Lý thuyết chương tích phân

Tài liệu là tổng hợp toàn bộ kiến thức chương nguyên hàm tích phân của THPT cùng các dạng bài tập tích phân cơ bản hay xuất hiện trong đề thi đại học.

§ Nguyên hàm

I Khái niệm nguyên hàm

- Cho hàm số f xác định trên K Hàm số F đgl nguyên hàm của f trên K nếu:

kx kxdx  

k

kx kxdx 

cos sin

C k

e dx e

x x

a b ax



a b ax

a dx

e axb  axb 

a dx b

a dx b

du u

u u

C u udu  

sin cos cosudu sinuC

C u du

a u

 du

2 u c u

IV Phương pháp tính nguyên hàm

1 Phương pháp đổi biến số

Nếu  f u du F u C( )  ( ) và u u x ( ) có đạo hàm liên tục thì:

f u x u x dx F u x ( ) '( )   ( )C

2 Phương pháp tính nguyên hàm từng phần

Nếu u, v là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K thì:

§ Tích Phân

I Định nghĩa :     F   b F a

a

b x F dx x f

a

dx x f dx x f

3 f x dx f x dx f x dx

c

a c

b b

a b

III Một số phương pháp tính tích phân :

1 Phương pháp đổi biến số :

Công thức tổng quát :

 Dạng 1: Nếu hàm số dưới dấu tích phân có dạng tích của f  x (hàm số theo biến là

 x

 ) với đạo hàm của hàm  x thì ta đặt t x dt' x dx

 Ghi nhớ : Khi tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số thì phải đổi cận

 Ta có cách đặt cụ thể :  fsinx cosxdx



2

cos

1tan







 Đặt t = tanx  Hoặc t = ptanx + q (p, q R)  Hoặc tn ptanxqnếu như biểu thức ptanxq nằm trongn

TH 5 :  Đặt t = cotx

 Hoặc t = pcosx + q (p, q R)  Hoặc tn pcotxqnếu như biểu thức pcotxq nằm trongn

t t n

m x

cos

1tan

sin

1cot







 Nếu gặp  



dx nx

t t n

m x

 Chú ý số 1 ở các tích phân có thể thay bằng 2

x

2 Phương pháp từng phần :

Giả sử cho u = u(x) và v = v(x) có đạo hàm liên tục trong miền D, khi đó :

+) Công thức tính nguyên hàm từng phần : udvuvvdu

+) Công thức tính tích phân từng phần :

Viết gọn:   b

a b

a

vdu a

b uv udv

Nhận dạng : hàm dưới dấu tích phân thường là tích của hai loại hàm số khác nhau

Chú ý : Ta chọn u sao cho dễ tính du nhất và chọn v sao cho dễ tìm nguyên hàm dv nhất

ax b

ax

e a

b ax a

b ax a v

dx x P du

e

b ax

b ax dv

x P u dx

e

b ax

b ax x

P

1 sin 1 cos 1 '

