði t½nh to¡n trüc ti¸p Thi¸t lªp sü li¶n töc cõa u tr¶n ∂B,chóng

ta sû döng cæng thùc Poisson (2.18) cho tr÷íng hñp °c bi»t u = 1 º

÷ñc çng nh§t thùc:

Z

∂BK(x, y)dsy = 1, vîi måi x ∈ B, (2.20)

trong â K l  h¤t nh¥n Poisson,

K(x, y) = R

2− |x|2

nωnR|x − y|n, x ∈ B, y ∈ ∂B (2.21)D¾ nhi¶n t½ch ph¥n tr¶n (2.20) câ thº ¡nh gi¡ trüc ti¸p nh÷ng nâ

l  mët t½nh to¡n phùc t¤p

B¥y gií chóng ta cho x0 ∈ ∂B v   l  mët sè d÷ìng tòy þ, chån

δ > 0 º |ϕ(x) − ϕ(x0)| <  n¸u |x − x0| < δ v  cho |ϕ| ≤ M trong

∂B Khi â n¸u |x − x0| < δ

2, theo (2.19) v  (2.20) chóng ta câ:

|u(x) − u(x0)| =

Z

∂BK(x, y)(ϕ(y) − ϕ(x0))dsy

do â u l  h m li¶n töc t¤i x0 Do â u ∈ C0( ¯B) l  i·u c¦n t¼m.Chó þ r¬ng èi sè tr÷îc â l  àa ph÷ìng, câ ngh¾a l  n¸u ϕ ch¿giîi h¤n v  kh£ t½ch tr¶n ∂B v  li¶n töc t¤i x0 th¼

u(x) → u(x0) khi x → x0

2.4 ành lþ hëi tö

2.4.1 i·u ki»n c¦n v  õ º mët h m l  i·u háa

B¥y gií chóng ta xem x²t mët sè h» qu£ trüc ti¸p cõa cæng thùct½ch ph¥n Poisson Tuy nhi¶n ba ành lþ d÷îi ¥y s³ khæng ÷ñc y¶uc¦u cho sü ph¡t triºn sau ¦u ti¶n chóng ta câ thº th§y h m i·uháa ÷ñc °c tr÷ng bði gi¡ gi¡ trà trung b¼nh cõa nâ

v  k¸t qu£ duy nh§t cõa ành lþ 1.3.1, 1.3.2 v  1.3.3 ¡p döng vîi w,

tø b§t ¯ng thùc gi¡ trà trung b¼nh ¢ ch¿ ra t½nh ch§t cõa h m i·uháa ÷ñc sû döng tr¶n ph²p l§y ¤o h m cõa chóng

Do â w = 0 tr¶n B v  do â h m u ph£i i·u háa tr¶n Ω

2.4.2 C¡c ành lþ hëi tö

ành l½ 2.4.2

Giîi h¤n cõa d¢y hëi tö ·u c¡c h m i·u háa l  h m i·u háa.Theo ành lþ 2.4.2, n¸u {un} l  d¢y cõa h m i·u háa tr¶n mi·n

bà ch°n Ω, vîi gi¡ trà {ϕn} câ giîi h¤n li¶n töc m  hëi tö ·u trong

∂Ω ¸n h m ϕ, sau â d¢y {un} hëi tö ·u ( theo nguy¶n lþ cüc ¤i)

¸n h m i·u háa câ giîi h¤n l  gi¡ trà ϕ trong ∂Ω Theo b§t ¯ngthùc gi¡ trà trung b¼nh cõa Harnack, ành lþ 2.1.1, chóng ta công câthº suy ra ành lþ 2.4.2, ành lþ hëi tö Harnack

ành l½ 2.4.3

Cho d¢y {un} l  d¢y ìn i»u t«ng c¡c h m i·u háa tr¶n mët mi·n

Ω v  gi£ sû t¤i mët iºm y ∈ Ω, d¢y {un(y)} l  bà ch°n Khi â d¢yhëi tö ·u tr¶n mi·n con b§t ký bà ch°n Ω0

⊂⊂ Ω ¸n mët h m i·uháa

Chùng minh

D¢y {un(y)} hëi tö Thªt vªy, cho tòy þ  > 0, tçn t¤i mët sè Nsao cho

0 ≤ um(y) − un(y) <  vîi måi N < n ≤ m

Nh÷ng khi â theo ành lþ 2.1.1, chóng ta câ:

sup |um(x) − un(x)| < C.,

vîi h¬ng sè C phö thuëc trong Ω v  Ω.

