Các đờng thẳng // định ra trên hai đờng thẳng không // với chúng những đoạn thẳng tỉ lệ.. Hệ quả: Nếu một đờng thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và // với cạnh còn lại thì nó tạo thành
Trang 1Tài liệu ôn thi vào lớp 10 năm học 2009 - 2010.
Buổi 1
Chủ Đề 1: rút gọn và tính giá trị của biểu thức.
Ngày soạn: Ngày dạy:
I Ph ơng pháp
1 Phơng pháp rút gọn bằng cách phân tích thành nhân tử
- Sử dụng HĐT
- Sử dụng các phơng pháp phân tích thành nhân tử
2 Phơng pháp nhân với biểu thức liên hợp
Các biểu thức liên hợp thờng gặp: a + b và a− b; a + b và a2 - ab + b2; a - b và a2 + ab + b2
ii bài tập
Bài 1 Cho biểu thức: A=
2
) 1 ( : 1
1 1
1
2
2 2 3
3
−
−
− +
+
+
−
−
x
x x x x
x x x
x
Với x≠ 2;±1
a Rút gọn biểu thức A b Tính giá trị của biểu thức khi cho x = 6+2 2 c Tìm giá trị của x để A = 3
Giải a Rút gọn A =
x
x2 −2
b Thay x= 6+2 2 vào A ta đợc A =
2 2 6
2 2 4
+
+
c A = 3 ⇔ x2 - 3x - 2 = 0 ⇒
x =
2
17
3±
−
+
−
+
+
−
−
−
1
1 2 2 : 1 1
x
x x x
x
x x x x
x x
a Rút gọn P. b Tìm x nguyên để P có giá trị nguyên.
Giải a ĐK: x ≥0;x≠1 Rút gọn: P = ( )
1
1 2
: 1
1
−
−
−
−
x
x x
x
x
=
1
1 )
1 (
1
+
=
−
−
x
x x
x
b P =
1
2 1 1
1
− +
=
−
+
x x
x
Để P nguyên thì
1
2
−
x nguyên suy ra x−1 là ớc của 2 suy ra với x = {0;4;9} thì P có giá trị nguyên
xy x
y x
y y
y x
x P
− +
− + +
−
− +
=
1 1 1
) )
1 )(
(
a Tìm điều kiện của x và y để P xác định Rút gọn P b Tìm x, y nguyên thỏa mãn
ph-ơng trình P = 2
Giải a Điều kiện để P xác định là : x ≥ 0 ; y ≥ 0 ; y ≠ 1 ; x + y ≠ 0
P
=
=
Trang 2Tài liệu ôn thi vào lớp 10 năm học 2009 - 2010.
=
=
y
=
1
y
=
b P = 2 ⇔ x + xy − y.= 2⇔ x(1 + y) (− y + 1)= 1 ⇔( x − 1)(1 + y) = 1
Ta có: 1 + y ≥1 ⇒ x− ≤1 1 ⇔ ≤ ≤0 x 4 ⇒ x = 0; 1; 2; 3 ; 4
Thay vào ta có các cặp giá trị (4; 0) và (2 ; 2) thoả mãn
Bài 4 : Cho biểu thứcA =
−
+
−
−
−
−
+
1
: 1
1 1
1
x
x x
x
x x
x x
với x > 0 và x ≠ 1
a Rút gọn A b Tìm giá trị của x để A = 3
Giải. a Ta có: A = − + −
−
−
−
+
1
: 1
1 1
1
x
x x
x
x x
x x
=
−
+
−
−
−
−
− +
−
+
−
+
1 1
) 1 ( : 1
1 )
1 )(
1
(
) 1 )(
1
(
x
x x
x x x
x x
x
x x
x
=
−
+
−
−
−
−
−
+
−
1
: 1
1 1
1
x
x x x x
x x
x x
=
1
: 1
1 1
−
−
+
−
+
−
x
x x
x
x
x
=
1
: 1
2
−
−
+
−
x
x x
x
=
x
x x
1
−
+
−
=
x
x
−
2
b A = 3 ⇔
x
x
−
2 = 3 ⇔3x + x - 2 = 0 ⇒ x = 4/9
Bài 5: Cho P = 2
1
x
x x
+
− +
1 1
x
+ + + -
1 1
x x
+
− a Rút gọn P b Chứng minh: P <
1
3 với x
≥ 0 và x ≠1
Giải Điều kiện: x ≥ 0 và x ≠1 P = 2
1
x
x x
+
− +
1 1
x
x x
+ + + -
1
x
+
2
x x
+
− +
1
1
x
+
+ + -
1 1
x− =
x x
−
x
x+ x+
b Với x ≥ 0 và x ≠1 Ta có: P < 1
1
x
x+ x+ <
1 3
⇔ 3 x < x + x + 1 ; ( vì x + x + 1 > 0 ) ⇔ x - 2 x + 1 > 0⇔ ( x - 1)2 > 0 (x ≥ 0
và x ≠1)
Bài 6 : a Xác định x ∈ R để biểu thức: A =
x x
x x
− +
−
−
+
1
1 1
2 2
là một số tự nhiên
Trang 3Tài liệu ôn thi vào lớp 10 năm học 2009 - 2010.
