Giáo trình đại số tuyến tính phạm gia hưng, nguyễn thị hà, nguyễn thị thùy dung

Chương 1 nói về ma trận và định thức, với những khái niệm về ma trận, một số dạng ma trận và các phép toán trên ma trận; các khái niệm và các tính chất về định thức; khái niệm về ma trậ

GIÁO TRÌNH

ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

ĐẠI HỌC NHA TRANG

Bộ môn Toán 9/2019

PHAM G HUNG NGUYEN T HA, NGUYEN T.T DUNG

LINEAR ALGEBRA

NHA TRANG UNIVERSITY Maths Departement, September 2019

Lời giới thiệu

Mục đích của giáo trình là cung cấp những kiến cơ sở những chương đầu tiên của

môn Đại số tuyến tính cho những sinh viên học các ngành kỹ thuật và kinh tế; chúng tôi xem đây là tập đầu của môn học

Để phù hợp với tình hình chung hiện nay là thời lượng dành cho môn học quá ít

ỏi (2 tín chỉ) và sự phổ cập đại học làm cho khả năng tiếp thụ của các sinh viên quá chênh lệch nhau nên các vấn đề được trình bày khá tỉ mỉ, có nhiều ví dụ Hầu hết các kết quả đều được chứng minh là dành cho những độc giả muốn nghiên cứu chi tiết hơn

về môn học; còn đối với những người chỉ coi môn học như một công cụ thì chỉ cần hiểu ý nghĩa và biết cách sử dụng các kết quả đó

Nội dung của giáo trình gồm 3 chương Chương 1 nói về ma trận và định thức,

với những khái niệm về ma trận, một số dạng ma trận và các phép toán trên ma trận; các khái niệm và các tính chất về định thức; khái niệm về ma trận nghịch đảo, điều kiện khả nghịch và phương pháp tính ma trận nghịch đảo Chương 2 nói về hệ phương trình tuyến tính, với những khái niệm chung về hệ phương trình tuyến tính, hệ Cramer; khái niệm về hạng của ma trận và cách tìm hạng của ma trận; một số phương pháp giải

hệ phương trình tuyến tính Chương 3 nói về không gian véc-tơ n

 , với những khái niệm và các tính chất của không gian này; những khái niệm và các tính chất của hệ véc-tơ phụ thuộc tuyến tính và độc lập tuyến tính; Cơ sở và số chiều của không gian

n

 ; Tọa độ của vector theo một cơ sở; Ma trận chuyển cơ sở và công thức đổi tọa độ Cuối mỗi chương có tóm tắt các kiến thức quan trọng, tối thiểu và hệ thống bài tập để sinh viên tự làm Các bài tập chia thành mức độ: Mức 1 nhằm giúp người học

ôn luyện các kiến thức quan trọng, tối thiểu của chương; Mức 2 đòi hỏi người học phải hiểu sâu hơn về vấn đề, biết vận dụng các kiến thức tổng hợp để giải quyết

Lần đầu tiên giáo trình ra mắt bạn đọc không tránh khỏi những sai sót, mong bạn đọc góp ý để giáo trình có thể phục vụ các bạn tốt hơn

Nhóm tác giả

[ ]x B Tọa độ của véc-tơ x ttheo cơ sở B

dimn Số chiều của không gian n

2.3 Điều kiện tương thích và một số phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính 55

3.1 Không gian vector n

3.1.2 Độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính 75

3.2 Cơ sở và số chiều của không gian n

 Tọa độ của véc-tơ theo một cơ sở 81 3.2.2 Cơ sở và số chiều của không gian n

3.2.2 Ma trận chuyển cơ sở - Công thức đổi tọa độ 84

Chương 1

Ma trận và định thức

1.1 Các khái niệm cơ sở

1.1.1 Tập hợp

1) Khái niệm Tập hợp (gọi tắt là tập) và các phần tử của nó là những khái niệm cơ

bản của toán học không được định nghĩa, chúng được làm cơ sở để định nghĩa các khái niệm khác

Người ta thường mô tả tập hợp như một lớp hay một nhóm các đối tượng có chung những tính chất nào đó, chẳng hạn như tập các học sinh trong một lớp học, tập các nghiệm của một phương trình,…