cos

sin cos

x x

x x

x x

x x

x x

3 2

2

3 3

sin sin sin

1 sin cos

sin

3 sin sin 3 4

1 sin sin

4 sin 3 3

x x

x x x

x x

x x

x

3 sin sin 4

1 3 sin sin 3 4

1 sin sin

sin cos

sin

3 sin sin 3 4

1 sin 3 2

3

4

1 4

1 3

sin 4

1 sin

4

1 3

sin sin 4

1

I I xdx x

xdx x

dx x x

v

dx du xdx

dv

x u

cos sin

v

dx du xdx

dv

x u

3 cos 3

1 3

sin 3

sin

a b

a

dx vu a

b uv dx

1 3

cos 3

1 3 cos 3

1

C x x

x xdx

xd v

dx du xdx

x v

dx du xdx

x dv

x u

3 2

2

3

1cos

coscos

sincos

1 cos

3

1 cos

1 cos

sin 1 3

1 cos

3

C x x

x x

1 sin 3

1 cos

x f

x f du dx

x P dv

x f u dx x f x P

'ln

b ax

a du dx

x P dv

b ax u

dx b ax x

2 2

3 4 2 2

3 4 2 2

2 3 2

6 4 3 12 1

1 2

2 3 4

1 2

2 3 4

' ln

x x x v

dx x x

x du x

x x v

dx x x

x du x

x x v

dx x x

x x du dx

x x x dv

x x u

x x x x x

x x x x

12

1ln

643121

x x x x x

x x x x

12

1ln

643121

x x x x I

1

1264312

1ln

64312

6 4 3 12

1

1264

1

6436432

2 3 2

x x

x x x x K

1

51511

36432

2 2

3

x  C x

x x

x dx x x x x

52

31

55118

Vậy I   x  x  x  x x  x  x  x 5x5 lnx1C

2

11 3

5 2

3 12

1 ln

6 4 3

ln sin

ln sin

ln cos ln

sin

ln cos

1

k

x dx x v

x x x

x du

dx x dv

x

x u

dx x

x x

I

k k

k k

b ax

b ax

e dv x

x u

dx x

x dv

e u

dx x

x e

cos sin

3 Công thức Walliss ( dùng cho trắc nghiệm ) :

x P

x P

thành tổng các phân thức đơn giản

* Trong chương trình THPT ta thường gặp các trường hợp sau đây :

A a

x

A a x

A a

x a x a x

x P

1 1

2 1

Các đa thức A1,A2, … , An đượcxác định bằng phương pháp đa thức đồng nhất hoặc phương pháp giá trị riêng

2  

c bx ax

x P

x P c

bx ax

x P

 Nếu ax2 bxccó nghiệm kép đưa biểu thức về dạng  

 

 2

x u

x P

x P

d cx

b ax x f

b ax

u

u x

u

u x





+ Nếu fsinx,cosx = fsinx,cosx, đặt u = tanx, lúc đó 2

2 2

1

sin

u

u x

 Dạng 3 : b   

a

n m

Z n m xdx

sin+ Nếu m lẻ, n chẵn : đặt u = cosx + Nếu m chẵn, n lẽ : đặt u = sinx + Nếu m, n chẵn : đặt u = tanx + Nếu m, n chẵn và dương : dùng công thức hạ bậc

2

2 cos 1

2

2 cos

t



 và

2 2

1 cos

1

t x

x a

dx C

dx c x b

x a

x b x a

B dx

A

cos sin

cos sin

sin cos

Tích phân  dx tính được

c x b

x a

x b x

sin cos

Tích phân  a sin x  dx b cos x  ctính được

)(

0 1 1

1

0 1 1

n n n

m m m m

b a b x b x

b x b

a x a x

a x a x Q

x P

*Khi m n thì chia P(x) cho Q(x) để được tổng của một đa thức với một phân thức thực sự (phân thức đúng)

*Khi m < n thì f(x) là một phân thức đúng

Vì mỗi đa thức bậc n với hệ số thực Q(x) luôn phân tích được thành tích những thừa số là nhị thức bậc nhất hoặc tam thức bậc hai vô nghiệm trong đó có thể có những thừa số trùng nhau Do vậy trong các phân thức đúng ta chú ý đến bốn dạng phân thức cơ bản sau :

A

) (  ; Dạng III : x px q

B Ax

B Ax

)



Trong đó k N; k  2và A,B,a,p,q  R ; p2- 4q < 0 (tức là x2+px+q vô nghiệm)

*Một phân thức đúng có thể phân tích thành tổng của những phân thức cơ bản nêu

trên (Dùng phương pháp đồng nhất hai đa thức)

Tổng quát cho cách phân tích :

) (

) ( ) (

) ( )

(

)

(

2 2

s lx x q px x b x a

x

x P x

)

2 1

a x

A a

x

A a

x A

)(

)(

)

1 1 2

2

1 1 2

2 1

s lx x

Q x P s

lx x

Q x P q

px x

N x M q

px x

N x M b

x

B b



x k

A a

x d a x A dx a x

k

1 ) ( 1 )

( ) ( )

k

a t

dt b

u

du b q px x

B Ax

) (

dx

d 5 28 6

x x dx

dx

a

b x a

b x

2 1

ln1

x x

x x x

4

b x a

dx c

bx ax

dx I

n mx

• Nếu mẫu có nghiệm kép xx0 tức là 2 2

0

( )

ax bx c a xx thì ta giả sử:

dx x

232 74 9

x x

dx x

52278 4

x x

dx x

3x2 x

dx

78

10x2 x

dx

5122

2

x x

dx x

 