b Cho biểu thức:
2 2
2 1
+ +
=
z zx
z y
yz
y x
xy
x
Giải a
x x
x x x
x x
x x
x x
x x
) 1 ).(
1 (
1
2 2
2
+ +
− +
+ +
−
−
+
=
P là số tự nhiên ⇔-2x là số tự nhiên ⇔x =
2
k
(trong đó k ∈Z và k≤ 0 )
b Điều kiện xác định: x,y,z ≥ 0, kết hợp với x.y.z = 4 ta đợc x, y, z > 0 và xyz =2
Nhân cả tử và mẫu của hạng tử thứ 2 với x; thay 2 ở mẫu của hạng tử thứ 3 bởi xyz ta đ-ợc:
2
2 2
(
2 2
+ +
+ +
= + +
+ + +
+ +
xy x xy x
z
z x
xy
xy x
xy
x
Bài 7: Cho biểu thức: D =
+
+ +
−
+
ab
b a ab
b a
1
+ + +
ab
ab b a
1
2 1
a Tìm điều kiện xác định của D và rút gọn D b Tính giá trị của D với a =
3 2
2
− c Tìm GTLN của D
Giải: a Điều kiện xác định của D là
≠
≥
≥
1 0 0
ab b
a
D =
−
+
ab
a b a
1
2 2
: −
+ +
ab
ab b a
1
2
+
a a
1
3 2 ( 2 3
2
2 3 2 1 3 2 2
3 2 2
−
−
= + +
c áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có 2 a ≤a+1⇒D≤1 Vậy giá trị của D là 1
Bài 8: Cho biểu thức
A =
2
1
1
x
−
− − a Tìm điều kiện của x để A xác định b Rút gọn A
Giải: Điều kiện x thỏa mãn:
2
1 0
x
− ≠
− − >
⇔
1 1 1 2
x x x x
≠
≥
≥
≠
⇔ x > 1 và x ≠ 2
b Rút gọn A =
2
1
x x
−
+ Với 1 < x < 2 ta có A = 2
1−x + Với x > 2 ta có A =
2 1
x− Kết luận: Với 1 < x < 2 thì A = 2
1−x Với x > 2 thì A =
2 1
x−
Trang 4Tài liệu ôn thi vào lớp 10 năm học 2009 - 2010.
Bài 9: Cho biểu thức M =
x
x x
x x
x
x
−
+ +
−
+ +
+
−
−
2
3 3
1 2 6 5
9 2
a Tìm ĐK của x để M có nghĩa và rút gọn M b Tìm x để M = 5 c Tìm x ∈ Z để M
∈ Z.