Nếu x là phần tử thuộc (tương ứng, không thuộc) tập A thì ta viết x Î (tương A ứng, x Ï ) Ta nói A là tập con của B , ký hiệu A A ÌB , nếu mọi phần tử của A đều

là phần tử của B Nếu AÌB và B Ì thì ta nói A và B bằng nhau, ký hiệu A

A = Người ta quy ước rằng, một tập không chứa phần tử nào gọi là tập rỗng (hay B

tập trống), ký hiệu Æ , và tập rỗng là tập con của mọi tập hợp

2) Các cách cho tập hợp Để diễn tả tập hợp người ta thường liệt kê các phần tử của

tập hợp giữa các dấu ngoặc nhọn { }¼ hoặc nêu thuộc tính chung ( )P x của các phần

tử x trong tập hợp bằng cách viết { : ( )} x P x

Ví dụ 1.1.1 Tập A ={1, 2, 3, 4} cũng có thể mô tả dưới dạng

A= x Î £ £x , trong đó : {1, 2, 3, }= ¼ là tập các số tự nhiên

3) Các tập số Tập các số nguyên và tập các số hữu tỷ, tương ứng, là tập

Tập gồm các số hữu tỷ và vô tỷ được gọi là tập số thực, ký hiệu là 

4) Một số phép toán về tập hợp Hợp, giao, hiệu, tích Descates của hai tập A và B

tương ứng là những tập được cho bởi

 A BÇ :={x x: Î  ÎA x B},  A BÈ :={x x: Î  ÎA x B},

 A B\ := {x x: Î  ÏA x B},  A B´ :={( , ) :x y x Î  ÎA y B}, trong đó, các dấu “ ,  ” tương ứng đọc là “và, hoặc”

Ví dụ 1.1.2 Cho

{1, 2, 3, 4}

A = và B = {2, 4, 6} Khi đó

1.1.2 Mệnh đề toán học

1) Khái niệm Mệnh đề (toán học) là một khẳng định hoặc đúng hoặc sai Sai hay

đúng của một mệnh đề chỉ là quy ước

Ví dụ 1.1.4 Mệnh đề : (1 1p = + =2) là một mệnh đề đúng Mệnh đề : (2q   3) là một mệnh đề sai

2) Các phép toán về mệnh đề Ta có thể thực hiện các phép toán trên các mệnh đề

dưới đây để tạo dựng nên những mệnh đề mới phức tạp hơn

 Phủ định của mệnh đề p , ký hiệu p , là một mệnh đề đúng khi p sai và ngược

lại

Ví dụ 1.1.5 Nếu p =(1 1+ =2) là một mệnh đề đúng thì p =(1 1+ ¹ 2) là một mệnh đề sai Nếu q =(2> 3) là một mệnh đề sai thì q =(2£3) là một mệnh đề đúng

 Mệnh đề p kéo theo mệnh đề q , ký hiệu p  và đọc là ( p suy ra q ) hay q (nếu p thì q ), là một mệnh đề sai khi p đúng q sai và đúng trong những trường hợp còn lại Ta nói: p điều kiện đủ để có q và q điều kiện cần để có p

Như vậy, nếu p đúng q đúng thì p  đúng, còn nếu p sai thì dù q đúng hay q sai thì p  vẫn đúng Điều này có nghĩa là, nếu giả thiết p sai thì muốn kết luận q

q ra sao cũng được Khi làm toán người ta chỉ thường chú ý tới trường hợp giả thiết p

đúng mà thôi

Ví dụ 1.1.6 Ta có

(a <b)(b > 0) Vậy, (a <b) là điều kiện đủ để có (b > 0); (b > 0) là điều kiện cần để có (a < b)  Mệnh đề p tương đương với mệnh đề q , ký hiệu p  và đọc là ( p nếu và q chỉ nếu q ) hoặc ( p khi và chỉ khi q ) hay ( p là điều kiện cần và đủ của q ), là một mệnh đề hội bởi hai mệnh đề p  và q q  p

Ví dụ 1.1.7 Ta có

(a <b)(b >a), (x £a)  - £ £( a x a)

 Nếu mọi phần tử x thuộc tập A đều thỏa tính chất ( ) P x thì ta ký hiệu

Ví dụ 1.1.10 Mệnh đề ($!x Î  : x2 = 0) được đọc là (tồn tại duy nhấtx Î  sao

cho x =2 0) Ở đây, ký hiệu ( !$ ) được đọc là (tồn tại duy nhất)

