2.1: Ph ơng pháp thế: Bớc 1: Từ một trong hai phơng trình của hệ, biểu thị một ẩn theo ẩn kia rồi thế vào phơng trình còn lại ta đợc một ph-ơng trình bậc nhất một ẩn.. Bớc 2: Giải phơng
Trang 1Tài liệu ôn thi vào lớp 10 năm học 2009 - 2010.
Ngày soạn: 25.05.10 Ngày dạy: 29.05.10
I kiến thức cần ghi nhớ
1 Hệ phơng trình bậc nhất 2 ẩn:
= +
= +
0
0
' 'x b y a
by ax
) 2 (
) 1 (
2 Cách giải
2.1: Ph ơng pháp thế:
Bớc 1: Từ một trong hai phơng trình của hệ, biểu thị một ẩn theo ẩn kia rồi thế vào phơng trình còn lại ta đợc một
ph-ơng trình bậc nhất một ẩn
Bớc 2: Giải phơng trình một ẩn vừa tìm đợc, từ đó suy ra nghiệm của hệ
2.2: Ph ơng pháp cộng đại số:
Bớc 1: Nhân hai vế của mỗi phơng trình với một số thích hợp (nếu cần) sao cho các hệ số của một ẩn nào đó trong hai phơng trình bằng nhau hoặc đối nhau
Bớc 2: áp dụng quy tắc cộng đại số ta đợc một phơng trình bậc nhất một ẩn
Bớc 3: Giải phơng trình một ẩn vừa thu đợc rồi suy ra nghiệm của hệ
2.3 Ph ơng pháp đặt ẩn phụ
- Đặt điều kiện để hệ có nghĩa - Đặt ẩn phụ và điều kiện của ẩn phụ (nếu có)
- Giải hệ theo các ẩn phụ đã đặt - Trở lại ẩn đã cho để tìm nghiệm của hệ
3 Một số dạng toán liên quan đến hệ phơng trình bậc nhất hai ẩn
Dạng 1: Giải và biện luận HPT
- Từ HPT đã cho, biến đổi để đợc một phơng trình dạng ax = b
- Biện luận: + Nếu a ≠ 0 thì x =
a
b
, từ đó tìm y và suy ra nghiệm của hệ
+ Nếu a = 0, ta có 0x = b Nếu b = 0 thì hệ VSN, nếu b ≠ 0 thì hệ vô nghiệm
Dạng 2: Xác định tham số m nguyên để hệ có nghiệm (x; y) nguyên
- Tìm nghiệm (x; y) của hệ theo tham số m - Viết x, y của hệ dới dạng: n +
)
(m
f
k
với n, k nguyên
- Tìm m nguyên để f(m) là ớc của k
Dạng 3: Hệ gồm ba phơng trình hai ẩn
- Chọn 2 trong 3 phơng trình của hệ, giải tìm nghiệm của hệ 2 phơng trình này
- Nếu nghiệm (x; y) vừa tìm thoả mãn phơng trình thứ 3 thì (x; y) là nghiệm của hệ đã cho, nếu nghiệm
(x; y) vừa tìm không thoả mãn phơng trình thứ 3 thì (x; y) không là nghiệm của hệ đã cho
Dạng 4: Xác định a, b để đồ thị hàm số y = ax + b đi qua hai điểm a, B
- Lần lợt thay toạ độ của A và B vào y = ax + b ta đợc hệ phơng trình hai ẩn a và b
- Giải HPT này ta tìm đợc a và b
ii Bài tập
Bài 1: Giải các HPT sau:
=
−
= +
1 2
7 4 3
y x
y x
) 2 (
) 1 (
;
=
−
= +
1 2 5
3 2
y x
y x
) 2 (
) 1 (
;
−
= +
=
−
2 2 2
1 3 2
y x
y x
) 2 (
) 1 (
;
= +
+ +
=
− + +
3 ) 2 1 ( ) 2 1 (
5 ) 2 1 ( ) 2 1 (
y x
y x
) 2 (
) 1 (
Đáp số: (1; 1); (
9
13
; 9
7 ); (
4
2 4
1
; 8
2 4
2
2
; 2
2 7
Bài 2: Giải các HPT sau:
= +
=
−
5 4 3
1 1 1
y x
y x
) 2 (
) 1 (
;
=
−
−
−
=
−
+
−
1 1
3 2 2
2 1
1 2 1
y x
y x
) 2 (
) 1 (
;
=
−
= +
1 3
5 3
2 2
2 2
y x
y x
) 2 (
) 1 (
HDẫn giải a ĐK x; y ≠0, hệ có nghiệm (
2
7
; 9
7 ) b ĐK x ≠2; y ≠ 1, hệ có nghiệm (
3
8
; 7
19 )
c Đặt X = x2, Y = y2 (X ≥ 0, Y ≥ 0), giải HPT ẩn phụ đợc X =
5
8
; Y = 5 1 , từ đó suy ra nghiệm HPT đã cho
Trang 2Tài liệu ôn thi vào lớp 10 năm học 2009 - 2010.
