PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH 7,0 điểm Câu I.. Hãy tính thể tích của khối lăng trụ nếu biết chiều cao của nó bằng 2.. PHẦN RIấNG 3,0 điểm Thớ sinh chỉ được làm một trong hai phần phần A
Trang 1TRƯờNG THPT chuyên
Hà Tĩnh
-***** -
Đề thi Thử Đại học lần iii, năm học 2010-2011
Môn : Toán ; Khối : A, B
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề.
I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I (2,0 điểm)
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số y = x3 - 3x2
2 Biện luận theo m số nghiệm của phơng trình x = x2m−3x
Câu II (2,0 điểm)
1 Tìm nghiệm x ∈( )0;π của phơng trình : 5cosx + sinx - 3 = 2 sin
4
2x π
2 Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số y =
1 2
2 2 3 log 2
2
+ +
mx x
x x
xác định ∀x∈R
Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân I = dx
x
x e
1
2 ) ln 1 ln(
Câu IV (1,0 điểm) Cho khối lăng trụ đứng ABCD.A1B1C1D1 có đáy là hình bình hành và có ∠BAD=450 Các đờng chéo AC và 1 DB lần lợt tạo với đáy các góc 451 0 và 600 Hãy tính thể tích của khối lăng trụ nếu biết chiều cao của nó bằng 2
Câu V (1,0 điểm) Giải hệ phơng trình :
= +
= +
− +
+
30 3
2
0 6 ) 3 2 ( 5 36 18
8
2 2
2 2
y x
xy y x xy y
II PHẦN RIấNG (3,0 điểm) Thớ sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B).
A Theo chương trỡnh Chuẩn:
Cõu VIa (2,0 điểm)
1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho cỏc đường thẳng d1: 3x+2y− =4 0; d2: 5x−2y+ =9 0
Viết phương trỡnh đường trũn cú tõm I d∈ 2 và tiếp xỳc với d tại điểm 1 A(−2;5)
2 Trong khụng gian tọa độ Oxyz, cho hỡnh thoi ABCD với ( 1 ; 2; 1), (2 ; 3 ; 2) A − B
Tỡm tọa độ cỏc đỉnh C, D biết tõm I của hỡnh thoi thuộc đường thẳng : 1 2
Cõu VIIa (1,0 điểm) Tỡm số phức z thỏa món z− =1 5 và 17(z z+ −) 5zz=0
B Theo chương trỡnh Nõng cao:
Cõu VIb (2,0 điểm)
1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đờng tròn (C) : x2 + y2 - 6x - 2y + 1 = 0 Viết phơng trình đờng thẳng (d) đi qua M (0;2) và cắt (C) theo dây cung có độ dài bằng 4
2 Trong khụng gian tọa độ Oxyz, viết phơng trình mặt phẳng (P) chứa trục Oy và (P) cắt mặt cầu
(S) : x2 + y2 + z2 - 2x + 6y - 4z + 5 = 0 theo giao tuyến là một đờng tròn có bán kính bằng 2
Cõu VIIb (1,0 điểm) Trong cỏc acgumen của số phức ( )8
1− 3i , tỡm acgumen cú số đo dương nhỏ nhất
- Hết
-Ghi chú : Thí sinh không đợc sử dụng tài liệu Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.–
Họ và tên thí sinh : -; Số báo
Trang 2danh: -TTT trờng THPTchuyên
Hà Tĩnh
kỳ thi Thử Đại học lần iii, năm học 2010 -2011
Môn: Toán - Khối: a, B
I
1.
(1đ)
y = x3 - 3x2
* Tập xác định : D = R
* Sự biến thiên :
− Giới hạn: limx→+∞y= +∞ xlim→−∞y= −∞
0.25
− Chiều biến thiên : y, = 3x2 - 6x = 3x(x-2)
Hàm số đồng biến trên các khoảng ( -∞; 0) và (2; +∞), nghịch biến trên khoảng (0;2)
− Bảng biến thiên :
x -∞ 0 2 +∞
y’ + 0 - 0 +
y 0 - 4
0.25
* Đồ thị :
y'' = 6x - 6 = 0 ⇔x = 1
Điểm uốn U(1;-2)
Đồ thị đi qua các điểm (-1;−4), (3; 0) và nhận điểm U(1;-2) làm
tâm đối xứng
0.25
2.
(1đ) x = x2m−3x ⇔ 2
3
Số nghiệm của pt bằng số giao điểm của đồ thị
y = x x2−3x ( x ≠0 và x ≠3) với đồ thị y = m
Ta cú y =
3 2 2
3 2
3
Lập bảng biến thiờn ta cú:
x -∞ 0 2 3 +∞
y’ + 0 + 0 - +
y
4 0
0
+/ m < 0 hoặc m > 4 thỡ pt cú 1 nghiệm.
+/ m = 0 pt vụ nghiệm.
+/ 0 < m < 4 pt cú 3 nghiệm.
+/ m = 4 pt cú 2 nghiệm.
0.25
0.25
0.25
0,25
x y
0
Trang 3II
1.