3) Một số tính chất của các phép toán mệnh đề

a) (p q) (p q), b) (p q) (q  p),

c) (" Îx A P x: ( )) $ Î( x A P x: ( )), d) ($ Îx A P x: ( )) " Î( x A P x: ( ))

1.1.4 Phương pháp quy nạp toán học

Hình thức đơn giản và phổ biến nhất của phương pháp quy nạp toán học suy luận rằng một mệnh đề liên quan đến một số tự nhiên n sẽ đúng với tất cả các giá trị của n Cách chứng minh bao gồm hai bước sau:

1) Bước cơ sở: Chứng minh rằng mệnh đề đúng với số tự nhiên đầu tiên n(thông thường n =1 hoặc n =2)

2) Bước quy nạp: Chứng minh rằng, nếu mệnh đề đúng với một số số tự nhiên n =k

thì nó cũng đúng với n = +k 1 Giả thuyết ở bước quy nạp rằng mệnh đề đúng với

số n =k được gọi là giả thiết quy nạp Để thực hiện bước quy nạp, ta sử dụng giả thiết quy nạp để chứng minh mệnh đề đúng với n = +k 1

Ví dụ 1.1.13 Chứng minh rằng, với mọi số tự nhiên n ta luôn có

hay đơn giản là

m n

 Ký hiệu phần tử nằm ở hàng thứ i và cột thứ j của ma trận A là a hoặc ij

( )A Ký hiệu hàng thứ i và cột thứ j của A tương ứng là ij A A Tập các ma trận i*, *j

Định nghĩa 1.2.2 Ma trận đối của ma trận A, ký hiệu A- , là một ma trận mà các

phần tử của nó là đối của các phần tử của A

Định nghĩa 1.2.4 Cho A là ma trận cỡ m n ´ Ma trận chuyển vị của A, ký hiệu là

Các phần tử a a11, 22, ,a của ma trận vuông A được gọi là các phần tử chéo của A, nn hoặc ta cũng nói, chúng tạo nên đường chéo chính của A

 Ma trận đơn vị cấp , n ký hiệu là I hoặc đơn giản I , là ma trận vuông cấp n n

có các phần tử chéo đều bằng 1, còn các phần tử nằm ngoài đường chéo chính đều bằng 0, tức là ma trận có dạng

1 0 0

0 1 0:

 Tương tự, ma trận tam giác dưới là ma trận vuông có các phần tử nằm trên đường chéo chính đều bằng 0, tức là, ma trận ( ) n n

ij

A = a Î  ´ là ma trận tam giác dưới nếu a ij = khi i0 < j

1.2.3 Các phép toán trên ma trận

1) Cộng (/ trừ) ma trận Cho A và B là hai ma trận cùng cỡ m n ´ Tổng của A và

B , ký hiệu A B+ , là một ma trận có cỡ m n´ được xác định bởi

A+B = A + B " =i m j = n Nhắc lại rằng: ( ) ( ) ( ), ,

Nói cách khác, muốn nhân một số với một ma trận, ta nhân số đó với tất cả các phần tử của ma trận

nj

B B B

Nhận xét 1.2.2 Muốn có tích AB thì số cột của phải bằng số hàng của B Các tích

AB và BA nói chung không bằng nhau thậm chí một trong chúng hoặc cả hai không tồn tại Trường hợp đặc biệt khi A và B là hai ma trận vuông cùng cấp thì tích AB

và BA đều tồn tại, tuy nhiên, nói chung AB ¹ BA

Tính chất 1.2.3 Dưới đây ta hiểu rằng nếu một tích trong hai vế có nghĩa thì tích ở vế

là một hàng mới Ta gọi biểu thức đó là tổ hợp tuyến tính của các hàng A A1, , ,2 A k

Các số l l1, , ,2 l được gọi là các hệ số của tổ hợp tuyến tính đó Mỗi cách chọn các k

số l l1, , ,2 l ta được một tổ hợp tuyến tính của các hàng k A A1, , ,2 A k

l1 1A +l2A2 + + l k A k = B (1.1) Trong trường hợp này, ta nói rằng hàng B biểu diễn tuyến tính được qua các hàng

ïïî

Giả sử rằng tất cả các hệ số l l1, , ,2 l trong (1.1) đều bằng 0 Khi đó B k =O

Điều này có nghĩa là hàng không O luôn là một tổ hợp tuyến tính của k hàng bất kỳ