Bài 3: Giải và biện luận HPT: a
+
=
−
=
−
6 4
2
m my x
m y mx
) 2 (
) 1 (
; b
= +
=
−
= +
m y x
y x
y x
4 2
5 3 2
) 3 (
) 2 (
) 1 ( HDẫn giải a Từ (1) biểu thị y qua x và thay vào (2) đợc (m2 - 4)x = (2m + 3)(m - 2) (3)
+ Nếu m2 - 4 ≠ 0 hệ có nghiệm
+
− +
+
2
; 2
3 2
m
m m
m
+ Nếu m = 2, (3) TM mọi x, hệ VSN (x; 2x - 4)
+ Nếu m = -2, (3) trở thành 0x = 4, hệ VN
b Giải HPT lập bởi (1) và (2) đợc x =
5
11
; y = 5
1 Thay vào (3) đợc m = 3 Vậy với m = 3 HPT có …
Bài 4: Cho HPT:
= +
−
−
= +
−
0 ) 3 (
1 4
) 2 (
y m x
m y x m
) 2 (
) 1 (
a Giải hệ khi m = -1 b Giải và biện luận HPT đã cho theo m
HDẫn giải a (2; 1) b Từ (2) biểu thị x qua y và thay vào (1): (m - 1)(m + 2) = m - 1 (3)
+ Nếu m = 1 hệ VSN + Nếu m = -2hệ VN + Nếu m ≠1 và m ≠ -2 hệ có nghiệm (
2
1
; 2
3
+ +
+
m m
m
)
Bài 5: Xác định m nguyên để hệ sau có nghiệm duy nhất (x; y) với x, y nguyên:
−
= +
+
= +
1 2 2
1 2
m my x
m y mx
) 2 (
) 1 ( HDẫn giải Từ (1) biểu thị y qua x và thay vào (2) ta đợc (m2 - 4)x = (m - 1)(m - 2) Hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ
khi m ≠ ± 2,
+
−
= +
+
=
+
−
= +
−
=
2
3 2 2
1 2
2
3 1 2 1
m m
m y
m m
m x
x, y nguyên thì m + 2 phải là ớc của 3, m ∈ {-1; -3; 1; -5}
Bài 6: Xác định a và b để đồ thị của hàm số y = ax + b đi qua hai điểm A và B trong mỗi trờng hợp sau
a A (2; -2) và B (-1; 3) b A (-4; - 2) và B (2; 1)
HDẫn giải Thay toạ độ của A, B vào y = ax + b và giải HPT lập đợc, từ đó ta có a, b
Bài 7: Cho HPT:
= +
=
− +
a y ax
y x
(
a Giải hệ với a = - 2 b Xác định a để hệ có nghiệm duy nhất thoả mãn điều kiện x + y > 0
HDẫn giải a
−
+
−
−
2 2 1
2 2 2
; 2 2 1
2 3
b Cộng hai PT lại: (2a + 1)x = a + 3 Với a ≠
2
1
hệ có nghiệm duy nhất x + y
=
1
2
3
2
+
+
−
a
a
a , vì a2 a + 3 > 0 nên x + y > 0 khi và chỉ khi 2a + 1 > 0 hay a >
-2
1 Bài 8: Một ô tô và một xe đạp chuyển động từ hai đầu một quãng đờng dài 156 km sau 3 giờ thì gặp nhau Nếu đi cùng chiều và xuất phát tại một địa điểm, sau 1 giờ hai xe cách nhau 28 km Tính vận tốc mỗi xe
HDẫn giải Vôtô = 40km/h; Vxe đạp = 12km/h
Bài 9: Hai vòi nớc cùng chảy vào một cái bể cạn nớc, sau 4
5
4 giờ thì đầy bể Nếu lúc đầu chỉ mở vòi thứ nhất, sau 9 giờ mở vòi thứ hai thì sau
5
6 giờ nữa mới đầy bể Nếu một mình vòi thứ 2 chảy bao lâu sẽ đầy bể
ĐS: 8 giờ
Bài 10 Nhà Lan có một mảnh vờn trồng rau cải bắp Vờn đợc đánh thành nhiều luống, mỗi luống trồng cùng một số cây cải bắp Lan tính rằng: Nếu tăng thêm 8 luống rau, nhng mỗi luống trồng ít đi 3 cây thì số cây toàn vờn ít đi 54 cây Nếu giảm đi 4 luống, nhng mỗi luống trồng tăng thêm 2 cây thì số rau toàn vờn sẽ tăng thêm 32 cây Hỏi vờn nhà Lan trồng bao nhiêu cây cải bắp (số cây trong các luống nh nhau)
32 )
2 )(
4 (
54 )
3 )(
8 (
=
=
⇒
+
= +
−
−
=
− +
y x
xy y
x
xy y
x
Trang 3Tài liệu ôn thi vào lớp 10 năm học 2009 - 2010.
