Gọi A, B lần lượt là giao điểm của đường thẳng đi qua các điểm cực trị, tiếp tuyến tại điểm cố định của đồ thị Cm với trục tung Oy.. A/ Phần đề bài theo chương trình chuẩn Câu VI.a: 1..
Trang 1nguyenhaibk48@yahoo.com.vn
SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO THANH HOÁ ĐỀ THI THỬ ĐH & CĐ (LẦN II) NĂM HỌC 2010 - 2011 TRƯỜNG THPT ĐÀO DUY TỪ Môn thi: Toán Khối thi: A (Ngày thi 09 tháng 04 năm 2011)
Đề chính thức Thời gian làm bài: 180 phút ( Không kể thời gian giao đề )
Đề thi bao gồm 01 trang, có 09 câu của hai phần.
PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH ( 07 điểm )
m
y = − + x 3x + m 1 x m 1 C + + +
1 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m = - 1
2 Gọi A, B lần lượt là giao điểm của đường thẳng đi qua các điểm cực trị, tiếp tuyến tại điểm cố định của đồ thị ( )Cm với trục tung Oy Tìm các giá trị thực của m để AB= 2
Câu II: 1 Giải phương trình lượng giác:
7
2 cos os
2 1
π
=
2 Giải hệ phương trình sau:
x 1
2 x 2 x 1
+
Câu III: Tính tích phân sau:
3
2
∫
Câu IV: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình thoi ABCD cạnh a, tâm O và góc A = 60o ; D’O vuông góc với (ABCD) ; cạnh bên tạo với đáy một góc ϕ = 60o Hãy tính diện tích xung quanh và thể tích hình chóp C.ADC’
Câu V: Cho các số thực x, y, z thỏa mãn x y z≥ ≥ >0 Chứng minh rằng: x y2 + y z2 + z x2 ≥ 2 + 2 + 2
PHẦN RIÊNG CHO TỪNG CHƯƠNG TRÌNH ( 03 điểm )
(Thí sinh chọn chỉ chọn một trong hai chương trình Chuẩn hoặc Nâng cao để làm bài.)
A/ Phần đề bài theo chương trình chuẩn
Câu VI.a: 1 Cho đường tròn (C): x2+y2 =5 và điểm P =( )3;4 Gọi A, B là các tiếp điểm của hai tiếp tuyến kẻ từ P Đường thẳng đi qua giao điểm của AB với trục Ox và vuông góc với Ox, cắt PA, PB lần lượt tại C, D Tìm tọa độ điểm E sao cho tam giác ECD là tam giác đều
2 Trong không gian Oxyz cho đường thẳng ( ) : 1 1
y
d + = − =− mặt phẳng (P): x +2y − z =0, đường thẳng (d’) là giao tuyến của 2 mặt phẳng ( )α :x+y+z =0, ( )β :2x+y−2z+2=0.Viết phương trình đường thẳng (∆), biết rằng (∆) vuông góc với (P) và (∆) cắt cả hai đường thẳng (d) với (d’)
Câu VII.a: XÐt c¸c ®iÓm A, B, C trong mÆt ph¼ng phøc theo thø tù biÓu diÔn c¸c sè phøc
4 ; (1 )(1 2 ); 2 6
+
− − T×m sè phøc biÓu diÔn bëi ®iÓm D sao cho tø gi¸c ABCD lµ h×nh vu«ng.
B/ Phần đề bài theo chương trình nâng cao
Câu VI.b: 1 Cho đường tròn ( )C : x 2 + y 2 + 10x 16 + = 0 và điểm T 1;0( ) Viết phương trình chính tắc của Hypebol (H) Biết (H) nhận tâm của đường tròn (C) làm một tiêu điểm và có hai tiệm cận lần lượt song song với hai tiếp tuyến kẻ từ điểm T đến dường tròn (C)
2 Cho mặt phẳng (P):x− 2y+ 2z− = 1 0 và các đường thẳng 1: 1 3 ; 2: 5 5
Tìm các điểm M∈ d , 1 N∈ d 2 sao cho MN song song với (P) và cách (P) một khoảng bằng 2.