1, , ,2 k

Nếu đặt l = , còn tất cả các hệ số còn lại đặt bằng 0 ( i 1 l j = với j0 ¹ ) thì i

(1.1) trở thành 1.A i = B Do đó, mỗi hàng A của nhóm i A A1, , ,2 A có thể xem như k

một tổ hợp tuyến tính của nhóm A A1, , ,2 A k

Định nghĩa 1.2.7 Các hàng A A1, , ,2 A được gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu tồn tại k một tổ hợp tuyến tính của chúng là một hàng không O

l1 1A +l2A2 + + l k A k =O, (1.2) trong đó có ít nhất một trong các hệ số l l1, , ,2 l khác không Các hàng k

tuyến tính chỉ khi trong đẳng thức (1.2) có ít nhất một trong các hệ số l l1, , ,2 l k

khác không Còn nếu các hàng A A1, , ,2 A là độc lập tuyến tính thì đẳng thức (1.2) k

thoả mãn khi và chi khi tất cả các hệ số l l1, , ,2 l đều bằng 0 k

Chứng minh Giả sử các hàng A A1, , ,2 A là phụ thuộc tuyến tính Khi đó theo định k

nghĩa sẽ tồn tại các hệ số l1, ,l không đồng thời bằng không và thoả mãn hệ thức k

(1.2) Chẳng hạn giả sử l ¹ i 0 (i Î{1, , )k} Khi đó từ hệ thức (1.2) có thể biểu diễn hàng A như sau i

cả các điều khẳng định ở trên vẫn đúng nếu ta thay từ “hàng” bằng từ “cột”

a) Theo định nghĩa phép nhân ma trận, phần tử nằm ở hàng i cột j của tích AB bằng tích của hàng i của A với cột j của B , tức là

( )AB ij =A B i* *j

Do A và i* (AB là các ma trận hàng nên )i*

* 1* *(A i ) = A i và ((AB) )i* 1j =(AB)ij

Ta lại có

(A B i )j =(A i ) B j = A B i j =(AB)ijVậy ((AB) )i* 1j =(A B i* )1j nên (AB)i* = A B i*

cột j Công thức (1.3) được gọi là công thức khai triển định thức theo hàng thứ nhất

là định thức được suy từ  cách bỏ đi hàng 1 cột 3

Nhận xét 1.3.1 Có thể tính định thức cấp 3 bằng quy tắc Sarius được miêu tả như sau:

Định lý 1.3 Cho A n n Ta có công thức khai triển định thức theo cột thứ nhất

Chứng minh Để chứng minh Định lý, ta dùng phương pháp quy nạp Ta đã thấy công thức (1.6) đúng khi A là ma trận vuông cấp 1, 2 và 3 Giả sử (1.6) đúng với A là ma

trận vuông cấp n - Để chứng minh (1.6) đúng khi A là ma trận vuông cấp n ta 1dùng công thức (1.5) khai triển các định thức D D11, 21, ,D và dùng công thức (1.6) n1

khai triển các định thức D D11, 12, ,D theo các định thức cấp 1n n - của A ta sẽ thấy 2các số hạng ở vế phải của (1.5) và (1.6) sẽ trùng nhau

Ví dụ 1.3.4 Tính định thức D bằng cách khai triển theo cột thứ nhất Ta có

-Nhận xét 1.3.2 Khai triển định thức của ma trận tam giác dưới (cấp n ) theo hàng thứ

Định lý 1.4 Cho A Î n n´ Khi đó

detA T = detA ,

tức là, định thức của ma trận là một bất biến đối với phép chuyển vị, tức là

Chứng minh Để chứng minh Định lý, ta dùng phương pháp quy nạp Dễ kiểm tra tính chất đúng khi A là ma trận vuông cấp 2 Giả sử tính chất đúng với các ma trận vuông

cấp n - , ta sẽ chứng minh tính chất vẫn đúng khi A là ma trận vuông cấp n Ký 1hiệu

A= a A = a và D D ij, ij*lần lượt là định thức cấp n - có được bằng cách bỏ đi hàng i cột j của ,1 T

Nhận xét 1.3.3 Các định lý 1.3 và 1.4 cho thấy: trong một định thức vai trò của hàng

và cột là như nhau, nên mọi kết quả về định thức, nếu đã đúng với hàng thì cũng sẽ đúng cho cột và ngược lại