Buổi 8 Chủ Đề 8: phơng trình bậc hai Một số phơng trình, hệ phơng
trình đa về phơng trình bậc hai
Ngày soạn: 25.05.10 Ngày dạy: 30.05.10
I kiến thức cần ghi nhớ
1 Phơng trình bậc hai một ẩn: ax2 + bx + c = 0 (a ≠0), ∆ = b2 - 4ac
+ Nếu ∆ > 0, PT có hai nghiệm phân biệt: x1 =
a
b
2
∆ +
2 =
a
b
2
∆
−
+ Nếu ∆ = 0, PT có nghiệm kép x1 = x2 =
-a
b
2 + Nếu ∆ < 0, PTVN
2 Xác định tham số để hai PT có nghiệm chung
- Giả sử x0 là nghiệm chung của của hai PT Thay x = x0 vào hai PT ta đợc hệ với ẩn là các tham số
- Giải hệ tìm tham số
- Thử lại với tham số vừa tìm , hai PT có nghiệm chung hay không
3 Hệ thức Viet
3.1 Định lí: Nếu x1; x2 là hai nghiệm của PT ax2 + bx + c = 0 (a ≠0) thì
=
−
= +
a
c x x
a
b x x
2 1
2 1
3.2 Tìm hai số biết tổng và tích của chúng Nếu hai số có tổng bằng S và tích bẳng P thì hai số đó là hai nghiệm của PT: X2 - SX + P = 0 Điều kiện để có hai số đó là: S2 - 4P ≥ 0
4 Phân tích ax2 + bx + c thành nhân tử:
Nếu PT ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm x1, x2 thì ax2 + bx + c = a(x - x1)(x - x2)
5 Dấu nghiệm số của PT bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a ≠0)
+ Hai nghiệm trái dấu ⇔P < 0 + Hai nghiệm cùng dấu ⇔
>
≥
∆
0
0
P
+ Hai nghiệm dơng phân biệt ⇔
>
>
>
∆
0 0 0
P
S + Hai nghiệm âm phân biệt ⇔
>
<
>
∆
0 0 0
P
6 Một số phơng trình quy về phơng trình bậc hai
6.1 Phơng trình trùng phơng: ax4 + bx + c = 0 (a ≠ 0) Đặt t = x2 (t ≥ 0) ta đợc PT at2 + bt + c = 0 GiảI PT
ẩn t, từ đó suy ra nghiệm của PT đã cho
6.2 PT chứa ẩn ở mẫu thức
Bớc 1: Tìm ĐKXĐ của PT Bớc 2: Quy đồng mẫu thức hai vế rồi khử mẫu
Bớc 3: Giải PT vừa nhận đợc Bớc 4: Trong các giá trị tìm đợc, giá trị thoả mãn ĐKXĐ là Ng của PT 6.3 Phơng trình tích
- Phân tích vế trái thành nhân tử, vế phải bằng 0 - Giải PT tích
6.4 Phơng trình bậc 4 dạng (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = m (1) với a + b = c + d
Phơng pháp giải: (1) ⇔[x2 + (a + b)x + ab][x2 + (c + d)x + cd] = m Đặt t = x2 + (a + b)x ta đợc PT bậc 2 (t + ab)(t + cd) = m Giải tìm t, từ đó tìm x bằng cách giải PT: x2 + (a + b)x - t = 0
6.5 Phơng trình có chứa căn thức áp dụng một trong các phơng pháp:
- Đặt ẩn phụ, điều kiện của ẩn phụ
- Đặt điều kiện rồi bình phơng hai vế khi khi hai vế đều dơng
6.6 Phơng trình chứa dấu GTTĐ áp dụng một trong các phơng pháp:
- Đặt ẩn phụ, điều kiện của ẩn phụ
- Bỏ GTTĐ bằng định nghĩa:
−
=
x
x x
neu
neu
0
0
<
≥
x x
Trang 4
Tài liệu ôn thi vào lớp 10 năm học 2009 - 2010.