Giải: M =
x
x x
x x
x
x
−
+ +
−
+ +
+
−
−
2
3 3
1 2 6 5
9 2
a ĐK x≥ 0 ;x≠ 4 ;x≠ 9 M = ( )( ) ( )( )
( 2)( 3)
2 1
2 3 3
9 2
−
−
− +
+
− +
−
−
x x
x x
x x
x
Biến đổi ta có kết quả: M = ( 2)( 3)
2
−
−
−
−
x x
x x
1 2
3
2 1
−
+
=
⇔
−
−
− +
x
x M x
x
x x
4
16 4
16 15 5
1 3
5 1 5
3
1 5
M
−
−
⇔
x x
c M =
3
4 1 3
4 3 3
1
− +
=
−
+
−
=
−
+
x x
x x
x
Do M ∈ Z nên x−3là ớc của 4 ⇒ x −3 nhận các giá trị:
- 4; - 2; - 1; 1; 2; 4 ⇒ x∈{1;4;16;25;49} do x≠4⇒ x∈{1;16;25;49}
Bài 10: Cho biểu thức: A = ( 2 3)22 12 2
x
x
x − + + (x+2)2−8x2
a Rút gọn biểu thức A b Tìm những giá trị nguyên của x sao cho biểu thức A cũng có
giá trị nguyên
Giải: a Điều kiện: x ≠0
4 4
9
2
2 4
+
− +
+ +
x
x x
2
− +
+
x
x
+ Với x < 0:
x
x x
−
= + Với 0 < x ≤ 2:
x
x
A= 2 +3
+ Với x > 2 :
x
x
x
=
b Tìm x nguyên để A nguyên: A nguyên ⇔ x2 + 3 x ⇔ 3x ⇔ x = {−1;−3;1;3 }
1
1 2 : 1
1 4
3
1
+
−
+ +
−
+
−
− +
−
x
x x x
x x
x x
a Rút gọn P b Tìm giá trị nhỏ nhất của P
Giải: Điều kiện: x ≥ 0; x ≠ 1
a Thực hiện đợc biểu thức trong ngoặc bằng:
) 4 )(
1 (
) 1 ( 5
+
−
+
−
x x
x
KQ: P =
4
1
+
−
x x
b Viết P =
4
5 1
+
−
x lập luận tìm đợc GTNN của P = -1/4 khi x = 0
Bài 12: Cho biểu thức: Q= ( )
y x
xy y
x x
y
y x y x
y x
+
+
−
−
− +
−
:
Trang 5Tài liệu ôn thi vào lớp 10 năm học 2009 - 2010.
a Tìm ĐKXĐ của Q và rút gọn b Chứng minh Q≥0 c So sánh Q với Q
Giải a ĐKXĐ: x ≥ 0, y ≥ 0, x ≠ y
xy y
x x
y x y
y xy x y x y
x
y x y
x
Q
+
+
−
+
−
+ +
− +
−
+
−
=
2 :
x y x y
y xy x
x y y
x
+
−
+
+
−
+ +
−
− +
y xy x
xy y
xy x
y x y
x
xy
+
−
= +
−
+
b xy ≥ 0 ∀ x;y≥ 0x + y ≥ 2 xy (Côsi), mà x ≠ y ⇒ x + y > 2 xy
⇔ x - xy + y > xy ≥ 0 ⇔x - xy + y > 0 Vậy Q = ≥0∀ , ≥0
+
x
xy
và x ≠ y
c Theo câu b, ta có x - xy + y > xy (1) Chia 2 vế của (1) cho x - xy + y > 0 ⇒
1
<
+
x
xy
Vậy 0≤ Q < 1 + Nếu Q = 0 ⇒ Q = Q
+ Nếu 0 < Q < 1 ⇒ Q( Q - 1) < 0 ⇒ Q - Q < 0⇒ Q < Q ∀ x, y ≥ 0 và x ≠ y
Buổi 2
Chủ Đề 2: tam giác tam giác đồng dạng-hệ thức l– ợng trong
tam giác
Ngày soạn:
Ngày dạy:
I Ph ơng pháp
1 Định lí Talet:
a Định lí Các đờng thẳng // định ra trên hai đờng thẳng không // với chúng những đoạn thẳng tỉ lệ
b Hệ quả: Nếu một đờng thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và // với cạnh còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới có ba cạnh tơng ứng tỉ lệ với ba cạnh của tam giác đã cho
2 Tính chất đờng phân giác trong tam giác
Trong tam giác, đờng phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn ấy
3 Các trờng hợp đồng dạng của tam giác
a Trờng hợp c.c.c: Nếu ba cạnh của tam giác này tỉ lệ với ba cạnh của tam giác kia thì hai tam giác đó ĐD
b Trờng hợp c.g.c: Nếu hai cạnh của tam giác này tỉ lệ với hai cạnh của tam giác kia và hai góc tạo bởi các cặp cạnh đó bằng nhau thì hai tam giác đó đồng dạng
c.Trờng hợp g.g:Nếu hai góc của tam giác này lần lợt bằng hai góc của tam giác kia thì hai tam giác đó ĐD
Trang 6Tài liệu ôn thi vào lớp 10 năm học 2009 - 2010.
d Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này tỉ lệ với cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng
e Hai tam giác đồng dạng thì tỉ số hai diện tích bằng bình phơng tỉ số đồng dạng
ii bài tập
Bài 1: Cho tam giác ABC có trực tâm H Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của BC, AC Gọi
O là giao điểm các đờng trung trực của tam giác
1 Chứng minh rằng ∆OMN đồng dạng với ∆HAB Tìm tỉ số đồng dạng
2 So sánh độ dài AH và OM
3 Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC Chứng minh rằng ∆HAG đồng dạng với ∆OMG
4 Chứng minh ba điểm H, G, O thẳng hàng và GH = 2GO
HD giải
a Ta có MN // AB (MN là đờng trung bình) Mặt khác ta có AH // OM (cùng vuông góc với BC) do dó góc BAH = góc OMN (cặp góc có cạnh tơng ứng //) Tơng tự ta có góc ABH = góc ONM Suy ra ∆AHB đồng dạng ∆MON, tỉ số k = 2
b Theo câu a, ta có =2
OM
AH
hay AH = 2OM
c Gọi G’ là giao điểm của AM và HO, ta có ∆AG’H đồng
'
OM
AH MG
HG
Từ đó ta có G trùng G’
hay ∆HAG đồng dạng ∆OMG
d Từ câu c, suy ra H, G, O thẳng hàng Ta có = =2
GM
GA GO
GH
nên GH = 2.GO
Bài 2: Cho hình thang vuông ABCD (góc A = góc D = 900), E là trung điểm của AD và góc BEC = 900 Cho biết AD = 2a Chứng minh rằng:
a AB.CD = a2
b ∆EAB và ∆CEB đồng dạng
c BE là tia phân giác của góc ABC
HD giải a ∆EAB đồng dạng ∆CDE (g.g) suy ra ĐPCM
b Theo câu a ta có
EC
EB AE
AB EC
BE ED
AB
=
⇒
= suy ra ∆ABE đồng dạng ∆EBC (c.g.c)
c Từ câu b, suy ra BE là tia phân giác của góc ABC
Bài 3: Tam giác ABC cân tại A có BC = 2a, M là trung điểm của BC Lấy D thuộc AB, E thuộc AC sao cho góc DME góc B
a Chứng minh rằng BD.CE không đổi
b Chứng minh rằng DM là tia phân giác của góc BDE
HD giải:
a ∆DBM đồng dạng ∆MCE (g.g) suy ra ĐPCM
b Theo câu a, suy ra
BM
BD ME
DM CM
BD ME
DM = ⇒ = do đó ∆DME đồng dạng ∆DBM (c.g.c) suy
ra ĐPCM
Bài 4: Cho ∆ABC có hai góc nhọn B và C, BC = a, đờng cao AH = h Một hình vuông
MNPQ nội tiếp tam giác sao cho: M thuộc AB, N thuộc AC, P và Q thuộc BC Hãy tính MP theo a và h
HD giải: Ta có
AH
AK BC
MN = (tỉ số 2 đờng cao của hai ∆ đồng dạng bằng tỉ số đồng dạng)
Gọi MN = x, ta có:
h a
ah x h
x h a
x
+
=
⇒
−
Ta có MP = MN 2 (theo Pitago), suy ra MP =
h a
ah
+
2
Trang 7
Tài liệu ôn thi vào lớp 10 năm học 2009 - 2010.