1152

73

2

x x

dx x

   

964

118

2

x x

dx x

E

1 x-1 x 2x 2 t 1 t 1

2 0

2 -2

74

x x x

dx x

2

76

x x x

dx x

3711

2 2

3

7 2

2 2

251

132

2 2

2

3tdt 2 t

u ut 3t 2 t 2 t 2u 3

d cx

d cx

b ax t

14

32

532

0 0

t f

0 0

0 0

0

Bài toán 2 : Nếu f(x) liên tục trên đoạn  0,1 thì :    2  

0 2

0

cossin





dx x f dx x f

t x

0 0

2

coscos

2sin

Bài toán 3 : Nếu f(x) liên tục trên  0,1 thì :  

0

sin.f x dx

x =   f xdx

0

sin2

Bài giải : Đặt xtdxdt, đổi cận

t x

sinsin

Bài toán 4 : Nếu a > 0 và f(x) chẵn, liên tục trên R thì  0 ta có:    

dx x f a

dx x f

x

a

dx x f a

dx x f a

dx x f

'

'

x x

a

dx x f a a

dt t f a a

dt t

dx x f a

x x

Bài toán 5 : CMR: x a x dx x a x dx

a

m n

Bài giải : đặt xatdxdt, đổi cận :

a t x

a x dx a t t dt x a x dx

x

a

m n

a

n m a

3 Với a > 0, > 0 hàm số f(x) chẵn và liên tục trên đoạn ; thì x

C n

1 1

2

C x

C x n

b ax dx

b

ax

n n

11

b ax C b ax a

dx b ax

1 1

2

m n a

n dx

b

n m n

n a

n dx

n b

sin cos cosxdx sinxC

C x x

tan ln cos cotxdx ln sinx C

Mở rộng : 0

a dx

b

a dx b

a b

b

a dx b

Mở rộng : 0

    

C e

a a

a dx a

b ax b

dx

1

1 ln 2

1 1 2

x a

dx

ln 2

1 2 2

b ax

5 Nhóm hàm căn thức : ( a > 0 )

C x x

x x

C x

x x

x a

x dx

x

22

2 2 2 2

2

 x a dx x x a a x x2a C

2 2 2 2

2

ln22

Mở rộng : 0

b ax b

2 2 2

2 2

+

+

+ + – –

dx x

IX Phương pháp tính nhanh tích phân :

Lấy đạo hàm Lấy tích phân

2cos722

2sin57

x

x x

+

+ –

–

b.  x3 4x2  5x 6.ex dx

6 5

x e

x x e

x x

 3 4 2 5 6 3 2 8 5 6 8 6

§ Diện tích của hình phẳng và thể tích vật thể tròn xoay

a

dx x f I

b f(x) có các nghiệm c, d  a, b a, b với c < d thì ta có :

 x dx f x dx f x dx f

I

b

d d

c c



 x dx f x dx f x dx f

I

b

d d

c c

 Bước 3 : Rút gọn biểu thức f(x) – g(x), sau đó xét dấu của hiệu này

 Bước 4 : Dùng phép phân đoạn tích phân và áp dụng định nghĩa giá trị tuyệt đối để khử

dấu giá trị tuyệt đối

Chú ý: Nếu bài toán này được cho chung trong bài khảo sát hàm số thì ta dùng hình vẽ để khử

dấu giá trị tuyệt đối sẽ dễ dàng hơn Có nghĩa là, nếu trên một đoạn tích phân nào đó trên hình vẽ, (C1) nằm trên (C2) thì hiệu f(x) – g(x) 0 và ngược lại (C1) nằm dưới (C2) thì hiệu f(x) – g(x) 0

III Diện tích của hình phẳng được giới hạn bởi các đường không nằm trong TH 1:

 Bước 1 : Vẽ hình (không cần phải khảo sát)

 Bước 2 : Chia hình cần tính thành các hình nhỏ sao cho mỗi hình nhỏ tính được diện tích

Quanh trục Ox :  C :y f x ;Ox;xa;xb(trong đó hai đường xa; xb có thể thiếu 1 hoặc

 

f x dx V