7 Hệ PT đối xứng hai ẩn Hệ gọi là đối xứng hai ẩn x, y nếu hệ không thay đổi khi thay x bởi y, y bởi x Cách giải: - Đặt S = x + y; P = xy - Đa hệ đã cho về hệ mới với ẩn S, P - Giải tìm S, P, khi đó x, y
là nghiệm của PT X2 - SX + P = 0 Chú ý: Nếu (x; y) là nghiệm thì (y; x) cũng là nghiệm
ii Bài tập
Bài 1: Không giải PT, hãy cho biết mỗi phơng trình sau đây có bao nhiêu nghiệm
a 15x2 + 4x - 2010 = 0 (a.c < 0, PT có hai nghiệm phân biệt)
b
-5
19
x2 - 7x + 1890 = 0 (a.c < 0, PT có hai nghiệm phân biệt)
Bài 2: Dùng công thức nghiệm, giải các phơng trình sau
a 2x2 - 7x + 3 = 0 b 6x2 + x + 5 = 0 c y2 - 8y + 16 = 0
Bài 3: Vì sao khi a > 0 và phơng trình ax2 + bx + c = 0 vô nghiệm thì ax2 + bx + c > 0 với mọi giá trị của x HDẫn giải: Ta có: ax2 + bx + c = a(x2 +
a
b
x +
a
c
) = a(x2 + 2.x
a
b
2 +
a
b
4
2
+
a
b a
c
4
2
− ) = a(x2 + 2.x
a
b
2 +
a
b
4
2
) +
a(
a
b
a
c
4
2
a
b
2 )2 +
a
b ac
4
4 − 2 PT ax2 + bx + c = 0 vô nghiệm, ta có ∆ = b2 - 4ac < 0 hay 4ac - b2 > 0
Với a > 0 ta có
a
b ac
4
4 − 2 > 0, suy ra ax2 + bx + c = a(x +
a
b
2 )2 +
a
b ac
4
4 − 2 > 0 với mọi giá trị của x.
Bài 4: Cho phơng trình (ẩn x): x2 - 2(m - 1)x + m2 = 0 Với giá trị nào của m thì PT có hai nghiệm phân biệt,
có nghiệm kép, vô nghiệm
HDẫn giải: Tính ∆ PT có 2 nghiệm phân biệt khi ∆ > 0, có nghiệm kép khi ∆ = 0, VN khi ∆ < 0
Bài 5: Giải và biện luận phơng trình: (m - 2)x2 - 2(m + 1)x + m = 0
HDẫn giải: Xét a = 0 và a ≠0 Với a = 0, PT có nghiệm x =
3
1
Với a ≠0, PT có ∆ = 4m + 1
+ Nếu ∆ < 0 PTVN + Nếu ∆ = 0, PT có nghiệm kép x1 = x2 =
3
1
−
+ Nếu ∆ > 0, PT có hai nghiệm phân biệt x1, 2 =
2
1 4 1
−
+
± +
m
m
Bài 6: a Giải HPT
= +
=
− +
x x y
y x
4
0 5 2
2 (2)
) 1 (
HDẫn giải: Rút y từ (1) thay vào (2) tìm đợc x từ đó tìm đợc y
Hệ có nghiệm (1; 3) và (5; -5)
Bài 7: Cho hai PT x2 + x + a = 0 và x2 + ax + 1= 0
a Xác định a để hai PT trên có nghiệm chung b Xác định a để hai PT tơng đơng
HDẫn giải: a Giả sử x0 là nghiệm chung của 2 PT, ta đợc
= + +
= + +
0 1
0
0
2 0 0
2 0
ax x
a x x
) 2 (
) 1 (
Giải ra ta đợc a = 1, x0 = 1 Với a = 1, ta có PT x2 + x + 1 = 0 VN
Với x0 = 1, ta tìm đợc a = -2 Với a = -2, ta tìm đợc các nghiệm mỗi PT Nghiệm chung x = 1
b Hai PT tơng đơng khi chúng có cùng tập nghiệm Nếu chúng có nghiệm chung thì theo câu a, hai PT có tập nghiệm khác nhau Vậy để hai PT tơng đơng thì cúng phải cùng vô nghiệm, tức là: 2
4
1 <a<
Bài 8: Tìm giá trị của m để PT có nghiệm, rồi tính tổng và tích các nghiệm theo m
a x2 - 2x + m = 0 b x2 + 2(m - 1)x + m2 = 0
HDẫn giải: a PT có nghiệm khi ∆ ≥ 0 ⇔m ≤ 1 S = 2, P = m b m ≤
2
1
, S = -2(m - 1), P = m2 Bài 9: Nhẩm nghiệm các PT sau: a (2 - 3)x2 + 2 3x - (2 + 3) = 0 b (m - 1)x2 - (2m + 3)x + m + 4 = 0
c 2009x2 - x + 2010 = 0 Đáp số: a: 1 và -(2 + 3)2 b: 1 và
1
4
−
+
m
m
c: -1 và -
2009
2010
Bài 10: Cho PT x2 - 2(m - 1)x + m + 1 = 0 Định m để PT:
Trang 5Tài liệu ôn thi vào lớp 10 năm học 2009 - 2010.
a Có hai nghiệm trái dấu b Có hai nghiệm dơng phân biệt c Có đúng một nghiệm dơng
HDẫn giải: Tính ∆ = m(m - 3), S = 2(m - 1), P = m + 1
a P < 0 ⇒ m < -1 b ∆ > 0, S > 0 và P > 0 ⇒ m > 1.
c Có 3 trờng hợp sau xảy ra:
0 1
0 ) 3 ( 0
'
0 '
=
⇔
>
−
=
−
⇔
>
−
=
∆
m m
m m a
b
c2 PT đã cho có hai nghiệm trái dấu ⇔P < 0 ⇔m < -1.
c3 PT đã cho có một nghiệm bằng 0 và 1 nghiệm dơng: (1) có nghiệm x1 = 1⇔m + 1= 0 ⇔m = -1, khi đó
(1) ⇔x2 + 4x = 0 ⇔x = 0 hoặc x = -4 Vậy với m = 3 hoặc m < -1 thì PT có đúng một nghiệm dơng.