Bài 5: Cho tam giác nhọn ABC, trực tâm H Gọi M là trung điểm của BC Đờng thẳng qua H
và vuông góc với MH cắt AB và AC theo thứ tự ở I và K
a Qua C kẻ đờng thẳng // với IK, cắt AH và AB theo thứ tự ở N và D CMR: NC = ND
b CMR: HI = HK
HD giải
a Ta có NM vuông góc với CH (đờng cao thứ 3 của tam giác CNH)
suy ra NM // AD (cùng ⊥ CH) Tam giác CBD có CM = MB (GT), MN // BD suy ra ND = NC
b Sử dụng Ta let vào hai cặp tam giác đồng dạng: AIH và AND, AKH và CAN, suy ra IH = KH
Bài 6: Cho ∆ cân ABC (AB = BC) Trên cạnh AB lấy điểm M sao cho
4
1
=
BM
AM
Trên cạnh
BC lấy điểm N sao cho =6
BN
CN
Đờng thẳng MN cắt đờng cao BH tại O Từ N hạ NK vuông góc BH Từ M hạ MP vuông góc với BH Cho BH = 35cm
a CM ∆BKN đồng dạng ∆BHC, tính BK
b Tính BP, OB, HO
c Giả sử m
BM
BN
CN = Tính
BO
HO
theo m và n
HD giải
a Hai tam giác đồng dạng với nhau theo TH (g.g) suy ra
BC
BN BH
7
1
BK ⇒ BK = 5 (cm)
b Theo câu a, ta có
4
105 7
8 30 7
7 1 7
1 7
1 7
OH OH
OH KO OH
KO AH
KN
HC
KN
, OB =
4
35
c Từ ∆BKN đồng dạng ∆BHC ta có: BK = BH
n 1.
1
+ , ∆MBP đồng dạng ∆ABH ta có: BP =
BH
m 1.
1
+
suy ra
BO
HO
=
2
n
m+ Bài 7 Cho hai tam giác đều ABC và DEF mà A thuộc DF, E thuộc BC Gọi I là giao điểm của
AC và EF, K là giao điểm của AB và DE
a CMR ∆IFC đồng dạng ∆AIE, ∆KDB đồng dạng ∆KAE
b CM BD // CF
HD giải
a Ta có ∆AIF đồng dạng ∆EIC (g.g), suy ra ∆IFC đồng dạng ∆AIE(c.g.c)
Tơng tự ∆KDB đồng dạng ∆KAE (c.g.c)
Bài 8: Hình thang vuông ABCD (góc A = góc D = 900) có hai đờng chéo vuông góc với nhau tại O,
AB = 4cm, CD = 9cm
a CMR các tam giác AOB và DAB đồng dạng b Tính độ dài AD
c CMR các tam giác OAB và OCD đồng dạng d Tính tỉ số diện tích của tam giác OAB và OCD
HD giải
a ∆AOB và ∆DAB đồng dạng (g.g)
b AD = 6cm
c ∆OAB và ∆OCD đồng dạng (g.g)
Trang 8Tài liệu ôn thi vào lớp 10 năm học 2009 - 2010.