Định nghĩa 1.3.2 Các phép biến đổi sau đây trên ma trận hay định thức được gọi là

các phép biến đổi sơ cấp

a) Đổi chỗ hai hàng (hoặc hai cột) cho nhau Ký hiệu đổi chỗ hàng i và hàng j cho nhau (hoặc đổi chỗ cột i và cột j cho nhau):

(/ )

H  l H C  l C c) Thêm vào một hàng tích của một số với một hàng khác (hoặc thêm vào một cột

tích của một số với một cột khác) Ký hiệu thêm vào hàng i tích của số m với hàng j (hoặc thêm vào cột i tích của số m với cột j ) :

H  H +m H C C +m C

Định lý 1.5 Nếu đổi chỗ hai hàng (hoặc hai cột) cho nhau thì định thức đổi dấu

Chứng minh Trước hết ta đổi chỗ hàng 1 và hàng 2 của A cho nhau ta được ma trận mới A¢ Ký hiệu định thức cấp n - có được bằng cách bỏ đi hàng 1 cột j của ,1 A A¢

lần lượt là D D¢ với 1j, 1j j =1,n Theo công thức (1.5), ta có

và D¢ 11, D¢ …,12, D¢ là như nhau Khi đó ta sẽ thấy detA¢ bằng detA đổi dấu Nếu ta 1n đổi chỗ hàng 2 và hàng 3 của A cho nhau thì hàng 1 và hàng 2 của các định thức

i chiếm vị trí hàng k + , ta lại đưa hàng k đến vị trí hàng i cũ bằng 1 k - - lần i 1

đổi chỗ hai hàng liên tiếp Vậy việc đổi chỗ hai hàng i và k là kết quả của

Chứng minh Gọi định thức có hai hàng giống nhau là D Đổi chỗ hai hàng đó ta được

định thức mới ¢D = -D Nhưng do hai hàng giống nhau nên khi đổi chỗ hai hàng đó cho nhau định thức vẫn như cũ, tức là ¢D = D Vậy D = -D nên D = 0

D = - hay detA= -( 1)i+ 1D ¢Gọi D¢ là định thức cấp ij n- suy từ ¢1 D bằng cách bỏ đi hàng i và cột j , và lưu ý

rằng D1¢ =j D j ij( =1,n) Khai triển ¢D theo hàng thứ nhất, ta được

Điều này chứng minh công thức (1.7) Công thức (1.8) được chứng minh tương tự

Nhận xét 1.3.4 Định lý 1.6 cho thấy, có thể khai triển định thức theo bất kỳ hàng hoặc

cột nào, ta đều được cùng một kết quả

Ví dụ 1.3.9 Xét định thức D trong Ví dụ 1.3.1. v Khai triển định thức theo hàng 2, 2

-

Định lý 1.7 Nếu nhân một số với một hàng (hoặc một cột) thì định thức được nhân lên

số đó Hay nói cách khác, thừa số chung của một hàng (hoặc một cột) có thể mang ra

khỏi dấu định thức

Chứng minh Giả sử ta nhân số l với hàng i của detA ta được định thức mới ¢D

Khi đó, hàng i của ¢D là (l a i1,l a i2, ,l a in), còn các hàng khác giống các hàng của

detA, vì vậy D ij¢ = D j ij ( =1,n), trong đó D¢ là định thức cấp ij n- suy từ ¢1 D

bằng cách bỏ đi hàng i và cột j Khai triển ¢ D theo hàng i , ta được

Chứng minh Vì thừa số chung của hàng (hoặc cột) toàn số không là 0 nên ta có thể

Hệ quả 1.7.2 Định thức có hai hàng (hoặc hai cột) tỷ lệ với nhau thì bằng không

Chứng minh Đưa hệ số tỷ lệ ra ngoài dấu định thức thì được một định thức có hai

hàng (hoặc hai cột) giống nhau nên nó bằng không

Ví dụ 1.3.12 Ta có

3 6 = 1 2 =

Định lý 1.8 Nếu tất cả các phần tử của hàng thứ i (hoặc cột thứ j ) có dạng tổng

của hai số hạng thì định thức có thể phân tích thành hai định thức mà mỗi định thức mới có hàng thứ i (hoặc cột thứ j ) được tạo nên bởi một trong hai số hạng, còn các hàng (hoặc cột) khác vẫn giữ nguyên, tức là

do ở vế phải, định thức thứ nhất có cột 1 và cột 4 tỷ lệ với nhau (C4 = xC1), còn định thức thứ hai có cột 1 và cột 3 tỷ lệ với nhau (C1 =2C3) nên chúng bằng 0 theo Hệ quả 1.7.2