Bài 11: Xác định m để PT x2 + 2x + m = 0 có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn 3x1 + 2x2 = 1
HDẫn giải: PT có nghiệm ⇔ ∆ ≥ 0 ⇔m ≤ 1 Theo GT và Viet ta có:
= +
=
−
= +
1 2 3
2
2 1
2 1
2 1
x x
m x x
x x
) 3 (
) 2 (
) 1 (
⇒ m = -35.
Bài 12: a Giả sử x1, x2 là nghiệm của PT x2 + mx + 1 = 0 Tính giá trị các biểu thức sau: x1 + x2; 2
1
2 2 2 2
2 1
x
x x
x
+ .
b Giả sử x1, x2 là nghiệm của PT x2 + 2mx + 4 = 0 Xác định m sao cho x1 + x2 ≤ 32
HDẫn giải: a PT có nghiệm: m ≥ 2 Ta có S = -m, P = 1; x1 + x2 = (x1 + x2)3 - 3x1x2(x1 + x2)= -m3 + 3m
1
2 2 2
2
2
1
x
x x
x
2 1
2 2
2 1 1
2 2 1 2
1
2 2
−
=
−
+
=
−
+
m m P
P S x
x
x x x
x x
x x
x x
x
b PT có ng0: m ≥ 2; x1 + x2 = (S2 - 2P)2 - 2P2; ta có S = -2m, P = 4; x1 + x2 ≤ 32 ⇔ m ≤ 2 ĐS m = ±2
Bài 13: Giả sử x1, x2 là nghiệm của: x2 - 2(m - 1)x + m2 - 1 = 0 Tìm hệ thức giữa x1, x2 không phụ thuộc m HDẫn: PT có nghiệm: m ≤ 1, áp dụng Viet tính S và P sau đó rút m từ S và thay vào P đợc 4P = S2 + 4S = … Bài 14: Giải hệ phơng trình:
= +
= + +
5
5
2
2 y x
xy y x
(HPT đối xứng 2 ẩn) HDẫn: Viét tìm đợc S = -5, S = 3 Với S = -5 ta có P = 10; x, y là nghiệm PT X2 + 5X + 10 = 0: PTVN
Với S = 3 ta có P = 2; x, y là nghiệm PT X2 - 3X + 2 = 0 ⇔X = 1, X = 2 Hệ có hai nghiệm (1; 2) và (2; 1).
Bài 15: Giải các PT sau:
a 2x4 - 3x2 - 2 = 0 b
x x
x
−
= +
−
+
2
6 3 5
2
c x3 + 3x2 - 2x - 6 = 0 d (x2 - 4x + 2)2 + x2 - 4x - 4 = 0
e (x - 1)(x + 5)(x - 3)(x + 7) = 297 f.(x + 3)4 + (x + 5)4 = 2 g 3x+7− x+1=2 h x2 + x−1 = 2x + 1 HDẫn giải a Đặt t = x2 (t ≥ 0), giải PT đợc t1 = 2; t2 =
-2
1
(loại) ⇒ S = {- 2; 2}.
b ĐK x ≠ 2; x ≠ 5 PT đã cho ⇔4x2 - 15x - 4 = 0 Giải PT đợc x1 = 4; x2 =
-4
1
TMĐK
c x3 + 3x2 - 2x - 6 = 0 ⇔(x + 3)(x2 - 2) = 0 ⇒ x = - 3, x = ± 2 ⇒ S = {-3; - 2; 2}.
d (x2 - 4x + 2)2 + x2 - 4x - 4 = 0 Đặt x2 - 4x + 2 = t, ta đợc PT t2 + t - 6 = 0 Giải ra đợc t1 = 2; t2 = -3
Với t1 = 2, ta có x2 - 4x + 2 = 2 ⇒ x1 = 0; x2 = 4 Với t2 = -3, ta có x2 - 4x + 2 = -3, PTVN
e (x - 1)(x + 5)(x - 3)(x + 7) = 297 ⇔(x2 + 4x - 5)(x2 + 4x - 21) = 297
Đặt x2 + 4x - 5 = t thì x2 + 4x - 21 = t - 16, ta đợc PT t2 - 16t - 297 = 0 ⇒t1 = -11; t2 = 27
Với t1 = -11, ta có PT x2 + 4x + 6 = 0 VN Với t2 = 27, ta có PT x2 + 4x - 32 = 0 ⇒ x = 4 và x = -8
2
5
3+ = x+ ⇒x=t− Ta có: (t - 1)4 + (t + 1)4 = 2 ⇔t4 + 6t2 = 0
⇔t = 0 ⇔x = -4 Vậy S = {-4}.