1 log 2x 3x 1 log x 4x 3 x 1 0
………
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm Thí sinh không được sử dụng tài liệu
SBD: …………
Trang 2y
O
SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO THANH HÓA ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM
TRƯỜNG THPT DAOD DUY TỪ ĐỀ THI THỬ ĐH & CĐ (LẦN II) NĂM HỌC 2010 – 2011 Môn thi: TOÁN ( Khối A)
(Đáp án – thang điểm gồm 06 trang)
Ngày thi 09 tháng 04 năm 2011
ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM
m
Câu I
(2,0
điểm)
1 (1,0 điểm) Khảo sát…
• Với m = -1, hàm số là y = - x3 + 3x2 (C-1)
• Tập xác định: D R=
- Sự biến thiên: Giới hạn: lim , lim
x y x y
→+∞ = −∞ →−∞ = +∞
0,25
- Chiều biến thiên: y' = − 3x2 + 6 ; ' 0x y = ⇔ =x 0;x= 2 Bảng biến thiên:
0,25
Hàm số nghịch biến trên các khoảng ( −∞ ; 0) và (2; +∞ ); đồng biến trên khoảng (0; 2)
Hàm số đạt cực tiểu tại x= 0,y CT = 0; đạt cực đại tại x= 2,y CD = 2 0,25
• Đồ thị:
4
2
-2
-4
f x ( ) = -x 3 +3 ⋅ x 2
0,25
2.(1,0 điểm) Tìm m để AB = …
+/Ta có y’ = -3x2 + 6x + m + 1
Hàm số có cực trị khi và chỉ khi y’ = 0 có nghiệm và đổi dấu m > -4 0,25
+/Đường thẳng đi qua các điểm cực trị có phương trình:(2m+8)x – 3y + 4(m+1) = 0
Giao điểm với trục tung Oy là A 0;4m 4
3
+
0,25
+/Đồ thị (Cm) có điểm cố định là I= (-1; 4)
+/Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại I là: (m – 8)x – y + m – 4 = 0
+/Giao điểm của tiếp tuyến với trục tung Oy là: B(0; m – 4) 0,25
3
+
Câu II
(2,0
điểm)
1 (1,0 điểm) Giải phương trình lượng giác….
Điều kiện: sin 2x 0
cot x 1
≠
-−∞
0
_-
+ 0 0
y
Ta có: y” = -6x + 6, nên đồ thị có 1 điểm uốn là U(1; 2)
Đồ thị đi qua 2 điểm O(0; 0) và M(3; 0)
Trang 3nguyenhaibk48@yahoo.com.vn
Ta có: tan x cot x 1 v cosx cosà 7 x cos x sinx
π
2sin x cosx 2 sinx sinx 2 cos x 2 0 sinx 0
2 cosx
2
=
0,25
+/ sinx 0 = (loại)
2 4 , Do x= − +π k2 kπ ( ∈¢ )
0,25
2 (1,0 điểm) Giải hệ phương trình….
Điều kiện: ≥01
≥ −
x
y Đặt
+
x 1
2
có:
2 0
=
u v
Ta
Với u v= = 2:
+
+ =
x 1
e 2 x 1 ln 2
y 1 4
Câu III
(1,0
điểm)
Tính tích phân
2 2
xdx
1 x
=
= − −
0,25
( )
3 3
2 2
2 2
2
1
x
−
Tính
( )
2
−
Đặt u= 1 x ;u 0− 2 > Đổi cận: Khi x= ⇒ =1 u 3; khi x= 3 ⇒ =u 1
Ta có: u2 = −1 x2 ⇔x2 = −1 u2 ⇒xdx = −udu
Nên
2
0,25
I ln 3 ln 2 3
4
+
Câu IV
(1,0 Tính thể tích khối chóp……
Trang 4A B
D'
A' C'
B'
H
0,25
Từ giả thiết: ·D' DO 60= 0
Tam giác ABD đều, AC 2AO 2.a 3 a 3 v ODà 1BD a; DD'=a
Gọi O’ là tâm của hình thoi A’B’C’D’ Ta có: OO '= =a DD ' và OO '⊥ AC
(do AC⊥(BDD B' ')), nên diện tích tam giác ACC’ là:
∆ACC ' = 1 ACC 'A' =1 = 1 = a2 3
0,25
Diện tích tam giác ACD là S ACD a2 3
4
Kẻ OH vuông góc với CD thì D' H⊥CD v OD'H à∆ vuông tại O Do đó DH a
4
=
4
Diện tích tam giác C’CD là S C 'CD 1S CDD'C ' 1CD.D' H 1 a 15a a2 15
Vậy diện tích xung quanh của hình chóp C.ADC’ là:
0.50
3
'
∆
Câu V Chứng minh bất đẳng thức
Áp dụng BĐT Bunhiacopski cho 2 dãy số x y;y z;z x và x z;y x;z y
1
x y y z z x x z y x z y
0,25
Trang 5nguyenhaibk48@yahoo.com.vn
(1,0
điểm)
1 = 1 = 1
x y y z z x x z y x z y F
x y y z z x x z y x z y xyz
x y y x y z z y z x x z xyz
x y y z x z xy yz zx xyz
0,25