Định lý 1.9 Nếu định thức có một hàng (hay một cột) là tổ hợp tuyến tính của các

hàng khác (hay của các cột khác) thì định thức bằng không

Chứng minh Giả sử ma trận A có hàng i là tổ hợp tuyến tính của các hàng khác, tức

Định lý 1.10 Định thức không thay đổi nếu ta thêm vào một hàng nào đó tích của một

số với một hàng khác (hay thêm vào một cột nào đó tích của một số với một cột khác) Tổng quát, định thức không thay đổi nếu ta thêm vào một hàng nào đó tổ hợp tuyến tính của các hàng khác (hay thêm vào một cột nào đó tổ hợp tuyến tính của các cột khác)

Chứng minh Giả sử ta thêm hàng i của A tổ hợp tuyến tính của các hàng khác

Ở đây, định thức thứ hai ở vế phải bằng không theo Định lý 1.9

Nhận xét 1.3.5 Để tính định thức, ngoài việc các công thức khai triển định thức theo

một hàng hay một cột, ta có thể dùng các tính chất của định thức bằng cách sử dụng các phép biến đổi sơ cấp đưa định thức cần tính về định thức của ma trận tam giác

Ví dụ 1.3.15 Xét định thức D trong Ví dụ 3.1.2, ta có

2 2 1

3 3 1 1

4 7

-3 3 2

4 4 2

3 2

x x

= + (rút thừa chung của hàng 1 ra ngoài)

Tổng quát, với 1, , ,2 n n

k

A A A Î  ´ , ta có

det A A, , ,A k = det det detA A A k

Chứng minh Việc chứng minh Định lý khá phức tạp nên ta không trình bày ở đây

1.4.1 Định nghĩa ma trận nghịch đảo và điều kiện khả nghịch

Định nghĩa 1.4.1 Ma trận A Î n n´ được gọi là khả nghịch nếu tồn tại ma trận

1 n n

A- Î  ´ sao cho

AA- =A A- = I

Khi đó A- 1 được gọi là ma trận nghịch đảo của A

Rõ ràng nếu A là ma trận khả nghịch thì A- 1 cũng khả nghịch và nghịch đảo của 1

1 1

AA- = A A- = và AB I =BA= I Suy ra

Nhận xét 1.4.1 Trong thực hành, để tính ma trận nghịch đảo của ma trận vuông cấp 2

không suy biến A, ta chỉ cần lấy tích của 1

det A với ma trận vuông cấp 2 được suy từ A

bằng cách đổi chỗ hai phần tử trên đường chéo chính, còn hai phần tử trên đường chéo phụ giữ nguyên vị trí nhưng đổi dấu

1.4.2 Phương pháp Gauss-Jordan tìm ma trận nghịch đảo

Trong thực hành, để tìm ma trận nghịch đảo của ma trận không suy biến A, ta đặt các ma trận A và I cạnh nhau Người ta chứng minh được rằng, nếu dùng các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận, khi đưa A về I đồng thời sẽ đưa I về A- 1 Phương pháp này được gọi là phương pháp Gauss-Jordan (Xem tài liệu tham khảo [1], [2] hoặc [3])

Ví dụ 1.4.5 Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận A trong Ví dụ 1.1.4 trên đây bằng

bằng phương pháp Gauss-Jordan

Ta sẽ dùng các phép biến đổi sơ cấp thích hợp, trước hết làm cho các phần tử

dưới đường chéo chính của A đều bằng 0, sau đó làm cho các phần tử trên đường chéo chính của A đều bằng 0, cụ thể là

13 13 22

4 8

15 15

1.4.3 Phương trình ma trận

Định lý 1.14

a) Cho A Î n n´ khả nghịch và B Î n p´ Khi đó phương trình ma trận

AX =B có duy nhất nghiệm cho bởi X = A B- 1 Î n p´

b) Cho A Î n n´ khả nghịch và B Î p n´ Khi đó phương trình ma trận

XA= B có duy nhất nghiệm cho bởi X = BA- 1 Î p n´