Trang 6Tài liệu ôn thi vào lớp 10 năm học 2009 - 2010.
g 3x+7 − x+1=2 ĐK
≥ +
≥ +
0 1
0 7 3
x
x
−
≥
−
≥
⇔
1 3 7
x
x
1
−
≥
⇔ x PT ⇔ x2 - 2x - 3 = 0 ⇔x = -1; x = 3 TMĐK.
h x2 + x−1 = 2x + 1 (1) Xét 2 trờng hợp
TH1: Với x ≥ 1, (1) trở thành x2 + x - 1 = 2x + 1 ⇔ x2 - x - 2 = 0 ⇔x = -1 (loại); x = 2 TMĐK.
TH2: Với x < 1, (1) trở thành x2 - 3x = 0 ⇔x = 0 (TMĐK); x = 3 (loại Vậy PT có nghiệm x = 0 và x = 2.
4 4
2
m x
m m
x
x m x
x
−
=
−
+
ĐK: x ≠ ±m, MTC 4(x2 - m2) PT đã cho ⇔12x2 - 4mx - m2 = 0 (1) Ta có ∆ = 16m2 ⇒ x1 =
2
m
; x2 =
-6
m
KTra x1 =
2
m
≠ ± m ⇔m ≠0; x2 =
-6
m
≠ ± m ⇔m ≠0 KL: m = 0 PTVN, m ≠ 0 PT có x1 =
2
m
; x2 =
-6
m
Cấu trúc đề thi tuyển sinh vào lớp 10 thpt năm học 2010 - 2011
(Kèm theo QĐ số 290/QĐ-SGD&ĐT ngày 18.05.2010 của GĐ Sở GD & ĐT)
Môn Toán
Câu 1: (2 điểm): Biểu thức đại số.
1 Biến đổi biểu thức để rút gọn biểu thức
2 Toán liên quan đến giá trị của biểu thức hoặc biến
Câu 2: (2 điểm): Hàm số, đồ thị và hệ phơng trình.
1 Đờng thẳng y = ax + b hoặc parabol y = ax2
2 Hệ phơng trình
3 Giải bài toán bằng cách lập HPT
Câu 3: (2 điểm): Phơng trình bậc hai hoặc phơng trình quy về bậc hai.
1 Phơng trình bậc hai
2 Hệ thức Viét và ứng dụng
3 Phơng trình quy về bậc hai
Câu 4: (3 điểm): Hình học.
1 Tứ giác nội tiếp
2 Hệ thức trong tam giác
3 Đoạn thẳng bằng nhau, góc bằng nhau
4 Ba điểm thẳng hàng
5 Độ dài đoạn thẳng
6 Số đo góc
7 Diện tích, thể tích
8 Quan hệ giữa đờng thẳng
9 Cực trị hình học
Câu 5: (1 điểm): Một số bài toán yêu cầu cao hơn về kĩ năng vận dụng kiến thức trong chơng trình THCS.
1 Bất đẳng thức
2 Cực trị
3 Phơng trình, hệ phơng trình
4 Phơng trình nghiệm nguyên
Trang 7Tài liệu ôn thi vào lớp 10 năm học 2009 - 2010.
đề Tự luyện số 1.
(Thời gian làm bài: 120 phút)
1
a
a Tìm điều kiện của a để P xác định
b Rút gọn P
c Tìm các giá trị của a để P > 0 v P < 0.à
Câu 2 (2đ) 1 Giải phơng trình sau: -5x2 + 3x + 2 = 0
2 Cho parabol (P): y =
4
1
x2 và đờng thẳng (d) y =
-2
1
x + 2
a Vẽ (P) và (d) trên cùng một hệ trục toạ độ
b Gọi A, B là hai giao điểm của (P) và (d) Tính diện tích tam giác OAB
Câu 3 (2đ) Hai ngời cùng làm chung một công việc thì hoàn thành trong 20 ngày Nếu ngời thứ nhất làm trong 6 ngày và ngời thứ hai làm trong 3 ngày tiếp theo thì đợc
5
1
công việc Hỏi làm một mình thì mỗi ngời phải làm trong bao nhiêu ngày thì xong công việc đó
Câu 4 (3đ) Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB > AC, đờng cao AH Trên nửa mặt phẳng bờ là BC chứa A,
vẽ nửa đờng tròn đờng kính HC cắt AC tại F kẻ HE ⊥AB
a Chứng minh tứ giác AEHF là hình chữ nhật
b Chứng minh AE.AB = AF.AC
c Chứng minh BEFC là tứ giác nội tiếp
Câu 5 (1đ) Tìm giá trị của x để biểu thức: y = x - x−1991 đạt giá trị nhỏ nhất và tìm giá trị nhỏ nhất đó
đề Tự luyện số 2.