d
81
16 9
42 =
=
OCD
OAB
S
S
Bài 9: Cho tam giác ABC vuông tại A, đờng cao AH, BC = 100cm, AH = 40cm Gọi D là hình chiếu của H trên AC, E là hình chiếu của H trên AB
a CMR ∆ADE đồng dạng ∆ABC
b Tính diện tích tam giác ADE
HD giải:
a Ta có góc C = góc BAH = góc AED,
suy ra ∆ADE đồng dạng ∆ABC (g.g)
b
25
4 2 2
=
=
=
BC
AH BC
DE
S
S
ABC
ADE Tính diện tích tam giác ABC từ đó suy ra SADE = 320 (cm2) Bài 10: Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 1, AC = 3 Trên cạnh AC lấy các điểm D, E sao cho AD = DE = EC
a Tính độ dài BD b CMR các tam giác BDE và CDB đồng dạng
c Tính tổng góc DEB và DCB
Đáp số:
a BD = 2
b = 2
DE
BD
2
=
DB
CD
, nên
DB
CD DE
BD
= , tam giác BDE và CDB đồng dạng (c.g.c)
c Góc DEB + góc DCB = góc DBC + góc DCB = góc ADB = 450
Bài 11: Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b, AB = c, đờng phân giác AD
a Tính độ dài BD, DC
b Tia phân giác của góc B cắt AD ở I Tính tỉ số AI : ID
c Cho BC bằng trung bình cộng của AB và AC, gọi G là trọng tâm của tam giác ABC CMR:
IG // BC
HD giải: a
c b
ab DC c b
ac BD AC
AB
AB DC
BD
BD b
c AC
AB DC
BD
+
= +
=
⇒ +
= +
⇒
=
=
a
c
b+
c CM:
GM
AG ID
AI = , từ đó suy ra IG // DM (Talét đảo), tức là IG // BC
Bài 12: Tam giác ABC cân tại A có BC = 2a, M là trung điểm của BC Lấy các điểm D, E theo thứ tự thuộc các cạnh AB, AC sao cho góc DME = góc B
a CMR: BD.CE không đổi b CMR: DM là tia phân giác của góc BDE
c Tính chu vi tam giác ADE nếu tam giác ABC là tam giác đều
HD giải: a CM tam giác BDM đồng dạng tam giác CME (g.g) suy ra ĐPCM
b Theo câu a, ta có
BM
BD ME
DM
= , tam giác DME đồng dạng tam giác DBM (c.g.c) suy ra góc MDE = góc BDM
c DM là phân giác BDE, EM là phân giác CDE Kẻ MH vuông góc DE, MI vuông góc AB,
MK vuông góc AC Ta có DH = DI, EH = EK, do đó chu vi tam giác ADE = AI + AK = 2AK Lại có CK =
2
a
, AC = 2a nên AK = 1,5a Vậy chu vi tam giác ADE = 3a
Buổi 3
Chủ Đề 3: bất đẳng thức.
Ngày soạn:
Ngày dạy:
Trang 9Tài liệu ôn thi vào lớp 10 năm học 2009 - 2010.
I Ph ơng pháp
HS nắm vững:
1 Các tính chất cơ bản của BĐT
1.1: a > b ⇔a + c > b + c.
1.2: a > b ⇔
<
∀
<
>
∀
>
0 ,
0 ,
c bc ac
c bc ac
1.3: a > b, b> c ⇒ a > c.
1.4: a > b, c > d ⇒ a + c > b + d.
1.5: a > b > 0, c > d > 0 ⇒ ac > bd.
1.6: a > b > 0 ⇒ an > bn
1.7: a > b > 0 ⇒ a > b.
2 Bất đẳng thức Cosi cho hai số không âm, bất đẳng thức Bunhiacopxki và một số bất đẳng thức khác
2.1: Bất đẳng thức Cosi cho hai số không âm: Với a ≥ 0, b ≥ 0 khi đó: a+b ≥ ab
“=” xảy ra ⇔a = b
2.2: Bất đẳng thức Bunhiacopxki: (ax + by)2 ≤ (a2 + b2)(x2 + y2) Dấu “=” xảy ra ⇔tồn tại số
k sao cho x = ka, y = kb (*), nếu a, b ≠0 thì (*) đợc viết là:
b
y a
x
=
ii bài tập
Bài 1: Cho hai số dơng a, b CMR: a + b ≥
ab
ab
+
1
4
HD giải: Ta có:
≥ +
≥ +
ab ab
ab b
a
2 1
2
(BĐT Cosi)⇒(a + b)(1 + ab) ≥ 4ab suy ra ĐPCM Dấu “=”
xảy ra khi và chỉ khi
=
=
ab
b a
1 hay a = b = 1
Bài 2: Cho 4 số a, b, c, d CMR: (a2 + b2)(c2 + d2) ≥ (ac + bd)2 (Bất đẳng thức Bunhiacopxki)
HD giải: Khai triển hai vế và đa về: (bc - ad)2 ≥ 0 (luôn đúng) suy ra BĐT cần chứng minh luôn đúng
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi bc = ad ⇔
d
c b
a = .