Do â {un} hëi tö ·u v  theo ành lþ 2.4.2, giîi h¤n cõa h m l 

i·u háa

2.5 ¡nh gi¡ b¶n trong mi·n èi vîi c¡c ¤o h m

cõa h m i·u háa

2.5.1 ¡nh gi¡ b¶n trong mi·n èi vîi ¤o h m c§p 1

B¬ng c¡ch l§y ¤o h m trüc ti¸p cõa t½ch ph¥n Poisson câ thº thu

÷ñc ÷îc t½nh b¶n trong cõa c¡c d¨n su§t cho h m i·u háa Ngo i rac¡c ÷îc t½nh nh÷ vªy công theo ành lþ gi¡ trà trung b¼nh

Cho u l  i·u háa tr¶n Ω v  B = BR(y) ⊂⊂ Ω Gradien cõa h m

u, Du công l  i·u háa tr¶n Ω theo ành lþ gi¡ trà trung b¼nh v  ành

2.5.2 ¡nh gi¡ b¶n trong mi·n èi vîi ¤o h m b§t ký

ành l½ 2.5.1

Cho u l  h m i·u háa trong Ω v  cho Ω l  tªp con compact b§t

ký cõa Ω Khi â cho mët ch¿ sè α b§t ký chóng ta câ

th nh mët hå

ành l½ 2.5.2

Mët d¢y b§t ký cõa c¡c h m i·u háa trong mët mi·n Ω chùa mëtd¢y con hëi tö ·u trong mi·n con compact cõa Ω ¸n mët h m i·uháa

ành lþ 2.5.2 ÷ñc suy ra trüc ti¸p tø ành lþ 2.4.2, ành lþ hëi tö

2.6 B i to¡n Dirichlet Ph÷ìng ph¡p h m i·u

2.6.1 Mð rëng kh¡i ni»m h m d÷îi i·u háa v  h m tr¶n

i·u háa

B¥y gií, chóng ta °t ra mët v§n · l  º ti¸p cªn vîi c¥u häi sü tçnt¤i nghi»m g¦n óng cõa b i to¡n Dirichlet cê iºn tr¶n mi·n tòy þ bàch°n º gi£i v§n · tr¶n chóng ta sû döng ph÷ìng ph¡p Perron cõac¡c h m i·u háa d÷îi [P E] m  chõ y¸u düa tr¶n nguy¶n lþ cüc ¤i

v  kh£ n«ng gi£i ÷ñc cõa b i to¡n Dirichlet tr¶n h¼nh c¦u Ph÷ìngph¡p n y câ mët sè °c iºm h§p d¨n l  ìn gi£n, ph¥n t½ch c¡c v§n

· tçn t¤i b¶n trong cõa c¡ch xû lþ iºm bi¶n cõa c¡c nghi»m v  câthº d¹ d ng mð rëng ¸n lîp thù hai cõa ph÷ìng tr¼nh Eliptic

Câ c¡ch ti¸p cªn kh¡c công ÷ñc bi¸t ¸n v· ành lþ sü tçn t¤inghi»m g¦n óng nh÷ ph÷ìng ph¡p cõa ph÷ìng tr¼nh t½ch ph¥n, v½

dö nh÷ trong c¡c cuèn s¡ch [KE2] [GU], v  ph÷ìng ph¡p bi¸n ph¥nho°c ph²p x§p x¿ cõa khæng gian Hilbert

ành ngh¾a C0(Ω) h m i·u háa d÷îi v  h m i·u háa tr¶n ÷ñckh¡i qu¡t nh÷ sau

ành ngh¾a 2.6.1

Mët h m u tr¶n C0(Ω) ÷ñc gåi l  h m d÷îi i·u háa (h m tr¶n

i·u háa) tr¶n Ω n¸u vîi måi h¼nh c¦u B ⊂⊂ Ω v  måi h m i·u háa

h tr¶n B thäa m¢n u ≤ (≥) h tr¶n ∂B, chóng ta câ u ≤ (≥) h trong