(Thời gian làm bài: 120 phút) Câu 1 ( 2đ): Cho biểu thức: P =
ab
a b b a b
a
ab b
+
+
−
4 )
1 Tìm điều kiện của a để P có nghĩa
2 Rút gọn P
3. Tính giá trị của P khi a = 2 3; b = 3
Câu 2 ( 2đ): 1 Giải hệ phơng trình:
−
=
−
−
= +
−
1
1 1 2
2
2 1 1
y x
y x
2 Cho parabol (P): y =
2
1
x2 và đờng thẳng (d): y = px + q Xác định p và q để đờng thẳng (d) đi qua điểm A(-1; 0) và tiếp xúc với parabol Tìm toạ độ tiếp điểm
Câu 3 ( 2đ): 1 Cho phơng trình: x2 - 2(m + 1)x + 2m + 10 = 0 (m là tham số)
a Giải và biện luận về số nghiệm của phơng trình
b Trong trờng hợp phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2; hãy tìm một hệ thức liên hệ giữa x1, x2 mà không phụ thuộc m
Câu 4 ( 3đ): Từ một điểm ở ngoài đờng tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến AB, AC và cát tuyến AMN của đờng tròn
đó Gọi I là trung điểm của dây MN
1 CMR 5 điểm A, B, I, O, C cùng nằm trên một đờng tròn
2 Nếu AB = OB thì tứ giác ABOC là hình gì Tại sao
3 Tính diện tích hình tròn và độ dài đờng tròn ngoại tiếp tứ giác ABOC theo bán kính R của đờng tròn (O) Câu 5 ( 1đ): a Chứng minh BĐT: a +b ≥a+b
Trang 8Tài liệu ôn thi vào lớp 10 năm học 2009 - 2010.
đề Tự luyện số 3.
(Thời gian làm bài: 120 phút) Câu 1 ( 2đ): Cho biểu thức: A =
1
1 1
1 1
2
−
− + +
+ +
−
+
x x
x
x x
x
x
1 Tìm điều kiện của x để A xác định và rút gọn A
2. Tính giá trị của A với x = 7 + 4 3
Câu 2 ( 2đ): Trong mặt phẳng toạ độ, đơn vị trên hai trục toạ độ bằng nhau
1 Xác định a để đồ thị hàm số y = ax2 đi qua điểm A(1; 1)
- Vẽ đồ thị (P) của hàm số vừa tìm đợc Hàm số này đồng biến, nghịch biến trên khoảng nào
2. Gọi (d) là đờng thẳng đi qua A và cắt trục Ox tại điểm M có hoành độ là m (m ≠1)
- Viết phơng trình của đờng thẳng (d)
- Tìm giá trị của m để (d) chỉ có chung với (P) một điểm A
Câu 3 ( 2đ): Giải phơng trình: ( 1 2) ( 11)2 =121
+
−
x
Câu 4 ( 3đ): Cho một đoạn thẳng AB và một điểm M bất kì trên đoạn thẳng ấy Từ M vẽ tia Mx vuông góc với AB Trên tia Mx lấy hai điểm C và D sao cho MC = MA và MD = MB Đờng tròn tâm O1 qua ba điểm A,
M, C và đờng tròn tâm O2 qua ba điểm B, M, D cắt nhau tại một điểm thứ hai N (khác M)
1 CM ba điểm A, N, D thẳng hàng và ba điểm B, C, N thẳng hàng
2 Có nhận xét gì về một trong 4 điểm A, B, C, D đối với ba điểm còn lại
3 CMR đờng thẳng MN luôn luôn đi qua một điểm cố định khi M di động trên đoạn thẳng AB
Câu 5 ( 1đ): Giải hệ phơng trình:
=
=
=
20 15 12
yz xz
xy
) 3 (
) 2 (
) 1 (
đề Tự luyện số 4.
(Thời gian làm bài: 120 phút) Câu 1 ( 2đ): Cho biểu thức P =
3
3 2 1
2 3 3 2
11 15
+
+
−
−
− +
− +
−
x
x x
x x
x
x
a Rút gọn P
3
2
c. Tìm m để có x thoả mãn P.( x+3) = m
Câu 2 ( 2đ): Hai vòi nớc cùng chảy vào một bể không có nớc thì sau 1giờ 30 phút sẽ đầy bể Nếu mở vòi thứ nhất trong 15 phút rồi khoá lại, sau đó mở vòi thứ hai 20 phút thì đợc 0,2 bể Hỏi nếu mỗi vòi chảy riêng thì bao lâu đầy bể
Câu 3 ( 2đ): Cho phơng trình x2 - 2(m + 1)x + 2m + 3 = 0
a Giải phơng trình với m = -3
b Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn (x1 - x2)2 = 4
Câu 4 ( 3đ): Cho đờng tròn (O), đờng kính AB M là một điểm cố định trên tiếp tuyến tại A của (O) Vẽ tiếp tuyến MC và cát tuyến MKH (H nằm giữa M, K), tia MK nằm giữa hai tia MB, MO Các đờng thẳng BH, BK cắt đờng thẳng MO tại E và F Qua A kẻ đờng thẳng song song với MK, cắt (O) tại I, CI cắt MK tại N
a CMR tứ giác MCHE nội tiếp
b CM tổng MN2 + ON2 không phụ thuộc vào vị trí của cát tuyến MHK
c CMR OE = OF
+
+ +
+
c c b
b b a
a
đề thi tuyển sinh vào lớp 10 năm học 2010 - 2011.