Suy ra x y2 y z2 z x2 x z2 y x2 z y2 2( )
z + x + y ≥ y + z + x
Từ (1) và (2) Ta được:
2
x y y z z x x y y z z x x z y x z y
0,25
Đẳng thức xảy ra ⇔ = = >x y z 0 (ĐPCM)
0,25
Câu
VI.a
1 (1,0 điểm) Tìm tọa độ các điểm A và B
I O
B
E P
D
A
C
Kí hiệu A=(x ;yA A) v B= x ;yà ( B B)
Đường thẳng đi qua các tiếp điểm A, B của đường tròn là: 3x 4y 5+ =
Suy ra giao điểm của AB với trục Ox là I 5;0
3
= ÷
0,25
Do các tứ giác QICA và QIBD nội tiếp, nên tam giác OCD cân tại O, suy ra Ox là
Mặt khác, ·OPB OAB OCD= · = · =α v OP=5à , nên sin 5
5
α =
Lại có cot CI 12 cot2 1 CI22 1 CI2 4OI2
α
3
0,25
Gọi E a;0 : EI( ) CD 3 10 3 a 5 10 3
0,25
Trang 6(2,0
điểm) Vậy có hai điểm thỏa mãn đề bài là: E 5 10 3;0 v E'=à 5 10 3;0
2 (1,0 điểm) Viết phương trình đường thẳng …
Chọn M= −( 2;2;0 , N) =(1; 2;1− )∈d', thì phương trình
x 1 3t ' d' : y 2 4t '
z 1 t '
= +
= − −
Gọi A, B là các giao điểm của ∆với d và d’ Khi đó tọa độ của A, B có dạng:
A= − +1 2t;1 2t; t v B = 1 3t '; 2 4t ';1 t '+ − à + − − +
0,25
Mặt phảng (P) có 1 VTPT là nr=(1;2; 1− ) và
Lại do ∆ ⊥( )P , nên nr=(1;2; 1− ) và ABuuur= + −(2 3t ' 2t; 3 4t ' 2t;1 t ' t− − − + + ) cùng
phương, hay 2 3t ' 2t 3 4t ' 2t 1 t ' t
− Giải hpt ta được
1
t ' , t 1 2
Vậy đường thẳng ∆xác định bởi A=(1;3; 1− ) và có 1 VTCP là nr=(1;2; 1− ) nên có
phương trình là: x 1 y 3 z 1
−
0,25
Câu
VII.a
(1,0
điểm)
Số phức…
( 4i i 1) ( )
4i
2 2i
+
(1 i 1 2i− ) ( + ) = +3 i Có điểm biểu diễn B= (3; 1)
( ) ( )
(2 6i 3 i) ( )
2 6i
2i
0,5
BC 3;1 BC = 10
uuur uuur ; lại có BA.BC 0uuur uuur= ⇔BA⊥BC Suy ra tam giác ABC vuông cân tại B
0,25
Gọi số phức cần tìm là z a bi; a,b= + ∈¡ Điểm D biểu diễn số phức z là: D=(a; b)
uuur uuur Vậy số phức z cần tìm là: z= − −1 i
0,25
1 (1,0 điểm) Viết phương trình Hypebol….
Đường tròn ( ) ( )2 2
C : x 5+ +y =9có tâm F= −( 5;0) và bán kính R = 3 Đường thẳng có phương trình x = 1 đi qua T (1;0) không là tiếp tuyến của (C)
Phương trình tiếp tuyến có dạng: kx y k 0 − − = ( )∆
0,25
Đường thẳng ( )∆ là tiếp tuyến của (C) (F; ) 2
3
∆
− −
+
Theo bài ra: Phương trình các đường tiệm cận của Hypebol (H) là: y 3x
3
= ±
0,25
Câu
VI.b
Phương trình chính tắc của (H) là: x22 y22 1
a −b = với a, b, c >0 và c2 =a2+b2
Trang 7nguyenhaibk48@yahoo.com.vn
(2,0
điểm)
Theo gỉa thiết: c = 5 nên
2
2
75
4
25
=
=
0,25
Vậy phương trình (H) cần tìm là:
1
2 (1,0 điểm) Tìm điểm thuộc đường thẳng
Phương trình tham số của d1 là:
1 2
3 3 2
z t
= +
= −
=
M thuộc d1 nên tọa độ M (1 2 ;3 3 ;2+ t − t t)
Theo đề bài:
( )
|1 2 2 3 3 4 1| |12 6 |
3
0,25
+ Với t1 = 1 ta được M1(3;0; 2);
+ Ứng với M1, điểm N1∈d2 cần tìm là giao của d2 với mp qua M1 và song song với
mp (P), gọi mp này là (Q1) PT (Q1) là: (x− −3 2) y+2(z− = ⇔ −2) 0 x 2y+ − =2z 7 0 (1)
Phương trình tham số của d2 là:
5 6 4
5 5
y t
= +
=
= − −
(2) Thay (2) vào (1), ta được: -12t – 12 = 0 ⇔ t = -1 Điểm N1 cần tìm là N1(-1;-4;0).
0,25
Câu
VII.b
(1,0
điểm)
Giải bất phương trình logarit
Điều kiện xác định:
( )
2 2 2
1
2
0,25
BPT
0,25
2
Vậy bất phương trình có tập nghiệm là: S ;1
2
Ghi chú: Nếu thí sinh làm cách khác mà đúng thì vẫn cho điểm tối đa