(1®) 5cosx + sinx - 3 = 2 sin
4
⇔2cos2x – 5cosx + 2 + sin2x – sinx = 0 ⇔(2cosx – 1 )(cosx – 2) + sinx( 2cosx – 1) = 0
+/ cosx + sinx = 2 vô nghiệm
Đối chiếu điều kiện x ∈(0;π) suy ra pt có nghiệm duy nhất là :
3
2
(1®) Hàm số xác định
0.25
Vì 3x2 + 2x + 2 > 0 x∀ , nên (*)
2
1 0
m
− <
2 2
m
− < <
Giải ra ta có với : 1 - 2≤ <m 1 thì hàm số xác định với x R∀ ∈ . 0,25
III.
(1®) Đặt lnx = t , ta có I =
1
2 0
ln(1+t dt)
∫ Đặt u = ln( 1+t2) , dv = dt ta có : du = 2 2 ,
1
t
dt v t
Từ đó có : I = t ln( 1+ t2)
1
Tiếp tục đặt t = tanu , ta tính được
1 2
01 4
dt t
π
= +
Thay vào (*) ta có : I = ln2 – 2 +
2
π
.
0.25
0.5
0.25
IV.
(1®)
Hình lăng trụ đứng nên cạnh bên vuông góc với đáy và độ dài cạnh bên bằng chiều cao của
hình lăng trụ Từ giả thiết ta có : ∠C AC1 =45 ,0 ∠B DB1 =60 0
Từ đó suy ra : AC = CC1 = 2 , BD = 2 cot 600 = 2
3 .
Áp dụng định lý cô sin có: BD2 = AB2 + AD2 – 2AB.AD cos450 ,
AC2 = DC2 +AD2 – 2DC.AD.cos1350 Ta có :
Từ đó V ABCD A B C D.1 1 1 1= AB.AD sin45 0 AA 1 = 4 2.2 4
0,5
0,5
Trang 4
V.
(1®)
Điều kiện xy 0≥ Nếu x = 0 suy ra y = 0 không thoả mãn pt (2) của hệ Nếu y = 0 cũng tương tự, vậy
xy > 0
Pt (1) của hệ ⇔8x2+18y2 +36xy=5(2x+3 ) 6y xy 2 3 6 5
6
xy
x y
+
0,5
6
t t xy
Xét f(t) = t + 1, t 2
t ≥ Ta thấy f’(t) = t22 1 0 t 2
t− > ∀ ≥ suy ra f(t) 5
2
Dấu = xẩy ra khi t = 2 hay khi 2x = 3y Thay vào pt (2) của hệ , suy ra hệ có nghiệm: x = 3 ; y = 2 0,5
VIa.
1
(1®)
2.
(1®)
Do đường tròn tiếp xúc với đường thẳng
1
d tại điểm A nên IA d⊥ 1
Vậy phương trình IA là:
2 x+ −2 3 y− = ⇔5 0 2x−3y+ =19 0
d2
d1 A
0.5
Kết hợp I d∈ 2nên tọa độ tâm I là nghiệm hệ 5 2 9 0 1 ( )1;7
I
Bán kính đường tròn R IA= = 13
Vậy phương trình đường tròn là: ( ) (2 )2
0,5
Gọi I(− − −1 ; ; 2t t + ∈t) d Ta có IAuur=(t; 2+ − −t; 1 t IB),uur= +(3 t;3+ −t t; )
Do ABCD là hình thoi nên uur uurIA IB = ⇔0 3t2+ + = ⇔ = −9t 6 0 t 1,t = −2 0,5
Do C đối xứng với A qua I và D đối xứng với B qua I nên:
* Với t= − ⇒1 I(0;1;1) ⇒C(1;0;1 ,) (D − −2; 1;0).
* Với t= − ⇒2 I(1; 2;0)⇒C(3; 2; 1 ,− ) (D 0;1; 2− ).
0.5
VIIa.
5
Thay (2) vào (1) được 24 24 5
5 a= ⇔ =a Kết hợp với (1) có b2 = ⇔ =9 b 3,b= −3
Vậy có hai số phức thỏa mãn bài toán là: 5 3i+ và 5 3i− .
0,5
Trang 51.
(1®)
(C) có tâm I(3;1) và b/k R =3 Giả sử (C) cắt (d) tại A , B Hạ IH ⊥AB thì H là trung điểm của AB suy
ra AH = 2 Tam gíac AHI vuông tại H nên IH = IA2−AH2 = 9 4− = 5
Vì (d) qua M(0;2) nên có pt A(x-0) +B(y-2) = 0 ( A2 + B2 ≠ 0) ⇔ Ax + By – 2B = 0
0,5
2 2
+ −
-1
2.
Vậy có 2 đt (d) phải tìm là : (d 1 ): 2x + y -2 = 0 và (d 2 ) : x – 2y + 4 = 0. 0.5
Phương trình (S) : (x-1)2 + (y + 3)2 + ( z -2)2 = 9 suy ra tâm I( 1; -3;2), b/k R = 3
(P) chứa Oy nên pt có dạng Ax + Cz = 0 với (A2 +C2 ≠0)
0.5
(P) cắt (S) theo đường tròn b/k r = 2 suy ra d(I,(P)) = R2 r2 5 A2 2C2 5 C 2A
+
+
Chọn A = 1 thì C = 2 Vậy pt mf (P) là : x + 2z = 0.
0.5
VIIb.
0,5
Theo công thức Moavơrơ ta có 2 cos(8 8 ) i sin( 8 )
acgumen là : 8 2 ,
− + ∈ Ta thấy với k = 2 thì acgumen dương nhỏ nhất của z là 4
3 π
. 0,5
Trang 6b.
0.25
0.5
0.25
−