Trang 9Tài liệu ôn thi vào lớp 10 năm học 2009 - 2010.
Ngày thi: 31.06, 01.07.10.
Bài 1: Cho phơng trình: x2 + mx – 4 = 0 (1) (m là tham số)
a Giải phơng trình khi m = 3
b Gọi x1, x2 là các nghiệm của phơng trình (1) Tìm m để x1(x2 + 1) + x2(x1 + 1) > 6
Bài 2: Cho biểu thức: B = + −
−
−
−
+
b b
b b
3
1 3
3 3
3
(b > 0, b ≠ 9)
Bài 3: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho Parabol (P) y = x2 và các điểm A, B thuộc (P) với xA = 2; xB = -1
a Tìm toạ độ A, B và viết phơng trình đờng thẳng AB
b Tìm n để đờng thẳng (d): y = (2n2 - n)x + n + 1 (n là tham số) song song với đờng thẳng AB
Bài 4: Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp (O), các đờng cao BM và CN của tam giác cắt nhau ở H
a CM tứ giác BCMN nội tiếp
b Kéo dài AO cắt (O) tại C CM tứ giác BHCK là HBH
c Cho BC cố định, A thay đổi trên cung lớn BC sao cho tam giác ABC luôn nhọn Xác định vị trí điểm A để diện tích tam giác BCH lớn nhất
Bài 5: Cho a > 0, b > 0 thoả mãn a + b = 4 Tìm GTNN của P = a2 + b2 +
ab
33
Đáp án đề 1
Câu 1:
a Để P xác định thì a > 0 và a ≠ 1
b Rút gọn:
a.( a a a ) : ( a a )( a ) =
1
( a )( a )
a.( a ) a = a − 1
a.
c Để P > 0 ⇔ a − 1
a. > 0 do a > 0 nên a > 0 vậy P > 0 ⇔ a - 1 > 0 ⇒ a > 1
Để P < 0 Giải tơng tự ta đợc 0 < a < 1
Câu 2 1 PT có a + b + c = (-5) + 3 + 2 = 0 ⇒ x1 = 1; x2 =
-5
2
2 b Hoành độ giao điểm là nghiệm của HPT:
4
1
x2 =
-2
1
x + 2 Giao điểm của (P) và (d) là A(2; 1) và B(-4; 4) Hạ AH ⊥ Ox, BK ⊥ Ox, ta có AH = 1 đvd, BK = 4 đvd, OH = 2 đvd, OK = 4 đvd
Khi đó SAOB = SAHKB - SAHO - SKBO
Câu 3
Gọi thời gian ngời thứ nhất l m riêng để ho n th nh công việc l x(ng y)à à à à à
Gọi thời gian ngời thứ hai l m riêng để ho n th nh công việc l y (ng y) (x > 20, y > 20) à à à à à
Theo đề b i ta có hệ phà ơng trình
= +
= +
5
1 3 6
20
1 1 1
y x
y x
suy ra
=
=
30
60
y
x
(TMĐK)
Câu 4
a Góc BEH = 900 ⇒ góc AEH = 900, tơng tự ta có góc AFH = 900⇒ tứ giác AEHF là hình chữ nhật.
b Vì ∆AHB vuông tại H có HE là đờng cao ⇒ AH2 = AF.AC Tơng tự với ∆AHC ta có AH2 = AF.AC
c Ta có góc B = góc EHA (cùng phụ với góc BHE), mà góc EHA = góc EFA⇒ góc B = góc EFA
Trang 10Tài liệu ôn thi vào lớp 10 năm học 2009 - 2010.
Câu 5: Ta có: y = x - x−1991, biểu thức có nghĩa khi x≥ 1991
Gọi x−1991= T ≥ 0 Ta có: T2 = x - 1991 suy ra x = T2 + 1991, thay vào
biểu thức trên đợc: y = T2 - T + 1991 suy ra T2 - T + 1991 - y = 0 (1)
Phơng trình (1) có nghiệm khi: ∆ = −1 4.1991 4+ y≥0 19903
4
y
Nh vậy ymin = 19903
4, khi đó ∆ = 0, phơng trình có nghiệm kép: T1,2 = 1
2
1991 ( ) 1991 1991
đề Tự luyện số 2.