Bài 3: Tìm hai số a, b biết rằng:
= +
= +
5 3 2
5 3 2
2
a
b a
HD giải: Ta có: 25 = (2a + 3b)2 = ( 2 2a+ 3 3a)2 ≤ [( 2)2 + ( 3)2].[( a)2 + ( a)2]
= 5.(2a2 + 3a2)
Suy ra 2a2 + 3a2 ≥ 5 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
b
3 2
2 = hay a = b Vậy a = b = 1
Bài 4: Cho a, b, k là các số dơng, a < b CMR: <
b
a
k b
k a
+
+ (1)
HD giải: Xét hiệu VT - VP ta đợc: k(a - b) < 0 ⇔a < b BĐT này đúng, vậy (1) đúng.
Bài 5: CMR: a2 + b2 + 4 ≥ ab + 2(a + b) (1)
HD giải: Xét hiệu VT - VP ta đợc: (a - b)2 + (a - 2)2 + (b - 2)2 ≥ 0 đúng Dấu “=” xảy ra khi a
= b = 2
Bài 6: CMR ∀a > b > 0, m > n, ta có: m m m m n n n n
b a
b a b a
b a
+
−
>
+
Trang 10Tài liệu ôn thi vào lớp 10 năm học 2009 - 2010.
HD giải: (1) ⇔
n n
n n
n
n n m m
m m
m
m m
b a
b b
a
b a b a
b b
a
b a
+
− +
+
>
+
− +
m m
m n
n
n
b a
b b
a
b
+
>
+
2 2
Chia VT cho bn, chia VP cho bm
Ta đợc n n m m
b
a b
a
< ⇔
n m
b
a b
a
>
Bài 7: (TH 04 - 05) Cho 0 < x < 1
1 CMR: x(1 - x) ≤
4
1
(1) 2 Tìm GTNN của A =
) 1 (
1 4 2
2
x x
x
−
+
HD giải 1 (1) ⇔ 0
2
1 2
≥
−x luôn đúng
2 Từ x(1 - x) ≤
4
1 ⇒ x2(1 - x) ≤
4
1
x suy ra A ≥
x
x
4 1
1
4 2 +
A ≥ 16x +
x
4
≥ 2
x
x.4
16 = 2.8 = 16 (BĐT Cosi) Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 16x =
x
4
⇔x =
2
1
± , mà
Cho 0 < x < 1 suy ra x =
2
1
Bài 8 (TH 09 - 10) Cho x, y, z thoả mãn y2 + yz + z2 = 1 -
2
3x2
Tìm GTLN và GTNN của biểu thức: A = x + y + z
HD giải y2 + yz + z2 = 1 -
2
3x2 ⇔ 2y2 + 2yz + 2z2 = 2 - 3x2 ⇔(x + y + z)2 + (x - y)2 + (x - z)2 = 2
⇔(x + y + z)2 = -[(x - y)2 + (x - z)2] + 2 ≤ 2 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y = z
⇒- 2 ≤ x + y + z ≤ 2 Vậy GTLN là 2, GTNN là - 2 khi x = y = z.
Bài 9: (TH 05 - 06) Cho x - y ≠ 0 CMR x2 + y2 + 1 2
2
≥
−
−
y x
xy
HD giải x2 + y2 +
2 1
−
−
y x
xy
= x2 - 2xy + y2 + 2(xy - 1) + 1 2
2
+
−
−
y x
xy
= (x - y + xy x−y
−1
)2 + 2
≥ 2
Bài 10: (TH 06 - 07) Cho b > 0 CMR:
b
b b
b
2
) 1 ( 3 1
2 2
+ +
7
≥
HD giải Ta có:
b
b b
b
2
) 1 ( 3 1
2 2
+ +
b b
b b
b
4
) 1 ( 5 4
1 1
2 2
2
+ +
+ +
4
1 1 4
1 1
2 2
2
+
≥
+ +
b b
b b
b b
b (BĐT Cosi) Lại có b2 + 1 ≥ 2b ⇒
2
5 4
2
5
4
)
1
(
=
≥
b
b
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi b = 1 Vậy
b
b b
b
2
) 1 ( 3 1
2 2
+ +
5
=
2
7
Bài 11: CMR: a = 4b ≥
ab
ab
4 1 16
+ với a, b dơng (Sử dụng các tính chất của BĐT).